Drgania układu o wielu stopniach swobody

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Drgania układu o wielu stopniach swobody"

Transkrypt

1 Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach sztywności k j oraz elementów tłumiących o współczynnikach tłumienia c j (j=,,..., n+. Na poszczególne ciała działają siły harmoniczne Pi ( t = P0 i sin( ωt + ϕi o jednakowych częstościach kołowych, gdzie: P 0 amplituda siły działającej na i-te ciało, ω częstość kołowa (częstość i-tej siły i wymuszającej, φ i kąt przesunięcia fazowego i-tej siły. Pomijamy tarcie oraz zakładamy, że m i, k j oraz c j są stałe. k m x k m x k 3 k n m n x n k n+ P ( t P ( t n n Pn ( t n+ n+ c c c 3 c n c n+ Układ złożony z n ciał układ o n stopniach swobody

2 Równania dynamiki układu stanowi układ n równań o postaci m && x = P + +, &&, (4.33 m x = P m && x = P + +, n n n n n n+ n+ gdzie: = kx, = cx& siły z jaką element sprężysty i element tłumiący działają na ciało nr ; j k j x j x j = (, j = j (& j & j siły z jaką element sprężysty i element tłumiący działają na ciało nr j (j =, 3,..., n-; n+ n+ n c x x = c x& siły z jaką element sprężysty i element tłumiący działają na ciało nr n. n+ n+ n Układ równań (4.33, po uporządkowaniu, można zapisać w postaci m && x + ( c + c x& c x& + ( k + k x k x = P, m && x c x& + ( c + c x& c x& k x + ( k + k x k x = P, ( m && x c x& + ( c + c x& k x + ( k + k x = P n n n+ n n n+ n n+ n n n+ 3 n lub w postaci macierzowej = k x,

3 M q&& + C q& + K q = p, (4.35 m m 0 M = = diag gdzie: ( m, m,..., mn 0 0 m n macierz bezwładności (mas, (4.36 c + c c 0 0 c c + c c C = 0 c3 c3 + c4 0, macierz bezwładności (mas, ( c + c c n n n c c + c n n n+ k + k k 0 0 k k + k k K = 0 k3 k3 + k4 0 macierz sztywności, ( k + k k n n n k k + k n n n+ q = ( x, x,..., x wektor współrzędnych uogólnionych, col n p = ( P, P,..., P wektor sił uogólnionych. col n

4 W przypadku szczególnym, dla układu o dwóch stopniach swobody, równania dynamiki upraszczają się do postaci: m && x + ( c + c x& c x& + ( k + k x k x = P, m && x c x& c x& k x k x, ( = 0 k m x k m x P ( t c c Przykładowy układ o stopniach swobody co w zapisie macierzowym ma postać (4.35, gdzie: m 0 M = 0 m, c + c c C = c c, q = col ( x, x, = col ( P, 0 k + k k K = k k, (4.40 p. (4.40

5 Gdyby dodatkowo przyjąć, że k = k = k, c = c = c, m = m = m, to uprości się do postaci: m 0 c c M = 0 m, C = c c, k k K = k k. (4.4 k =k m =m x m =m x k =k ( P t = P sinωt 0 Układ o -ch stopniach swobody wymuszany siłą harmoniczną o stałej amplitudzie

6 Rozwiązaniem równania (4.35, podobnie jak dla układu o stopniu swobody, jest suma całki ogólnej (p = 0 oraz całki szczególnej w rozpatrywanym przypadku przy wymuszeniach harmonicznych ( p = p 0 sinωt. Jest to zatem złożenie ruchu swobodnego oraz ruchu wymuszonego. Drgania swobodne otrzymuje się w wyniku rozwiązania równania (4.35, przy p = 0, skąd M q&& + C q& + K q = 0. (4.4 Przyjmując dalej, że pomijamy tłumienie (C = 0, otrzymujemy równanie drgań własnych (swobodnych nietłumionych o postaci M q&& + K q = 0. (4.43 Rozwiązanie powyższego równania zakładamy w postaci harmonicznej q q sinω t, (4.44 = 0 co po podstawieniu do (4.43 daje ( ω 0 ω K 0 M q0 sin 0t = 0. (4.45

