2.8. WYTĘŻENIE Wprowadzenie. , przez następujące stany mechaniczne (rys. 1): Rys. 1. granicę sprężystości, R

Transkrypt

1 .8. WYTĘŻENIE.8.. Wrowadzee Wytężeem azywamy sta mechaczy cała będący astęstwem zma jego właścwośc fzyczych struturalych sowodowaych obcążeem go słam zewętrzym. W rzyadu materału eobcążoego zmay tae e wystęują zatem jego wytężee jest rówe zeru. Oreślee stau mechaczego w dowolym uce cała jeśl zaa jest w tym uce macerz arężeń jest łatwe tylo w rzyadu rostego rozcągaa edy to zaś ozostałe elemety macerzy arężeń są rówe zeru. Z wyresu rozcągaa stal męej wya że ut cała zajdujący sę w tam jedoosowym stae arężeń rzechodz w trace zwęszaa arężea rzez astęujące stay mechacze (rys. ): lowo-srężysty H elowo-srężysty srężysto-lastyczy lastyczy e H < < s m s e ys. a rzy m osąga sta szczący gdyż w tam rzyadu sójość medzy utam materalym zostae zerwaa. Powyżej H ozacza gracę roorcjoalośc (stosowalośc rawa HOOKE A) s gracę srężystośc e gracę lastyczośc m gracę wytrzymałośc. Staem ebezeczym (graczym) azywamy ta sta w tórym zachodzą jaoścowe zmay właścwośc materału czyl astęuje rzejśce od jedego stau mechaczego do drugego. Narężea oreślające stay ebezecze ozaczać będzemy symbolem gdze { H s e m } gdyż w zależośc od rodzaju materału ostrucj róże stay gracze mogą oazać sę ebezecze. W owyższych rozważaach marą wytężea materału oreślającą jego sta mechaczy jest wartość arężea rozcągającego czyl

2 m ( w) zaś marą wytężea ebezeczego jest graca () ( w eb ) a węc m () Należy zazaczyć że e wszyste materały rzechodzą rzez wszyste wyżej wymeoe stay mechacze. N. materał ruchy e osąga stau lastyczego zaś sta szczący jest bls staow lowo-srężystemu. W rzyadu welu materałów sta lastyczy tóremu towarzyszą duże odształcea trwałe jest staem szczącym z owodu emożośc sełaa waruów użytowaa. Poeważ róba osowego rozcągaa jest łatwa do rzerowadzea zaś jej wy są zae w rzyadu welu materałów zatem w rzyadu aalzy wytężea materału jedoosowy sta arężeń wyorzystujemy jao stadardowy dobrze ozay sta odesea. Należy jeda zazaczyć że w realych ostrucjach wystęuje o rzado..8.. Hotezy wytężeowe Oreślee stau mechaczego utu materalego w rzyadu ogólym (złożoym stae arężeń) jest z uwag a różorodość macerzy arężeń róży wływ oszczególych elemetów tej macerzy a sta mechaczy utu materalego różorodość materałów ch właścwośc mechaczych a taże trudośc w realzacj odowedch dośwadczeń ratycze emożlwe. Dlatego też oreślee stau mechaczego utu materalego w rzyadu ogólym e ma do dzś rozwązaa uzysaego a drodze rozważań teoretyczych. Hotezy wytężeowe oreślają rytera (mary) osągęca stau ebezeczego w rzyadu złożoych staów arężeń. Należy odreślć że hotezy wytężeowe e mają odstaw w aalze stau arężea lecz oarte są główe a aalze uogóleu wyów rzerowadzoych dośwadczeń. Uogólając rozważaa rzedstawoe we wrowadzeu rzyjmemy że sta mechaczy cała w ażdym jego uce oreśla tesor (macerz) arężeń zaś marą wytężea tóra oreśla ryterum osągęca stau ebezeczego w rzyadu weloosowego stau arężeń jest fucja sładowych tesora arężeń ( w) f ( ) m () rzy czym ostać tej fucj wya z hotezy wytężeowej. Przy formułowau hotez wytężeowych wyorzystuje sę ajczęścej arężea główe wówczas mara wytężea rzyjmuje astęującą rostszą ostać ( w) f ( ) m (4) Należy odreślć że mara wytężea jest ezależa od rodzaju stau arężeń (rosty czy też złożoy). Aby ażdy ut ostrucj zajdował sę w stae bezeczym mus być sełoy astęujący warue:

