Artur PIASECKI, Paweł ŁABĘDZKI, Sylwia HOŻEJOWSKA, Magdalena PIASECKA

Transkrypt

1 Artur PIASECKI, Paweł ŁABĘDZKI, Sylwia HOŻEJOWSKA, Magdalena PIASECKA WYMIANA CIEPŁA PODCZAS WRZENIA FC-72 W PRZEPŁYWIE PRZEZ WYMIENNIK CIEPŁA Z MINIKANAŁEM MODELOWANA FUNKCJAMI TREFFTZA I Z WYKORZYSTANIEM PROGRAMU ADINA Streszczenie Praca dotyczy wymiany ciepła podczas wrzenia czynnia chłodniczego FC-72 przepływającego przez wymienni ciepła z minianałem prostoątnym o powierzchni rozwiniętej. Awizycję temperatury na zewnętrznej powierzchni grzejnej umożliwiło zastosowanie amery termowizyjnej. W pracy zaproponowano dwuwymiarowy matematyczny model opisujący zagadnienie odwrotne wymiany ciepła w module pomiarowym. W oparciu o wynii esperymentu wyznaczono rozłady temperatury powierzchni grzejnej oraz czynnia chłodniczego, co w dalszej olejności umożliwiło wyznaczenie loalnych współczynniów przejmowania ciepła na styu płyty grzejnej i płynu FC-72. Loalne współczynnii przejmowania ciepła wyznaczono również z metody jednowymiarowej. Obliczenia numeryczne wyonane metodą Trefftza zweryfiowano z wyniami otrzymanymi w programie ADINA oraz z wyniami z metody jednowymiarowej. WSTĘP Nowe rozwiązania techniczne i technologie wprowadzane w szybim tempie do życia codziennego powodują onieczność dostarczenia energii do coraz to więszej liczby maszyn i urządzeń. W przemyśle transportowym onstrucje pojazdów z silniami spalinowymi, a taże eletrycznymi, również są stale rozwijane i unowocześniane. Szybi wzrost wydajności urządzeń sutuje nieustannym poszuiwaniem sprawniejszych i bardziej energooszczędnych rozwiązań. Z tego powodu laboratoria badawcze na całym świecie wciąż rozwijają i opracowują nowe technologie. Jednym z priorytetowych celów badań jest znalezienie odpowiednio wydajnych i energooszczędnych wymienniów ciepła, zdolnych zapewnić orzystne parametry zasilaczy, generatorów ciepła, odbiorniów eletrycznych i innych. Niniejsza praca dobrze wpisuje się w ten jaże potrzebny ierune badań. Sutecznym sposobem chłodzenia jest wyorzystanie procesów wymiany ciepła przebiegających ze zmianą stanu supienia, ze względu na znacznie więszą efetywność procesu. Wymiana ciepła, realizowana z wyorzystaniem uładów z anałami o niewielich wymiarach, jest szeroo badana i stosowana ze względu na duży potencjał do przenoszenia dużych gęstości strumieni ciepła. Pozwala ona na jednoczesne spełnienie przeciwstawnych wymagań, tj. uzysanie możliwie dużego strumienia ciepła przy małej różnicy temperatury między powierzchnią grzejną i cieczą nasyconą, przy niewielich wymiarach uładu wymiany ciepła. Poprzez zastosowanie rozwiniętych powierzchni grzejnych w wymienniach ciepła można uzysać dodatową intensyfiację procesu wymiany ciepła. Przedstawione w pracy wynii badań loalnego współczynnia przejmowania ciepła dotyczą badań przepływu czynnia chłodniczego w warunach wrzenia w minianale i są ontynuacją zagadnień omawianych w [1,2]. W pracy [3] przedstawiono dwuwymiarowy model wymiany ciepła w minianale, tórego rozwiązanie, wyorzystujące funcje Trefftza, prowadziło do rozwiązania zagadnienia prostego i odwrotnego przewodzenia ciepła. W [4] zaproponowano modyfiację modelu z [5], tóra uwzględniała dane pomiarowe z esperymentu. Rozwiązanie w [4] wyznaczono metodą elementów sończonych, gdzie funcjami ształtu były funcje Trefftza. W [6] model ten rozwiązano w oparciu o metodę funcji radialnych. W niniejszej pracy dwuwymiarowy rozład temperatury powierzchni grzejnej wyznaczono wyorzystując funcje Trefftza dla równania Laplace'a. Znajomość ciągłej funcji opisującej rozład temperatury powierzchni grzejnej pozwala wyznaczyć loalne współczynnii przejmowania ciepła na styu powierzchnia grzejna - czynni chłodniczy z warunu brzegowego Robina. Obliczenia numeryczne wyonane metodą Trefftza zweryfiowano z wyniami otrzymanymi w programie ADINA oraz z wyniami z podejścia jednowymiarowego. 