ZASTOSOWANIE RACHUNKU UŁAMKOWEGO RZĘDU DO MODELOWANIA PEWNEJ KLASY GENERATORÓW NIELINIOWYCH

Transkrypt

1 ELEKTRYKA 4 Zeszyt (9) Rok LX Andrzej ZAWADZKI, Maciej WŁODARCZYK Politechnika Świętokrzyska w Kielcach ZASTOSOWANIE RACHUNKU UŁAMKOWEGO RZĘDU DO MODELOWANIA PEWNEJ KLASY GENERATORÓW NIELINIOWYCH Streszczenie. W pracy przedstawiono metodę linearyzacji nieliniowego równania stanu z zastosowaniem geometrycznej transformacji zmiennych stanu. Do konstrukcji tej transformacji wykorzystano elementy algebry Liego. Podano odpowiednie definicje i twierdzenia, na podstawie których dokonano linearyzacji nieliniowego równania stanu drugiego rzędu, opisującego pewien nieliniowy generator. Następnie w zlinearyzowanym równaniu, zmieniając operator różniczkowy pierwszego rzędu na operator rzędu ułamkowego, uzyskano liniowy ciągły układ ułamkowego rzędu, który rozwiązano stosując macierzowe funkcje Mittag-Lefflera. Uzyskane wyniki w porównaniu z rozwiązaniem równania pierwszego rzędu przedstawiono na wykresach. Obliczenia wykonano dla rzędów mniejszych i większych od jednego, co pozwoliło na wyciągnięcie pewnych wniosków. Słowa kluczowe: układ nieliniowy, linearyzacja, pochodna ułamkowego rzędu APPLICATION OF FRACTIONAL DIFFERENTIAL CALCULUS USED TO MODELING A CLASS OF NONLINEAR GENERATORS Summary. Linearization method for nonlinear equation of state by using the geometric transformation of the state variables is shown in the paper. Some elements of Lie algebra was used for the construction of this transformation. All necesary definitions and principles that are required to linearize the nonlinear state equation describing a second-order non-linear generator is shown. Continuous linear fractional system is the result of change of the first order differential operator on the order of the fractional operator in the linearized equation. It was solved by using matrix Mittag-Leffler functions. A comparison of the results with the solution of equations of the first order is made. The results are shown in diagrams. The calculations were made for the lower and higher than first orders of equations. Keywords: nonlinear system, linearization, fractional degree derivative

2 66 A. Zawadzki, M. Włodarczyk. WSTĘP Rzeczywiste układy fizyczne wykazują cechy nieliniowości oraz dodatkowo posiadają zmienne w czasie parametry. Badanie takich układów sprowadza się do analizy ich modelu matematycznego, który w ogólnym przypadku ma charakter nieliniowy. Znaczną ich część da się opisać za pomocą układu równań różniczkowych w postaci normalnej Cauchy ego [4, 8, ]. Dotyczy to dynamiki obwodów elektrycznych o parametrach skupionych, układów mechnicznych czy elektromechanicznych. Ponieważ teoria liniowych układów równań różniczkowych w formie Cauchy ego, tzn. rozwiązanych względem pierwszej pochodnej wektora stanu, jest wyczerpująco opracowana, więc poszukuje się zlinearyzowanych najlepiej liniowych modeli układów nieliniowych. Umożliwia to badanie dynamicznego zachowania się danego obiektu jako liniowego, a następnie powrót za pomocą transformacji odwrotnej do układu oryginalnego. Podejście takie może być przydatne podczas badań jakościowych układów, np.: zagadnień stabilności, sterowania czy istnienia rozwiązań okresowych. Ogólnie, nieliniowy model układu opisujący jego dynamikę w przestrzeni stanu można przedstawić za pomocą następującego układu równań: x f x(, u(, t y( h x(, u(, t gdzie: t czas, x ( pochodna wektora stanu x(, u( wektor wymuszeń, y( wektor odpowiedzi (wyjść), f i h funkcje nieliniowe. Współczesna teoria układów nieliniowych, w szczególności jej geometryczne ujęcie, uzyskała zasadnicze znaczenie w zastosowaniu do linearyzacji układów nieliniowych [, 9]. Pozwala w wielu przypadkach na przedstawienie układów nieliniowych za pomocą ich liniowych modeli. Modele takie powstają w wyniku działania transformacji linearyzującej transformującej układ nieliniowy przy użyciu zmiany współrzędnych w przestrzeni stanu. Zmiana taka polega na algebraicznej zamianie oryginalnych zmiennych stanu x( na nowe zmienne z(, ale przedstawione (opisujące układ) już w nowej przestrzeni stanu. Obrazowo działanie takiej transformacji linearyzującej transformującej układ nieliniowy przy użyciu zmiany współrzędnych w przestrzeni stanu można przedstawić następująco: S( x): x( z( () gdzie: S(x) transformacja linearyzująca, z( nowy wektor stanu. Metody te pozwalają na linearyzację (odsprzęganie i dekompozycję) układów nieliniowych () do następującej postaci liniowej: ()