3 ( w) ( ) m m w eb (5) gdze m ( w eb ) ozacza marę wytężea ebezeczego tórą berzemy z rostego rozcągaa. Marą oddalea rozważaego utu od stau ebezeczego oreśla wsółczy bezeczeństwa ( eb ) ( ) m w s (6) m w Isteje wele hotez wytężeowych; ożej zostaą omówoe dwe tóre dotyczą materałów o właścwoścach srężysto-lastyczych są dobrze otwerdzoe badaam eserymetalym. Hoteza COULOMBA-TESCI-GUESTA (CTG) masymalego arężea styczego O wytężeu materału w daym uce decyduje masymala bezwzględa wartość ajwęszego arężea styczego ezależe od rodzaju stau arężeń. Mara wytężea w weloosowym stae arężeń (or. D..8) m ( w) CTG ma (7) Mara wytężea w jedoosowym stae arężeń ( ) m ( w) CTG ma (8) Poeważ stay ebezecze w rzyadu rostego rozcągaa (jedoosowy sta arężeń) zachodzą gdy a węc m ( w eb ) (9) CTG Zatem warue bezeczej racy ostrucj (5) oreśla w ażdym jej uce erówość ma () rówoważa astęującym trzem erówoścom:

4 () W trójwymarowej rzestrze arężeń główych zwaej rzestrzeą HAIGHA-BECKEA owyższe erówośc wyzaczają rzestrzeń ograczoa esończee długm graastosłuem o os rówo achyloej do os uładu odesea o rzeroju orzeczym w ształce sześcoąta foremego zaś w rzestrze dwuwymarowej obszar ograczoy sześcoątem (rys. ). ys. Hoteza HUBEA-MISESA-HENCKY EGO (HMH) eerg odształcea ostacowego O wytężeu materału w daym uce decyduje lość agromadzoej eerg odształcea ostacowego ezależe od rodzaju stau arężeń. Mara wytężea w rzestrzeym stae arężeń (or. D..) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 6 E u w m f HMH () Mara wytężea w jedoosowym stae arężeń ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 6 E E u w m f HMH () Poeważ stay ebezecze w rzyadu rostego rozcągaa (jedoosowy sta arężeń) zachodzą gdy a węc

5 (4) E E ( ) m w eb HMH Zatem warue bezeczej racy ostrucj (5) oreśla w ażdym jej uce erówość [( ) ( ) ( ) ] 6E E (5) lub [( ) ( ) ( ) ] (6) czy też ( ) ( ) ( ) (7) W trójwymarowej rzestrze HAIGHA-BECKEA erówość (7) wyzacza rzestrzeń ograczoa esończee długm walcem o os rówo achyloej do os uładu odesea o rzeroju orzeczym w ształce oła zaś w rzestrze dwuwymarowej obszar ograczoy elsą (rys. ). ys..8.. Porówae hotez Na rys. 4 rzedstawoo wy badań dośwadczalych rzerowadzoych rzez LODEGO a róbach rurowych wyoaych ze stal () medz (o) oddaych jedoczesemu rozcągau cśeu wewętrzemu aż do osągęca stau lastyczego. Wdać że uty wyzaczoe eserymetale zajdują sę oza obszarem sześcoąta oreśloego rzez hotezę CTG ale woół rawędz elsy wyającej z hotezy HMH. Potwerdza to fat ż hoteza HMH dobrze oreśla marę wytężea w rzyadu materałów srężysto-lastyczych.