1. STANOWISKO I BADANIA EKSPERYMENTALNE 1.1. Obiegi i systemy stanowisa badawczego Rys. 1. Stanowiso badawcze, 1-moduł pomiarowy z minianałem, 2-pompa zębata, 3-zbiorni wyrównawczy/regulator ciśnienia, 4-wymienni ciepła, 5-filtr, 6-przepływomierz,7-separator powietrza, 8-przetworni ciśnienia, 9-amera termowizyjna, 10-amera do zdjęć szybich, 11-oświetlenie LED, 12-stacja awizycji danych DaqLab 2005, 13-stacja awizycji danych MCC 3216G, 14- omputer, 15-źródło zasilania, 16-boczni, 17-amperomierz, 18-woltomierz. Esperyment przeprowadzono na stanowisu badawczym, tórego schemat przedstawiono na rys. 1. Na obieg główny stanowisa sładają się: moduł testowy z minianałem (1), wymienni ciepła typu rura w rurze, służący do /2016

2 schładzania gorącego czynnia (4), pompa zębata f. Tuthill (2) z zestawem filtrów (5), separator powietrza (6), przepływomierz masowy Coriolisa f. Endress-Hauser (6), dwa przetwornii ciśnienia f. Endress-Hauser na wlocie i na wylocie z minianału (8). Do rejestracji temperatury powierzchni grzejnej wyorzystano amerę termowizyjną Flir E60 (9). Kamera posiadała nominalną doładność pomiaru równą 2% w zaresie temperatur C lub ± 2 C, jedna uzysano znacznie lepszą doładność pomiarową wynoszącą ± 1 C lub ± 1% pomiaru w zaresie temperatur C poprzez doładną realibrację potwierdzoną certyfiatem, wyonaną w laboratorium serwisowym Flir. Do obserwacji strutur przepływu wyorzystano szybą amerę JAI SP-5000M (10). W celu umożliwienia właściwej pracy i rejestracji obrazów o wysoiej rozdzielczości i właściwie doświetlonych zastosowano 2 źródła światła o mocy 200W ażdy (11), na tóre słada się 4 matryc LED emitujących światło zimne białe. Do rejestracji danych pomiarowych użyto dwóch stacji pomiarowych: DaqLab 2005 (12) rejestrowała dane temperaturowe z termopar typu K, MCC 3216G (13) zapisywała dane z przetworniów ciśnienia, przepływomierza oraz ze źródła prądu stałego. Wszystie dane pomiarowe, łącznie z zarejestrowanymi obrazami z obydwu amer są sierowane do omputera PC (14), wyposażonego w odpowiednie oprogramowanie. Na system zasilający sładają się: źródło zasilania prądem stałym spawara 400A (15), boczni (16), amperomierz (17) oraz woltomierz (18). Szczegółowy opis stanowisa badawczego przedstawiono w [2] Moduł testowy z minianałem Moduł testowy poazano na rys. 2. Sładają się na niego następujące elementy: płyta grzejna ze stopu Haynes-230 (7) poryta od zewnątrz czarną farbą o znanej emisyjności (8), porywa górna (9), orpus (1) z płytą szlaną (4) stanowiącą wizjer umożliwiający obserwacje strutur przepływu, minianał (3) z przeładą PTFE stanowiącą głęboość minianału, termopary (2), eletrody (6) doprowadzające prąd do folii grzejnej. Płyta grzejna o grubości 0,45 mm posiada jedną stronę rozwiniętą sierowaną do wnętrza minianału, druga strona pozostała głada poryta czarną farbą na bazie grafitu o emisyjności równej 0,83. Porycie to wyonano nanosząc farbę cieną warstwą w celu uzysania właściwych warunów do doonywania pomiarów temperatury za pomocą amery termowizyjnej. Powierzchnia rozwinięta wyonana została przy wyorzystaniu procesu eletroerozji. Proces ten polega na uzysaniu miro- i miniraterów, powstałych w wyniu działania łuu eletrycznego między płytą grzejną a miroeletrodą. Urządzenie, zwane arografem, oraz sposoby wyonywania powierzchni rozwiniętych a taże otrzymane rozwinięcia szczegółowo omówiono w [7]. Minianał posiadał