Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych"

Transkrypt

1 Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Algorytm SWMEB. Część 1. dr inż. Jacek Ptaszny Rzeszów, dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 1/36

2 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 2/36

3 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 3/36

4 Ogólny opis metody Grupowanie i rozdział wpływu G Punkty ca³kowania Punkty rozwiniêcia wielobiegunowego W Punkty rozwiniêcia lokalnego Punkty kolokacji Transformacja W-W Transformacja W-L Transformacja L-L dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 4/36

5 Ogólny opis metody Macierzowy układ równań [H] bl {U} + {HU} odl = [G] bl {T} + {GT} odl + {B} bl + {B} odl (1) Macierze wpływu obszaru bliskiego obliczane metodą bezpośrednią Macierze wpływu obszaru odległego obliczane w sposób przybliżony, za pomocą szeregów dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 5/36

6 Ogólny opis metody Macierzowy układ równań [H] bl {U} + {HU} odl = [G] bl {T} + {GT} odl + {B} bl + {B} odl (1) Macierze wpływu obszaru bliskiego obliczane metodą bezpośrednią Macierze wpływu obszaru odległego obliczane w sposób przybliżony, za pomocą szeregów dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 5/36

7 Ogólny opis metody Macierzowy układ równań [H] bl {U} + {HU} odl = [G] bl {T} + {GT} odl + {B} bl + {B} odl (1) Macierze wpływu obszaru bliskiego obliczane metodą bezpośrednią Macierze wpływu obszaru odległego obliczane w sposób przybliżony, za pomocą szeregów dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 5/36

8 Ogólny opis metody Macierzowy układ równań W wyniku uwzględnienia warunków brzegowych przez przegrupowanie składników lewej i prawej strony równania: [A] bl {X} + {AX} odl = [D] bl {Y} + {DY} odl + {B} bl + {B} odl, (2) {X} - wektor niewiadomych, {Y} - wektor znanych wielkości, [A] bl, [D] bl - macierze utworzone przez przegrupowanie kolumn macierzy [H] bl i [G] bl. W SWMEB nie buduje się całych macierzy, lecz oblicza od razu iloczyn macierzy i wektorów wielkości brzegowych. dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 6/36

9 Ogólny opis metody Macierzowy układ równań Układ równań można rozwiązać tylko metodą iteracyjną. Równanie w i-tej iteracji: {AX i } = {Z}. (3) Najczęściej stosuje się metodę GMRES z poprawą uwarunkowania układu równań. dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 7/36

10 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 8/36

11 Rozwinięcia potencjałów Szereg wielobiegunowy Im x z r a c x y g x b y 1 z (4) 2 Re α - obszar z punktem całkowania x β - numer elementu brzegowego γ - numer komórki wewnętrznej x - punkt kolokacji c - punkt rozwinięcia wielobiegunowego przypisany do obszaru α dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 9/36

12 Rozwinięcia potencjałów Jądra całek Rozwiązania podstawowe: U ij (x, x) = 1 8πµ(1 ν) [(4ν 3)δ ij ln(r) + r, i r, j ], (5) { T ij (x 1 r ], x) = [(1 2ν)δ ij + 2r, i r, j 4π(1 ν)r n } (1 2ν)(r, i n j r, j n i ). (6) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 10/36

13 Rozwinięcia potencjałów Wyrażenia występujące w rozwiązaniu U ij(x, x) ln r = Re [ln(z y)] = Re r, 1 r, j = r 1 r j r 2 [ ln z + k=1 1 k = Re 1 r r j = Re 1 z y r j = Re r, 2 r, j = r 2 r j r 2 = Im 1 r r j = Im 1 z y r j = Im ( y z ) k ] (7) y k z k+1 r j (8) y k z k+1 r j (9) y < z (10) r 1 = Re (y z), r 2 = Im (y z) (11) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 11/36

14 Rozwinięcia potencjałów Wyrażenia występujące w rozwiązaniu T ij(x, x) r,1 n 2 r,2 n 1 r 1 r r n 2r,1r,2 = 1 r 2r 1 r 2 r n r 2 1 r r n = r in i r 2 = Re n r = Re n z y = Re = r 1n 2 r 2 n 1 r 2 = Im n r = Im n z y = Im n yk z k+1 (12) n yk z k+1 (13) = Re(rn) Im 1 r 2 = Re(rn) Im (k + 1) yk z k+2 (14) 1 r r n 2r,1 2 = 1 r 2r1 2 r n r 2 = 1 ( r r r2 2 r n r 2 r 2 2 r 1 2 ) r 2 1 r r n 2r,2 2 = 1 r 2r2 2 r n r 2 = 1 ( r r r2 2 r n r 2 r 1 2 r 2 2 ) r 2 1 r r1 2 r 2 2 r n r 2 (15) (16) = Re(rn) Re 1 r 2 = Re(rn) Re (k + 1) yk z k+2 (17) y < z (18) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 12/36

