Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych

Transkrypt

1 Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Algorytm SWMEB. Część 1. dr inż. Jacek Ptaszny Rzeszów, dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 1/36

2 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 2/36

3 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 3/36

4 Ogólny opis metody Grupowanie i rozdział wpływu G Punkty ca³kowania Punkty rozwiniêcia wielobiegunowego W Punkty rozwiniêcia lokalnego Punkty kolokacji Transformacja W-W Transformacja W-L Transformacja L-L dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 4/36

5 Ogólny opis metody Macierzowy układ równań [H] bl {U} + {HU} odl = [G] bl {T} + {GT} odl + {B} bl + {B} odl (1) Macierze wpływu obszaru bliskiego obliczane metodą bezpośrednią Macierze wpływu obszaru odległego obliczane w sposób przybliżony, za pomocą szeregów dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 5/36

6 Ogólny opis metody Macierzowy układ równań [H] bl {U} + {HU} odl = [G] bl {T} + {GT} odl + {B} bl + {B} odl (1) Macierze wpływu obszaru bliskiego obliczane metodą bezpośrednią Macierze wpływu obszaru odległego obliczane w sposób przybliżony, za pomocą szeregów dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 5/36

7 Ogólny opis metody Macierzowy układ równań [H] bl {U} + {HU} odl = [G] bl {T} + {GT} odl + {B} bl + {B} odl (1) Macierze wpływu obszaru bliskiego obliczane metodą bezpośrednią Macierze wpływu obszaru odległego obliczane w sposób przybliżony, za pomocą szeregów dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 5/36

8 Ogólny opis metody Macierzowy układ równań W wyniku uwzględnienia warunków brzegowych przez przegrupowanie składników lewej i prawej strony równania: [A] bl {X} + {AX} odl = [D] bl {Y} + {DY} odl + {B} bl + {B} odl, (2) {X} - wektor niewiadomych, {Y} - wektor znanych wielkości, [A] bl, [D] bl - macierze utworzone przez przegrupowanie kolumn macierzy [H] bl i [G] bl. W SWMEB nie buduje się całych macierzy, lecz oblicza od razu iloczyn macierzy i wektorów wielkości brzegowych. dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 6/36

9 Ogólny opis metody Macierzowy układ równań Układ równań można rozwiązać tylko metodą iteracyjną. Równanie w i-tej iteracji: {AX i } = {Z}. (3) Najczęściej stosuje się metodę GMRES z poprawą uwarunkowania układu równań. dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 7/36

10 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 8/36

11 Rozwinięcia potencjałów Szereg wielobiegunowy Im x z r a c x y g x b y 1 z (4) 2 Re α - obszar z punktem całkowania x β - numer elementu brzegowego γ - numer komórki wewnętrznej x - punkt kolokacji c - punkt rozwinięcia wielobiegunowego przypisany do obszaru α dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 9/36

12 Rozwinięcia potencjałów Jądra całek Rozwiązania podstawowe: U ij (x, x) = 1 8πµ(1 ν) [(4ν 3)δ ij ln(r) + r, i r, j ], (5) { T ij (x 1 r ], x) = [(1 2ν)δ ij + 2r, i r, j 4π(1 ν)r n } (1 2ν)(r, i n j r, j n i ). (6) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 10/36

13 Rozwinięcia potencjałów Wyrażenia występujące w rozwiązaniu U ij(x, x) ln r = Re [ln(z y)] = Re r, 1 r, j = r 1 r j r 2 [ ln z + k=1 1 k = Re 1 r r j = Re 1 z y r j = Re r, 2 r, j = r 2 r j r 2 = Im 1 r r j = Im 1 z y r j = Im ( y z ) k ] (7) y k z k+1 r j (8) y k z k+1 r j (9) y < z (10) r 1 = Re (y z), r 2 = Im (y z) (11) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 11/36

