ANALIZA MOBILNOŚCI ROBOTA TRZYKOŁOWEGO NA BAZIE JEGO MODELU

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIESKIE ISSN X 44, s , Gliwice 212 ANALIZA MOBILNOŚCI OBOTA TZYKOŁOWEGO NA BAZIE JEGO MODELU MACIEJ TOJNACKI 1, KZYSZTOF KUC 2 1 Przemysłowy Instytut Automatyki i Pomiarów PIAP, mtrojnacki@ia.l 2 Politechnika zeszowska, Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa, kkurc@rz.edu.l Streszczenie. W racy analizuje się mobilność robota Pioneer 2DX na bazie jego modelu dynamiki. W badaniach wykorzystuje się dwie wersje modelu, tj. model uroszczony i model dokładny. Oba modele uwzględniają warunki wsółracy kół jezdnych z odłożem, rzy czym model dokładny bierze dodatkowo od uwagę wystęowanie oślizgów. Analiza możliwości ruchowych robota jest ograniczona do rzyadków jego ruchu z zadaną rędkością o odłożu o różnych rzechyleniach/ochyleniach i właściwościach mechanicznych. Wyniki badań są zarezentowane w ostaci zbiorczej oraz w ormie wybranych symulacji wykonanych z zastosowaniem akietu Matlab/Simulink. 1. WSTĘP O ruchu robota w zróżnicowanym terenie decydują jego możliwości ruchowe, określane mianem mobilności (ang. mobility). Można ją zdeiniować jako zdolność oruszania się robota z zadanymi arametrami ruchu w określonych warunkach środowiskowych, z uwzględnieniem wystęujących ograniczeń robota [1]. W celu określenia mobilności analizuje się ruch robota o odłożu o różnych właściwościach mechanicznych i nachyleniach oraz zdolność okonywania rzez niego rzeszkód terenowych o różnym kształcie i wysokości (n. krawężniki, schody). O możliwościach ruchowych robota w danym terenie decyduje szereg czynników, w tym: rodzaj układu ruchu (n. kołowy, gąsienicowy, nożny, hybrydowy, skaczący) i jego geometria, charakterystyka eektorów (n. rodzaj ogumienia kół jezdnych robotów kołowych), arametry masowe robota, ograniczenia wynikające z charakterystyk naędów (n. ich mocy, maksymalnej rędkości obrotowej, maksymalnego momentu naędowego), ograniczenia wydajności akumulatorów itd. Dotychczas bardzo oularnym układem jezdnym rzeznaczonym do oruszania się w zróżnicowanym terenie był układ gąsienicowy. Jednakże obserwując rynek robotów mobilnych, można zauważyć, że coraz częściej odchodzi się od robotów gąsienicowych na rzecz robotów kołowych [4]. Można także coraz częściej sotkać rzykłady rozwiązań robotów hybrydowych, tj. łączących cechy lokomocji ciągłej i dyskretnej [2]. Analiza mobilności danego robota może być wykonywana w dwóch zasadniczych celach, tj. w celu oracowania i rzetestowania konstrukcji mechanicznej i układu sterowania robota.