następujące wymiary: głęboość - 1,7 mm, szeroość - 17 mm i długość mm, przy czym moduł testowy ustawiono pionowo. Z drugiej strony modułu - od strony rozwiniętej powierzchni grzejnej obserwowano strutury przepływu dwufazowego poprzez płytę szlaną Metodologia przeprowadzania badań Badania esperymentalne przeprowadzono w możliwie stałych warunach zewnętrznych, doonując niezbędnych oret obliczeniowych ciśnienia atmosferycznego oraz temperatury otoczenia. Uład pomiarowy zalano płynem chłodniczym FC-72 a następnie doładnie odpowietrzono wszystie elementy uładu. Uzupełniono braującą objętość płynu i powtórzono proces odpowietrzania. Po ilurotnym powtórzeniu obu czynności uzysano w pełni stabilne waruni przeprowadzania esperymentu. Właściwe odpowietrzenie uładu badawczego jest luczowe dla poprawności otrzymanych wyniów, gdyż faza gazowa obecna w płynie chłodniczym załóca odczyty, co może prowadzić do nieprecyzyjnego pomiaru prędości przepływu, a taże mieszanina fazy ciełej FC-72 / powietrze ma inne własności niż właściwie odpowietrzony płyn FC-72. Przed rozpoczęciem właściwej fazy esperymentu ustawiono wartość masowego przepływu płynu oraz ustabilizowano ciśnienie. Przed zarejestrowaniem parametrów cieplno-przepływowych ażdej nastawy strumienia ciepła dostarczanego do powierzchni grzejnej (natężenia prądu dostarczanej ze źródła zasilania), w celu otrzymania wiarygodnych wyniów, stabilizowano parametry cieplno-prądowe przez ila minut. Następnie doonywano awizycji danych pomiarowych, zwięszano strumień ciepła o zadaną wartość i następowała olejna faza stabilizacji parametrów. Do obliczeń omówionych w dalszej części pracy przyjęto wybraną nastawę strumienia ciepła w zaresie wrzenia przechłodzonego, gdy ciecz przegrzana jest jedynie w pobliżu ogrzewanej powierzchni, a w rdzeniu przepływu nie osiąga temperatury nasycenia. Rys. 2. Moduł pomiarowy: 1-orpus, 2-termopara, 3-minianał, 4-płyta szlana, 5-powierzchnia rozwinięta, 6-eletroda, 7-powierzchnia grzejna, 8- czarna farba, 9-porywa górna. 2. MODEL OBLICZENIOWY W modelu matematycznym założono, ze przepływ płynu jest laminarny i nieściśliwy, a stałe materiałowe płyty grzejnej są niezależne od temperatury ze względu na stosunowo niewielie zmiany temperatury płyty grzejnej w stosunu do masymalnych dozwolonych warunów cieplnych stopu Haynes-230. Dodatowo przyjęto, że zjawisa fizyczne zachodzące na rawędziach bocznych modułu pomiarowego nie mają wpływu na parametry termodynamiczne w jego środowej części. Stąd dalsze rozważania dotyczą tylo środowej części modułu, dla tórej uwzględniono wymiar x równoległy do ierunu przepływu czynnia FC-72 oraz prostopadły do niego, wymiar y odnoszący się do grubości powierzchni grzejnej () i głęboości minianału. Stacjonarny proces wymiany ciepła w powierzchni grzejnej opisany został przez dwuwymiarowe równanie Poissona T q V, x, y (1) gdzie x,yr : 0 x L, 0 y 2, qv - objętościowy strumień ciepła generowany przez powierzchnię grzejną, - przewodność cieplna powierzchni grzejnej, L - długość minianału. Dla równania (1) przyjęto odpowiednie waruni brzegowe T x, 0 T (2) x, T 0 q loss y (3) a) T T L, y 0 x x 0, y 0 b ) (4) gdzie T są dysretnymi pomiarami temperatury powierzchni grzejnej w puntach x dla =1,2,...,K, qloss - straty ciepła do otoczenia wyznaczone ta ja w [2]. 12/