14 Rozwinięcia potencjałów Wyrażenia występujące w rozwiązaniu T ij(x, x) r,1 n 2 r,2 n 1 r 1 r r n 2r,1r,2 = 1 r 2r 1 r 2 r n r 2 1 r r n = r in i r 2 = Re n r = Re n z y = Re = r 1n 2 r 2 n 1 r 2 = Im n r = Im n z y = Im n yk z k+1 (12) n yk z k+1 (13) = Re(rn) Im 1 r 2 = Re(rn) Im (k + 1) yk z k+2 (14) 1 r r n 2r,1 2 = 1 r 2r1 2 r n r 2 = 1 ( r r r2 2 r n r 2 r 2 2 r 1 2 ) r 2 1 r r n 2r,2 2 = 1 r 2r2 2 r n r 2 = 1 ( r r r2 2 r n r 2 r 1 2 r 2 2 ) r 2 1 r r1 2 r 2 2 r n r 2 (15) (16) = Re(rn) Re 1 r 2 = Re(rn) Re (k + 1) yk z k+2 (17) y < z (18) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 12/36

15 Szereg wielobiegunowy Suma potencjałów warstwy pojedynczej i objętościowego I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3) A 0 1α (k)f (z, k) +A 1α (k)f Re (z, k + 1) A Re 1α(k)f (z, k + 1) ], (19) I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = 1 8πµ(1 ν) Re [ A2α (k)f Im (z, k + 1) A Im 2α(k)f (z, k + 1) ] (20) 1 8πµ(1 ν) Re [ A1α (k)f Im (z, k + 1) A Im 1α(k)f (z, k + 1) ] (21) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3) Re [ A 0 8πµ(1 ν) 2α(k)f (z, k) ] Im [ A 2α (k)f Im (z, k + 1) ] + Im [ A Im 2α(k)f (z, k + 1) ]} (22) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 13/36

16 Szereg wielobiegunowy Suma potencjałów warstwy pojedynczej i objętościowego I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3) A 0 1α (k)f (z, k) +A 1α (k)f Re (z, k + 1) A Re 1α(k)f (z, k + 1) ], (19) I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = 1 8πµ(1 ν) Re [ A2α (k)f Im (z, k + 1) A Im 2α(k)f (z, k + 1) ] (20) 1 8πµ(1 ν) Re [ A1α (k)f Im (z, k + 1) A Im 1α(k)f (z, k + 1) ] (21) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3) Re [ A 0 8πµ(1 ν) 2α(k)f (z, k) ] Im [ A 2α (k)f Im (z, k + 1) ] + Im [ A Im 2α(k)f (z, k + 1) ]} (22) A ( ) iα(k) - momenty wielobiegunowe dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 13/36

17 Szereg wielobiegunowy Suma potencjałów warstwy pojedynczej i objętościowego I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3) A 0 1α (k)f (z, k) +A 1α (k)f Re (z, k + 1) A Re 1α(k)f (z, k + 1) ], (19) I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = 1 8πµ(1 ν) Re [ A2α (k)f Im (z, k + 1) A Im 2α(k)f (z, k + 1) ] (20) 1 8πµ(1 ν) Re [ A1α (k)f Im (z, k + 1) A Im 1α(k)f (z, k + 1) ] (21) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3) Re [ A 0 8πµ(1 ν) 2α(k)f (z, k) ] Im [ A 2α (k)f Im (z, k + 1) ] + Im [ A Im 2α(k)f (z, k + 1) ]} (22) f ( ) (z, k) - funkcje wielobiegunowe dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 13/36

18 Szereg wielobiegunowy Suma potencjałów warstwy pojedynczej i objętościowego Momenty wielobiegunowe: A iα (k) = y k t iβ dγ(x) + β Γ β γ A Re iα (k) = β A Im iα (k) = β dla k = 0, 1,,, oraz Re y y k t iβ dγ(x)+ Γ β γ Γ β Im y y k t iβ dγ(x)+ γ Ω γ y k b iγ dω(x) (23) Re y y k b iγ dω(x) (24) Ω γ Im y y k b iγ dω(x) (25) Ω γ A 0 iα(k) = { Aiα (k) dla k = 0, 1 k A iα(k) dla k = 1, 2,, (26) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 14/36

