OPERACJE MORFOLOGICZNE NA OBRAZACH BINARNYCH ZASTOSOWANIE NA POTRZEBY WIZJI KOMPUTEROWEJ

Transkrypt

1 STUI INORTI 24 Volume 25 Number 2 58 dam ŚWITOŃSKI Katarzyna STĄPOR Politechnia Śląsa Instytut Informatyi OPERJE OROLOGIZNE N ORZH INRNYH ZSTOSOWNIE N POTRZEY WIZJI KOPUTEROWEJ Streszczenie. Opracowanie stanowi omplesowy przegląd operatorów morfologii matematycznej dla obrazów binarnych. Zostały podane ich pełne definicje wraz z wyjaśnieniami sutów jaie powodują na obrazach. ziałanie opisanych operacji morfologicznych zaprezentowano na przyładowych obrazach. Słowa luczowe: morfologia matematyczna przetwarzanie obrazów wizja omputerowa ORPHOLOGIL OPERTIONS OR INRY IGES PPLITION OR OPUTER VISION Summary. The article is complex review of mathematical morphology operators for binary images. Their full definitions with explanations of their impact on the images have been given. The worings of described operators have been presented on example images. Keywords: mathematical morphology image processing computer vision. Wprowadzenie orfologia matematyczna jest narzędziem pozwalającym na wydobywanie informacji o ształcie obietów. Jej począti datuje się na lata 96 iedy to w Paris Schools of ines G. atheron i Jean Serra rozpoczęli badania nad geometrią obietów porowatych. Pierwsze formalne definicje zostały wprowadzone w [4] i ta pozycja jest powszechnie uważana jao fundament morfologii matematycznej. W niniejszym opracowaniu wprowadzimy definicje podstawowych operacji morfologicznych na binarnych obrazach cyfrowych.

2 6. Świtońsi K. Stąpor inarny obraz cyfrowy definiowany jest jao funcja odwzorowująca zbiór f ZxZ puntów obrazu w zbiór {}[28]: f : f { } zasami wygodniej obraz binarny zdefiniować jao podzbiór zbioru f dla tórego funcja f przyjmuje wartość []: gdzie { x : f } x f Translacją obrazu o wetor h jest przesunięty obraz o wetor h: h + h : y y y2 h h h2 { y + h y } 3 y + h y + h y2 + h2 o wydobycia geometrycznych informacji obrazu operatory morfologiczne będą potrzebowały zdefiniowania wzorca obietu przedstawiającego poszuiwany ształt na obrazie. Tai obiet będziemy oreślali mianem elementu struturalnego i tratowali jao obraz. Załadamy że element struturalny jest ograniczony Operacje morfologiczne 2.. Erozja i dylatacja ylatacja obrazu elementem struturalnym to suma obrazów powstałych z translacji obrazu wejściowego względem wszystich puntów elementu struturalnego [4]: U h h ylatacja będzie powodowała przyrost obietów na brzegach zgodnie z ształtem elementu struturalnego. Implementując dylatację wygodniej odwołać się do własności tóra mówi że obraz po dylatacji zawiera tylo te punty wobec tórych przesunięty odbity względem puntu element struturalny oraz obraz wejściowy posiadają część wspólną [3]: 5 gdzie _ h f : + h φ _ { x y : x y } 6 7

3 Operacje morfologiczne na obrazach binarnych... 7 Erozja obrazu elementem struturalnym to iloczyn obrazów powstałych z translacji obrazu wejściowego względem wszystich puntów elementu struturalnego [4]: E I h h Erozja będzie powodowała zmniejszanie się obietów na ich brzegach zgodnie z ształtem elementu struturalnego. Podobnie ja dla dylatacji implementując erozję lepiej posłużyć się własnością tóra mówi że obraz po erozji zawiera tylo te punty wobec tórych przesunięty element struturalny całowicie zawiera się w obrazie wejściowym [3]: { h : + h } E f 9 Poniżej zaprezentowano działanie operacji dylatacji i erozji dla binarnego obrazu litery H z rysunu a. 8 a b c d e Rys.. ylatacja i erozja: a obraz wejściowy b ylatacja elementem struturalnym o ształcie wadratu c dylatacja elementem struturalnym o ształcie pionowego odcina d erozja elementem struturalnym o ształcie wadratu e dylatacja elementem struturalnym o ształcie pionowego odcina ig.. ilatation and erosion: a input image b dilatation with square structing element c dilatation with vertical structing element d erosion with square structing element e erosion with vertical structing element Na rysunu b znajduje się obraz po dylatacji elementem struturalnym o ształcie wadratu. ylatacja spowodowała rozrost litery H we wszystich ierunach. Na rysunu c znajduje się litera H po dylatacji elementem struturalnym w ształcie odcina o orientacji pionowej. W tym przypadu rozrost jest zauważalny jedynie dla rawędzi horyzontalnych. Na rysunach d i e znajdują się obrazy po erozji obrazu litery H tymi samymi elementami struturalnymi i. la elementu struturalnego zani obietu jest widoczny dla wszystich ierunów natomiast dla elementu zani następował jedynie dla rawędzi horyzontalnych.