15 Szereg wielobiegunowy Suma potencjałów warstwy pojedynczej i objętościowego I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3) A 0 1α (k)f (z, k) +A 1α (k)f Re (z, k + 1) A Re 1α(k)f (z, k + 1) ], (19) I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = 1 8πµ(1 ν) Re [ A2α (k)f Im (z, k + 1) A Im 2α(k)f (z, k + 1) ] (20) 1 8πµ(1 ν) Re [ A1α (k)f Im (z, k + 1) A Im 1α(k)f (z, k + 1) ] (21) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3) Re [ A 0 8πµ(1 ν) 2α(k)f (z, k) ] Im [ A 2α (k)f Im (z, k + 1) ] + Im [ A Im 2α(k)f (z, k + 1) ]} (22) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 13/36

16 Szereg wielobiegunowy Suma potencjałów warstwy pojedynczej i objętościowego I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3) A 0 1α (k)f (z, k) +A 1α (k)f Re (z, k + 1) A Re 1α(k)f (z, k + 1) ], (19) I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = 1 8πµ(1 ν) Re [ A2α (k)f Im (z, k + 1) A Im 2α(k)f (z, k + 1) ] (20) 1 8πµ(1 ν) Re [ A1α (k)f Im (z, k + 1) A Im 1α(k)f (z, k + 1) ] (21) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3) Re [ A 0 8πµ(1 ν) 2α(k)f (z, k) ] Im [ A 2α (k)f Im (z, k + 1) ] + Im [ A Im 2α(k)f (z, k + 1) ]} (22) A ( ) iα(k) - momenty wielobiegunowe dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 13/36

17 Szereg wielobiegunowy Suma potencjałów warstwy pojedynczej i objętościowego I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3) A 0 1α (k)f (z, k) +A 1α (k)f Re (z, k + 1) A Re 1α(k)f (z, k + 1) ], (19) I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = 1 8πµ(1 ν) Re [ A2α (k)f Im (z, k + 1) A Im 2α(k)f (z, k + 1) ] (20) 1 8πµ(1 ν) Re [ A1α (k)f Im (z, k + 1) A Im 1α(k)f (z, k + 1) ] (21) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3) Re [ A 0 8πµ(1 ν) 2α(k)f (z, k) ] Im [ A 2α (k)f Im (z, k + 1) ] + Im [ A Im 2α(k)f (z, k + 1) ]} (22) f ( ) (z, k) - funkcje wielobiegunowe dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 13/36

18 Szereg wielobiegunowy Suma potencjałów warstwy pojedynczej i objętościowego Momenty wielobiegunowe: A iα (k) = y k t iβ dγ(x) + β Γ β γ A Re iα (k) = β A Im iα (k) = β dla k = 0, 1,,, oraz Re y y k t iβ dγ(x)+ Γ β γ Γ β Im y y k t iβ dγ(x)+ γ Ω γ y k b iγ dω(x) (23) Re y y k b iγ dω(x) (24) Ω γ Im y y k b iγ dω(x) (25) Ω γ A 0 iα(k) = { Aiα (k) dla k = 0, 1 k A iα(k) dla k = 1, 2,, (26) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 14/36

19 Szereg wielobiegunowy Potencjał warstwy podwójnej I T 11α(x ) = I T 12α(x ) = I T 21α(x ) = I T 22α(x ) = 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 1α(k)f (z, k + 1) + [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) [ B Re 1α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B2α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) + (1 2ν)B 2α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B1α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) (1 2ν)B 1α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 2α(k)f (z, k + 1) [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B Re 2α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) } } } } (27) (28) (29) (30) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 15/36

20 Szereg wielobiegunowy Potencjał warstwy podwójnej I T 11α(x ) = I T 12α(x ) = I T 21α(x ) = I T 22α(x ) = 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 1α(k)f (z, k + 1) + [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) [ B Re 1α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B2α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) + (1 2ν)B 2α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B1α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) (1 2ν)B 1α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 2α(k)f (z, k + 1) [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) B ( ) iα (k) - momenty wielobiegunowe + [ B Re 2α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) } } } } (27) (28) (29) (30) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 15/36

21 Szereg wielobiegunowy Potencjał warstwy podwójnej I T 11α(x ) = I T 12α(x ) = I T 21α(x ) = I T 22α(x ) = 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 1α(k)f (z, k + 1) + [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) [ B Re 1α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B2α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) + (1 2ν)B 2α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B1α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) (1 2ν)B 1α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 2α(k)f (z, k + 1) [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) f ( ) (z, k) - funkcje wielobiegunowe + [ B Re 2α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) } } } } (27) (28) (29) (30) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 15/36

22 Szereg wielobiegunowy Potencjał warstwy podwójnej Momenty wielobiegunowe: B iα (k) = β B Re iα (k) = β B Im iα (k) = β Biα 2Re (k) = β Biα 2Im (k) = β Γ β n y k u iβ dγ(x) (31) Re n y k u iβ dγ(x) (32) Γ β Im n y k u iβ dγ(x) (33) Γ β Re y Re n y k u iβ dγ(x) (34) Γ β Im y Im n y k u iβ dγ(x) (35) Γ β dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 16/36

