Modele matematyczne kaskady pneumatycznej oraz membranowego siłownika pneumatycznego opisane rachunkiem różniczkowym niecałkowitych rzędów

Transkrypt

1 Mirosław uft, Artur Nowocień, Daniel Pietruszczak Modele ateatyczne kaskady neuatycznej oraz ebranowego siłownika neuatycznego oisane rachunkie różniczkowy niecałkowitych rzędów JE: 97 DO:.436/atest Data zgłoszenia: 9..8 Data akcetacji: 5..8 W artykule rzedstawiono analizę właściwości dynaicznych układów neuatycznych takich jak: kaskadowego ołączenia ebranowych rzetworników ciśnienia oraz ebranowego siłownika neuatycznego za oocą równań różniczkowych całkowitych rzędów oraz równań różniczkowych z ochodnyi niecałkowitych rzędów. Analizowane układy zostały oisane w ujęciu czasowy, za oocą charakterystyki skokowej oraz w ujęciu częstotliwościowy za oocą charakterystyk Bodego tj. logaryticznej charakterystyki alitudowej i fazowej. Każda charakterystyka wyznaczona została na odstawie równania różniczkowego z ochodnyi niecałkowitego rzędu. Do wyznaczenia charakterystyk niezastąiony narzędzie rograistyczny był interaktywny akiet Siulink zbudowany na bazie rograu MATAB, który uożliwia analizę i syntezę ciągłych układów dynaicznych. Słowa kluczowe: kaskada neuatyczna, rachunek różniczkowy niecałkowitych rzędów, siłownik neuatyczny. Wstę W artykule rzedstawiono analizę ateatyczną kaskady neuatycznej oraz ebranowego siłownika neuatycznego oisane rachunkie różniczkowy niecałkowitych rzędów (ang. fractional calculus) [5], [6], [7], [8], [9] oraz []. Wyrowadzono równania różniczkowe całkowitego i niecałkowitego rzędu i na ich odstawie wyznaczono równania oisujące charakterystyki czasowe (iulsowe i skokowe) oraz częstotliwościowe (logaryticzne charakterystyki alitudowe i fazowe) dla każdego badanego układu neuatycznego []. Nastęnie dokonano syulacji wyrowadzonych równań wykorzystując orograowanie Microsoft Excel oraz MATAB&Siulink otrzyując charakterystyki czasowe i częstotliwościowe badanych układów dla całkowitych i niecałkowitych rzędów [6], [7] oraz [8].. Model ateatyczny kaskady neuatycznej oisany rachunkie różniczkowy niecałkowitych rzędów Na ys.. rzedstawiono scheat analizowanej kaskady neuatycznej: ys.. Scheat dwukoorowej kaskady neuatycznej [] Na ys.. rzedstawiono scheat blokowy dwukoorowej kaskady neuatycznej: ys.. Scheat blokowy dwukoorowej kaskady neuatycznej [] Zakładając liniowość odelu równanie, oisujące dynaikę ebranowego rzetwornika ciśnienia, ożna zaisać w ostaci układu równań różniczkowych: d d ( (a) d gdzie:, rad s d (b) ulsacja drgań własnych kolejnego eleentarnego układu neuatycznego,, stoień tłuienia kolejnego eleentarnego układu neuatycznego wchodzącego w skład kaskady neuatycznej.,,,,,,, 3 r 4l,, V, c, 3l,V r c, 3 l r V,,, c (a) (b) rzy czy: 5 Ns ojeność neuatyczna w kolejny eleencie układu neuatycznego; 3 N indukcja neuatyczna w kolejny eleencie układu neuatycznego; 5 Ns oór rzeływu w kolejny eleencie układu neuatycznego; 3 V objętość kolejnej koory rzetwornika, c s l r rędkość dźwięku w gazie wyełniający układ; długość kolejnej rurki dolotowej; roień kolejnej rurki dolotowej; 56 AUTOBUSY /8