3 Problem opisany równaniem (1) z warunami (2)-(4) jest problemem odwrotnym wymiany ciepła. Dla czynnia chłodniczego FC-72 założono, że jego przepływ w minianale jest laminarny i stacjonarny o stałej gęstości strumienia masy, a jego temperatura (TL) na styu z powierzchnią grzejną zależy od temperatury płyty grzejnej (T), temperatury płynu (TL,in) na wlocie i wylocie (TL,out) z minianału w obszarze wrzenia przechłodzonego, w sposób podany w [6]. Znajomość rozładu temperatury powierzchni grzejnej pozwala wyznaczyć wartości loalnych współczynniów przejmowania ciepła na styu: powierzchnia grzejna - czynni FC-72 z warunu Robina T y T x, T x x, 2.1. Rozwiązanie zagadnienia funcjami Trefftza Dwuwymiarowy rozład temperatury powierzchni grzejnej wyznaczono wyorzystując metodę Trefftza w sposób opisany w [3, 5]. Nieznane rozwiązanie problemu (1) (4) przybliżone zostało ombinacją liniową funcji harmonicznych h(x,y) [3] T ~ x y hx, y a h x, y N i0 L i i (5), (6) gdzie h ~ jest rozwiązaniem szczególnym równania (1), [3]. Współczynnii ombinacji liniowej ai w (6) wyznaczane są w oparciu o znane waruni brzegowe w sposób opisany w [3-5] Rozwiązanie zagadnienia w programie ADINA Symulacja MES rozważanego zagadnienia została przeprowadzona za pomocą programu ADINA w wersji 9.0. Modelowano przepływ ciepła tylo w płycie grzejnej. Przyjęto taie same waruni brzegowe ja w obliczeniach za pomocą funcji Trefftza - równania (2)- (4). Przy tych założeniach model MES porywa się z przyjętym modelem obliczeniowym (por. [8, rozdz. 2.6]). T( x 3. WYNIKI ) T L q V q ( x ) q loss V q loss Podstawowe parametry cieplno przepływowe esperymentu, własności fizyczne materiału płyty grzejnej wyonanej ze stopu Haynes-230 oraz własności fizyczne płynu roboczego FC-72 zestawiono w tabeli 1. Tab. 1. Podstawowe parametry cieplno-przepływowe esperymentu, własności fizyczne płyty grzejnej i płynu roboczego. Podstawowe parametry cieplno-przepływowe Objętościowy strumień ciepła 7, W m -3 Prędość przepływu 0,24 m s -1 Strumień masy przepływu 423 g m -2 s -1 Temperatura płynu na wlocie 17,4 C Temperatura płynu na wylocie 26,7 C Ciśnienie całowite na wlocie Pa Ciśnienie całowite na wylocie Pa Niedogrzanie cieczy do temperatury nasycenia na wlocie do anału 38,9 C Własności fizyczne płyty grzejnej (Haynes-230) Gęstość g m -3 Współczynni przewodzenia ciepła 9.7 W m -1 K -1 Ciepło właściwe 397 J g -1 K -1 Własności fizyczne czynnia roboczego (FC-72)- dla fazy ciełej Gęstość 1685 g m -3 Dynamiczny współczynni lepości Pa s Ciepło właściwe 1044 J g -1 K -1 Współczynni przewodzenia ciepła W m -1 K -1 Rysune 4 przedstawia wartości temperatury powierzchni grzejnej od strony pomieszczenia laboratoryjnego w funcji odległości od wlotu do minianału, otrzymanej dla osi anału na podstawie pomiaru doonanego amerą termowizyjną. (7) Rys. 3. Schemat siati elementów sończonych. Fragment siati elementów sończonych poazano na rysunu (rys. 3). Zastosowano 4-węzlowe płasie elementy onducyjne [8]. Siata elementów sończonych liczyła 2000 elementów i 2505 węzłów Metoda jednowymiarowa Wynii otrzymane przy wyorzystaniu metod opisanych w puntach 2.1 i 2.2 porównano z wyniiem otrzymanym przy zastosowaniu podejścia jednowymiarowego. Załadając dodatowo, że przewodzenie ciepła wzdłuż ierunu przepływa jest zniome, w uproszczonym podejściu w przewodzeniu ciepła przez folię grzejną uwzględniono jedynie ierune normalny do powierzchni folii oraz liniowy rozład temperatury płynu w rdzeniu przepływu wzdłuż ierunu przepływu płynu w anale. Metodę jednowymiarową omówiono w [1,2]. W obliczeniach, gęstość strumienia ciepła została pomniejszona o straty ciepła do otoczenia ta ja w [2]. Współczynni przejmowania ciepła w obszarze wrzenia przechłodzonego wyznaczono z następującej postaci wzoru: Rys. 4. Wartość zarejestrowanej temperatury zewnętrznej powierzchni grzejnej w funcji odległości od wlotu do minianału (oś anału) Wynii obliczeń otrzymane metodą Trefftza Na rys. 5 przedstawiono dwuwymiarowy rozład temperatury powierzchni grzejnej, obliczony ze wzoru (6), gdzie użyto dziewięciu funcji Trefftza. Rysune 6 prezentuje zależność temperatury powierzchni grzejnej na styu powierzchnia grzejna płyn od odległości od wlotu do minianału /2016