23 Szereg wielobiegunowy Funkcje wielobiegunowe { ln z dla k = 0, f (z, k) = z k dla k = 1, 2,, (36) f Re (z, k) = Re z z k (37) f Im (z, k) = Im z z k (38) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 17/36

24 Szereg wielobiegunowy Podsumowanie Im x c y z x g x r a b A ( ) iα (k), B( ) iα Re (k) - zależne od wektora y f ( ) (z, k) - zależne od wektora z Momenty wielobiegunowe pozwalają na obliczenie składników potencjałów dla różnych punktów kolokacji bez potrzeby ponownego całkowania wzdłuż elementów brzegowych β i po obszarze komórek γ. dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 18/36

25 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 19/36

26 Transformacja W-W d < 1 2 ẑ Przesunięcie punktu rozwinięcia wielobiegunowego o wektor d dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 20/36

27 Transformacja W-W Wykorzystane zależności: ln(ẑ d) = ln ẑ + l=1 ( ) 1 ḓ l, (39) l z dla d < ẑ, (ẑ d) k = l=k ( ) l 1 d l k k 1 ẑ k, (40) l ( ) = ( ). (41) l=k l=0 dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 20/36

28 Transformacja W-W Transformowane momenty Momenty potencjału warstwy pojedynczej i objętościowego: { A Â 0 0 iα (l) = iα (0) ( dla l = 0, 1 l dl A 0 iα (0) + l l 1 ) k=1 k 1 d l k A 0 (39) iα (k) dla l = 1, 2,, Â Im iα (l) : Re Im, ARe iα Â Re iα (l) = Â iα (l) = l (k) AIm iα (k) l ( l ) d l k A iα (k), (40) k ( l ) [ ] d l k A Re iα k (k) + Re d A iα(k). (41) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 20/36

29 Transformacja W-W Transformowane momenty Momenty potencjału warstwy podwójnej: ˆB iα (l) = l ( l ) d l k B iα (k), (39) k ˆB Im iα (l), ˆB 2Im iα ˆB Re iα (l) = ˆB 2Re iα (l) = l (l) : Re Im, BRe iα k + 1 l + 1 l k + 1 l + 1 ( l + 1 k + 1 (k) BIm iα ( l + 1 k + 1 ) d l k Biα Re (k), (40) ) [ d l k Biα 2Re (k) + Re dbre (k)] iα. (41) (k), B2Re iα (k) B2Im iα (k) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 20/36

30 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 21/36

31 Rozwinięcia funkcji wielobiegunowych a x c y z z a c y < 1 2 z Im α - obszar z punktem kolokacji Re c - punkt rozwinięcia lokalnego x - punkt kolokacji dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 22/36

32 Rozwinięcia funkcji wielobiegunowych Potencjały zależne od U ij Wykorzystane zależności: dla y < z. ln(z y ) = ln z + l=1 1 l ( y ) l, (42) ( ) (z y ) k = (z ) k (y l + k 1 ) l k 1 z, (43) l=0 z dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 22/36

33 Szereg lokalny Potencjały zależne od U ij I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3)E 0 1α (α, k)g(y, k) +E1α Re (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Re (y, k) ], I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = (44) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 2α (α, k)g(y, k) E 2α (α, k)g Im (y, k) ], (45) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 1α (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Im (y, k) ], (46) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3)Re [ E2α 0 8πµ(1 ν) (α, k)g(y, k) ] Im [ E Im 2α (α, k)g(y, k) ] + Im [ E 2α (α, k)g Im (y, k) ]}. (47) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 23/36

34 Szereg lokalny Potencjały zależne od U ij I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3)E 0 1α (α, k)g(y, k) +E1α Re (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Re (y, k) ], I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = (44) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 2α (α, k)g(y, k) E 2α (α, k)g Im (y, k) ], (45) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 1α (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Im (y, k) ], (46) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3)Re [ E2α 0 8πµ(1 ν) (α, k)g(y, k) ] E ( ) iα (α, k) - momenty lokalne Im [ E Im 2α (α, k)g(y, k) ] + Im [ E 2α (α, k)g Im (y, k) ]}. (47) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 23/36

35 Szereg lokalny Potencjały zależne od U ij I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3)E 0 1α (α, k)g(y, k) +E1α Re (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Re (y, k) ], I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = (44) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 2α (α, k)g(y, k) E 2α (α, k)g Im (y, k) ], (45) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 1α (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Im (y, k) ], (46) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3)Re [ E2α 0 8πµ(1 ν) (α, k)g(y, k) ] g ( ) (y, k) - funkcje lokalne Im [ E Im 2α (α, k)g(y, k) ] + Im [ E 2α (α, k)g Im (y, k) ]}. (47) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 23/36