7 Równanie (4.44 jest spełnione dla dowolnej chwili czasu, gdy ( ω 0 K M q0 = 0. (4.46 Powyższe równanie ma rozwiązania nietrywialne (niezerowe, gdy spełniony jest warunek ( ω ( 0 λ det K M = det K M = 0, (4.47 gdzie: λ = ω 0, ω0 - częstość drgań własnych układu. Równanie (4.47 przedstawia wielomian n-tego stopnia ze względu na λ, gdzie n liczba stopni swobody układu. Miejscami zerowymi (pierwiastkami tego wielomianu są λ, λ,..., λ n, którym odpowiadają częstości drgań własnych: ω0, ω0,..., ω 0n. Każdej częstości ω 0i, na podstawie (4.46, odpowiada wektor q 0i, nazywany wektorem postaci drgań własnych. Wektor postaci drgań własnych odpowiadający i-tej częstości własnej obliczamy z równania ( ω 0i Ze względu na fakt, iż ( ω0 i K M q0i = 0. (4.48 K M, wektor q 0i obliczany jest z dokładnością do stałego mnożnika. Oznacza to, że det = 0 wektor ten pomnożony przez dowolną stałą także spełnia równanie (4.48. Zwykle wektory te normuje się tak, aby pierwsza lub największa składowa tego wektora miała wartość.

8 Dla rozpatrywanego układu o -ch stopniach swobody (rys. 4.5 mamy: det ( K λm ( k + k k m 0 k + k λm k = det λ k k 0 m = = k k λm = ( k + k λm ( k λm k = m m λ + m k m ( k + k λ + k k =, ( skąd otrzymujemy: ( ( mk + m k + k mk + m k + k 4mm kk λ = ω0 =, m m λ m ( ( k + m k + k + mk + m k + k 4mm kk = ω =. ( m m Jeżeli przykładowo, dodatkowo założymy, że m m m = =, k k k = =, to otrzymamy: ( mk + mk mk + mk 4m k 3 5 k k λ = ω0 = = = 0,38 m m m λ ( mk + mk + mk + mk 4m k 3+ 5 k k = ω = = =,68, (4.5 0 m m m k k k k ω = =, ω 0 =, 68 =, 68. m m m m kąd: 0 0, 38 0, 68

9 Uwzględniając powyższe w (4.48, oraz przyjmując q 0 i, =, otrzymujemy: q 0, k k m 0, 38 = m =,68 k q, 0, k k m,68 = m = 0,68. (4.5a k Zatem wektory postaci drgań własnych są równe: q 0 =,68, q 0 = 0,68. (4.5b Oznacza to, że układ przy wzbudzonych częstościach drgań własnych drga jak na rysunku. Drgania własne układu o -ch stopniach swobody; częstości i postacie drgań

10 Drgania wymuszone sygnałem harmonicznym o postaci ( P0 i ( ωt ϕi ( P0 i, s ωt P0 i, c ωt p = col sin + = col sin + cos = ( 0 i, s ( 0 i, c = col P sinωt + col P cosωt = p sinωt + p cosωt, (4.53 0,s 0,c gdzie: p = col ( P = col ( P cosϕ, = col ( P = col ( P sinϕ 0,s 0 i, s 0i i przesunięcia fazowego wymuszenia, ω częstość wymuszenia. p 0,c 0 i, c 0i i, P 0i amplituda siły wymuszającej, i ϕ kąt Dla układów liniowych (macierze bezwładności, tłumienia i sztywności są stałe przewiduje się rozwiązania w postaci harmonicznej o postaci q = q0,s sinωt + q 0,c cosωt, (4.54 gdzie: q = col ( q = col ( q cosψ, q = col ( q = col ( q sinψ 0,s 0 i, s 0i i 0,c 0 i, c 0i i, q 0i amplituda i-tego przemieszczenia drgań wymuszonych, ψ i kąt przesunięcia fazowego i-tego przemieszczenia drgań wymuszonych, ω częstość drgań równa częstości wymuszenia. Po podstawieniu (4.53 i (4.54 do (4.35 otrzymujemy ( sin t ( K ω M q ωc q ω + K ω M q ωc q cosωt 0,s 0,c 0,c o,s = p sinωt + p 0,s 0,c cosωt (4.55