3 Zastosowanie rachunku ułamkowego 67 d z( A z( B v( dt w( C z( () gdzie: z( i v( nowe wektory stanu i wymuszenia, A, B, C macierze odpowiednich wymiarów, w( wektor wyjść w zlinearyzowanym układzie. W niniejszej pracy rozważane będą układy nieliniowe opisane szczególną postacią układu (), danego następującym równaniem: d x( dt = f ( x( ) + m i g i ( x) ui, x R gdzie: f, g, g,, g m gładkie pola wektorowe określone na rozmaitości M = R n, nazywanej przestrzenią stanu. Do konstrukcji transformacji () wykorzystano elementy algebry Liego (własności grupowego działania, jakim są nawiasy Liego) [,, 6, 7]. n (4). PODSTAWOWE DEFINICJE I TWIERDZENIA W analizie układów nieliniowych na szczególną uwagę zasługuje operacja obejmująca pola wektorowe f oraz g określone na otwartym zbiorze M przestrzeni R n [, 4, 8]. Wynikiem operacji jest nowe gładkie pole wektorowe. Definicja. Niech f i g będą polami wektorowymi określonymi na rozmaitości M zawartej w R n. Nawiasami Liego pól wektorowych f i g nazywamy pole wektorowe, zdefiniowane zależnością: g f ad f g f g ( g) f ( f ) g (5) x x gdzie: operator Hamiltona, iloczyn skalarny, g,f gradienty pól wektorowych f i g. Twierdzenie. Układ nieliniowy dynamiczny (4) w otoczeniu punktu równowagi x o, tzn. f(x o ) =, jest transformowalny do układu liniowego: m z A z bi u i (6) i wtedy i tylko wtedy, kiedy spełnione są następujące dwa warunki w otoczeniu V punktu równowagi x o ( x V): j f i ; (a) dim( span{ ad g ( x)}) n; i m, j,, n k l (b) [ ad f gi, ad f g j]( x) ; i, j m, k, l.

4 68 A. Zawadzki, M. Włodarczyk Dowód twierdzenia przedstawiony został w pracy [8]. Intuicyjnie zbiór układów spełniających powyższe warunki jest dość ograniczony, dlatego układy, które nie dają się zlinearyzować, a jedynie transformują się do układów quasiliniowych mogą być dalej linearyzowane przez zastosowanie sprzężenia zwrotnego. Należy wówczas korzystać z połączenia (kombinacji) linearyzacji poprzez transformację zmiennych stanu i transformacji wymuszenia u( z zastosowaniem sprzężenia zwrotnego [4, 8, ]. Obrazowo wektor stanu w zlinearyzowanym układzie można przedstawić jako: Składowe transformacji S i (x); z S(x) + sprzężenie zwrotne układ równań różniczkowych pierwszego rzędu: i n ( S : x z ) wyznaczymy rozwiązując następujący i i, D, ad ni n ( f ) g c i, i n (7) lub rozpisując:, D n n ( f ), ad g c, D n (8) n n, ad, D n ( f ) g c n w którym kolejne dystrybucje W równaniach (8), D n ; i n mają postać: D D span g span g, ad( f ) g (9) n Dn span g, ad( f ) g,, ad( reprezentowanymi przez gradienty funkcji S (x). f ) i ; i n są formami różniczkowymi pierwszego rzędu i g. LINEARYZACJA UKŁADU NIELINIOWGO GENERATORA Prezentowane metody zastosowano do linearyzacji układu równań nieliniowych, opisujących nieliniowy układ oscylacyjny drugiego rzędu. Rozpatrzono dynamiczny układ nieliniowego generatora określonego na R + R + i opisanego następującym układem równań:

5 Zastosowanie rachunku ułamkowego 69 x x x x ln x ln x x u () x o, oraz wymuszenie u = (. Wyznaczając składowe transformacji, otrzymujemy: i niech T z z S ( x, x S ( x, x ) ln x ) ln x Zatem, układ nieliniowy w nowych współrzędnych (z (, z () przyjmuje postać liniową opisaną następującym układem równań: () d d t z z z z u () dla: ), z () S (,), S (,), z. ( Rozwiązując równanie () i korzystając następnie z zależności (), łatwo wyznaczyć rozwiązania układu nieliniowego (6) w zależności od czasu o postaci: x exp[ cost] x exp[sin t] Powyższa transformacja jest zdefiniowana globalnie na R + R +. () 4. MODEL UŁAMKOWY ZLINEARYZOWANEGO RÓWNANIA Zjawiska zachodzące w układach nieliniowych nie zawsze znajdują potwierdzenie w eksperymentach. Dlatego dla dokładniejszego opisu rzeczywistego obwodu podejmuje się próby zastosowania pochodnych lub całek dowolnego niecałkowitego rzędu []. Stosując rachunek różniczkowy niecałkowitego rzędu do zlinearyzowanego równania (), otrzymuje się liniowy ciągły układ ułamkowego rzędu opisany w przestrzeni stanu zdefiniowany następująco: Definicja. Liniowym ciągłym układem ułamkowego rzędu opisanym w przestrzeni stanu nazywamy układ dany następującymi równaniami: d x( A x( Bu( dt y( C x( Du k (4)

6 7 A. Zawadzki, M. Włodarczyk Rozwiązaniem tego jest relacja [5]: t x Φ x() Φ( t ) Bu( ) d (5) gdzie: Φ, Φ( są funkcjami macierzowymi Mittag-Lefflera dane szeregami: k k k ( k ) k ( k ) k ( k) A t A t Φ, Φ( (6) a Γ(α) jest funkcją Eulera. Wyznaczenie rozwiązania (5) nie jest proste, ponieważ w związkach dla (5-6) występują szeregi funkcyjne nieskończone. Mimo to można otrzymać wartości funkcji przedstawionych przez te szeregi, biorąc sumę odpowiedniej liczby wyrazów tych szeregów x - pochodna rzedu i alfa=.9 alfa =.9 alfa =.5 x - pochodna rzedu i alfa=.9 alfa =.9 alfa = Rys.. Porównanie przebiegu zmiennych a) x ( i b) x ( pierwszego rzędu i ułamkowego rzędu α=.9 Fig.. Comparison of variable courses a) x ( and b) x ( of the first order and of the fractional order α= x - pochodna rzedu i alfa=.5 alfa =.5 alfa =.5 x - pochodna rzedu i alfa=.5 alfa =.5 alfa = Rys.. Porównanie przebiegu zmiennych a) x ( i b) x ( pierwszego rzędu i ułamkowego rzędu α=.5 Fig.. Comparison of variable courses a) x ( and b) x ( of the first order and of the fractional order α=.5

7 x x x x Zastosowanie rachunku ułamkowego 7 5 x - pochodna rzedu i alfa=. alfa =. alfa =.5 x - pochodna rzedu i alfa=. alfa =. alfa = Rys.. Porównanie przebiegu zmiennych a) x ( i b) x ( pierwszego rzędu i niecałkowitego rzędu α=. Fig.. Comparison of variable courses a) x ( and b) x ( of the first order and of the non-integer order α=,.5 alfa =.9 alfa =.5 alfa =.5 alfa = x x Rys. 4. Trajektorie fazowe równania pierwszego rzędu i ułamkowych rzędów a) α=.9; b) α=.5 Fig. 4. Phase trajectories of st order and fractional order equations a) α =,9; b) α =,5.5 alfa =. alfa =.5 alfa =.5 alfa = x x Rys. 5. Trajektorie fazowe równania pierwszego rzędu i niecałkowitych rzędów a) α=.; b) α=.5 Fig. 5. Phase trajectories of st order and non-integer order equations a) α =.; b) α =.5