19 Szereg wielobiegunowy Potencjał warstwy podwójnej I T 11α(x ) = I T 12α(x ) = I T 21α(x ) = I T 22α(x ) = 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 1α(k)f (z, k + 1) + [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) [ B Re 1α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B2α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) + (1 2ν)B 2α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B1α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) (1 2ν)B 1α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 2α(k)f (z, k + 1) [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B Re 2α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) } } } } (27) (28) (29) (30) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 15/36

20 Szereg wielobiegunowy Potencjał warstwy podwójnej I T 11α(x ) = I T 12α(x ) = I T 21α(x ) = I T 22α(x ) = 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 1α(k)f (z, k + 1) + [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) [ B Re 1α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B2α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) + (1 2ν)B 2α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B1α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) (1 2ν)B 1α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 2α(k)f (z, k + 1) [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) B ( ) iα (k) - momenty wielobiegunowe + [ B Re 2α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) } } } } (27) (28) (29) (30) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 15/36

21 Szereg wielobiegunowy Potencjał warstwy podwójnej I T 11α(x ) = I T 12α(x ) = I T 21α(x ) = I T 22α(x ) = 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 1α(k)f (z, k + 1) + [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) [ B Re 1α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B2α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) + (1 2ν)B 2α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B1α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) (1 2ν)B 1α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 2α(k)f (z, k + 1) [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) f ( ) (z, k) - funkcje wielobiegunowe + [ B Re 2α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) } } } } (27) (28) (29) (30) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 15/36

22 Szereg wielobiegunowy Potencjał warstwy podwójnej Momenty wielobiegunowe: B iα (k) = β B Re iα (k) = β B Im iα (k) = β Biα 2Re (k) = β Biα 2Im (k) = β Γ β n y k u iβ dγ(x) (31) Re n y k u iβ dγ(x) (32) Γ β Im n y k u iβ dγ(x) (33) Γ β Re y Re n y k u iβ dγ(x) (34) Γ β Im y Im n y k u iβ dγ(x) (35) Γ β dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 16/36

23 Szereg wielobiegunowy Funkcje wielobiegunowe { ln z dla k = 0, f (z, k) = z k dla k = 1, 2,, (36) f Re (z, k) = Re z z k (37) f Im (z, k) = Im z z k (38) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 17/36

24 Szereg wielobiegunowy Podsumowanie Im x c y z x g x r a b A ( ) iα (k), B( ) iα Re (k) - zależne od wektora y f ( ) (z, k) - zależne od wektora z Momenty wielobiegunowe pozwalają na obliczenie składników potencjałów dla różnych punktów kolokacji bez potrzeby ponownego całkowania wzdłuż elementów brzegowych β i po obszarze komórek γ. dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 18/36

25 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 19/36

26 Transformacja W-W d < 1 2 ẑ Przesunięcie punktu rozwinięcia wielobiegunowego o wektor d dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 20/36

27 Transformacja W-W Wykorzystane zależności: ln(ẑ d) = ln ẑ + l=1 ( ) 1 ḓ l, (39) l z dla d < ẑ, (ẑ d) k = l=k ( ) l 1 d l k k 1 ẑ k, (40) l ( ) = ( ). (41) l=k l=0 dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 20/36

28 Transformacja W-W Transformowane momenty Momenty potencjału warstwy pojedynczej i objętościowego: { A Â 0 0 iα (l) = iα (0) ( dla l = 0, 1 l dl A 0 iα (0) + l l 1 ) k=1 k 1 d l k A 0 (39) iα (k) dla l = 1, 2,, Â Im iα (l) : Re Im, ARe iα Â Re iα (l) = Â iα (l) = l (k) AIm iα (k) l ( l ) d l k A iα (k), (40) k ( l ) [ ] d l k A Re iα k (k) + Re d A iα(k). (41) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 20/36