2 266 M. TOJNACKI, K. KUC Na etaie rojektowania konstrukcji mechanicznej rzerowadzona analiza mobilności bazująca na modelu dynamiki robota może ozwolić na srawdzenie sełnienia stawianych wymagań oraz otymalizację konstrukcji. Analiza ta może być wykonana onownie na rototyie robota w celu zweryikowania wyników analizy wykonanej dla modelu robota. W ramach niniejszej racy analizuje się możliwości ruchowe mobilnego robota trzykołowego, biorąc od uwagę ograniczenia wynikające z dynamiki robota i rodzaju terenu, o którym się on orusza. 2. MODEL OBOTA Do badań symulacyjnych dotyczących mobilności robota wykorzystywane zostaną dwa modele mobilnego robota kołowego Pioneer 2DX, tj. model uroszczony i model dokładny. Jako model dokładny jest użyty model robota oracowany w ramach ublikacji [3]. Model ten został oracowany z użyciem uniwersalnej metodyki modelowania analitycznego dynamiki mobilnych robotów kołowych. Uwzględnia ona m.in. warunki wsółracy kół jezdnych z odłożem i wystęowanie oślizgów. Z kolei model uroszczony omija wystęowanie oślizgów kół jezdnych i jest oisany w niniejszym unkcie racy. W modelu tym zakłada się, że robot orusza się z zadaną rędkością v o łaskiej owierzchni. Wielkościami charakteryzującymi wsółracę kół jezdnych z odłożem są wsółczynniki rzyczeności µ i oorów toczenia r. Pomija się wływ sił aerodynamicznych na ruch robota oraz siły tarcia w arach kinematycznych. W ramach racy wyznacza się możliwy zakres ochylenia terenu β (rys. 1a), zakładając wówczas, że rzechylenie α jest równe zero. Z kolei wyznaczając możliwy zakres rzechylenia terenu α (rys. 1b) zakłada się, że ochylenie β jest równe zero. Wyznaczając możliwy zakres ochylenia terenu β, analizuje się ruch ostęowy korusu robota. uch robota oisuje się w łaszczyźnie xz układu związanego z robotem (rys. 1a-b), zakładając, że środek masy leży w tej łaszczyźnie. Początek układu wsółrzędnych związany z robotem rzyjmuje się w unkcie w ołowie odcinka łączącego środki geometryczne rzednich kół jezdnych. Środki geometryczne oszczególnych kół jezdnych oznacza się jako A i (i = 1, 2, 3). Przednie koła robota oznacza się także indeksem, który dotyczy kół 1 i 2, tj. odowiednio lewego i rawego. Samonastawne koło odierające znajdujące się z tyłu oznacza się indeksem b lub alternatywnie numerem 3. a) b) z c) z CM A CM y A 1 b x A β 2 F z 2F x G F bz F bx A 2 F2 y ys. 1. Uroszczony model robota: ruch o ochylonym (a) i rzechylonym terenie (b), model koła jezdnego (c) (l = x CM, l b = l + x CM, h = r + z CM, l = l + l b, l 1 = A 1 = A 2 ) Zakłada się, że koła jezdne robota toczą się bez oślizgu, dlatego sełnione są nastęujące zależności: v vx i ri => i v / ri => i v / ri, (1) F 2z α G A 3 F 3z F 3 y F 1 y F 1z θ i iz ix F iz r A i F ix T iy τ i

3 ANALIZA MOBILNOŚCI OBOTA TZYKOŁOWEGO NA BAZIE JEGO MODELU 267 gdzie: i nr koła jezdnego, r i romień geometryczny tego koła, i i i odowiednio: rędkość i rzysieszenie kątowe obrotu własnego koła. Dynamiczne równania ruchu robota dla ruchu o ochylonym terenie mają ostać: m v 2F F m g sin( ), (2) I y x x bx m v z 2Fz Fbz m g cos( ), (3) ( 2F F ) h 2F l F l, (4) x bx gdzie: m, I y masa całkowita robota i masowy moment bezwładności względem osi równoległej do y i rzechodzącej rzez środek masy robota, x CM, z CM wsółrzędne jego środka masy w układzie związanym z robotem, l = l + l b odległość osi rzednich kół do środka samonastawnego koła odierającego mierzona na kierunku osi x układu związanego z robotem, r romień geometryczny naędzanych rzednich kół jezdnych, l = x