36 Transformacja W-L Transformowane momenty Momenty potencjału warstwy pojedynczej i objętościowego: E 0 iα (α, l) = { ln z A 0 iα (0) + k=1 1 l (z ) l A 0 iα (0) + k=1 E Re iα (α, l) = E iα (α, l) = ( l + k E Im iα (α, k) : Re Im, A Re iα (k) AIm iα (k) k ( l+k 1 ) k 1 (z ) k l A iα (k) dla l = 0, ( l+k 1 ) k 1 (z ) k l A iα (k) dla l = 1, 2,, ; (48) ( l + k ) (z ) k l 1 A iα (k), (49) k ) (z ) k l 1 [ Re z A iα (k) A Re iα (k) ]. (50) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 24/36

37 Szereg lokalny Funkcje lokalne g(y, k) = (y ) k, (51) g Re (y, k) = (y ) k Re y, (52) g Im (y, k) = (y ) k Im y. (53) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 25/36

38 Szereg lokalny Potencjał warstwy podwójnej I11α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F1α (α, k)g(y, k) + F1α 2Re (α, k)g(y, k) +F1α Re (α, k)g Re (y, k) + F1α 2Im (α, k)g(y, k) + F1α Im (α, k)g Im (y, k) ], I12α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 2α (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) + (1 2ν)F 2α (α, k)g(y, k) ], I21α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 1α (α, k)g(y, k) F1α Re (α, k)g Re (y, k) F1α 2Im (α, k)g(y, k) F1α Im (α, k)g Im (y, k) (1 2ν)F 1α (α, k)g(y, k) ], I22α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F2α (α, k)g(y, k) F2α 2Re (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) ]. (54) (55) (56) (57) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 26/36

39 Szereg lokalny Potencjał warstwy podwójnej I11α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F1α (α, k)g(y, k) + F1α 2Re (α, k)g(y, k) +F1α Re (α, k)g Re (y, k) + F1α 2Im (α, k)g(y, k) + F1α Im (α, k)g Im (y, k) ], I12α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 2α (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) + (1 2ν)F 2α (α, k)g(y, k) ], I21α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 1α (α, k)g(y, k) F1α Re (α, k)g Re (y, k) F1α 2Im (α, k)g(y, k) F1α Im (α, k)g Im (y, k) (1 2ν)F 1α (α, k)g(y, k) ], I22α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F2α (α, k)g(y, k) F2α 2Re (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) ]. F ( ) iα (α, k) - momenty lokalne (54) (55) (56) (57) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 26/36

40 Szereg lokalny Potencjał warstwy podwójnej I11α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F1α (α, k)g(y, k) + F1α 2Re (α, k)g(y, k) +F1α Re (α, k)g Re (y, k) + F1α 2Im (α, k)g(y, k) + F1α Im (α, k)g Im (y, k) ], I12α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 2α (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) + (1 2ν)F 2α (α, k)g(y, k) ], I21α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 1α (α, k)g(y, k) F1α Re (α, k)g Re (y, k) F1α 2Im (α, k)g(y, k) F1α Im (α, k)g Im (y, k) (1 2ν)F 1α (α, k)g(y, k) ], I22α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F2α (α, k)g(y, k) F2α 2Re (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) ]. g ( ) (y, k) - funkcje lokalne (54) (55) (56) (57) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 26/36

41 Transformacja W-L Transformowane momenty Momenty potencjału warstwy podwójnej: F 2Re iα (α, l) = F Im iα (α, k), F 2Im F iα (α, l) = F Re iα (α, l) = ( l + k ) (z ) k l 1 B iα (k), (58) k ( l + k + 1) (k + 1) (z ) k l 2 Biα Re (k), (59) k + 1 ( l + k + 1) (k + 1) (z ) k l 2[ Biα 2Re k + 1 iα (α, k) : Re Im, Biα Re (k) BIm iα (k), B2Re iα (k) Re z B Re iα (k)]. (60) (k) B2Im iα (k) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 27/36

42 Szereg lokalny Podsumowanie a x y c z z a c Im E ( ) iα (α, k), F ( ) g ( ) (y, k) - zależne Re od wektora y iα (α, k) - zależne od wektora z Transformacja W-L i szereg lokalny pozwalają na rozdział wpływu do wielu punktów kolokacji, za pomocą tych samych momentów lokalnych. dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 28/36

43 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 29/36

44 Transformacja L-L Przesunięcie punktu rozwinięcia lokalnego o wektor d dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 30/36

45 Transformacja L-L ˇX iα (α, l) = ( k ) (d ) k l X iα (α, k) l k=l { dla ˇXiα (α, l) Ě 0 iα (α, l), Ěiα (α, l), ˇF Re Im iα (α, l), ˇF iα (α, l), ˇF } iα (α, l), Ě Re iα (α, l) = ˇF 2Re iα (α, l) = ( k l k=l ( k l k=l {Ě Im iα (l), ˇF } 2Im iα (l) : Re Im, { E Re iα (k), F Re iα (k), F 2Re iα (k) } { E Im iα (k), F Im iα (k), F 2Im (61) ) (d ) k l[ E Re iα (α, k) Re d E iα (α, k) ], (62) ) (d ) k l[ F 2Re iα (α, k) Re d F Re iα (α, k) ]. (63) iα (k) } dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 31/36