4 Rys. 5. Dwuwymiarowy rozład temperatury powierzchni grzejnej otrzymany metodą Trefftza. Rys. 8. Zależność temperatury powierzchni grzejnej na styu powierzchnia grzejna płyn od odległości od wlotu do minianału, otrzymana z wyorzystaniem programu ADINA Rys. 6. Zależność temperatury powierzchni grzejnej od odległości od wlotu do minianału, otrzymana na styu powierzchnia grzejna płyn. Rysune 7 poazuje loalne wartości współczynniów przejmowania ciepła wyznaczone ze wzoru (5). Rys. 9. Zależność współczynnia przejmowania ciepła od odległości od wlotu do minianału wyznaczone z programu ADINA Wynii z metody jednowymiarowej Na rys. 10 przedstawiono zależność współczynnia przejmowania ciepła od odległości od wlotu do minianału, otrzymaną ze wzoru (7) - przy zastosowaniu do obliczeń metody jednowymiarowej. Rys. 7. Zależność współczynnia przejmowania ciepła od odległości od wlotu do minianału wyznaczone z wyorzystaniem metody Trefftza Wynii z programu ADINA Rysuni 8 i 9 przedstawiają rezultaty obliczeń otrzymanych w programie ADINA,: przy czym na rys. 8 poazano zależność temperatury powierzchni grzejnej w funcji odległości od wlotu do minianału, otrzymany na styu powierzchnia grzejna - płyn, a na rys. 9 - zależność współczynnia przejmowania ciepła w funcji odległości od wlotu do minianału. Rys. 10. Zależność współczynnia przejmowania ciepła od odległości od wlotu do minianału obliczona metodą jednowymiarową Wniosi i spostrzeżenia Analiza wyresów współczynnia przejmowania ciepła w funcji odległości od wlotu do minianału, otrzymanych przy zastosowaniu trzech różnych metod obliczeniowych - dwóch numerycznych (w tym jednej przy zastosowaniu programu omercyjnego) i uproszczonej metody jednowymiarowej, pozwala uzysać podobne wartości współczynnia przejmowania ciepła. Zależność funcyjna współczynnia przejmowania ciepła od odległości od wlotu do minianału nie wyazuje jednaowego przebiegu dla wszystich zastosowanych metod. Porównując wynii można zauważyć, że zbliżone przebiegi zależno- 12/

5 ści otrzymano dla metody Trefftza oraz dla podejścia jednowymiarowego. Wyorzystanie obu wymienionych metod do obliczeń dało podobny przebieg zmienności współczynnia przejmowania ciepła, tórego loalne wartości rosną wraz ze zwięszającą się odległością od wlotu do minianału. Metoda numeryczna z użyciem funcji Trefftza pozwala uzysać wygładzone zależności wielomianowe, natomiast metoda jednowymiarowa jest wrażliwa na wprowadzone do obliczeń dane temperaturowe powierzchni grzejnej otrzymane z amery termowizyjnej, stąd przebieg zależności nie jest wygładzony. Wynii otrzymane z numerycznej metody obliczeń wyonanych w programie ADINA dały wyższe wartości współczynnia w obszarze blisim wlotu do anału, w porównaniu do wyniów z obliczeń wyonanych metodą numeryczną z użyciem funcji Trefftza oraz z metody jednowymiarowej. Przebieg zależności współczynnia przejmowania ciepła od odległości od wlotu do minianału wyznaczony z programu ADINA jest również wygładzony i ma charater malejący. W dalszych badaniach autorzy planują rozszerzyć wynii na obszar wrzenia nasyconego. PODSUMOWANIE Praca dotyczy wymiany ciepła podczas wrzenia czynnia chłodniczego FC-72 przepływającego przez wymienni ciepła z minianałem prostoątnym o powierzchni rozwiniętej. Celem było wyznaczenie loalnych współczynniów przejmowania ciepła na styu płyty grzejnej i płynu w minianale, w oparciu o wynii