Krótki wstęp do zastosowania Metody Elementów Skończonych (MES) do numerycznych obliczeń inŝynierskich Większość inŝynierów, mając moŝliwość wyboru

Transkrypt

1 Króti wstęp do zastosowania Metody lementów Sończonych (MS) do numerycznych obliczeń inŝyniersich Więszość inŝynierów, mając moŝliwość wyboru pomiędzy rozwiązaniem jednego złoŝonego problemu lub iludziesięciu trywialnych, wybierze drugą opcję. I słusznie. W niniejszym artyule przedstawiono porótce jedną z metod obliczeń, gdzie jednym z załoŝeń jest tranformacja uładu fizycznie złoŝonego w wiele uładów uproszczonych, a następnie poszuiwanie rozwiązania dla złoŝonego uładu całościowego poprzez sewencyjne rozwiązywanie zadania w uproszczonych uładach sładowych.. Rozwój MS Metoda lementów Sończonych (ang. FA Finite lement Analysis) jest w dniu dzisiejszym jedną z podstawowych metod prowadzenia omputerowo wspomaganych obliczeń inŝyniersich (ang. CA Computer Aided ngineering). W więszości duŝych i średnich przedsiębiorstw rozpoczęcie wytwarzania danego produtu nie moŝe się rozpocząć, zanim jego oreślone własności nie zostaną pozytywnie zweryfiowane z zastosowaniem obliczeń MS. To co dziś wydaje się standardem, całiem niedawno było lususem osiągalnym jedynie dla najwięszych oncernów przemysłowych (np. Boeing, USA) lub ośrodów nauowych (MIT, USA). fetem dynamicznego rozwoju omputerów osobistych PC, tóry rozpoczął się w połowie lat osiemdziesiątych XX w. było spopularyzowanie numerycznych metod i narzędzi obliczeniowych wśród duŝych, średnich i nawet małych przedsiębiorstw przemysłowych. Teoretyczne podstawy MS zostały dość doładnie sformułowane pod oniec lat 50-tych XX w. (jao metody prowadzenia obliczeń z zaresu mechanii struturalnej), choć prowadzenie rozwaŝań z nią związanych miało miejsce juŝ w XIX wieu. W jednej z prac Kirscha (868) zasugerowano zastąpienie trójwymiarowego ustroju ciągłego zbiorem oddzielnych elementów prostopadłościennych, a następnie zastąpienie aŝdego z nich przestrzenną ratownicą. W ten sposób powstała idea utworzenie metody obliczeniowej, tórej głównym załoŝeniem był podział analizowanego obietu (o złoŝonym ształcie i niesończonej liczbie stopni swobody) przez ściśle oreśloną liczbę elementów w ształcie prymitywów geometrycznych o sończonej liczbie stopni swobody. Podział ontinuum na sończoną liczbę fragmentów nazwano dysretyzacją obietu. Gwałtowny renesans ww. idei nastąpił po II wojnie światowej w wyniu wyścigu zbrojeń, czego efetem było m.in. pojawienie się pierwszych maszyn cyfrowych. W 957 opubliowano pracę, w tórej pewien sończony fragment ustroju ciągłego nazwano elementem sończonym, a taŝe zaproponowano metodę rachunu wariacyjnego (zasada minimum energii potencjalnej) jao sposób rozwiązania wybranych problemów mechanii. Jej autorami byli Turner, Clough, Martin i Topp, a ich pracę z czasem nazwano atem urodzenia Metody lementów Sończonych. Zaproponowane metody prowadziły jedna do utworzenia równań równowagi uładu o znacznej liczbie niewiadomych, a równań tych nie były w stanie rozwiązać ówczesne omputery. Z problemem tym uporali się... polscy Uczeni.W latach 60-tych XX w. opubliowano prace Prof. Zieniewicza oraz Prof. Przemienieciego, w tórych przedstawiono metody pratycznego zastosowania MS wraz ze sposobami uninięcia wybranych trudności natury matematycznej. Do dnia dzisiejszego, w światowej literaturze poświęconej CA, Prof. Zieniewicza uwaŝa się za ojca Metody lementów Sończonych oraz jej pratycznego zastosowania do rozwiązania problemów mechanii. Problemy natury matematycznej to nie wszystie problemy, z tórymi musieli boryać się ówcześni inŝynierowie i nauowcy jednym z więszych problemów obliczeń MS w latach 60-tych były moce obliczeniowe ówczesnych maszyn cyfrowych oraz utworzenie programów liczących z zastosowaniem FA. Podczas gdy w ameryańsiej NASA tworzono zaląŝi systemu MS znanego dziś pod nazwą NASTRAN, w Polsce juŝ dosonale