46 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 32/36

47 Obliczanie naprężeń Potencjały równania brzegowego naprężeń Pochodne potencjałów równania przemieszczeń względem współrzędnych punktu x : x U j ik (x, x)t kβ dγ(x) β Γ β = Iikα,j(x U ), (64) k x j x j { } U ik (x, x)b kγ dω(x) = γ Ω γ k T ik (x, x)u kβ dγ(x) β Γ β = k J U ikα,j(x ), (65) I T ikα,j(x ). (66) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 33/36

48 Obliczanie naprężeń Potencjały równania brzegowego naprężeń Nowe potencjały: I U ijkα(x ) = I U ikα,j(x ), (64) J U ijkα(x ) = J U ikα,j(x ), (65) I T ijkα(x ) = J T ikα,j(x ), (66) obliczane są za pomocą szeregu lokalnego przez zastąpienie funkcji g ( ) (y, k) ich pochodnymi: { } g, j (y, k) = k(y ) k 1 1, (67) i g Re, j (y, k) = k(y ) k 1 Re (y ) { 1 0 g Im, j (y, k) = k(y ) k 1 Im (y ) { 0 1 } { + (y ) k 1 i } { + (y ) k 1 i }, (68) }. (69) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 33/36

49 Obliczanie naprężeń Potencjały równania brzegowego naprężeń Na przykład: I U 1j1α (x ) + J U 1j1α (x ) = I T 1j1α (x ) = 1 4π(1 ν) Re 1 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3)E 0 1α (k)g, j (y, k) ] +E Re 1α (k)g, j (y, k) E 1α (k)g, Re j (y, k), [ 2(ν 1) F1α (k)g, j (y, k) + F 2Re 1α (k)g, j (y, k) +F Re 1α (k)g Re, j (y, k) + F 2Im 1α (k)g, j (y, k) + F Im 1α (k)g Im, j (y, k) ]. (64) (65) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 33/36

50 Obliczanie naprężeń Potencjały równania brzegowego naprężeń Ostatecznie: β U ijk (x, x)t kβ dγ(x) = Γ β { 2µν 1 2ν δ ijillkα(x U ) + µ [ Iijkα(x U ) + Ijikα(x U ) ]}. k (64) Do obliczenia potencjałów równania naprężeń można wykorzystać momenty wielobiegunowe i lokalne, oraz ich transformacje takie same jak w przypadku równania przemieszczeń. dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 33/36

51 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 34/36

52 Literatura Beatson R., Greengard L., A short course on fast multipole methods, Carrier J., Greengard L., Rokhlin V., A fast adaptive multipole algorithm for particle simulations, SIAM J Sci Stat Comp, 9, 4, , Dreszer J. (red.), Poradnik inżyniera. Matematyka, WNT, Warszawa, Greengard L., Rokhlin V., A fast algorithm for particle simulations, J Comput Phys, 73, , Liu Y.J., A new fast multipole boundary element method for solving large-scale two-dimensional elastostatic problems, Int J Numer Meth Eng, 65, , dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 35/36

53 Literatura Liu Y.J., Nishimura N., The fast multipole boundary element method for potential problems: A tutorial, Eng Anal Bound Elem, 30, , Nishimura N., Fast multipole accelerated boundary integral equation methods, Appl Mech Rev, 55, 4, , Rokhlin V., Rapid Solution of Integral Equations of Classical Potential Theory, J Comput Phys, 60, , Yamada Y., Hayami K., A multipole boundary element method for two dimensional elastostatics, Tech. Report, METR 95-07, Math. Eng. Section, Dept. Math. Eng., Information. Phys., Univ. Tokyo, dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 35/36

54 Koniec części I LaTeX Template based on Oxygen, dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 36/36

Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych

Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Przykłady analizy.

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Stateczność ramy - wersja komputerowa

Stateczność ramy - wersja komputerowa Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION Mirosław GUZIK Grzegorz KOSZŁKA PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION W artykule przedstawiono niektóre

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Mathematics

KARTA KURSU. Mathematics KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Matematyka Mathematics Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Maria Robaszewska Zespół dydaktyczny dr Maria Robaszewska Opis kursu (cele kształcenia) Celem kursu jest zapoznanie

Bardziej szczegółowo

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX Autor: Spis treści Wstęp. Wprowadzenie...................................... Warunki korzystania z usługi............................ Przykładowe próbki

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do MES. Krzysztof Banaś. 24 października 2012

Wprowadzenie do MES. Krzysztof Banaś. 24 października 2012 Wprowadzenie do MES Krzysztof Banaś 24 października 202 MES (Metoda Elementów Skończonych 2 ) jest jednym z podstawowych narzędzi komputerowego wspomagania badań naukowych i analiz inżynierskich, o bardzo

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki

Bardziej szczegółowo

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Ćwiczenie audytoryjne pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Autor: dr inż. Radosław Łyszkowski Warszawa, 2013r. Metoda elementów skończonych MES FEM - Finite Element Method przybliżona

Bardziej szczegółowo

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

Czy umiemy mnożyć wektory?

