f x f x(x, y) (1.1) f(x, y, z) = xyz (1.5)

Transkrypt

1 1 Pochodne cząstkowo Pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem zmiennej x oznaczamy i definiujemy jako granicę f(x + h, y) f(x, y) lim h 0 h natomiast pochodną cząstkową względem zmiennej y definiujemy f x(x, y) (1.1) f(x, y + h) f(x, y) lim h 0 h i oznaczamy y f y(x, y) (1.4) Analogicznie definiujemy pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych. W praktyce obliczenie pochodnych cząstkowych sprowadza się do obliczenie pochodnej względem jakiejś zmiennej i potraktowania innych zmiennych jako stałe. (1.2) (1.3) Zadanie 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji f(x, y, z) = xyz (1.5) Licząc pochodną cząstkową względem zmiennej x, taktujemy zmienne y i z jako stałe, czyli można powiedzieć, że rozważamy funkcję postaci f(x) = ax, gdzie a = yz jest stałe. Stąd = xyz = 1 yz (1.6) analogicznie postępujemy z pozostałymi zmiennymi i pochodnym cząstkowymi y = xz, z Zadanie 2. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji = xy (1.7) f(x, y) = x y (1.8) f(x, y) = sin( x y ) (1.9) f(x, y, z) = tan(x) arcsin(xy) ln(xyz) (1.10) f(x, y, z) = e x sin(yz) + z y 3x (1.11) f(x, y, z) = x yz (1.12) 1

2 f(x, y, z) = arctan(ln(x + yz))e y x (1.13) f(x, y, z) = a x ln(xy) e z (1.14) (1.8) liczymy pochodną po jako pochodną typu xa, czyli traktujemy y jako stałą, więc = yxy 1 (1.15) pochodna po y to natomiast pochodna funkcji wykładniczej o podstawie x, więc y = xy ln x (1.16) Kolejny przykład (1.9) to funkcja złożona, dla pochodnej po x mamy funkcję typu sin ax natomiast dla pochodnej po y mamy funkcję typu sin a y, więc oraz = a cos ax = 1 y cos x y (1.17) y = a cos a y ( 1 y 2 ) = x y 2 cos(x y ) (1.18) Przykład (1.10) będzie trzeba traktować jako iloczyn funkcji. W przypadku zmiennej x mamy sytuację tan(x) arcsin(xa) ln(xb) (1.19) więc czyli = 1 tan arcsin(ax) ln(xb) + cos 2 x = arcsin(xy) ln(xyz) cos 2 x Pochodna cząstkowa po y to natomiast x 1 (ax) + b a ln(xb) + tan x arcsin(ax) 2 xb y tan x ln(xyz) 1 x2 y 2 y = tan ln(xyz)x x( 1 x2 y + arcsin(xy) ) 2 y + tan x arcsin(xy) x (1.20) (1.21) (1.22) pochodna po z to pochodna funkcji typu a ln(bz) czyli z = tan x arcsin(xy)1 z (1.23) 2

3 Przykład (1.11) to w pierwszym przypadku = aeax + c( 3) ln zz 3x = sin(yz)e x sin(yz) 3z y z 3x ln z (1.24) po y mamy y = cos(yz)xzex sin(yz) + z y 3x ln z (1.25) po z z = xy cos(yz)ex sin(yz) + (y 3x)z y 3x 1 (1.26) Przykład (1.11). Dla zmiennej x jest to funkcja typu x a, więc = yz x yz 1 (1.27) dla y jest to funkcja złożona. Złożenie funkcji a y i funkcji y b, czyli y Pochodna po z jest to funkcja złożona typu a g(z). Czyli = ln x xyz y z 1 z (1.28) z = ln a ag(z) g z = ln a ag(z) ln y y z = ln x ln y x yz y z (1.29) W następnych przykładach postępujemy tak samo. 2 Różniczki Różniczką funkcji f(x) nazywamy zmianę funkcji względem zmian zmiennej niezależnej. Oznaczamy ją jako f = df x (2.1) dx gdy przechodzimy do infinitezymalnych przyrostów nasza definicja zamienia się df = f dx (2.2) Zadanie 3. Oblicz różniczkę funkcji f(x) = sin x. Zgodnie z naszym wzorem df = cos xdx (2.3) 3

4 Zadanie 4. Oszacuj wielkość (2.01) 3 + e Jest to funkcja typu f(x) = x 3 + e x. Żeby oszacować powyższe wyrażenie korzystamy ze wzoru f(x + dx) f(x) + df (2.4) Pochodna funkcji f(x) to wartość funkcji w punkcie x = 2 to f = 3x 2 + e x (2.5) e = (2.6) Natomiast część z różniczki w punkcie x = 2 o przyroście dx = 0.01 to 3 (2) e = 0.19 (2.7) więc z dokładnością do dwóch liczb po przecinku mamy Zadanie 5. Oszacuj wielkość (2.01) 3 + e 2.01 = (2.8) z = 4.02 (2.9) z = log (2.10) W pierwszym przykładzie mamy funkcję typu x. Pochodna więc tej funkcji to Czyli z = 1 1 (2.11) 2 x = = (2.12) 4 W drugim przykładzie mamy funkcję f = log 2 x,, stąd 2.1 Różniczka zupełna log 2 (2.02) log ln (2.13) Różniczkę zupełną dla funkcji f(x, y, z) definiujemy jako df = dx + y dy + dz (2.14) z 4

5 Zadanie 6. Oblicz różniczkę zupełną funkcji F F (x 1, x 2,..., x n ) = x 1 + x x n (2.15) F (x, y, z) = x 2 y 2 z (2.16) F (x, y, z) = sin(xy ) z y (2.17) W pierwszym przypadku jest to funkcja, która jest kombinacją liniową funkcji jednej zmiennej postaci f(x) = x, więc różniczka zupełna sprowadzi się do n df = dx i (2.18) i=1 W drugim przypadku musimy policzyć pochodne cząstkowe, które wynoszą odpowiednio stąd = 2xy2 z, y = 2x2 yz, z = x2 y 2 (2.19) df = 2xy 2 zdx + 2x 2 yzdy + x 2 y 2 dz (2.20) Ostatni przykład ma bardziej skomplikowane pochodne cząstkowe. Pochdona po x to po y po z = cos xy z y yx y 1 (2.21) y = cos xy ln xx y z y ln zz y sin x y z 2y = z y x y ln x cos(x y ) z y sin x y ln z (2.22) czyli różniczka zupełna jest postaci df = z = y sin(xy ) (2.23) z y 1 cos xy yx y 1 dx + (z y x y ln x cos(x y ) z y sin x y ln z)dy y sin(xy ) dz (2.24) z y zy 1 Zadanie 7. Oblicz przybliżoną wartość wyrażenia (2.01) 3 (3.03)(4.02) 2. Jest to wyrażenie postaci x 3 yz 2. Stąd wystarczy policzyć różniczkę zupełną i dodać do funkcji w punktach x = 2, y = 3, z = 4. Więc stąd df = 3x 2 yz 2 dx + x 3 z 2 dy + 2x 3 yzdz (2.25) (2.01) 3 (3.03)(4.02) = = (2.26) 5