29 Transformacja W-W Transformowane momenty Momenty potencjału warstwy podwójnej: ˆB iα (l) = l ( l ) d l k B iα (k), (39) k ˆB Im iα (l), ˆB 2Im iα ˆB Re iα (l) = ˆB 2Re iα (l) = l (l) : Re Im, BRe iα k + 1 l + 1 l k + 1 l + 1 ( l + 1 k + 1 (k) BIm iα ( l + 1 k + 1 ) d l k Biα Re (k), (40) ) [ d l k Biα 2Re (k) + Re dbre (k)] iα. (41) (k), B2Re iα (k) B2Im iα (k) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 20/36

30 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 21/36

31 Rozwinięcia funkcji wielobiegunowych a x c y z z a c y < 1 2 z Im α - obszar z punktem kolokacji Re c - punkt rozwinięcia lokalnego x - punkt kolokacji dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 22/36

32 Rozwinięcia funkcji wielobiegunowych Potencjały zależne od U ij Wykorzystane zależności: dla y < z. ln(z y ) = ln z + l=1 1 l ( y ) l, (42) ( ) (z y ) k = (z ) k (y l + k 1 ) l k 1 z, (43) l=0 z dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 22/36

33 Szereg lokalny Potencjały zależne od U ij I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3)E 0 1α (α, k)g(y, k) +E1α Re (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Re (y, k) ], I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = (44) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 2α (α, k)g(y, k) E 2α (α, k)g Im (y, k) ], (45) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 1α (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Im (y, k) ], (46) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3)Re [ E2α 0 8πµ(1 ν) (α, k)g(y, k) ] Im [ E Im 2α (α, k)g(y, k) ] + Im [ E 2α (α, k)g Im (y, k) ]}. (47) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 23/36

34 Szereg lokalny Potencjały zależne od U ij I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3)E 0 1α (α, k)g(y, k) +E1α Re (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Re (y, k) ], I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = (44) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 2α (α, k)g(y, k) E 2α (α, k)g Im (y, k) ], (45) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 1α (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Im (y, k) ], (46) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3)Re [ E2α 0 8πµ(1 ν) (α, k)g(y, k) ] E ( ) iα (α, k) - momenty lokalne Im [ E Im 2α (α, k)g(y, k) ] + Im [ E 2α (α, k)g Im (y, k) ]}. (47) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 23/36

35 Szereg lokalny Potencjały zależne od U ij I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3)E 0 1α (α, k)g(y, k) +E1α Re (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Re (y, k) ], I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = (44) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 2α (α, k)g(y, k) E 2α (α, k)g Im (y, k) ], (45) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 1α (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Im (y, k) ], (46) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3)Re [ E2α 0 8πµ(1 ν) (α, k)g(y, k) ] g ( ) (y, k) - funkcje lokalne Im [ E Im 2α (α, k)g(y, k) ] + Im [ E 2α (α, k)g Im (y, k) ]}. (47) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 23/36

36 Transformacja W-L Transformowane momenty Momenty potencjału warstwy pojedynczej i objętościowego: E 0 iα (α, l) = { ln z A 0 iα (0) + k=1 1 l (z ) l A 0 iα (0) + k=1 E Re iα (α, l) = E iα (α, l) = ( l + k E Im iα (α, k) : Re Im, A Re iα (k) AIm iα (k) k ( l+k 1 ) k 1 (z ) k l A iα (k) dla l = 0, ( l+k 1 ) k 1 (z ) k l A iα (k) dla l = 1, 2,, ; (48) ( l + k ) (z ) k l 1 A iα (k), (49) k ) (z ) k l 1 [ Re z A iα (k) A Re iα (k) ]. (50) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 24/36

37 Szereg lokalny Funkcje lokalne g(y, k) = (y ) k, (51) g Re (y, k) = (y ) k Re y, (52) g Im (y, k) = (y ) k Im y. (53) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 25/36