2 funcjonował jeden pierwszych na świecie omputerowych systemów obliczeniowych MS, noszący nazwę WAT-KM. Został on stworzony przez polsich nauowców z Wojsowej Aademii Technicznej w Warszawie pod ierownictwem Prof. Szmeltera. Ów wieli uczony wychował wielu następców, tórzy zajmują się dalszym rozwojem MS na poziomie światowym. Do wychowanów Prof. Szmeltera naleŝą taie sławie polsiej i światowej Naui, ja: Prof. Kleiber, Prof. Daco oraz Prof. Niezgoda, tórzy nadal rozwijają teorię zastosowania elementów sończonych. Pod oniec lat 80-tych pojawiło się wiele profesjonalnych systemów MS, przeznaczonych do instalacji na PC, np. NASTRAN. Fat ten umoŝliwił duŝym i średnim firmom wprowadzenie weryfiacyjnych obliczeń CA do procesu rozwoju produtu. Finałem ewolucji (lata 90-te) było zintegrowanie systemów CAD oraz CA w spójną całość, umoŝliwiająca dwustronną wymianę danych, np. UNIGRAPHICS. Od tego czasu nawet niewielie przedsiębiorstwa i uczelnie mogą sobie pozwolić na orzystanie z zalet MS.. Idea MS Metoda lementów Sończonych jest jedną z metod dysretyzacji uładów geometrycznych ciągłych, tj. podziału ontinuum na sończoną liczbę podobszarów. Wobec powyŝszego, idea metody załada modelowanie nawet bardzo złoŝonych onstrucji (części i zespołów) poprzez ich reprezentację za pomocą moŝliwie prostych geometrycznie elementów sładowych, nawet z uwzględnieniem nieciągłości i wielofazowości materiałowych. Główne załoŝenie MS to podział modelu geometrycznego ciągłego (Rys. ) na elementy sończone, łączące się w tzw. węzłach, czego efetem jest utworzenie modelu geometrycznego dysretnego. Raz jeszcze naleŝy podreślić, iŝ efetem dysretyzacji jest transformacja uładu o niesończonej liczbie stopni swobody (zdolności do zmiany wartości oreślonej współrzędnej) do postaci uładu o sończonej liczbie stopni swobody (SSW). NaleŜy zauwaŝyć, Ŝe: S = Si, gdzie n + n lecz osiągnięcie warunu n + jest trudne do zrealizowania ze względów pratycznych. a) b) c) Rys.. Dysretyzacja modelu ciągłego transformacja w zbiór (siatę) elementów sończonych: a) model geometryczny ciągły, b) model dysretny idealny, c) model dysretny obliczeniowy Podczas obliczeń z zastosowaniem MS dysretyzacji ulegają równieŝ wszelie inne wielości fizyczne, reprezentowane w uładzie za pomocą funcji ciągłych (np. obciąŝenia, utwierdzenia, przemieszczenia, napręŝenia). Podczas dysretyzacji oreślonej wielości fizycznej dąŝy się do masymalnego zbliŝenia jej postaci dysretnej i ciągłej z zastosowaniem metod aprosymujących. Aby rozwiązać poszczególne zagadnienie mechanii (np. z dziedziny wytrzymałości materiałów) naleŝy zwrócić uwagę na fizyczne otoczenie uładu, tj. w przypadu uładu przedstawionego na Rys. a: wymuszenie (obciąŝenie ciągłe q) oraz utwierdzenie (stałe ciągłe wraz z podporą przesuwą).

3 Wymuszenie oraz utwierdzenie noszą umowne oreślenie warunów brzegowych uładu. Chcąc doprowadzić do uzysania Ŝądanych wyniów z zastosowaniem MS naleŝy zbudować tzw. macierze sztywności, początowo macierze loalne (na podstawie wartości współrzędnych węzłów oraz wartości parametrów fizycznych elementów), a następnie tzw. macierz globalną. Aby przybliŝyć pojęcie macierzy sztywności naleŝy zwrócić uwagę na uład o SSW, przedstawiony na Rys., gdzie dwie masy (ozn. m oraz m ) wyonują ruch drgający względem współrzędnej, w wyniu obciąŝenia ich siłami zmiennymi w czasie odpowiednio: P i P. Masy połączono ze sobą oraz z otoczeniem za pomocą elementów spręŝysto tłumiących, z tórych aŝdy posiada oreśloną sztywność oraz zdolność tłumienia c. Szuanymi wielościami są wartości poszczególnych przemieszczeń (t). Rys.. Przyładowy uład mechaniczny o SS Równania ruchu ogólnego uładu o SSW formułuje się z zastosowaniem równania Lagrange a drugiego rodzaju, pochodzące pośrednio od II prawa dynamii Newton a: d d p + + = P(t) N () dt gdzie: energia inetyczna uładu, d energia tłumienia (dyssypacji) uładu, p energia potencjalna uładu. Dla uładu o jednym stopniu swobody (SSW): Dla uładu o SSW (Rys. ): d m = J () c - = J s (3) = J (4) p = + J (5) - = J s (6) d d + d