CM, l b = l + x CM, h = r + z CM. Dynamiczne równanie ruchu dla kół jezdnych robota traktowanych jako ciała sztywne może być zaisane jako: I F r T, (5) iy i i gdzie: I iy masowy moment bezwładności koła jezdnego względem jego osi obrotu własnego, τ i moment naędowy (τ b = τ 3 =, bo naędzane są tylko rzednie koła robota), T iy = F iz r r i moment ooru toczenia, r wsółczynnik oorów toczenia. W równaniu (4) ominięto momenty ooru toczenia kół jezdnych, gdyż mają one niewielki wływ na dynamikę robota traktowanego jako całość w stosunku do ozostałych momentów sił. ozwiązanie układu równań (1) (5) jest nastęujące: m g r ( c s ) r / 2 I I r /(2r, (6) F x m g ix i r y by b ) 2 r ( l c h s ) l s /(2l) m r ( l r h)/(2l) I by r /(2rb ) 2 Fbx m g r ( l c h s ) r r h / l I by r / rb Fz m g( lb c h s ) r h /(2l) F m g( l c hs ) r h l z iy bz b, (7), (8), (9), (1) bz / gdzie: s β = sin(β), c β = cos(β). Z kolei do analizy możliwości ruchu robota o rzechylonym terenie można zaisać równania: 3 m v F m g sin( ), (11) y i 1 iy 3 m v F m g cos( ), (12) z i 1 iz I x 3 1z 2z 1 i 1 iy ( F F ) l F h, (13) które o uwzględnieniu odowiednich ograniczeń ozwalają na wyznaczenie douszczalnego zakresu kąta rzechylenia terenu α. 3. ANALIZA MOBILNOŚCI OBOTA W niniejszym artykule analiza mobilności robota Pioneer 2DX jest ograniczona do rzyadków jego ruchu o odłożu o różnych rzechyleniach/ochyleniach i właściwościach. Biorąc od uwagę model dynamiki robota oraz jego naędów, można wyznaczyć zakres, w którym robot może się oruszać. Zakłada się, że możliwy jest rzejazd robota rzez dany

4 268 M. TOJNACKI, K. KUC rodzaj terenu, jeżeli może on oruszać się z zadaną rędkością i sełnione są ograniczenia wynikające z dynamiki robota, rodzaju odłoża i jego rzechylenia/ochylenia. Aby był możliwy ruch robota o ochylonym terenie, muszą być sełnione ograniczenia: F iz, Fiz Fix Fiz, (14) czyli wszystkie koła robota muszą mieć cały czas kontakt z odłożem i wartość składowej wzdłużnej siły reakcji odłoża nie może rzekraczać wartości siły tarcia rozwiniętego, rzy czym µ oznacza maksymalną wartość wsółczynnika rzyczeności dla ary oona-odłoże (ang. eak value [5]). Wsółczynnik ten jest także określany mianem wsółczynnika rzyczeności rzylgowej, w odróżnieniu od wsółczynnika rzyczeności oślizgowej wystęującego w rzyadku ślizgania oon, który z kolei można rzyjąć, że jest równy wsółczynnikowi tarcia kinetycznego. Zakłada się, że w rzyadku niesełnienia owyższych ograniczeń rzejazd robota rzez dany rodzaj terenu jest niemożliwy. Zakłada się rzy tym, że warunek ruchu robota z zadaną rędkością jest sełniony, jeżeli robot może oruszać się z dokładnością nie gorszą niż 5%, tj. n. w rzyadku ruchu robota o terenie ochylonym w dół w stosunku do kierunku jazdy robot nie może jechać z rędkością większą niż 15% rędkości zadanej. Wsółracę oon robota z oszczególnymi rodzajami terenu charakteryzują wsółczynniki rzyczeności i oorów toczenia. Przyjęte do badań rodzaje terenu i wartości wsółczynników zestawione są w tabeli 1. Wartości tych wsółczynników bazują na racy [5]. Z uwagi na to, że w literaturze nie znaleziono wartości wsółczynnika ooru toczenia dla lodu, w racy rzyjęto jego wartość r =,1. Tabela 1. Przyjęte w racy wartości wsółczynników rzyczeności (tarcia) i oorów toczenia dla oony i wybranych rodzajów odłoża [5] odzaj odłoża Wsółczynniki rzyczeności rzylgowej μ Wsółczynnik oorów toczenia r asalt / beton,85,15 walcowany żwir,6,2 nieutwardzona droga,68,5 lód,1,1 Zakres kątów rzechylenia terenu α, rzy których dla oszczególnych