6 ys Narężee zastęcze (zreduowae) Jeśl uorządujemy arężea główe w olejośc od ajwęszego do ajmejszego czyl > > to erówość () rzyjme astęującą ostać: (8) Aalzując ostać owyższej erówośc oraz erówośc (7) zauważamy że odoszą oe złożoy (weloosowy) sta arężeń (stroy lewe) do jedoosowego stau arężeń (stroy rawe). Zatem lewe stroy tych erówośc moża terretować jao arężea zreduowae (zastęcze). Narężea te mają ostać o według hotezy CTG o (9) według hotezy HMH ( ) ( ) ( ) o () W rzyadu łasego stau arężeń oreśloego macerzą z [ ] () z arężea główe wyoszą ± 4 z ()

7 Ja łatwo srawdzć arężea zreduowae oreśloe wzoram (9) () rzyjmą w tam rzyadu astęującą ostać: według hotezy CTG () o 4 z według hotezy HMH (4) o z.8.5. Teora wytężeowa MOHA Do ocey wytężea materałów ruchych tach ja. żelwo ameń cegła beto t. e moża wyorzystać hotez wytężeowych CTG HMH. W rzyadu tach materałów wyorzystujemy teorę wytężeową Mohra. Jeśl sta arężea w materale oreślają arężea główe rzy czym > > to zwęszając roorcjoale te arężea możemy osągąć jede ze staów ebezeczych. W rzyadu taego stau arysujmy ajwęsze z ół MOHA K. Weźmy astęe oleje stay arężeń (oleje arężea główe) owtórzmy owyższe ostęowae. Otrzymamy w te sosób ewa rodzę ół MOHA tóre odowadają staom ebezeczym w rzyadu różych wyjścowych staów arężeń. Narysujmy teraz obwedę tych ół (rys. 5) rzy czym jej ształt będze zależeć od materału zatem jest jego ewą charaterystyą. ys. 5 Gdy mamy taą obwedę to w rzyadu dowolego stau arężeń możemy wyzaczyć arężea główe a astęe zwęszać je ta aby odowadające m ajwęsze oło MOHA było stycze do obwed. Otrzymae w te sosób arężea s s gdze s jest wsółczyem bezeczeństwa są arężeam rzy tórych osągęty zostaje sta ebezeczy. Wya z tego że do wyzaczea stau ebezeczego e jest otrzeba żada hoteza. Jedyym roblemem jest wyzaczee obwed rodzy ół MOHA. ozważmy teraz materał w rzyadu tórego wytrzymałość a ścsae jest węsza od wytrzymałośc a rozcągae czyl >. Przy rostym rozcągau c r

8 (5) r zaś rzy rostym ścsau c (6) W tam rzyadu odowede oła MOHA rzedstawa rys. 6 a tórym arosymacja obwed jest rostą styczą do obu ół. ys. 6 Jeśl mamy ewe sta arężeń wyrażoy rzez arężea główe to możąc te arężea rzez wsółczy s możemy dorowadzć do sytuacj w rzyadu tórej ajwęsze oło MOHA K odowadające arężeom s s będze stycze do rostej (rys. 7). ys. 7 Jeśl z utu styczośc orowadzmy rostą rówoległą do os arężeń ormalych to z odobeństwa trójątów (rys. 7) wya że gdze BE AD (7) BC AC r BE c AD r BC AC c (8)

9 Podstawając (8) do (7) otrzymujemy o rzeształceach astęujące wyrażee: r r r s (9) c c sąd r s () gdze r () c Bezecza raca ostrucj będze mała mejsce wówczas gdy w ażdym uce materału warue te ocąga za sobą astęującą erówość: r s () o r () gdze o (4) jest arężeem zastęczym według teor MOHA. W rzyadu materałów charateryzującym sę tym że mamy w osewecj arężee zastęcze wg teor MOHA (4) staje sę arężeem zastęczym wg hotezy CTG (9). Przyłady Przyład. Oreślć w rzyadu tórego z trzech rzedstawoych a rys. P.a-c staów arężeń otrzymamy ajwęsze arężee zreduowae według hotezy CTG. c r ys. P.