4 p = p + p J (7) m m = + J (8) c c ( ) d = + - J s (9) ( - ) p = + J (0) Na podstawie zaleŝności () oraz (8) (0) tworzy się uład dwóch róŝniczowych równań ruchu, z tórych aŝde dotyczy wybranego uładu: uład : m + [(c + c ) - c ] + [( + ) - ] = P (t) N () uład : m + [(-c ) + c ] + [(- ) + ] = P (t) N () Uład równań (), () moŝna wyrazić jednym równaniem macierzowym: m 0 0 m c + c c tóre ogólnie zapisać moŝna, jao: + c c + + M + C + K = gdzie: M - macierz bezwładności, C - macierz tłumienia, K - macierz sztywności, P(t) - wetor sił uogólnionych, - wetor przyspieszeń uogólnionych, P(t) = P (t) P (t) (3) (4) - wetor prędości uogólnionych, - wetor przemieszczeń uogólnionych. WyraŜenie (4) jest ogólnym rozwiązaniem równania ruchu uładu o SSW. Opracowanie równań analogicznych jest niezbędne do uruchomienia obliczeń MS. Oczywiście ze względu na fat, iŝ w więszości przypadów zadanie FA rozwiązuje stacja obliczeniowa, zadanie to naleŝy do eletronicznego mózgu. Chcąc rozwiązać dane zadanie mechanii (znaleźć wartości niewiadomych) np. przemieszczeń) naleŝy rozwiązać zbudowane uprzednio ułady równań. 3. MS w pratyce Współczesne apliacje inŝyniersie CA, w tórych stosuje się MS sładają się z trzech wzajemnie współpracujących modułów, tórymi są: a) preprocesor (słuŝy m.in. do importu lub przygotowania geometrii, doboru rodzaju elementów sończonych, dysretyzacji ontinuum, a taŝe przyłoŝenia warunów brzegowych), b) solver (moduł przeznaczony do budowy oraz rozwiązania uładu równań, na podstawie tórego uzysuje się poszuiwane wartości danych wielości fizycznych), c) postprocesor (moduł słuŝący do prezentacji oraz wspomagania interpretacji uzysanych wyniów).

5 Z pratycznego puntu widzenia, przed dysretyzacją modelu CAD naleŝy go poddać odpowiedniemu uproszczeniu, podczas tórego naleŝy usunąć elementy nieistotne z puntu widzenia analizowanego zjawisa np. promienie, fazy, otwory, pochylenia, itd. Na Rys. zaprezentowano sposób prowadzenia wyŝej opisanych działań na przyładzie modelu CAD tulei górnej cylindra amortyzatora podwozia samolotu. a) b) Rys. 3. Sposób postępowania podczas przygotowania geometrii CAD do obliczeń MS: a) zbudowanie doładnego modelu CAD, b) uproszczenie geometrii modelu CAD, c) dysretyzacja modelu uproszczonego Geometria analizowanych uładów moŝe róŝnić się od siebie w sposób znaczący. Mogą to być obiety -wymiarowe (beli), -wymiarowe (cienie tarcze, membrany) oraz 3- wymiarowe (bryły). Wobec powyŝszego, podczas przygotowywania analizy MS dostępnych jest bardzo wiele rodzajów elementów sończonych, a do ryteriów ich podziału zaliczyć moŝna: - liczbę wymiarów, tórymi moŝna opisać element (Rys. 4), - ształt geometryczny, - typ i stopień wielomianu załoŝonej funcji ształtu elementu sończonego, - liczbę węzłów w elemencie, - rodzaje więzów ogólnych, nałoŝonych na element sończony. Podczas dysretyzacji modelu przydatne moŝe oazać się zagęszczenie siati elementów, w obszarach szczególnie obciąŝonych warunami brzegowymi. NaleŜy jednaŝe pamiętać, Ŝe tzw. zagęszczanie siati w niesończoność, tj. doprowadzenie do wygenerowania bardzo małych elementów sończonych w danych rejonach moŝe wręcz impliować znieształcenie wartości poszuiwanych niewiadomych. c)