4 8. Świtońsi K. Stąpor 2.2. Hitiss Wyni operacji Hitiss trafi-nie trafi obrazu z elementami struturalnymi: Hit i iss jest równy iloczynowi obrazów uzysanych z erozji obrazu elementem struturalnym i erozji dopełnienia obrazu elementem struturalnym [7]: E E Hitiss 2 Operację Hitiss stosuje się do poszuiwania ształtów na płaszczyźnie obrazu gdyż w wyniu jej działania uzysujemy obiety bądź ich znacznii mieszczące się pomiędzy elementami i Wyznaczanie narożniów a b Rys.2. Zastosowanie operacji Hittiss do detecji narożniów: a obraz wejściowy b wyryte narożnii ig. 2. The application of Hitiss for corner detection: a input image b detected corners Na rysunu 2a znajduje się binarny obraz prostoąta. W celu wyznaczenia jego narożniów zastosowano operacje Hitiss z następującymi parami elementów struturalnych: Para wyrywa prawy górny narożni 2 2 prawy dolny 3 3 lewy dolny natomiast 4 4 lewy górny narożni.

5 Operacje morfologiczne na obrazach binarnych... 9 Wyryte narożnii znajdują się na rysunu. 2b tóry jest sumą obrazów powstałych w wyniu operacji Hitiss obrazu 2a wyżej wymienionymi parami elementów struturalnych Szieletyzacja Szielet obietu definiowany jest jao zbiór środów wszystich oręgów stycznych do przynajmniej dwóch rawędzi obietu i całowicie zwartych wewnątrz obietu []. Jednym ze sposobów wyznaczenia przybliżonego szieletu jest zastosowanie morfologii matematycznej. o tego celu wyorzystuje się operację ścieniania ang. thinning [2] tóra podobnie do erozji powoduje zmniejszanie się obietów na ich brzegach. W odróżnieniu od erozji zani nie może powodować podziału jednego obietu na dwie części oraz powinien być równomierny ze wszystich ierunów. o realizacji ścieniania stosuje się operację Hitiss. Z jej pomocą zostaną wyryte wszystie wierzchołi obietów oraz płasie brzegi nie będące jedynymi połączeniami pomiędzy odrębnymi partiami obietów. o wyrycia wierzchołów wyorzystamy elementy struturalne z równania 2 natomiast do wyrycia brzegów elementy z równania 3: Obraz ścieniony będzie obrazem pozbawionym wierzchołów oraz brzegów. la ażdej pary elementów struturalnych doonujemy ścienienia: Thin Hitiss 5 Istotna jest olejność w jaiej będziemy usuwali brzegi oraz wierzchołi. Jest ona następująca: Thinning Thin Thin... Thin Thin Szielety obietów obrazu uzysamy przez powtarzanie ścieniania aż do momentu gdy nie będzie ono powodowało żadnych zmian na obrazie: Seleton Thinning 7 Thinning inf Thinning Thinning... Thinning razy + { : Thinning Thinning } Na rysunu. 3b znajduje się szielet litery T z obrazu 3a uzysany za pomocą powyższego algorytmu: 9