rodzajów odłoża nie nastęuje jeszcze boczne zsuwanie się robota w rzyadku jego ruchu odłużnego można wyznaczyć z zależności (11) (13), zakładając stałą rędkość ruchu robota, brak ochylenia terenu (β = ) oraz maksymalne wartości składowych orzecznych sił reakcji odłoża. Dla uroszczenia rozważań i ze względu na dostęne w literaturze dane rzyjmuje się, że wartość wsółczynnika tarcia statycznego jest w tym rzyadku równa wartości wsółczynnika rzyczeności rzylgowej μ. W tym rzyadku bierze się zatem od uwagę ograniczenie: F F F. (15) iz iy Należy zwrócić uwagę na akt, że trywialne rozwiązanie: arctg( ) arctg( ) (16) zależy w tym rzyadku jedynie od wartości wsółczynnika µ. Z kolei biorąc od uwagę możliwość rzewrócenia się robota na bok, można wyznaczyć drugi zakres kąta rzechylenia terenu α, tj. korzystając z zależności: F, Fiz Fiy Fiz. (17) iz iz

5 ANALIZA MOBILNOŚCI OBOTA TZYKOŁOWEGO NA BAZIE JEGO MODELU 269 Zakładając graniczne rzyadki, tj., w których F 1z = i F 3z = (czyli w konsekwencji F 1y = i F 3y = ) oraz F 2z = i F 3z = (stąd F 2y = i F 3y = ) otrzymuje się: arctg( l1 / h) arctg( l1 / h), (18) gdzie: l 1 ołowa rozstawu kół jezdnych, tj. odległości środków geometrycznych kół: lewego i rawego (rys. 1b). Wynika stąd, że w tym rzyadku zakres kąta rzechylenia terenu zależy jedynie od ołożenia środka masy robota i rozstawu naędzanych kół jezdnych. Uzyskany douszczalny zakres wartości kąta rzechylenia terenu, dla których nie nastęuje boczne zsuwanie się robota dla oszczególnych rodzajów odłoża w rzyadku jego ruchu odłużnego zestawiono w tabeli 2. Natomiast douszczalny zakres kąta rzechylenia terenu ze względu na możliwość rzewrócenia się robota na bok jest w rzyadku robota Pioneer 2DX znacznie szerszy ze względu na stosunkowo niskie ołożenie środka masy robota, czyli dużą wartość l 1 /h. Innymi słowy, niezależnie od rodzaju terenu wcześniej nastąi boczne zsunięcie się robota niż jego rzewrócenie na bok. Tabela 2. Douszczalny zakres kąta rzechylenia terenu dla wybranych rodzajów odłoża i ruchu odłużnego robota odzaj odłoża Douszczalny zakres kąta rzechylenia terenu α w [ o ] asalt / beton ( 4,4, +4,4) walcowany żwir ( 31,, +31,) nieutwardzona droga ( 34,2, +34,2) lód ( 5,71, +5,71) 4. BADANIA SYMULACYJNE W badaniach symulacyjnych, dotyczących robota mobilnego Pioneer 2DX, rezentowanych w niniejszej racy w celu oszacowania możliwości ruchowych robota o ochylonym terenie analizuje się rzyadki, w których: korus robota orusza się ruchem ostęowym do rzodu z zadaną stałą rędkością, robot rozoczyna ruch, rozędzając się do zadanej rędkości, orusza się z tą rędkością, a nastęnie hamuje. W obu rzyadkach wykorzystuje się uroszczony model dynamiki robota oraz model dokładny, tj. uwzględniający wystęujące oślizgi kół jezdnych. W badaniach możliwości ruchu robota o ochylonym terenie zakłada się brak rzechylenia robota oraz bierze od uwagę różne rodzaje terenu, o których się on orusza. Do badań symulacyjnych dla dokładnego modelu dynamiki robota rzyjęto wartości arametrów oisane w racy [3]. Natomiast dla uroszczonego modelu dynamiki oisanego w niniejszej racy rzyjęto nastęujące arametry: wymiary geometryczne: l =,217 [m], l 1 =,163 [m], r =,825 [m], r b =,4 [m], masa całkowita robota m = 9,17 [kg], wsółrzędne środka masy robota: x CM =.7 [m], y CM = [m], z CM = [m], masowe momenty bezwładności: I y =,7 [kg m 2 ], I by =,55 [kg m 2 ]. W badaniach symulacyjnych w akiecie Matlab/Simulink została użyta stałokrokowa metoda całkowania ungego-kutty (ode4) z krokiem Δt =.1 [s].