11 Równanie (4.55 jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy lewe i prawe strony są tożsamościowo sobie równe, a więc gdy: ( ω ( ω K M q0,s ωc q0,c = p 0,s, ω K M q0,c + C q0,s = p 0,c. (4.56 Z rozwiązania powyższego układu równań macierzowych otrzymujemy wektory przemieszczeń: ( q ( q ψ q 0,s = col 0i,s = col 0icos i, q = col( q = col( q sinψ, 0,c 0i,c 0i i skąd: q0 i, s = q0i cos ψi, q0 i, c = q0i sin ψi, a zatem: 0i 0 i, s 0 i, c q = q + q, (4.57a q ψ i = arctg q 0 i, c 0 i, s. (4.57b

12 Dla analizowanego przykładu układu o -ch stopniach swobody (rys. 4.53, obciążonego siłą P = Po sin ωt, przy założeniu, że masy i współczynniki sztywności są równe oraz pomijamy tłumienie, mamy: P 0 = P 0, P 0 = 0, ϕ = 0, a więc P 0 0 ( 0, P sinωt ωt ωt p = col 0 = sin = p 0,s sin. Zatem równania (4.56 przyjmują postać: k k m ω ω = k k 0 m 0 0 q0,s q0,c p 0,s, (4.58a k k m ω ω k k = 0 m q0,c 0 0 q0,s 0. (4.58b Z (4.58b otrzymujemy skąd: zaś z (4.58a k k m 0 ω = k k 0 m q0,s 0,s p, (4.59a k ω m k q0,s = p 0,s, (4.59b k k ω m q0,c = 0. (4.59c

13 Równanie (4.59a można zapisać w postaci układu dwóch równań: ( ω k m q0, s kq0, s P0 =, ( ω kq + k m q =, 0, s 0, s 0 skąd, po przekształceniach, otrzymujemy: q q k ω m = P, (4.60a k + k m k m ( ω ( ω 0, s 0 k = P. (4.60b k + k m k m ( ω ( ω 0, s 0 Można wykazać, że pierwiastkami mianownika są częstości odpowiadające częstościom drgań własnych układu: ω 0, ω 0. Zatem wykres amplitud drgań ma dwie asymptoty pionowe, jak przedstawiono na rysunku. Dla częstości rezonansowych amplituda drgań rośnie do nieskończoności (w przypadku braku tłumienia.

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Drgania wymuszone

MECHANIKA II. Drgania wymuszone MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Drgania. Siła harmoniczna

Wykład 6 Drgania. Siła harmoniczna Wykład 6 Drgania Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus albo

Bardziej szczegółowo

WIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów

WIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów LABORATORIUM DRGANIA I WIBROAUSTYA MASZYN Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Zakład Wibroakustyki i Bio-Dynamiki Systemów Ćwiczenie nr WIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów

Bardziej szczegółowo

Projekt nr 4. Dynamika ujęcie klasyczne

Projekt nr 4. Dynamika ujęcie klasyczne Projekt nr 4 Dynamika POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt nr 4 Dynamika ujęcie klasyczne Konrad Kaczmarek

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Roman Lewandowski Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2006 Książka jest przeznaczona dla studentów wydziałów budownictwa oraz inżynierów budowlanych zainteresowanych

Bardziej szczegółowo

WYKAZ TEMATÓW Z LABORATORIUM DRGAŃ MECHANICZNYCH dla studentów semestru IV WM

WYKAZ TEMATÓW Z LABORATORIUM DRGAŃ MECHANICZNYCH dla studentów semestru IV WM WYKAZ TEMATÓW Z LABORATORIUM DRGAŃ MECHANICZNYCH dla studentów semestru IV WM 1. Wprowadzenie do zajęć. Równania Lagrange'a II rodzaju Ćwiczenie wykonywane na podstawie rozdziału 3 [1] 2. Drgania swobodne

Bardziej szczegółowo

1.5 Badanie drgań modelu cząsteczki czteroatomowej(m20)

1.5 Badanie drgań modelu cząsteczki czteroatomowej(m20) Badanie drgań modelu cząsteczki czteroatomowej(m20) 37 1.5 Badanie drgań modelu cząsteczki czteroatomowej(m20) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie widma drgań układu czterech wahadeł sprzężonych oraz wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA

DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA Parametry przekrojów belek: E=205MPa=205 10 6 kn m 2 =205109 N m 2 1 - IPE 220 Pręty: 1, 3, 4: I y =2770cm 4 =0,00002770 m 4 EI =5678500 Nm 2 A=33,4 cm 4 =0,00334 m 2 EA=684700000

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. 1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej

Bardziej szczegółowo

WIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów

WIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych materiałów LABORATORIUM WIBROAUSTYI MASZYN Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Instytut Mechaniki Stosowanej Zakład Wibroakustyki i Bio-Dynamiki Systemów Ćwiczenie nr WIBROIZOLACJA określanie właściwości wibroizolacyjnych

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:

Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: . Katapultowanie pilota z samolotu Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: gdzie D - siłą ciągu, Cd współczynnik aerodynamiczny ciągu, m - masa pilota i fotela, g przys. ziemskie, ρ - gęstość

Bardziej szczegółowo

Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.

Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ruch drgajacy dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne Drgania oscylacje to cykliczna

Bardziej szczegółowo

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,

Bardziej szczegółowo

Mechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych

Mechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych Mechanika analityczna. Małe drgania układów zachowawczych. Drgania swobodne układów o jednym stopniu swobody.. Wprowadzenie teoretyczne Załóżmy, że układ materialny o jednym stopniu swobody i więzach idealnych,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza

Bardziej szczegółowo

Podstawowe człony dynamiczne

Podstawowe człony dynamiczne . Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07) Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością

Bardziej szczegółowo

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1

Część ZADANIA - POWTÓRKA ZADANIA - POWTÓRKA. Zadanie 1 Część 6. ZADANIA - POWTÓRKA 6. 6. ZADANIA - POWTÓRKA Zadanie Wykorzystując metodę przemieszczeń znaleźć wykres momentów zginających dla ramy z rys. 6.. q = const. P [m] Rys. 6.. Rama statycznie niewyznaczalna

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Drgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński

Drgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

MODEL DYNAMICZNY STRUKTURY ŚMIGŁOWCA Z UWZGLĘDNIENIEM WARUNKÓW KONTAKTOWYCH PODWOZIE - PODŁOŻE

MODEL DYNAMICZNY STRUKTURY ŚMIGŁOWCA Z UWZGLĘDNIENIEM WARUNKÓW KONTAKTOWYCH PODWOZIE - PODŁOŻE MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 44, s. 91-100, Gliwice 2012 MODEL DYNAMICZNY STRUKTURY ŚMIGŁOWCA Z UWZGLĘDNIENIEM WARUNKÓW KONTAKTOWYCH PODWOZIE - PODŁOŻE TOMASZ GORECKI Instytut Lotnictwa, e-mail:

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie dipolowe

Promieniowanie dipolowe Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 1 6. 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: trzy składowe

Bardziej szczegółowo

Badania doświadczalne drgań własnych nietłumionych i tłumionych

Badania doświadczalne drgań własnych nietłumionych i tłumionych Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl fb.com/imiopolsl twitter.com/imiopolsl LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Badania

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA OGÓLNA (II)

MECHANIKA OGÓLNA (II) MECHNIK GÓLN (II) Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Liczba godzin: sem. II *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. sem. III *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz., ale

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR Wydział Mechaniczny PWR KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Mechanika analityczna Nazwa w języku angielskim: Analytical Mechanics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność

Bardziej szczegółowo

RUCH DRGAJĄCY RZESZOTA PRZESIEWACZA DWUCZĘSTOŚCIOWEGO**

RUCH DRGAJĄCY RZESZOTA PRZESIEWACZA DWUCZĘSTOŚCIOWEGO** Górnictwo i Geoinżynieria Rok 34 Zeszyt 4/1 2010 Remigiusz Modrzewski*, Piotr Wodziński* RUCH DRGAJĄCY RZESZOTA PRZESIEWACZA DWUCZĘSTOŚCIOWEGO** 1. Wstęp Przesiewacz dwuczęstościowy zbudowany jest z dwóch