6 . Świtońsi K. Stąpor a b Rys.3. Szieletyzacja: a obraz wejściowy b uzysany szielet ig. 3. Seletonization: a input image b achieved seleton 2.3. Otwarcie i zamnięcie Otwarcie obrazu za pomocą elementu struturalnego definiowane jest jao sewencyjne wyonanie operacji erozji i dylatacji elementem struturalnym [34 i 7]: O E 2 Otwarcie jest operacją tóra powoduje zani obietów oraz połączeń pomiędzy obietami węższych od rozmiaru elementu struturalnego. Na rysunu 4b znajduje się otwarty obraz z rysunu 4a elementem struturalnym w ształcie wadratu i długości bou 5. Widoczny jest zani połączeń pomiędzy obietami. a b Rys.4. Otwarcie: a obraz wejściowy b otwarcie ig. 4. Opening: a input image b opening Zamnięcie obrazu za pomocą elementu struturalnego definiowane jest jao sewencyjne wyonanie operacji dylatacji i erozji elementem struturalnym [34 i 7]: E 2 Zamnięcie powoduje wypełnienie wszystich dziur oraz przerw pomiędzy obietami tóre są węższe od rozmiaru elementu struturalnego.

7 Operacje morfologiczne na obrazach binarnych... a b Rys.5. Zamnięcie: a obraz wejściowy b zamnięcie ig. 5. losing: a input image b closing Na rysunu 5b znajduje się zamnięty obraz z rysunu 5a elementem struturalnym w ształcie wadratu i długości bou 5. Widoczny jest zani dziur wewnątrz obietu z rysunu 5a Gradient morfologiczny Wewnętrzny gradient morfologiczny obrazu elementem struturalnym jao wyni działania daje obraz będący różnicą wejściowego obrazu i obrazu po erozji elementem struturalnym []: Gint ernal E 22 Gradient wewnętrzny uwydatnia rawędzie obietów tóre są zaznaczane od strony wewnętrznej. Wielość i ształt elementu struturalnego decyduje o rozległości rawędzi. o wyznaczenia rzeczywistych rawędzi należy stosować podstawowy element struturalny z równania. Zewnętrzny gradient morfologiczny obrazu elementem struturalnym jao wyni działania daje obraz będący różnicą dylatacji wejściowego obrazu elementem struturalnym i obrazu []: G external 23 Efet działania jest podobny do gradientu wewnętrznego z tą różnicą że w tym przypadu rawędzie będą zaznaczane po stronie zewnętrznej obietu. ałowity gradient morfologiczny obrazu z elementem struturalnym jao wyni działania daje obraz będący różnicą dylatacji wejściowego obrazu elementem struturalnym i erozji obrazu elementem struturalnym []: G E Gint G 24 ernal + external Efetem działania jest uwydatnienie rawędzi zarówno po stronie wewnętrznej i zewnętrznej obietów. Obraz na rysunu 6b stanowi wewnętrzny natomiast na rysunu 6c całowity gradient morfologiczny elementem struturalnym z równania obrazu wejściowego z rysunu. 6a.

8 2. Świtońsi K. Stąpor a b c Rys.6. Gradient: a obraz wejściowy b gradient wewnętrzny c gradient całowity ig. 6. Gradient: a input image b internal gradient c full gradient 2.5. Reonstrucja geodezyjna Idea reonstrucji geodezyjnej przestawiona zostanie za pomocą sładowych spójnych obrazu [9]. Reonstrucją geodezyjną obietów obrazu * z obrazu znacznia obietów stanowi suma taich sładowych spójnych 2. n obrazu tóre mają część wspólną z obrazem znacznia [3]: U GR 25 i : φ i i Reonstrucją geodezyjną tła obrazu z obrazu znacznia tła jest dopełnienie zbioru taich sładowych spójnych dopełnienia obrazu tóre mają część wspólną z dopełnieniem obrazu znacznia: GR i U 26 i : i φ Jednym ze sposobów wyznaczenia reonstrucji geodezyjnej jest zastosowanie morfologii matematycznej. o tego celu wprowadzona zostaną definicje dylatacji i erozji warunowej: ylatacja warunowa obrazu z masą i elementem struturalnym jest równa iloczynowi obrazu masi i obrazu uzysanego przez dylatację obrazu elementem struturalnym [ 3]: 27 Erozja warunowa obrazu z masą i elementem struturalnym jest równa sumie obrazu masi i obrazu uzysanego przez erozję obrazu elementem struturalnym : E E 28 Reonstrucja geodezyjna obietów obrazu ze znacznia elementem struturalnym otrzymujemy przez powtarzanie dylatacji warunowej z masą i elementem struturalnym na obrazie wejściowym []: * alej reonstrucje obietów obrazu będziemy oreślali mianem reonstrucji obrazu