8 7 A. Zawadzki, M. Włodarczyk I tak, na rysunkach, i przedstawiono przebiegi zmiennych stanu dla równań rzędów ułamkowych α=.9, α=.5 i α=.. Na podstawie tych wykresów można stwierdzić, że oscylacje zmiennych stanu dla rzędów α < są tłumione, natomiast dla α > są wzmacniane. Obserwując ich trajektorie fazowe rys. 4 i 5 - dla rzędów α <, położone są wewnątrz trajektorii dla rzędu pierwszego, a dla rzędów α < na zewnątrz. 5. PODSUMOWANIE Analiza układów nieliniowych, zwłaszcza w stanach dynamicznych należy do bardzo trudnych zadań teorii obwodów. W większości przypadków nie istnieje rozwiązanie analityczne problemu, a jedyną drogą uzyskania informacji o przebiegach prądów i rozkładach napięcia są przybliżone metody całkowania numerycznego. Są one wprawdzie uniwersalne i stosowane do dowolnej liczby równań różniczkowych, ale mają poważne problemy ze stabilizacją i dokładnością rozwiązania, jeśli równania są sztywne i źle uwarunkowane. Powszechna jest opinia, że do uzyskania dobrych wyników całkowania równań nieliniowych potrzebna jest wstępna znajomość rozwiązania problemu. Dlatego transformacja opisu nieliniowego w liniowy poprzez linearyzację (zapewniającą równoważność lokalną dynamiki układu) jest bardzo przydatna w rozwiązywaniu praktycznych problemów, dotyczących zachowania się obiektów nieliniowych. Pozwala nie tylko na uproszczenie procesu analizy takich układów, ale na uniknięcie wielu problemów związanych z nieliniowością układu. Analizując rozwiązania równań ułamkowego rzędu, zauważono, że dla rzędów α coraz mniejszych od jeden następuje coraz większe tłumienie oscylacji zmiennych stanu, natomiast zwiększanie rzędu powyżej jeden powoduje ich wzmacnianie, co potwierdzają przebiegi ich trajektorii fazowych. BIBLIOGRAFIA. Bourbaki N.: Lie groups and Lie algebras. Springer, Berlin 998, Chapters, Lie groups and Lie algebras, Springer, Berlin, Chapters Bump D.: Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 4, vol. 5.. Gancarzewicz J., Opozda B.: Wstęp do geometrii różniczkowej. Wyd. UJ, Kraków. 4. Isidori A.: Nonlinear Control Systems. Springer, Berlin Kaczorek T.: Fractional positive linear system and electrical circuits. Przegląd Elektrotechniczny 8, nr 9, s. 5-4.

9 Zastosowanie rachunku ułamkowego 7 6. Krzemiński S., Zawadzki A.: Linearyzacja układu równań Lagrange a metodą geometryczną. SPETO 99, Gliwice-Ustroń 999, s Krzemiński S., Zawadzki A.: Geometric approach to modelling of nonlinear electrical networks. SPETO'. Gliwice, s Nijmeijer H., van der Schaft A.J.: Nonlinear Dynamical Control Systems. Springer- Verlag, New York Oprea J.: Geometria różniczkowa i jej zastosowania. PWN, Warszawa.. Osowski S.: Modelowanie i symulacja układów i procesów dynamicznych. Wydawnictwo OWPW, Warszawa 7.. Włodarczyk M., Zawadzki A.: Connecting a Capacitor to Direct Voltage in Aspect of Fractional Degree Derivatives. Przegląd Elektrotechniczny 9, nr, p. -.. Zawadzki A.: Analiza porównawcza metod wyznaczania transformacji linearyzujących nieliniowe równania stanu układu. Przegląd Elektrotechniczny (w druku). Dr inż. Andrzej Zawadzki, Dr hab. inż. Maciej Włodarczyk, prof. PŚk. Politechnika Świętokrzyska Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Al. -lecia Państwa Polskiego Kielce a.zawadzki@tu.kielce.pl m.wlodarczyk@tu.kielce.pl