6 27 M. TOJNACKI, K. KUC Zbiorcze wyniki symulacji dla rzyadku ruchu robota do rzodu ze stałą rędkością o ochylonym terenie z zastosowaniem uroszczonego modelu dynamiki robota okazano na rys. 2. Należy zauważyć, że w rzyadku symulacji ruchu robota ze stałą rędkością z zastosowaniem modelu uroszczonego otrzymane wyniki nie zależą od wartości tej rędkości. Wynika to z aktu, że w tym modelu ominięto siły aerodynamiczne, oory ruchu w arach kinematycznych oraz założono stałe wartości wsółczynników rzyczeności i oorów toczenia, tj. niezależne od rędkości. Wartości momentów naędowych i składowych wzdłużnych sił reakcji odłoża dla kół jezdnych okazano na rys. 2a-d, biorąc od uwagę ograniczenia wynikające z rodzaju odłoża, o którym orusza się robot. Uzyskane wyniki są ograniczone do rzedziału, w którym sełnione są wszystkie ograniczenia dotyczące sił reakcji odłoża. a) beton / asalt b) walcowany żwir 2 F x [N] 1 F bx [N] [Nm] F x [N] 1 F bx [N] [Nm] c) nieutwardzona droga d) lód e) ) ys. 2. Wyniki symulacji ruchu robota do rzodu ze stałą rędkością o ochylonym terenie Na rys. 2e zilustrowano wartości składowych wzdłużnych sił reakcji odłoża F x dla oszczególnych rodzajów terenu wraz z ich wartościami granicznymi, tj. F xmin = µ F z oraz F xmax = µ F z. Otrzymane w wyniku symulacji wartości składowych normalnych sił reakcji odłoża (rys. 2) nie zależą od rodzaju terenu, o którym orusza się robot. Z otrzymanego rozwiązania na F z i F bz wynika, że ze względu na ograniczenie F iz zakres kąta ochylenia terenu β w rzyadku ruchu robota ze stałą rędkością wynosi: arctg( / h) 6,7 [ o ], arctg( / h) 4, 3 [ o ]. (19) l b F x [N] [Nm] beton / asalt walcowany żwir nieutwardzona droga lód F bx [N] F x [N] W wyniku symulacji zauważono, że możliwy zakres kąta ochylenia terenu, w którym możliwy jest ruch robota, jest najbardziej zawężony ze względu na minimalną wartość składowej wzdłużnej siły reakcji dla rzednich kół jezdnych. Zakres ten może być wyznaczony na odstawie dynamicznych równań ruchu oraz ograniczeń µ F z F x µ F z. ozwiązanie ogólne jest w tym rzyadku złożone. ozwiązanie szczególne można uzyskać w rosty sosób dla znanych wartości wsółczynników rzyczeności μ i oorów toczenia r oraz arametrów określających ołożenie środka masy robota, tj. l, l b i h (rys. 1a) l F x [N] 1 F bx [N] [Nm] F z [N] F bz [N]

7 ANALIZA MOBILNOŚCI OBOTA TZYKOŁOWEGO NA BAZIE JEGO MODELU 271 W badaniach analizowany był też możliwy zakres ruchu robota ze względu na ograniczenia naędów, zakładając maksymalną, według roducenta, rędkość robota wynoszącą 1,6 [m/s]. W wyniku tych badań okazało się, że zakres ten jest szerszy w stosunku do zakresu wynikającego z ograniczeń siłowych, dlatego w niniejszej racy zdecydowano się ominąć ois ograniczeń ruchu robota ze względu na naędy. Gdy bierze się od uwagę zmienną rędkość ruchu robota, ojawiają się kolejne ograniczenia, które zawężają zakres jego możliwości ruchowych. Najbardziej krytycznymi rzyadkami są rozędzanie i hamowanie robota, co jest związane z zazwyczaj dużym rzysieszeniem. W ramach niniejszej racy wykonano analizę mobilności robota dla rzyadku rozędzania, jazdy ze stałą rędkością i hamowania dla różnych rędkości maksymalnych oraz różnego rodzaju odłoża i jego ochylenia. W tym rzyadku do analizy stosowany