2 kg 3 kg s gęstość gazu; lekość dynaiczna. ównania () zaisane za oocą równań różniczkowych z ochodnyi niecałkowitych rzędów rzyją ostać: Dt ( Dt ( ( (3) : D t D t t t t t gdzie:. Stosując rzekształcenie alace a do równań (3), dla zerowych warunków oczątkowych otrzyuje się: s s s ( s) (4) s s s s Skąd otrzyuje się transitancje oeratorowe niecałkowitego rzędu analizowanego układu neuatycznego: s s s s s s s s s s Transitancja oeratorowa analizowanego układu rzyjie ostać: s s s s s s s 4 3 s 4 s s Dla zależności (6), otrzyuje się transitancję widową rzetwornika: j cos j sin cos j sin 4 cos j sin cos j sin Dokonując eleentarnych rzekształceń oblicza się część rzeczywistą i urojoną transitancji widowej niecałkowitych rzędów: ( j ) P ( ) jq ( ) (8) gdzie: (9) (5) (6) (7) () Znając część rzeczywistą i urojoną transitancji widowej rzetwornika, ożna wyznaczyć równanie oisujące logaryticzną charakterystykę alitudową: P ( ) Q ( ) ( ) log () oraz równanie oisujące logaryticzną charakterystykę fazową: Q ( ) ( ) arctg P ( ) sin sin sin arctg cos cos cos sin cos 4 sin sin 4 cos cos sin sin cos cos () Używając rograu naisanego w środowisku MATAB, który wykorzystano do rzerowadzenia syulacji równań oisujących charakterystyki Bodego () i () ebranowego rzetwornika ciśnienia, uzyskano logaryticzne charakterystyki alitudy i fazy analizowanej kaskady neuatycznej. harakterystyki rzedstawione zostały na ys. 3. oraz ys. 4.. Wyznaczone charakterystyki częstotliwościowe (ys. 3 oraz ys. 4) rawidłowo odzwierciedlają dynaikę odelu. Dla araetru logaryticzna charakterystyka alitudowa (ys. 3) i fazowa (ys. 4) okrywa się ze znanyi charakterystykai członów oscylacyjnych 4 rzędu. Z charakterystyki alitudowej (ys. 3) ożna odczytać sadek wzocnienia, który wynosi 8dB / dek, a z charakterystyki fazowej (ys. 4) rzesunięcie fazowe dla araetru, a więc tak jak jest w klasyczny członie oscylacyjny 4 rzędu. Z analizy charakterystyk częstotliwościowych (ys. 3 oraz ys. 4) wynika, że ulsacja rezonansowa zależy od araetru, a więc od rzędu różniczki, w równaniu różniczkowy oisujący badany układ. Zniejszając rząd zwiększa się ulsacja rezonansowa. Przesunięcie fazowe układu jest ty niejsze i niejszy jest rząd różniczki. AUTOBUSY /8 57

3 ys. 3. ogaryticzne charakterystyki alitudowe kaskady neuatycznej oisanej za oocą równania różniczkowego z ochodnyi niecałkowitego rzędu dla araetru z zakresu (,8) [oracowanie własne autorów artykułu] ys. 4. ogaryticzne charakterystyki fazowe kaskady neuatycznej oisanej za oocą równania różniczkowego z ochodnyi niecałkowitego rzędu dla araetru z zakresu (,8) [oracowanie własne autorów artykułu]. Model ateatyczny ebranowego siłownika neuatycznego oisany rachunkie różniczkowy niecałkowitych rzędów ys. 5. Siłownik neuatyczny ebranowy [] Na odstawie zasad Newtona ożna zaisać: d y dy y A ( (3) gdzie: Pa ciśnienie wejściowe (wyuszenie); A kg N Ns owierzchnia czynna ebrany; asa układu ruchoego; wsółczynnik sztywności srężyny; wsółczynnik tarcia lekiego; y rzesunięcie trzienia siłownika. Jeżeli tłuienie układu, to. Uogólniając równanie (5.36), otrzyuje się: Dt y( Dt y( y A ( (4) gdzie:. Stosując rzekształcenie alace a, rzy zerowych warunkach oczątkowych, dla ochodno całki niecałkowitego rzędu zdefiniowanej według ieanna iouville a, otrzyuje się: Y s s s A s) ( (5) Skąd otrzyuje się transitancję oeratorową niecałkowitego rzędu ebranowego siłownika neuatycznego: s Y P s s s A s (6) W celu dokonania syulacji rzyjęto dane neuatycznego siłownika ebranowego haulca T6 firy MP: A owierzchnia