esperymentu, podczas tórego rejestrowano temperaturę na zewnętrznej powierzchni grzejnej amerą termowizyjną. Przedstawiono i przeanalizowano wynii otrzymane z trzech zaproponowanych metod obliczeniowych, w tym dwóch metod numerycznych (obliczenia wg własnego algorytmu wyorzystującego metodę Trefftza oraz programu omercyjnego AD- INA), tórych wynii sonfrontowano z wyniami obliczeń otrzymanymi z zastosowania uproszczonej metody jednowymiarowej. Na podstawie przeprowadzonej analizy porównawczej stwierdzono, że loalne wartości współczynnia przejmowania ciepła otrzymane z wymienionych metod obliczeniowych są zbliżone, jedna zależność funcyjna współczynnia przejmowania ciepła wzdłuż długości minianału jest różna, zależnie od zastosowanej do obliczeń metody. OŚWIADCZENIE Praca powstała w ramach projetu NCN, nr umowy UMO-2013/09/B/ST8/ Projet został sfinansowany ze środów Narodowego Centrum Naui przyznanych na podstawie decyzji numer DEC-2013/09/B/ST8/ BIBLIOGRAFIA 1. Piaseca M. Impact of selected parameters on refrigerant flow boiling heat transfer and pressure drop in minichannels. International Journal of Refrigeration, vol. 56, pp , Piaseca M., Strą K., Maciejewsa B. Calculations of flow boiling heat transfer in a minichannel based on Liquid Crystal and Infrared Thermography data. Heat Transfer Engineering, vol. 38, no. 3, 2017, DOI: / Hożejowsa S., Piaseca M., Poniewsi M. E., Boiling heat transfer in vertical minichannels. Liquid crystal experiments and numerical investigations, International Journal of Thermal Sciences, vol. 48, pp , Piaseca M., Maciejewsa B., Heat transfer coefficient during flow boiling in a minichannel at variable spatial orientation, Experimental Thermal and Fluid Science, vol. 68, pp , Hożejowsa S., Kaniowsi R., Poniewsi M.E, Experimental investigations and numerical modeling of 2D temperature fields in flow boiling in minichannels, Experimental Thermal and Fluid Science, vol. 78, pp.18 29, Hożejowsa S., Hożejowsi L., Piaseca M., Radial basis functions in mathematical modelling of flow boiling in minichannels, Proc. Int. Conf. Experimental Fluid Mechanics, Mariánsé Lázně, Czech Republic (w druu), Piaseca M., Laser texturing, spar erosion and sanding of the surfaces and their practical applications in heat exchange devices, Advanced Material Research, vol. 874, pp , ADINA CFD & FSI, Raport ARD 13-10, December 2013, ADINA R & D, Inc. FLOW BOILING HEAT TRANSFER OF FC-72 IN A HEAT EXCHANGER CONTAINING A MINICHANNEL, MODELLED WITH TREFFTZ FUNCTIONS AND WITH THE AID OF THE ADINA PROGRAM Abstract The present paper focuses on flow boiling heat transfer with FC-72 in a heat exchanger containing a rectangular minichannel with structured surfaces. An infrared camera recorded temperatures at the external heated surface. The results of the experiments were used to model heat transfer in the minichannel by Trefftz functions and with the aid of the ADINA program. The heat transfer mathematical model was proposed. The model described the inverse heat transfer problems in the measurement module and allowed determining local heat transfer coefficients at the interface between the heated plate and FC-72 in the minichannel. Numerical calculations performed with the Trefftz functions were verified with the results obtained both from the ADINA program and from one dimensional method. Autorzy: mgr inż. Artur Piaseci - wyonawca projetu NCN, nr umowy UMO- 2013/09/B/ST8/02825 dr inż. Paweł Łabędzi - Politechnia Świętorzysa w Kielcach dr hab. Sylwia Hożejowsa - Politechnia Świętorzysa w Kielcach dr hab. inż. Magdalena Piaseca, prof. PŚ - Politechnia Świętorzysa w Kielcach /2016