był uroszczony model dynamiki robota oraz model dokładny oisany w racy [3]. Dla modelu dokładnego uzyskano, ogólnie rzecz biorąc, węższy zakres możliwego ruchu robota. Należy mieć oczywiście na uwadze, że zakres ten zależy w dużym stoniu od założonej maksymalnej rędkości ruchu. Wynika on także z rzebiegu zmian rędkości kątowych obrotu kół jezdnych, tj. zawęża się on tym bardziej, im większe są rzysieszenia kątowe obrotu tych kół. Na rys. 3 okazano rzebieg zadanej rędkości ruchu robota dla rędkości maksymalnej v max =,5 [m/s] i wynikający z niego rzebieg rzysieszenia. a) b).5 v [m/s] ys. 3. Przebieg zadanej rędkości ruchu robota dla v max =,5 [m/s] (a) oraz wynikający z niego rzebieg rzysieszenia (b) W tabeli 3 okazano uzyskane w wyniku symulacji zakresy możliwego ruchu dla stałej rędkości ruchu, natomiast w tabeli 4 dla zmiennej rędkości, tj. obejmującej azy: rozędzania, jazdy ze stałą rędkością i hamowania. Tabela 3. Douszczalny zakres kąta ochylenia terenu dla ruchu robota ze stałą rędkością Douszczalny zakres kąta ochylenia terenu β w [ o ] odzaj odłoża Model Model dokładny uroszczony v =,5 [m/s] v = 1, [m/s] v = 1,5 [m/s] asalt / beton ( 23,3, +4,4) ( 21,6, +38,5) ( 21,5, +38,) ( 21,, +31,7) walcowany żwir ( 17,9, +27,9) ( 16,8, +27,2) ( 16,4, +27,) ( 14,, +25,) nieutwardzona droga ( 19,2, +32,1) ( 17,4, +31,) ( 17,2, +3,8) ( 15,5, +28,) lód ( 3,54, +4,2) ( 1,4, +4,9) ( 1,2, +4,8) ( 1,1, +4,5) a [m/s]

8 272 M. TOJNACKI, K. KUC Tabela 4. Douszczalny zakres kąta ochylenia terenu dla ruchu robota ze zmienną rędkością Douszczalny zakres kąta ochylenia terenu β w [ o ] Model Model Model Model odzaj odłoża uroszczony dokładny uroszczony dokładny v max =,5 [m/s], v max = 1, [m/s], a max =,75 [m/s 2 ] a max = 1,5 [m/s 2 ] asalt / beton ( 19, +36) ( 16, +27) ( 15, +32) ( 14, +26) walcowany żwir ( 13, +23) ( 1, +17) ( 9, +19) ( 7, +16) nieutwardzona droga ( 14, +28) ( 11, +2) ( 1, +24) ( 9, +2) lód W symulacjach ruchu robota ze zmienną rędkością zadanymi arametrami ruchu były arametry kątowe obrotu własnego kół jezdnych. W rzyadku dokładnego modelu dynamiki robota w związku z wystęowaniem oślizgów kół jezdnych, rzede wszystkim w oczątkowej i końcowej azie ruchu, rędkość korusu robota była nieco niższa w rzyadku wjazdu robota na wzniesienie, a wyższa w rzyadku zjazdu ze wzniesienia. Analizując wyniki symulacji zarezentowane w tabelach 3 i 4, można zauważyć, że największe zakresy kąta ochylenia terenu β wystęują w rzyadku ruchu robota ze stałą rędkością. W rzyadku rozędzania robota do rędkości v max =,5 [m/s] i hamowania zakresy te, tak jak należało się sodziewać, są węższe w orównaniu z ruchem robota ze stałą rędkością. Porównując uzyskane w tym rzyadku wyniki symulacji dla uroszczonego i dokładnego modelu dynamiki robota, można zauważyć, że, ogólnie rzecz biorąc, szersze zakresy kąta β uzyskano dla modelu uroszczonego. W rzyadku ruchu robota o lodzie, dla założonego rzebiegu rędkości okazało się, że nie jest możliwy jego ruch, co wynika z rzyjętych założeń modelu, że składowe wzdłużne sił reakcji odłoża nie mogą rzekroczyć wartości tarcia rozwiniętego. Z kolei biorąc od uwagę model dokładny, okazuje się, że możliwy jest ruch robota w ograniczonym zakresie kąta β, rzy czym z uwagi na wystęujące duże wartości oślizgu