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

FIZYKA 2. Janusz Andrzejewski

FIZYKA 2. Janusz Andrzejewski FIZYKA wykład 7 Janusz Andrzejewski Niedoceniany geniusz Nikola Tesla Nikola Tesla wynalazł (lub znakomicie ulepszył) większość urządzeń, które spowodowały to, że prąd zmienny wyparł z naszych domów prąd

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Dynamiki Maszyn

Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016

TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016 TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016 I. KINEMATYKA RUCHU POSTE POWEGO 1. Ruch jednowymiarowy 1.1. Prędkość (a) Prędkość średnia (b) Prędkość chwilowa (prędkość) 1.2. Przyspieszenie (a) Przyspieszenie średnie

Bardziej szczegółowo

SIŁA JAKO PRZYCZYNA ZMIAN RUCHU MODUŁ I: WSTĘP TEORETYCZNY

SIŁA JAKO PRZYCZYNA ZMIAN RUCHU MODUŁ I: WSTĘP TEORETYCZNY SIŁA JAKO PRZYCZYNA ZMIAN RUCHU MODUŁ I: WSTĘP TEORETYCZNY Opracowanie: Agnieszka Janusz-Szczytyńska www.fraktaledu.mamfirme.pl TREŚCI MODUŁU: 1. Dodawanie sił o tych samych kierunkach 2. Dodawanie sił

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 6 IZOLACJA DRGAŃ MASZYNY. 1. Cel ćwiczenia

Ćwiczenie 6 IZOLACJA DRGAŃ MASZYNY. 1. Cel ćwiczenia Ćwiczenie 6 IZOLACJA DRGAŃ MASZYNY 1. Cel ćwiczenia Przeprowadzenie izolacji drgań przekładni zębatej oraz doświadczalne wyznaczenie współczynnika przenoszenia drgań urządzenia na fundament.. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

a = (2.1.3) = (2.1.4)

a = (2.1.3) = (2.1.4) . DRGANIA Fundamentalną ideą drgań są drgania harmoniczne proste. Termin harmoniczne ma informować, Ŝe funkcja opisująca drgania to funkcja typu sinus/cosinus, natomiast słowo proste Ŝe drgania nie są

Bardziej szczegółowo

Obwody prądu zmiennego

Obwody prądu zmiennego Obwody prądu zmiennego Prąd stały ( ) ( ) i t u t const const ( ) u( t) i t Prąd zmienny, dowolne funkcje czasu i( t) t t u ( t) t t Natężenie prądu i umowny kierunek prądu Prąd stały Q t Kierunek poruszania

Bardziej szczegółowo

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki): Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy

Bardziej szczegółowo

Analiza wpływu tłumienia wiskotycznego na charakterystyki dynamiczne belki

Analiza wpływu tłumienia wiskotycznego na charakterystyki dynamiczne belki Analiza wpływu tłumienia wiskotycznego na charakterystyki dynamiczne belki Roman Lewandowski, Mariusz Wróbel, Radosław PyŜanowski Poznań, maj 2009 Strona 1 1 Wstęp Kładki dla pieszych to zazwyczaj konstrukcje

Bardziej szczegółowo

Fizyka 2 Wróbel Wojciech

Fizyka 2 Wróbel Wojciech Fizyka w poprzednim odcinku 1 Prawo Faradaya Fizyka B Bd S Strumień magnetyczny Jednostka: Wb (Weber) = T m d SEM B Siła elektromotoryczna Praca, przypadająca na jednostkę ładunku, wykonana w celu wytworzenia

Bardziej szczegółowo

Egzamin 1 Strona 1. Egzamin - AR egz Zad 1. Rozwiązanie: Zad. 2. Rozwiązanie: Koła są takie same, więc prędkości kątowe też są takie same

Egzamin 1 Strona 1. Egzamin - AR egz Zad 1. Rozwiązanie: Zad. 2. Rozwiązanie: Koła są takie same, więc prędkości kątowe też są takie same Egzamin 1 Strona 1 Egzamin - AR egz1 2005-06 Zad 1. Rozwiązanie: Zad. 2 Rozwiązanie: Koła są takie same, więc prędkości kątowe też są takie same Zad.3 Rozwiązanie: Zad.4 Rozwiązanie: Egzamin 1 Strona 2