Czy umiemy mnożyć wektory? Czy umiemy mnożyć wektory? wprowadzenie do algebry geometrycznej Jacek Grela 1 UJ 2010 Plan działania Motywacja Wprowadzenie do algebry geometrycznej Algebra 2D, 3D Przykład fizyczny Algebra czasoprzestrzeni

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2

Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 Zmiana baz Jacek Jędrzejewski 2014 Spis treści 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 2 Wektory a zmiana baz 2 21 Współrzędne wektora względem różnych baz 2 22 Wektory o tych samych współrzędnych względem

Bardziej szczegółowo

PROBLEMY NIEKONWENCJONALNYCH UKŁADÓW ŁOŻYSKOWYCH Łódź 09-10 maja 1995 roku

PROBLEMY NIEKONWENCJONALNYCH UKŁADÓW ŁOŻYSKOWYCH Łódź 09-10 maja 1995 roku PROBLEMY NIEKONWENCJONALNYCH UKŁADÓW ŁOŻYSKOWYCH Łódź 09-10 maja 1995 roku Edward Walicki, Anna Walicka, Tomasz Karpiński (WSI Zielona Góra) PARAMETRY MECHANICZNE WIELOKRZYWKOWEGO ŁOŻYSKA STOŻKOWEGO SMAROWANEGO

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Julia 4D - raytracing

Julia 4D - raytracing i przykładowa implementacja w asemblerze Politechnika Śląska Instytut Informatyki 27 sierpnia 2009 A teraz... 1 Fraktale Julia Przykłady Wstęp teoretyczny Rendering za pomocą śledzenia promieni 2 Implementacja

Bardziej szczegółowo

Modelowanie absorbcji cząsteczek LDL w ściankach naczyń krwionośnych

Modelowanie absorbcji cząsteczek LDL w ściankach naczyń krwionośnych Modelowanie absorbcji cząsteczek LDL w ściankach naczyń krwionośnych Plan prezentacji Co to jest LDL? 1 Budowa naczynia krwionośnego 2 Przykładowe wyniki 3 Mechanizmy wnikania blaszki miażdżycowej w ścianki

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: MODELOWANIE I SYMULACJA PROCESÓW WYTWARZANIA Modeling and Simulation of Manufacturing Processes Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy specjalności PSM Rodzaj zajęć: wykład,

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures.

ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures. Algorytmy i struktury danych. Metody numeryczne ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures. dzienne magisterskie Numerical methods. (Part 2. Numerical methods)

Bardziej szczegółowo

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora AiR V sem. Gr. A4/ Wicher Bartłomiej Pilewski Wiktor 9 stycznia 011 1 1 Wstęp Rysunek 1: Schematyczne przedstawienie manipulatora W poniższym

Bardziej szczegółowo

Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich. Wykład 6

Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich. Wykład 6 Wykład 6 p. 1/?? Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich Wykład 6 Dr inż. Tomasz Olas olas@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi: Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: PODSTAWY MODELOWANIA PROCESÓW WYTWARZANIA Fundamentals of manufacturing processes modeling Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności APWiR Rodzaj

Bardziej szczegółowo

Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów

Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów W ramach zajęć oprogramujemy jedną, wybraną metodę numeryczną: metodę bisekcji numerycznego rozwiązywania równania nieliniowego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

2. Równania nieliniowe i ich uk lady Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4. Matlab - funkcje, wielomiany, obliczenia symboliczne

Ćwiczenie 4. Matlab - funkcje, wielomiany, obliczenia symboliczne Ćwiczenie 4. Matlab - funkcje, wielomiany, obliczenia symboliczne Obliczenia z wykorzystaniem tzw. funkcji anonimowej Składnia funkcji anonimowej: nazwa_funkcji=@(lista_argumentów)(wyrażenie) gdzie: -

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

PWSZ w Tarnowie Instytut Politechniczny Elektrotechnika

PWSZ w Tarnowie Instytut Politechniczny Elektrotechnika PWSZ w Tarnowie Instytut Politechniczny Elektrotechnika METODY NUMERYCZNE WYKŁAD Andrzej M. Dąbrowski amd@agh.edu.pl Paw.C p.100e Konsultacje: środa 14 45-15 30 czwartek 14 45 - Wykład 2 godz. lekcyjne.

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość

Bardziej szczegółowo

Projektowanie systemów EM. Metoda elementów skończonych

Projektowanie systemów EM. Metoda elementów skończonych Projektowanie systemów EM Metoda elementów skończonych Wstęp Podstawy obliczeń MES Etapy definicji modelu numerycznego Rodzaje problemów moduły obliczeniowe Wybrane wyniki obliczeń 2 dr inż. Michał Michna

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

FLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua. Marek Cała Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

FLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua. Marek Cała Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki FLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua Program FLAC jest oparty o metodę różnic skończonych. Metoda Różnic Skończonych (MRS) jest chyba najstarszą metodą numeryczną. W metodzie tej każda pochodna w

Bardziej szczegółowo

3 Metoda NCGF rozwiązywania równania Schrödingera 5

3 Metoda NCGF rozwiązywania równania Schrödingera 5 Spis treści 1 Ruch paczki falowej 1 2 Leapfrog method 2 3 Metoda NCGF rozwiązywania równania Schrödingera 5 Temat: Zależne od czasu równanie Schrödingera. Ruch pakietów falowych. Wartości własne. Przykłady

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych mgr inż. C. Dendek prof. nzw. dr hab. J. Mańdziuk Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Outline 1 Uczenie

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO...