efektywna ebrany: dla r=5 (średnica = ) A=,785 ; asa układu ruchoego (ebrana i trzień); =, +, =,3kg; wsółczynnik sztywności srężyny; = N/ wsółczynnik tarcia lekiego (oorów ruchu części ruchoych) =,5Ns/. Podstawiając owyższe dane do zależności (6) otrzyano transitancję oeratorową analizowanego siłownika neuatycznego: s Y P s,5 s s,56s 35 (7) Mianownik transitancji oeratorowej niecałkowitego rzędu a dwa ierwiastki zesolone. W związku z ty otrzyuje się: k g ( t ) k,5 35 t,,56;, k k h ( t ) (8) k k! Dla zależności (8) otrzyuje się równania oisujące odowiedź iulsową oraz skokową niecałkowitego rzędu badanego siłownika neuatycznego w ostaci: k k k g ( t ) k t E, k,56t,5 35 k k (9) h ( t ) k k! E, k,56t E k, z rzy czy funkcja jest secjalny rodzaje funkcji Mittaga-efflera. Przerowadzając syulację rzetwornika neuatycznego zadano sygnał w ostaci skoku iulsowego oraz jednostkowego otrzyując odowiedź iulsową i skokową rzedstawioną na rysunku 6 oraz rysunku AUTOBUSY /8

4 ys. 6. Odowiedź iulsowa siłownika neuatycznego oisanego całkowity i niecałkowity rzęde: 7, F,9,9 F,5 F, dla,5, F,7 dla, dla, dla, odel klasyczny (całkowity rząd) [oracowanie własne autorów artykułu] rzędów, odowiedzi nabierają charakteru eleentu inercyjnego rzędu. Dla zależności (6) otrzyuje się transitancję widową siłownika: ( v) ( v) ( j) j v v j j v cos A v j sin v A v v j v cos sin () Dokonując eleentarnych rzekształceń oblicza się część rzeczywistą i urojoną transitancji widowej, gdzie: A A A cos cos ( ) P ( ) cos cos sin sin A A sin sin ( ) Q ( ) cos cos sin sin (a) (b) Znając część rzeczywistą i urojoną transitancji widowej siłownika, ożna wyznaczyć równanie oisujące logaryticzną charakterystykę alitudową: P ( ) Q ( ) ( ) log () oraz równanie oisujące logaryticzną charakterystykę fazową: ( ( v) Q ( ) arctg ( P v) v) sin ( ) arctg ( ) cos sin cos (3) Wykorzystując naisany rogra w środowisku MATAB dokonano syulacji równań () i (3), uzyskując częstotliwościową logaryticzną charakterystykę alitudową oraz fazową siłownika, które rzedstawione zostały na rysunku 8 oraz rysunku 9. ys. 7. Odowiedź skokowa siłownika neuatycznego oisanego całkowity i niecałkowity rzęde: dla, 5, dla 7,, dla, 9, dla, odel klasyczny (całkowity rząd) [oracowanie własne autorów artykułu] F,9 F,5 F, F,7 Na ys. 6. oraz ys. 7. okazane zostały odowiedzi iulsowe i skokowe określone wzore (5.5) dla wybranych wartości z rzedziału [,]. harakterystyki iulsowe i skokowe badanego siłownika neuatycznego oisane za oocą równań różniczkowych całkowitych oraz niecałkowitych rzędów dla araetru w odanej skali okrywają się. Świadczy to o rawidłowości analizowanego odelu siłownika. Z ys. 6. oraz ys. 7. wynika, że dla rosnących wartości rzędów analizowanego siłownika neuatycznego, odowiedzi iulsowe i skokowe nabierają charakteru eleentu oscylacyjnego rzędu. Dla ałych, dążących do jednego ys. 8. ogaryticzne charakterystyki alitudowe ebranowego siłownika neuatycznego oisanego za oocą równania różniczkowego o ochodnych niecałkowitego rzędu dla różnych wielkości araetru [oracowanie własne autorów artykułu] AUTOBUSY /8 59

5 ys. 9. ogaryticzne charakterystyki fazowe ebranowego siłownika neuatycznego oisanego za oocą równania różniczkowego o ochodnych niecałkowitego rzędu dla różnych wielkości araetru [oracowanie własne autorów artykułu] Na logaryticznych charakterystykach częstotliwościowych (ys. 8. oraz ys. 9.) widać, że dla araetru, owyżej ulsacji rezonansowej, nachylenie charakterystyki alitudowej wynosi db / dek, jak jest w członie oscylacyjny rzędu. Zniejszając rząd zniejsza się sadek wzocnienia i układ nabiera charakteru członu inercyjnego rzędu. Przebieg logaryticznej charakterystyki fazowej (ys. 9.) otwierdza tą tendencję. Dla araetru charakterystyka fazowa okrywa się z logaryticzną charakterystyką fazową klasycznego członu oscylacyjnego rzędu (dla ulsacji większej niż rezonansowa rzesunięcie fazowe osiąga wartość ). Zniejszając wartość rzędu różniczki, układ nabiera charakteru członu inercyjnego rzędu, gdyż dla ulsacji większej niż rezonansowa rzesunięcie fazowe zniejsza się. Dla araetru, 5 rzesunię- cie fazowe osiągnie wartość, tak jak a to iejsce w rzyadku członu inercyjnego rzędu. Podsuowanie Otrzyane charakterystyki, które owstały w wyniku syulacji zależności wyznaczonych z rozwiązania równań różniczkowych rzędów całkowitych okrywają się z charakterystykai niecałkowitych rzędów otrzyanyi z rozwiązania równań różniczkowych niecałkowitych rzędów dla araetru. Potwierdza to fakt, że klasyczny rachunek różniczkowy jest rzyadkie szczególny rachunku różniczkowego rzędów dowolnych, a ty say świadczy to o rawidłowo oracowanych odelach ateatycznych. Zastosowanie oisu właściwości dynaicznych układów neuatycznych oartego na rachunku różniczkowy niecałkowitych rzędów ozwoli autoro artykułu na analizę właściwości szerokiej klasy układów neuatycznych o dowolnych rzędach. Bibliografia:. Busłowicz M., Wybrane zagadnienia z zakresu liniowych ciągłych układów niecałkowitego rzędu, Poiary Autoatyka obotyka nr /.. Busłowicz M., Nartowicz T., Projektowanie regulatora ułakowego rzędu dla określonej klasy obiektów z oóźnienie, Poiary Autoatyka obotyka, nr, s , Kaczorek T., Wybrane zagadnienia teorii układów niecałkowitego rzędu, Oficyna Wydawnicza Politechniki Białostockiej, stron 7, SSN X, Białystok hwaleba A., uft M., Właściwości i rojektowanie wybranych rzetworników echanoelektrycznych, Zakład Poligraficzny Politechniki adoskiej, Wyd. or. i uzu., SBN , ado uft M., Nowocień A., ioć., Pietruszczak D., harakterystyki częstotliwościowe odelu rzetwornika ciśnienia oisanego równanie różniczkowy niecałkowitego rzędu, ogistyka nr 3/5, SSN , Poznań uft M., Nowocień A., Pietruszczak D., Analiza właściwości dynaicznych wybranych układów neuatycznych za oocą rachunku różniczkowego niecałkowitych rzędów. zęść. Badania syulacyjne, AUTOBUSY - Technika, Eksloatacja, Systey Transortowe; Eksloatacja i testy; SSN , e- SSN , str. 5-55, nstytut Naukowo- Wydawniczy "SPATUM", AUTOBUSY (7), ado uft M., Nowocień A., Pietruszczak D., Właściwości dynaiczne wybranych odstawowych członów autoatyki niecałkowitych rzędów, AUTOBUSY - Technika, Eksloatacja, Systey Transortowe; Eksloatacja i testy; SSN , e-ssn , str. 56-6, nstytut Naukowo-Wydawniczy "SPA- TUM", AUTOBUSY (8), ado 8 artykuł zgłoszony 8. uft M., Nowocień A., Pietruszczak D., Analiza właściwości dynaicznych wybranych układów neuatycznych za oocą rachunku różniczkowego niecałkowitych rzędów. zęść. Badania laboratoryjne, AUTOBUSY - Technika, Eksloatacja, Systey Transortowe; Eksloatacja i testy; SSN , e- SSN , str. 56-6, nstytut Naukowo- Wydawniczy "SPATUM", AUTOBUSY (7), ado uft M., Pietruszczak