38 Szereg lokalny Potencjał warstwy podwójnej I11α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F1α (α, k)g(y, k) + F1α 2Re (α, k)g(y, k) +F1α Re (α, k)g Re (y, k) + F1α 2Im (α, k)g(y, k) + F1α Im (α, k)g Im (y, k) ], I12α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 2α (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) + (1 2ν)F 2α (α, k)g(y, k) ], I21α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 1α (α, k)g(y, k) F1α Re (α, k)g Re (y, k) F1α 2Im (α, k)g(y, k) F1α Im (α, k)g Im (y, k) (1 2ν)F 1α (α, k)g(y, k) ], I22α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F2α (α, k)g(y, k) F2α 2Re (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) ]. (54) (55) (56) (57) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 26/36

39 Szereg lokalny Potencjał warstwy podwójnej I11α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F1α (α, k)g(y, k) + F1α 2Re (α, k)g(y, k) +F1α Re (α, k)g Re (y, k) + F1α 2Im (α, k)g(y, k) + F1α Im (α, k)g Im (y, k) ], I12α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 2α (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) + (1 2ν)F 2α (α, k)g(y, k) ], I21α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 1α (α, k)g(y, k) F1α Re (α, k)g Re (y, k) F1α 2Im (α, k)g(y, k) F1α Im (α, k)g Im (y, k) (1 2ν)F 1α (α, k)g(y, k) ], I22α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F2α (α, k)g(y, k) F2α 2Re (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) ]. F ( ) iα (α, k) - momenty lokalne (54) (55) (56) (57) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 26/36

40 Szereg lokalny Potencjał warstwy podwójnej I11α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F1α (α, k)g(y, k) + F1α 2Re (α, k)g(y, k) +F1α Re (α, k)g Re (y, k) + F1α 2Im (α, k)g(y, k) + F1α Im (α, k)g Im (y, k) ], I12α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 2α (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) + (1 2ν)F 2α (α, k)g(y, k) ], I21α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 1α (α, k)g(y, k) F1α Re (α, k)g Re (y, k) F1α 2Im (α, k)g(y, k) F1α Im (α, k)g Im (y, k) (1 2ν)F 1α (α, k)g(y, k) ], I22α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F2α (α, k)g(y, k) F2α 2Re (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) ]. g ( ) (y, k) - funkcje lokalne (54) (55) (56) (57) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 26/36

41 Transformacja W-L Transformowane momenty Momenty potencjału warstwy podwójnej: F 2Re iα (α, l) = F Im iα (α, k), F 2Im F iα (α, l) = F Re iα (α, l) = ( l + k ) (z ) k l 1 B iα (k), (58) k ( l + k + 1) (k + 1) (z ) k l 2 Biα Re (k), (59) k + 1 ( l + k + 1) (k + 1) (z ) k l 2[ Biα 2Re k + 1 iα (α, k) : Re Im, Biα Re (k) BIm iα (k), B2Re iα (k) Re z B Re iα (k)]. (60) (k) B2Im iα (k) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 27/36

42 Szereg lokalny Podsumowanie a x y c z z a c Im E ( ) iα (α, k), F ( ) g ( ) (y, k) - zależne Re od wektora y iα (α, k) - zależne od wektora z Transformacja W-L i szereg lokalny pozwalają na rozdział wpływu do wielu punktów kolokacji, za pomocą tych samych momentów lokalnych. dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 28/36

43 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 29/36

44 Transformacja L-L Przesunięcie punktu rozwinięcia lokalnego o wektor d dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 30/36

45 Transformacja L-L ˇX iα (α, l) = ( k ) (d ) k l X iα (α, k) l k=l { dla ˇXiα (α, l) Ě 0 iα (α, l), Ěiα (α, l), ˇF Re Im iα (α, l), ˇF iα (α, l), ˇF } iα (α, l), Ě Re iα (α, l) = ˇF 2Re iα (α, l) = ( k l k=l ( k l k=l {Ě Im iα (l), ˇF } 2Im iα (l) : Re Im, { E Re iα (k), F Re iα (k), F 2Re iα (k) } { E Im iα (k), F Im iα (k), F 2Im (61) ) (d ) k l[ E Re iα (α, k) Re d E iα (α, k) ], (62) ) (d ) k l[ F 2Re iα (α, k) Re d F Re iα (α, k) ]. (63) iα (k) } dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 31/36