rzeczywista rędkość ruchu robota istotnie różni się od założonej, tj. wystęują błędy większe niż 5%. Na rysunkach 4 i 5 okazano wybrane wyniki symulacji uzyskane dla modelu uroszczonego, zakładając ruch robota o odłożu betonowym o kącie ochylenia β = 15 [ o ] z maksymalną rędkością wynoszącą odowiednio v max =,5 [m/s] oraz v max = 1, [m/s]. a) b) 2 [Nm] ys. 4. Wyniki symulacji ruchu robota ze zmienną rędkością o odłożu betonowym, v max =,5 [m/s], β = 15 [ o ] model uroszczony a) b) 2 [Nm] F x [N] F z [N] F z [N] ys. 5. Wyniki symulacji ruchu robota ze zmienną rędkością o odłożu betonowym, v max = 1, [m/s], β = 15 [ o ] model uroszczony F x [N] F z [N] F z [N]

9 ANALIZA MOBILNOŚCI OBOTA TZYKOŁOWEGO NA BAZIE JEGO MODELU 273 Analizując zarezentowane wyniki symulacji dla modelu uroszczonego (rys. 4-5), można zauważyć, że w rzyadku zadanej większej rędkości ruchu wystęują większe maksymalne wartości momentów naędowych, co jest związane z większymi maksymalnymi wartościami rzysieszeń odczas rozędzania i hamowania. W rzyadku ruchu robota o odłożu betonowym o kącie ochylenia β = 15 [ o ] składowa wzdłużna siły reakcji odłoża dla rzednich kół jezdnych (rys. 5b) osiąga wartość maksymalną, tj. odowiadająca tarciu rozwiniętemu (F x = μ F z ). Przyadek ten jest zatem graniczny. Na rysunkach 6 i 7 okazano z kolei wyniki analogicznych symulacji dla modelu dokładnego. Dla rędkości maksymalnej v max =,5 [m/s] uzyskano zbliżone wyniki symulacji w stosunku do modelu uroszczonego (or. rys. 4 i 6). Istotną różnicą jest to, że w oczątkowej azie ruchu robota, wskutek wystęujących oślizgów kół jezdnych, wystęują chwilowo duże wartości składowej wzdłużnej siły reakcji odłoża dla rzednich kół jezdnych oraz duże wartości momentów naędowych. Większe różnice w wynikach symulacji dla modelu dokładnego w stosunku do modelu uroszczonego wystęują rzy większej maksymalnej rędkości ruchu robota, wynoszącej n. v max = 1 [m/s], co wynika m.in. z większych wartości rzysieszeń. W tym rzyadku większą rolę odgrywają więc oślizgi kół jezdnych. Analizując wyniki takiej symulacji (rys. 7), można zauważyć, że zadany ruch robota nie może być zrealizowany z wymaganą dokładnością. Ze względu na wystęujące oślizgi kół jezdnych robot nie może rozędzać się z założonym rzysieszeniem. W związku z tym w oczątkowej azie ruchu robota jego rędkość jest mniejsza od zadanej, rzy czym błąd tej rędkości jest większy niż zakładane 5% (rys. 7c). W trakcie rozędzania robota składowa wzdłużna siły reakcji odłoża osiąga wartość maksymalną odowiadającą wartości siły tarcia rozwiniętego (rys. 7b). Z tego aktu wynika z kolei ograniczenie momentu naędowego, które owinno być wrowadzone rzez sterownik robota w trakcie rozędzania (rys. 7a). W rzyadku modelu uroszczonego, omijającego wystęowanie oślizgu kół jezdnych, rzebieg momentu naędowego jest bardziej regularny i wynika bezośrednio z zadanego rzysieszenia (rys. 5a). a) b) 2 [Nm] F x [N] F z [N] F z [N] ys. 6. Wyniki symulacji ruchu robota ze zmienną rędkością o odłożu betonowym, v max =,5 [m/s], β = 15 [ o ] model dokładny