6 NaleŜy teŝ nadmienić, Ŝe podział ontinuum geometrycznego na elementy sończone moŝe odbywać się w sposób manualny lub półautomatyczny (tzw. automesh). a) b) c) Rys. 4. Schematy ideowe wybranych elementów sończonych: a) D, b) D, c) 3D. Niezbędnym roiem jest równieŝ oreślenie wartości wybranych wielości fizycznych, przypisanych do elementów sończonych (np. cechy materiałowe, G, ν, itd.). Podczas przygotowywania obliczeń MS naleŝy zwrócić uwagę na oreślenie rodzaju oraz liczby stopni swobody (SSW) w węzłach, a do SSW naleŝeć mogą: przemieszczenie (translacja, rotacja), ciśnienie, temperatura, potencjał magnetyczny i napięcie eletryczne. Na Rys. 5 przedstawiono model tulei cylindra amortyzatora podwozia z przypisanymi warunami brzegowymi: - utwierdzenie (na licach walcowych gniazd, w tórych ustala się sworznie mocujące podwozie do wnęi podwoziowej adłuba samolotu), - wymuszenie (obciąŝenie wyniające z uderzenia tłoczysa amortyzatora o zderza cylindra podczas lądowania z nadmierną prędością spadu pionowego). Rys. 5. Waruni brzegowe przypisane do geometrii modelu tulei górnej cylindra amortyzatora

7 Rozwiązanie danego zadania przez solver odbywa się w więszości analiz w sposób niewidoczny dla uŝytownia. Podczas analizy wyniów za pomocą postprocesora istnieje wiele moŝliwości zaprezentowania szuanych rezultatów. Na Rys. 6.a przedstawiono tzw. warstwice napręŝeń zreduowanych wg hipotezy Hubera Misesa, tóre pojawią się w modelu tulei górnej cylindra w wyniu załoŝonych uprzednio warunów brzegowych. Analogiczny model z uwzględnieniem przedstawienia wyniów w postaci warstwic przemieszczeń zaprezentowano na Rys. 6.b, natomiast identyczne wynii wraz z demonstracją odształcenia obietu (odpowiednio przesalowanego) zademonstrowano na Rys. 6.c. Podczas pracy z postprocesorem westia doboru sali barw, liczby wartości pośrednich pomiędzy zarejestrowaną wartością masymalną, a minimalną, a taŝe dobór jednosti miary jest czynniiem zaleŝnym od preferencji uŝytownia. a) b) c) Rys. 6. Prezentacja wybranych wyniów obliczeń MS: a) warstwice napręŝeń, b) warstwice przemieszczeń, c) wartości przemieszczeń na modelu odształconym (odpowiednio przesalowanym)

8 4. Zaończenie Reasumując naleŝy zauwaŝyć, Ŝe zastosowanie Metody lementów Sończonych we wspomaganych omputerowo analizach inŝyniersich umoŝliwia szybie i względnie doładne osiągnięcie wyniów, tórych uzysanie w sposób analityczny byłby wyjątowo trudne lub wręcz niemoŝliwe. Wyorzystanie MS do zweryfiowania poprawności funcjonowania danego wyrobu umoŝliwia roową lub doładną optymalizację jego wybranych cech juŝ od wczesnych etapów jego rozwoju produtu. Uzysuje się więc moŝliwość radyalnego srócenia czasu trwania uruchomienia producji nowego wyrobu lub modyfiacji wyrobu juŝ znajdującego się w producji. NaleŜy mieć na uwadze, Ŝe wynii analiz MS opisują zachowanie się uładu w sposób przybliŝony, są zawsze obarczone pewnym błędem, tóry w przypadu poprawnego prowadzenia analizy CA moŝna uznać za pomijalnie mały. Pamiętać teŝ wypada o niepodwaŝalnym władzie polsich uczonych w rozwój teorii Metody lementów Sończonych oraz pratycznych aspetów jej zastosowania w numerycznych obliczeniach inŝyniersich. Adam Budzyńsi Literatura: [] Daco M, Borowsi W., Dobrocińsi S, Niezgoda T., Wieczore M.: Metoda lementów Sończonych w mechanice onstrucji, Arady, Warszawa 994 [] Raowsi G., Kacprzy Z.: MS w mechanice onstrucji, Oficyna Wydawnicza Politechnii Warszawsiej, Warszawa 005 [3] Rusińsi., Czmochowsi J., Smolnici T.: Zaawansowana metoda elementów sończonych w onstrucjach nośnych, Oficyna Wydawnicza Politechnii Wrocławsiej, Wrocław 000