46 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 32/36

47 Obliczanie naprężeń Potencjały równania brzegowego naprężeń Pochodne potencjałów równania przemieszczeń względem współrzędnych punktu x : x U j ik (x, x)t kβ dγ(x) β Γ β = Iikα,j(x U ), (64) k x j x j { } U ik (x, x)b kγ dω(x) = γ Ω γ k T ik (x, x)u kβ dγ(x) β Γ β = k J U ikα,j(x ), (65) I T ikα,j(x ). (66) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 33/36

48 Obliczanie naprężeń Potencjały równania brzegowego naprężeń Nowe potencjały: I U ijkα(x ) = I U ikα,j(x ), (64) J U ijkα(x ) = J U ikα,j(x ), (65) I T ijkα(x ) = J T ikα,j(x ), (66) obliczane są za pomocą szeregu lokalnego przez zastąpienie funkcji g ( ) (y, k) ich pochodnymi: { } g, j (y, k) = k(y ) k 1 1, (67) i g Re, j (y, k) = k(y ) k 1 Re (y ) { 1 0 g Im, j (y, k) = k(y ) k 1 Im (y ) { 0 1 } { + (y ) k 1 i } { + (y ) k 1 i }, (68) }. (69) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 33/36

49 Obliczanie naprężeń Potencjały równania brzegowego naprężeń Na przykład: I U 1j1α (x ) + J U 1j1α (x ) = I T 1j1α (x ) = 1 4π(1 ν) Re 1 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3)E 0 1α (k)g, j (y, k) ] +E Re 1α (k)g, j (y, k) E 1α (k)g, Re j (y, k), [ 2(ν 1) F1α (k)g, j (y, k) + F 2Re 1α (k)g, j (y, k) +F Re 1α (k)g Re, j (y, k) + F 2Im 1α (k)g, j (y, k) + F Im 1α (k)g Im, j (y, k) ]. (64) (65) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 33/36

50 Obliczanie naprężeń Potencjały równania brzegowego naprężeń Ostatecznie: β U ijk (x, x)t kβ dγ(x) = Γ β { 2µν 1 2ν δ ijillkα(x U ) + µ [ Iijkα(x U ) + Ijikα(x U ) ]}. k (64) Do obliczenia potencjałów równania naprężeń można wykorzystać momenty wielobiegunowe i lokalne, oraz ich transformacje takie same jak w przypadku równania przemieszczeń. dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 33/36

51 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 34/36

52 Literatura Beatson R., Greengard L., A short course on fast multipole methods, Carrier J., Greengard L., Rokhlin V., A fast adaptive multipole algorithm for particle simulations, SIAM J Sci Stat Comp, 9, 4, , Dreszer J. (red.), Poradnik inżyniera. Matematyka, WNT, Warszawa, Greengard L., Rokhlin V., A fast algorithm for particle simulations, J Comput Phys, 73, , Liu Y.J., A new fast multipole boundary element method for solving large-scale two-dimensional elastostatic problems, Int J Numer Meth Eng, 65, , dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 35/36

53 Literatura Liu Y.J., Nishimura N., The fast multipole boundary element method for potential problems: A tutorial, Eng Anal Bound Elem, 30, , Nishimura N., Fast multipole accelerated boundary integral equation methods, Appl Mech Rev, 55, 4, , Rokhlin V., Rapid Solution of Integral Equations of Classical Potential Theory, J Comput Phys, 60, , Yamada Y., Hayami K., A multipole boundary element method for two dimensional elastostatics, Tech. Report, METR 95-07, Math. Eng. Section, Dept. Math. Eng., Information. Phys., Univ. Tokyo, dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 35/36

54 Koniec części I LaTeX Template based on Oxygen, dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 36/36