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia

MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Drgania Mechaniczne Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MBM 1 S 0 5 61-1_0 Rok: III Semestr: 5 Forma studiów: Studia stacjonarne

Bardziej szczegółowo

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ 3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

Drgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m

Drgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 119 W Y K Ł A D X Drgania. Drgania pojawiają się wtedy, gdy układ zostanie wytrącony ze stanu równowagi stabilnej. MoŜna przytoczyć szereg znanych przykładów: kołysząca

Bardziej szczegółowo

DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY

DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad8 2012/2013, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała zależy od naprężenia

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne. Oscylator harmoniczny Przykłady zastosowań. dr inż.

Plan wykładu. Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne. Oscylator harmoniczny Przykłady zastosowań. dr inż. Plan wykładu Ruch drgajacy 1 Przykłady zastosowań dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 01/13 Drgania wymuszone 3 Drgania zachodzace w tym samym kierunku

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2, Nr albumu: 75 201; rok akademicki 2010/11. ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Stateczność ram wersja komputerowa 1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU 26/406. Wydział Mechaniczny PWR

KARTA PRZEDMIOTU 26/406. Wydział Mechaniczny PWR Wydział Mechaniczny PWR KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Mechanika Analityczna Nazwa w języku angielskim: Analytical Mechanics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

DRGANIA MECHANICZNE. Poniższe materiały tylko dla studentów uczęszczających na zajęcia. Zakaz rozpowszechniania i powielania bez zgody autora.

DRGANIA MECHANICZNE. Poniższe materiały tylko dla studentów uczęszczających na zajęcia. Zakaz rozpowszechniania i powielania bez zgody autora. DRGANIA MECHANICZNE materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak część 3 drgania wymuszone siłą harmoniczną drgania

Bardziej szczegółowo

5. Ruch harmoniczny i równanie falowe

5. Ruch harmoniczny i równanie falowe 5. Ruch harmoniczny i równanie falowe 5.1. Mamy dwie nieważkie sprężyny o współczynnikach sprężystości, odpowiednio, k 1 i k 2. Wyznaczyć współczynnik sprężystości układu tych dwóch sprężyn w przypadku,

Bardziej szczegółowo

BADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC

BADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC Ćwiczenie 45 BADANE EEKTYZNEGO OBWOD EZONANSOWEGO 45.. Wiadomości ogólne Szeregowy obwód rezonansowy składa się z oporu, indukcyjności i pojemności połączonych szeregowo i dołączonych do źródła napięcia

Bardziej szczegółowo

Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude

Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do egzaminu Dynamika Systemów Elektromechanicznych

Materiały pomocnicze do egzaminu Dynamika Systemów Elektromechanicznych Materiały pomocnicze do egzaminu Dynamika Systemów Elektromechanicznych Studia Magisterskie IIgo stopnia Specjalności: PTiB, EiNE, APiAB, Rok I Opracował: dr hab. inż. Wiesław Jażdżynski, prof.nz.agh Kraków,

Bardziej szczegółowo

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0] Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym

Bardziej szczegółowo

Ψ(x, t) punkt zamocowania liny zmienna t, rozkład zaburzeń w czasie. x (lub t)

Ψ(x, t) punkt zamocowania liny zmienna t, rozkład zaburzeń w czasie. x (lub t) RUCH FALOWY 1 Fale sejsmiczne Fale morskie Kamerton Interferencja RÓWNANIE FALI Fala rozchodzenie się zaburzeń w ośrodku materialnym lub próżni: fale podłużne i poprzeczne w ciałach stałych, fale podłużne

Bardziej szczegółowo

2.6.3 Interferencja fal.

2.6.3 Interferencja fal. RUCH FALOWY 1.6.3 Interferencja fal. Pojęcie interferencja odnosi się do fizycznych efektów nie zakłóconego nakładania się dwóch lub więcej ciągów falowych. Doświadczenie uczy, że fale mogą przebiegać

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i

Bardziej szczegółowo

WSPOmAgANiE PROCESU PROjEkTOWANiA ORAz badań STRUkTURY NOWOPROjEkTOWANEj konstrukcji śmigłowca NA POdSTAWiE LEkkiEgO śmigłowca bezpilotowego