9 Operacje morfologiczne na obrazach binarnych... 3 GR 29 gdzie razy Z puntu widzenia implementacji dylatację warunową ończymy w momencie gdy olejne dylatacje nie powodują żadnych zmian w obrazie wejściowym GR 3 gdzie + : inf 32 Reonstrucję geodezyjną tła obrazu ze znacznia elementem struturalnym uzysujemy przez powtarzanie erozji warunowej z masą i elementem struturalnym na obrazie wejściowym aż do momentu gdy nie będzie ona powodowała zmian: + : inf E E E GR 33 a b c d e Rys.7. Reonstrucja geodezyjna: a obraz wejściowy b znaczni obietów c zreonstruowany obraz a ze znacznia obietów d znaczni tła e zreonstruowane tło obrazu a ze znacznia tła ig. 7. Geodesic reconstruction: a input image b object marer c reconstructed image from the object marer e reconstructed image bacground from the bacground marer

10 4. Świtońsi K. Stąpor Na rysunu. 7c znajduje się zreonstruowany obraz z rysunu 7a ze znacznia z rysnu. 7b podstawowym elementem struturalnym z równania. Na rysunu 7e znajduje się zreonstruowane tło tego obrazu ze znacznia tła z rysunu 7d tym samym elementem struturalnym. LITERTUR. Goutsias J. atman S.: orphological ethods for iomedical Image nalysis. Handboo of edical Imaging. Volume 2. edical Image Processing and nalysis Optical Engineering Press 2 s Gonzales R.: igital Image Processing. Prentice Hall oston Nieniewsi.: orfologia matematyczna w przetwarzaniu obrazów. ademica Oficyna Wydawnicza Warszawa Serra J.: Image nalysis and athematical orphology. cademic Press London Serra J.: Introduction to mathematical morphology. omputer Vision Graphics and Image Processing s Serra J.: Image nalysis and athematical orphology vol. 2. cademic Press London Soille P.: orphological Image nalysis: Principles and pplications Springer-Verlag erlin Tadeusiewicz R. Korohodza P. Komputerowa analiza i przetwarzanie obrazów Wydawnictwo Postępu Teleomuniacji Kraów Tadeusiewicz R. lasińsi.: Rozpoznawanie obrazów Państwowe Wydawnictwo Nauowe 99.. Pavlidis T. Grafia i przetwarzanie obrazów Wydawnictwo Nauowo Techniczne Warszawa 987. Recenzent: r hab. inż. Ewa Pięta Prof. Pol. Śląsiej Wpłynęło do Redacji 9 stycznia 24 r.

11 Operacje morfologiczne na obrazach binarnych... 5 bstract The article presents mathematical morphology operators for binary images. In the first section binary image 2 and structuring element have been defined. The following section has been devoted to a complex review of binary mathematical morphology operators with their applications to selected images. The basic ones are dilatation 5 and erosion 8. ilatation enlarges fig. b c and erosion shrins fig. d e objects in size and the shape of structuring element. Hitiss operator 2 is based on erosion and results in objects or their marers which are between two structuring elements. Hitiss can for instance be applied to detect corners fig. 2 or to find seleton of an object fig. 3. In the subsequent part such operators as opening 2 and closing 2 are presented. They are sequences of dilatation and erosion. nother application of dilatation and erosion is gradient operator which detects edges of objects. They can be mared inside the object - internal gradient 22 outside the object external gradient 23 and on both sides 24. Subsection 2.5 provides a definition of geodesic reconstruction of the foreground 25 and the bacground 26 objects. It also presents the way to reconstruct objects 29 and the bacground 33 from the marer image by means of mathematical morphology operations. dresy dam Świtońsi: Politechnia Śląsa Instytut Informatyi ul. ademica Gliwice Polsa a.switonsi@zti.iinf.polsl.gliwice.pl Katarzyna Stąpor: Politechnia Śląsa Instytut Informatyi ul. ademica Gliwice Polsa delta@zti.iinf.polsl.gliwice.pl