10 Dae: rzyade a: 8MPa MPa MPa rzyade b: 6MPa MPa rzyade c: 75MPa MPa Szuae: o ozwązae Oblczamy arężea zreduowae według hotezy CTG rzyade a: 8 7MPa o 6 ( ) rzyade b: 7MPa o rzyade c: MPa o Najwęsze arężee zreduowae otrzymujemy w rzyadu stau arężeń rzedstawoego a rys. P.c. Przyład. W rzyadu macerzy arężeń w uce A [ ] [MPa] wyzaczyć arężee zastęcze według hotez CTG HMH a astęe oreślć sta mechaczy utu. Dae: H s e MPa 4MPa MPa Szuae: o sta mechaczy utu ozwązae Kro. Oblczamy arężea główe MPa 5MPa MPa Kro. Oblczamy arężea zastęcze według hotezy CTG o ( ) 54MPa według hotezy HMH o ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 5 ) ( ) MPa Kro. Oreślamy sta mechaczy utu A według hotezy CTG 4 MPa < 54MPa < MPa sta srężysto lastyczy s o e według hotezy HMH

11 MPa < MPa < 4MPa sta elowo-srężysty H o s Przyład. W rzyadu macerzy arężeń w uce A bel zgaej orzecze [ ] 5 5 [MPa] wyzaczyć arężee zastęcze według hotez CTG HMH a astęe oreślć sta mechaczy utu. Dae: H s e MPa 4MPa MPa Szuae: o sta mechaczy utu ozwązae Kro. Oblczamy arężea zastęcze według hotezy CTG wzór () o 4 z 4 ( 5) MPa według hotezy HM wzór (4) o z ( 5) 7MPa Kro. Oreślamy sta mechaczy utu A według hotezy CTG MPa < MPa < 4MPa sta elowo-srężysty H o s według hotezy HMH 7MPa < MPa sta lowo-srężysty (moża stosować rawo HOOKE A. < o H Przyład 4. Oblczyć arężee zastęcze według hotez CTG HMH w uce A ajbardzej wytężoego rzeroju bel o schemace statyczym obcążeu ja a rys. P4.. ys. P4. Dae: P l b h Szuae: o ozwązae Kro. Wyzaczamy charaterysty geometrycze rzeroju.

12 bh b h A bh I y Sy z 4 Kro. Sorządzamy wyresy sł rzerojowych (rys. P4.) ys. P4. Kro. Oreślamy ajbardzej wytężoy rzerój (w rozważaym rzyładze jest to mejsce utwerdzea bel) gdze N P T P M y Pl Kro 4. Wyzaczamy rozłady arężeń ormalych styczych N A M P bh Pl y ( N) ( M) z z z Iy bh TS 6P h y ( ) T z biy bh 4 oraz sorządzamy ch wyresy (rys. P4.). ys. P4. Kro 5. Oblczamy wartośc arężeń ormalych styczych w uce A (ołowe wysoośc) rzeroju bel (rys. P4.). ( z ) A P bh

13 A z z ( z ) P bh Kro 5. Oblczamy arężee zastęcze w uce A według hotezy CTG wzór () A P P P o 4 z bh bh bh według hotezy HMH wzór (4) P bh A P P P 7 o z. 78 bh bh bh 4 Uwaga. Warto zauważyć ze masymale arężee rozcągające tóre wystęuje w uce B rzeroju (w jego srajym górym włóe) w rzyadu bel o długośc l 5h wyos B h P 5Ph h P z ( ) bh bh bh czyl jest zacze węsze od arężea zreduowaego w odu wysoośc bel. P bh Przyład 5. W uce A ostrucj daa jest macerz arężeń ja w rzyładze. Oblczyć wsółczy bezeczeństwa s jeśl ostrucja wyoaa jest z żelwa w rzyadu tórego r mr c mc. P bh Dae: 5MPa MPa mr mc Szuae: s Uwaga. W rzyadu materału ruchego jam jest żelwo musmy sorzystać z teor MOHA ozwązae Poeważ wzór () r c zatem wzór (4) o.455 w osewecj wzór () ( ) 7MPa s r 5. 7