WSPOmAgANiE PROCESU PROjEkTOWANiA ORAz badań STRUkTURY NOWOPROjEkTOWANEj konstrukcji śmigłowca NA POdSTAWiE LEkkiEgO śmigłowca bezpilotowego PRACE instytutu LOTNiCTWA ISSN 0509-6669 232, s. 50 62, Warszawa 2013 WSPOmAgANiE PROCESU PROjEkTOWANiA ORAz badań STRUkTURY NOWOPROjEkTOWANEj konstrukcji śmigłowca NA POdSTAWiE LEkkiEgO śmigłowca bezpilotowego

Bardziej szczegółowo

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki. Mateusz Saków

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki. Mateusz Saków Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Mateusz Saków Nr albumu: 1974 Projekt z Mechatroniki Analiza układów drgających - nr przykładu. Kierunek studiów: Mechatronika Prowadzący: Dr hab. inż. Mirosław

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

Jakobiany. Kinematykę we współrzędnych możemy potraktować jako operator przekształcający funkcje czasu

Jakobiany. Kinematykę we współrzędnych możemy potraktować jako operator przekształcający funkcje czasu Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 1 Jakobiany Kinematykę we współrzędnych możemy potraktować jako operator przekształcający funkcje czasu ( t )z(t)=k(x(t)) Ponieważ funkcje w powyższym równaniu są

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość

Bardziej szczegółowo

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC

Podstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC Podstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Układ RC

Bardziej szczegółowo

3 Podstawy teorii drgań ośrodków ciągłych

3 Podstawy teorii drgań ośrodków ciągłych 3 Podstawy teorii drgań ośrodków ciągłych 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny o końcach

Bardziej szczegółowo

Zjawisko interferencji fal

Zjawisko interferencji fal Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności

Zasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności Zasady dynamiki Newtona Pęd i popęd Siły bezwładności Copyright by pleciuga@o2.pl Inercjalne układy odniesienia Układy inercjalne to takie układy odniesienia, względem których wszystkie ciała nie oddziałujące

Bardziej szczegółowo

Układ RLC z diodą. Zadanie: Nazwisko i imię: Nr. albumu: Grzegorz Graczyk. Nazwisko i imię: Nr. albumu:

Układ RLC z diodą. Zadanie: Nazwisko i imię: Nr. albumu: Grzegorz Graczyk. Nazwisko i imię: Nr. albumu: Politechnika Łódzka TIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 2009/2010 sem. 3. grupa II Zadanie: Układ z diodą Termin: 5 I 2010 Nr. albumu: 150875 Nazwisko i imię: Grzegorz Graczyk Nr. albumu: 151021

Bardziej szczegółowo

m q κ (11.1) q ω (11.2) ω =,

m q κ (11.1) q ω (11.2) ω =, OPIS RUCHU, DRGANIA WŁASNE TŁUMIONE Oga Kopacz, Adam Łodygowski, Kzysztof Tymbe, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Konsutacje naukowe: pof. d hab. Jezy Rakowski Poznań 00/00.. Opis uchu OPIS RUCHU

Bardziej szczegółowo

drgania h armoniczne harmoniczne

drgania h armoniczne harmoniczne ver-8..7 drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne () An cos( nω + ϕ n ) N n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k E p ( ) jeden sopień swobody: -A A E p

Bardziej szczegółowo

POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH

POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMST Semestr letni Wykład nr 3 Prawo autorskie Niniejsze

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczenia jednopłaszczyznowe wyważanie wirników

Instrukcja do ćwiczenia jednopłaszczyznowe wyważanie wirników Instrukcja do ćwiczenia jednopłaszczyznowe wyważanie wirników 1. Podstawowe pojęcia związane z niewyważeniem Stan niewyważenia stan wirnika określony takim rozkładem masy, który w czasie wirowania wywołuje

Bardziej szczegółowo

Mechanika Analityczna

Mechanika Analityczna Mechanika Analityczna Wykład 1 - Organizacja wykładu (sprawy zaliczeniowe, tematyka). Więzy i ich klasyfikacja Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej

Bardziej szczegółowo