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO... Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO....................... XI 1. WPROWADZENIE DO GEODEZJI WYŻSZEJ..................... 1 Z historii geodezji........................................ 1 1.1. Kształt

Bardziej szczegółowo

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów. Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych.. Układy równań o macierzach trójkątnych.. Metoda eliminacji Gaussa.3. Metoda Gaussa-Jordana.4.

Bardziej szczegółowo

Projektowanie logistycznych gniazd przedmiotowych

Projektowanie logistycznych gniazd przedmiotowych Zygmunt Mazur Projektowanie logistycznych gniazd przedmiotowych Uwagi wstępne Logistyka obejmuje projektowanie struktury przep³ywu w procesie wytwarzania. Projektowanie dotyczy ustalania liczby, kszta³tu

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD I PSPICE

SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD I PSPICE POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 76 Electrical Engineering 2013 Piotr FRĄCZAK* SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD

Bardziej szczegółowo

Programowanie Równoległe wykład 13. Symulacje komputerowe cieczy LBM w CUDA. Maciej Matyka Instytut Fizyki Teoretycznej

Programowanie Równoległe wykład 13. Symulacje komputerowe cieczy LBM w CUDA. Maciej Matyka Instytut Fizyki Teoretycznej Programowanie Równoległe wykład 13 Symulacje komputerowe cieczy LBM w CUDA Maciej Matyka Instytut Fizyki Teoretycznej Transport cieczy i gazów W wielu dziedzinach trzeba rozwiązać zagadnienie transportu

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. 18.03.2007.

Wykład 2. 18.03.2007. KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE OBLICZEŃ Wykład 2. 18.03.2007. Wykresy i obliczenia numeryczne w Excelu dr inż. Paweł Surdacki Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii Politechniki Lubelskiej 1 LITERATURA

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 4

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 4 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 4 PRZEDMIOT TEMAT Wybrane zagadnienia z optymalizacji elementów konstrukcji Zastosowanie optymalizacji

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Optymalizacji

Laboratorium Metod Optymalizacji Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu:

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu: Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracynymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksaci 3. Zbieżność

Bardziej szczegółowo

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Krzysztof Karsznia Leica Geosystems Polska XX Jesienna Szkoła Geodezji im Jacka Rejmana, Polanica

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Metody numeryczne Rok akademicki: 2014/2015 Kod: MIS-1-403-n Punkty ECTS: 5 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Informatyka Stosowana Specjalność: - Poziom studiów:

Bardziej szczegółowo

Wokół wyszukiwarek internetowych

Wokół wyszukiwarek internetowych Wokół wyszukiwarek internetowych Bartosz Makuracki 23 stycznia 2014 Przypomnienie Wzór x 1 = 1 d N x 2 = 1 d N + d N i=1 p 1,i x i + d N i=1 p 2,i x i. x N = 1 d N + d N i=1 p N,i x i Oznaczenia Gdzie:

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń matematycznych. dr inż. Michał Michna

Wspomaganie obliczeń matematycznych. dr inż. Michał Michna Wspomaganie obliczeń matematycznych dr inż. Michał Michna Wspomaganie obliczeń matematycznych Potrzeby Projektowanie Modelowanie Symulacja Analiza wyników Narzędzia Obliczenia algebraiczne, optymalizacja

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Metody Rungego-Kutty (II) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Metody Rungego-Kutty (II) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Metody Rungego-Kutty (II) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ Metody DIRK Jeśli spodziewamy się problemów ze stabilnościa, w szczególności jeśli

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Wpisywanie tekstu Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Domyślnie, Mathcad traktuje wpisywany tekst jako wyrażenia matematyczne. Do trybu tekstowego można przejść na dwa sposoby: Zaczynając wpisywanie

Bardziej szczegółowo

KALKULATORY BIUROWE NAUKOWE DRUKUJĄCE

KALKULATORY BIUROWE NAUKOWE DRUKUJĄCE 7 KALKULATORY BIUROWE NAUKOWE DRUKUJĄCE 8 y Kalkuor SLD-N 1-1-CIT0-0 Wymiary (wysokość x skość x grubość): 97,5 x 1 x mm. Kalkuor SDC-8 BN 1-1-CIT08-0 Wymiary (wysokość x skość x grubość): 5 x 1 x 4 mm.