14 DODATKI D. Gęstość eerg wewętrzej Gęstość eerg wewętrzej (eerg odształcea srężystego) oreśla zależość u ε [J/m ] (D..) Jeśl tesory arężeń odształceń ε rzedstawmy w ostac δ δ s s δ s δ δ (D..) ε ε ε δ ε ε ε e ε ε δ e δ e ε ε ε δ δ ε ε (D..) gdze s jest dewatorem arężeń e dewatorem odształceń δ asjatorem arężeń ε δ asjatorem odształceń (asjatory zwae są też tesoram ulstym bądź zotroowym) to odstawając (D..) (D..) do (D..) otrzymujemy u ( s δ )( e ε δ ) ( s e s ε δ δ e δ ε δ ) ( se εs e εδ ) se ε uf uv (D..4) gdze u f se (D..5) ozacza eergę odształcea ostacowego atomast uv ε (D..6) eergę odształcea objętoścowego. Dewatory arężeń odształceń łączy zależość

15 s E e e s E (D..7) ozwalająca wyrazć eergę odształcea ostacowego (D..5) rzez sładowe tesora arężeń u f ss E E E E E E ( δ )( δ ) ( δ δ δ δ ) ( δ ) ( ) ( ) ( ) E 6E (D..8) Po rozwęcu uorządowau owyższej formuły dostajemy wyrażee oreślające ostać eerg odształcea ostacowego: w uładze O u f 6E 6E 6E 6E ( ) ( ) [ 6( )] [( ) ( ) ( ) 6( )] (D..9) w uładze Oyz ( y z y yz z ) u f [( ) ( ) ( ) 6( )] y y z z y z yz (D..) 6E w uładze os główych O ( ) Wetor arężea [( ) ( ) ( ) ] u f (D..) 6E D. Estremale arężea stycze rzyorządoway łaszczyźe o ormalej j j rozłożyć a sładową ormalą styczą (rys. D..) rzy czym moża

16 (D..) ys. D.. gdze (D..) Poeważ j zatem w uładze os główych gdze mamy j (D..) Podstawając (D..) do (D..) a wy do (D..) otrzymujemy ( ) (D..4) Należy zauważyć że sładowe wetora ormalego musza sełać warue (D..5) Estremale wartośc arężea styczego wyzaczymy metodą możów LAGANGE A tóra olega a wyzaczeu estremum fucj (D..4) rzy dodatowym waruu (D..5). Wrowadzamy w tym celu fucję LAGANGE A w ostac ( ) ( ) ( ) ( ) F (D..6) gdze jest możem LAGANGE A szuamy waruów a stee jej estremów względem zmeych czyl

17 ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] F F F F (D..7) Aalzując uład rówań (D..7) rzy uwzględeu rówaa (D..4) otrzymujemy astęujące teresujące as rozwązaa a maowce: ± ± ± ± ± ± (D..8) Z (D..8) wya że wartośc estremale arężea stycze osągają a łaszczyzach rzechodzących rzez jedą z os główych a do ozostałych achyloych od ątem 45 o (rys. D..). ys. D.. Jeśl uorządujemy arężea główe w olejośc od ajwęszego do ajmejszego czyl > > to z (D..8) wya że ma (D..9) Zagadea a egzam. Zdefować omówć wytężee materału oraz mary wytężea.. Zdefować omówć hotezę C-T-G; wyrowadzć wzór oreślający arężee zastęcze w rzyadu łasego stau arężea.. Zdefować omówć hotezę H-M-H; wyrowadzć wzór oreślający arężee zastęcze w rzyadu łasego stau arężea.

18 4. Omówć teorę wytężeową Mohra. Dodate. Koło Mohra (atrz.)