D., Nowocień A., Frequency resonse of the ressure transducer odel described by the fractional order differential equation, TTS (6), SSN 3-389, ado 6.. uft M., Szychta E., Nowocień A., Pietruszczak D., Zastosowanie rachunku różniczkowo całkowego niecałkowitych rzędów w ateatyczny odelowaniu rzetwornika ciśnienia, Autobusy nr 6/6, SSN , nstytut Naukowo- Wydawniczy SPATUM, ado 6. Nowocień A., Analiza właściwości dynaicznych układów neuatycznych za oocą rachunku różniczkowego niecałkowitych rzędów, ozrawa doktorska, Biblioteka łówna Uniwersytetu Technologiczno- Huanistycznego i. Kaziierza Pułaskiego w adoiu, ado 7, (Prootor: Prof. dr hab. nż. Mirosław uft; Prootor oocniczy: dr inż. Daniel Pietruszczak). Nowocień A., uft M., Pietruszczak D., Zastosowanie rachunku różniczkowo całkowego niecałkowitych rzędów w nauce i technice. ogistyka nr 3/4. 3. Ostalczyk P., Zarys rachunku różniczkowo-całkowego ułakowych rzędów. Teoria i zastosowanie w autoatyce, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, stron 43, SBN , Łódź Pietruszczak D., Analiza właściwości układów oiarowych wielkości dynaicznych z wykorzystanie rachunku różniczkowo całkowego ułakowych rzędów, ozrawa doktorska, Biblioteka łówna Uniwersytetu Technologiczno- Huanistycznego i. Kaziierza Pułaskiego w adoiu, ado AUTOBUSY /8

6 5. Podlubny., Fractional Differential Equations. An ntroduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Soe Methods of Their Solution and Soe of Their Alications, Acadeic Press, 368 ages, SBN 55884, San Diego-Boston- New York-ondon-Tokyo-Toronto Mościński J., Ogonowski Z. (red.), Advanced ontrol with MATAB and SMUNK, Pearson Higher Education, 7 ages, SBN X, udra P., (tłuacz: Korbecki M.), Matalb 7 dla naukowców i inżynierów, Wydawnictwo Naukowe PWN, stron 8, SBN , Warszawa. 8. htt:// strona internetowa roducenta rograu MATAB Matheatical odels of the neuatic cascade and a ebrane neuatic actuator described by the fractional calculus The aer resents the analysis of dynaic roerties of neuatic systes such aa neuatic cascade and a ebrane neuatic actuator using differential equations of integer orders and differential equations with derivatives of non-integer orders. The analyzed systes were described in the doain of tie by eans of ste characteristics and in ters of frequency with the hel of Bode characteristics, i.e. logarithic alitude and hase characteristics. Each characteristic was deterined on the basis of a differential equation with derivatives of non-integer order. To deterine the characteristics, an irrelaceable rograing tool was the interactive Siulink ackage built on the basis of the MATAB rograe, which allows the analysis and synthesis of continuous dynaic systes. Keywords: neuatic cascade, fractional calculus, neuatic actuator. Autorzy: Prof. dr hab. inż. Mirosław uft, rof. zw. Wydział Transortu i Elektrotechniki Uniwersytetu Technologiczno-Huanistycznego i. Kaziierza Pułaskiego w adoiu, ul. Malczewskiego 9, 6-6 ado, e-ail:.luft@uthrad.l Dr inż. Artur Nowocień Zesół Szkół Elektronicznych i. Bohaterów Westerlatte w adoiu, ul. Sadkowska 9, 6-6 ado Dr inż. Daniel Pietruszczak adiunkt, Wydział Transortu i Elektrotechniki Uniwersytetu Technologiczno-Huanistycznego i. Kaziierza Pułaskiego w adoiu, ul. Malczewskiego 9, 6-6 ado, e-ail: d.ietruszczak@uthrad.l AUTOBUSY /8 53