10 274 M. TOJNACKI, K. KUC a) 2 [Nm] b) 4 F x [N] F z [N] F z [N] c) v [m/s] v d [m/s] ys. 7. Wyniki symulacji ruchu robota ze zmienną rędkością o odłożu betonowym, v max = 1, [m/s], β = 15 [ o ] model dokładny 5. PODSUMOWANIE W ramach racy zarezentowano wyniki analizy mobilności robota dla różnego rodzaju terenu, badając rzede wszystkim wływ jego różnego ochylenia. Przeanalizowano także douszczalny zakres kąta rzechylenia terenu. W badaniach skuiono się na rzyadku ruchu odłużnego robota o równym odłożu o różnych właściwościach. Zastosowano dokładny model dynamiki robota uwzględniający wystęowanie oślizgów kół jezdnych oraz model uroszczony zakładający toczenie się kół bez oślizgu. Z wykonanych badań wynikają nastęujące główne wnioski: Douszczalny zakres kąta rzechylenia terenu w ruchu odłużnym robota zależy od wartości wsółczynnika rzyczeności omiędzy oonami robota, a odłożem oraz od ołożenia środka masy robota. Douszczalny zakres kąta ochylenia terenu zależy od rzebiegu zadanej rędkości ruchu robota, tzn. rzede wszystkim od maksymalnych wartości rędkości i rzysieszenia, od ołożenia środka masy robota oraz wsółczynników rzyczeności i oorów toczenia. Zakres ten jest ograniczony rzede wszystkim ze względu na siły tarcia wystęujące na styku oon robota z odłożem. Jest on najszerszy dla rzyadku ruchu robota ze stałą rędkością, co jest związane z brakiem rzysieszeń. Zastosowane naędy robota nie wrowadzają ograniczeń na jego ruch w analizowanym zakresie kątów ochylenia terenu. Składowe normalne sił reakcji odłoża dla ruchu odłużnego robota ze stałą rędkością nie zależą od rodzaju odłoża, o którym się on orusza. W rzyadku dokładnego modelu dynamiki robota, wskutek wystęujących oślizgów kół jezdnych, rędkość ruchu korusu robota różni się od wartości wynikającej z zadanej rędkości kątowej obrotu własnego naędzanych kół jezdnych. Z tego względu oisany w racy uroszczony model dynamiki robota może być stosowany do analizy mobilności w zakresie niewielkich rędkości i rzysieszeń, których wartości zależą od rozatrywanego robota.

11 ANALIZA MOBILNOŚCI OBOTA TZYKOŁOWEGO NA BAZIE JEGO MODELU 275 LITEATUA 1. Sandin P.: obot Mechanisms and Mechanical Devices Illustrated. New York: McGraw- Hill Trojnacki M.: Modelling the motion o the mobile hybrid robot. "International Journal o Alied Mechanics and Engineering" 21, 15(3), Trojnacki M.: Modelowanie i symulacja ruchu mobilnego robota trzykołowego z naędem na rzednie koła z uwzględnieniem oślizgu kół jezdnych. "Modelowanie Inżynierskie" 211, nr 41, t. 1, s Trojnacki M., Szynkarczyk P., Andrzejuk A.: Tendencje rozwoju mobilnych robotów lądowych (1). Przegląd robotów mobilnych do zastosowań secjalnych. "Pomiary Automatyka obotyka" 28, 6, s Wong J.Y.: Theory o Ground Vehicles. 3rd ed. New York: John Wiley&Sons, 21. MOBILITY ANALYSIS OF A THEE-WHEELED MOBILE OBOT BASED ON ITS MODEL Summary. In this aer the mobility o a three-wheeled mobile robot is analyzed based on its model. Two versions o the robot s model are used in the research, i.e., the simliied one and the accurate one. Both models consider wheel-ground contact conditions. The accurate model o the robot takes additionally into account wheels sli. The analysis o the robot's mobility is limited to the cases o its motion with the desired velocity on the ground with various sloes and mechanical roerties. The results o research are resented in aggregate orm and in the orm o selected simulations erormed using Matlab/Simulink ackage.