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE WARSTWY POWIERZCHNIOWEJ O ZMIENNEJ TWARDOŚCI

MODELOWANIE WARSTWY POWIERZCHNIOWEJ O ZMIENNEJ TWARDOŚCI Dr inż. Danuta MIEDZIŃSKA, email: dmiedzinska@wat.edu.pl Dr inż. Robert PANOWICZ, email: Panowicz@wat.edu.pl Wojskowa Akademia Techniczna, Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej MODELOWANIE WARSTWY

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie metod numerycznych. Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN. E-mail: reginska@impan.pl http://www.impan.pl/ reginska/wyklady2011

Zastosowanie metod numerycznych. Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN. E-mail: reginska@impan.pl http://www.impan.pl/ reginska/wyklady2011 Zastosowanie metod numerycznych Teresa Regińska Instytut Matematyczny PAN E-mail: reginska@impan.pl http://www.impan.pl/ reginska/wyklady2011 Wykład cz.iii, CSZ PW, semestr letni 2013 Wykład jest współfinansowany

Bardziej szczegółowo

STAN ODKSZTAŁCENIA 2.1. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA

STAN ODKSZTAŁCENIA 2.1. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA Część. STAN ODKSZTAŁCENIA. STAN ODKSZTAŁCENIA.. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA Rozważymy ciało odkształcalne wypełnione szczelnie materią (rys..). Pod wpływem czynników zewnętrznych (sił powierzchniowych, sił

Bardziej szczegółowo

F-789SGA INSTRUKCJA UŻYTKOWNIKA GHID DE UTILIZARE

F-789SGA INSTRUKCJA UŻYTKOWNIKA GHID DE UTILIZARE F-789SGA INSTRUKCJA UŻYTKOWNIKA GHID DE UTILIZARE E-IM-2727 POLSKI ROMÂNĂ Treść Wyświetl...P.3 Pierwsze Kroki Zasilanie On/Włączone, OFF/Wyłączone...P.4 Regulacja Kontrastu Wyświetlacza...P.4 Wybόr Trybu...

Bardziej szczegółowo

RÓWNOLEGŁY ALGORYTM POSZUKIWANIA Z ZABRONIENIAMI UKŁADANIA PLANU ZAJĘĆ

RÓWNOLEGŁY ALGORYTM POSZUKIWANIA Z ZABRONIENIAMI UKŁADANIA PLANU ZAJĘĆ RÓWNOLEGŁY ALGORYTM POSZUKIWANIA Z ZABRONIENIAMI UKŁADANIA PLANU ZAJĘĆ Wojciech BOŻEJKO, Łukasz GNIEWKOWSKI Streszczenie: Praca dotyczy zastosowania równoległego algorytmu poszukiwania z zabronieniami

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW BRZEGOWYCH DO WYZNACZANIA PŁASKICH PRZEPŁYWÓW CIECZY LEPKIEJ

ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW BRZEGOWYCH DO WYZNACZANIA PŁASKICH PRZEPŁYWÓW CIECZY LEPKIEJ Tomasz J. Teleszewski Sławomir A. Sorko Zastosowanie metody elementów brzegowych do wyznaczania płaskich przepływów cieczy lepkiej ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW BRZEGOWYCH DO WYZNACZANIA PŁASKICH PRZEPŁYWÓW

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Elektryczny AUTOREFERAT ROZPRAWY DOKTORSKIEJ Mgr inż. Krzysztof Rogowski Wybrane zagadnienia teorii dwuwymiarowych układów niecałkowitego rzędu opisanych modelem Roessera

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Badanie uporządkowania magnetycznego w ultracienkich warstwach kobaltu w pobliżu reorientacji spinowej.

Badanie uporządkowania magnetycznego w ultracienkich warstwach kobaltu w pobliżu reorientacji spinowej. Tel.: +48-85 7457229, Fax: +48-85 7457223 Zakład Fizyki Magnetyków Uniwersytet w Białymstoku Ul.Lipowa 41, 15-424 Białystok E-mail: vstef@uwb.edu.pl http://physics.uwb.edu.pl/zfm Praca magisterska Badanie

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

0 2 odpowiadająca zajęciom o charakterze praktycznym (P) w tym liczba punktów ECTS

0 2 odpowiadająca zajęciom o charakterze praktycznym (P) w tym liczba punktów ECTS Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ A Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

Microsoft EXCEL SOLVER

Microsoft EXCEL SOLVER Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL cz.2 Formuły i funkcje macierzowe, obliczenia na liczbach zespolonych, wykonywanie i formatowanie wykresów.

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL cz.2 Formuły i funkcje macierzowe, obliczenia na liczbach zespolonych, wykonywanie i formatowanie wykresów. Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni z przedmiotu Podstawy Informatyki Kod przedmiotu: ENS1C 100 003 oraz ENZ1C 100 003 Ćwiczenie pt. ARKUSZ KALKULACYJNY

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR Wydział Mechaniczny PWR KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Mechanika analityczna Nazwa w języku angielskim: Analytical Mechanics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność

Bardziej szczegółowo

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o wzajemności

Twierdzenia o wzajemności Twierdzenia o wzajemności Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo