Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych"

Transkrypt

1 Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Algorytm SWMEB. Część 1. dr inż. Jacek Ptaszny Rzeszów, dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 1/36

2 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 2/36

3 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 3/36

4 Ogólny opis metody Grupowanie i rozdział wpływu G Punkty ca³kowania Punkty rozwiniêcia wielobiegunowego W Punkty rozwiniêcia lokalnego Punkty kolokacji Transformacja W-W Transformacja W-L Transformacja L-L dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 4/36

5 Ogólny opis metody Macierzowy układ równań [H] bl {U} + {HU} odl = [G] bl {T} + {GT} odl + {B} bl + {B} odl (1) Macierze wpływu obszaru bliskiego obliczane metodą bezpośrednią Macierze wpływu obszaru odległego obliczane w sposób przybliżony, za pomocą szeregów dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 5/36

6 Ogólny opis metody Macierzowy układ równań [H] bl {U} + {HU} odl = [G] bl {T} + {GT} odl + {B} bl + {B} odl (1) Macierze wpływu obszaru bliskiego obliczane metodą bezpośrednią Macierze wpływu obszaru odległego obliczane w sposób przybliżony, za pomocą szeregów dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 5/36

7 Ogólny opis metody Macierzowy układ równań [H] bl {U} + {HU} odl = [G] bl {T} + {GT} odl + {B} bl + {B} odl (1) Macierze wpływu obszaru bliskiego obliczane metodą bezpośrednią Macierze wpływu obszaru odległego obliczane w sposób przybliżony, za pomocą szeregów dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 5/36

8 Ogólny opis metody Macierzowy układ równań W wyniku uwzględnienia warunków brzegowych przez przegrupowanie składników lewej i prawej strony równania: [A] bl {X} + {AX} odl = [D] bl {Y} + {DY} odl + {B} bl + {B} odl, (2) {X} - wektor niewiadomych, {Y} - wektor znanych wielkości, [A] bl, [D] bl - macierze utworzone przez przegrupowanie kolumn macierzy [H] bl i [G] bl. W SWMEB nie buduje się całych macierzy, lecz oblicza od razu iloczyn macierzy i wektorów wielkości brzegowych. dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 6/36

9 Ogólny opis metody Macierzowy układ równań Układ równań można rozwiązać tylko metodą iteracyjną. Równanie w i-tej iteracji: {AX i } = {Z}. (3) Najczęściej stosuje się metodę GMRES z poprawą uwarunkowania układu równań. dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 7/36

10 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 8/36

11 Rozwinięcia potencjałów Szereg wielobiegunowy Im x z r a c x y g x b y 1 z (4) 2 Re α - obszar z punktem całkowania x β - numer elementu brzegowego γ - numer komórki wewnętrznej x - punkt kolokacji c - punkt rozwinięcia wielobiegunowego przypisany do obszaru α dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 9/36

12 Rozwinięcia potencjałów Jądra całek Rozwiązania podstawowe: U ij (x, x) = 1 8πµ(1 ν) [(4ν 3)δ ij ln(r) + r, i r, j ], (5) { T ij (x 1 r ], x) = [(1 2ν)δ ij + 2r, i r, j 4π(1 ν)r n } (1 2ν)(r, i n j r, j n i ). (6) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 10/36

13 Rozwinięcia potencjałów Wyrażenia występujące w rozwiązaniu U ij(x, x) ln r = Re [ln(z y)] = Re r, 1 r, j = r 1 r j r 2 [ ln z + k=1 1 k = Re 1 r r j = Re 1 z y r j = Re r, 2 r, j = r 2 r j r 2 = Im 1 r r j = Im 1 z y r j = Im ( y z ) k ] (7) y k z k+1 r j (8) y k z k+1 r j (9) y < z (10) r 1 = Re (y z), r 2 = Im (y z) (11) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 11/36

14 Rozwinięcia potencjałów Wyrażenia występujące w rozwiązaniu T ij(x, x) r,1 n 2 r,2 n 1 r 1 r r n 2r,1r,2 = 1 r 2r 1 r 2 r n r 2 1 r r n = r in i r 2 = Re n r = Re n z y = Re = r 1n 2 r 2 n 1 r 2 = Im n r = Im n z y = Im n yk z k+1 (12) n yk z k+1 (13) = Re(rn) Im 1 r 2 = Re(rn) Im (k + 1) yk z k+2 (14) 1 r r n 2r,1 2 = 1 r 2r1 2 r n r 2 = 1 ( r r r2 2 r n r 2 r 2 2 r 1 2 ) r 2 1 r r n 2r,2 2 = 1 r 2r2 2 r n r 2 = 1 ( r r r2 2 r n r 2 r 1 2 r 2 2 ) r 2 1 r r1 2 r 2 2 r n r 2 (15) (16) = Re(rn) Re 1 r 2 = Re(rn) Re (k + 1) yk z k+2 (17) y < z (18) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 12/36

15 Szereg wielobiegunowy Suma potencjałów warstwy pojedynczej i objętościowego I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3) A 0 1α (k)f (z, k) +A 1α (k)f Re (z, k + 1) A Re 1α(k)f (z, k + 1) ], (19) I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = 1 8πµ(1 ν) Re [ A2α (k)f Im (z, k + 1) A Im 2α(k)f (z, k + 1) ] (20) 1 8πµ(1 ν) Re [ A1α (k)f Im (z, k + 1) A Im 1α(k)f (z, k + 1) ] (21) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3) Re [ A 0 8πµ(1 ν) 2α(k)f (z, k) ] Im [ A 2α (k)f Im (z, k + 1) ] + Im [ A Im 2α(k)f (z, k + 1) ]} (22) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 13/36

16 Szereg wielobiegunowy Suma potencjałów warstwy pojedynczej i objętościowego I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3) A 0 1α (k)f (z, k) +A 1α (k)f Re (z, k + 1) A Re 1α(k)f (z, k + 1) ], (19) I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = 1 8πµ(1 ν) Re [ A2α (k)f Im (z, k + 1) A Im 2α(k)f (z, k + 1) ] (20) 1 8πµ(1 ν) Re [ A1α (k)f Im (z, k + 1) A Im 1α(k)f (z, k + 1) ] (21) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3) Re [ A 0 8πµ(1 ν) 2α(k)f (z, k) ] Im [ A 2α (k)f Im (z, k + 1) ] + Im [ A Im 2α(k)f (z, k + 1) ]} (22) A ( ) iα(k) - momenty wielobiegunowe dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 13/36

17 Szereg wielobiegunowy Suma potencjałów warstwy pojedynczej i objętościowego I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3) A 0 1α (k)f (z, k) +A 1α (k)f Re (z, k + 1) A Re 1α(k)f (z, k + 1) ], (19) I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = 1 8πµ(1 ν) Re [ A2α (k)f Im (z, k + 1) A Im 2α(k)f (z, k + 1) ] (20) 1 8πµ(1 ν) Re [ A1α (k)f Im (z, k + 1) A Im 1α(k)f (z, k + 1) ] (21) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3) Re [ A 0 8πµ(1 ν) 2α(k)f (z, k) ] Im [ A 2α (k)f Im (z, k + 1) ] + Im [ A Im 2α(k)f (z, k + 1) ]} (22) f ( ) (z, k) - funkcje wielobiegunowe dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 13/36

18 Szereg wielobiegunowy Suma potencjałów warstwy pojedynczej i objętościowego Momenty wielobiegunowe: A iα (k) = y k t iβ dγ(x) + β Γ β γ A Re iα (k) = β A Im iα (k) = β dla k = 0, 1,,, oraz Re y y k t iβ dγ(x)+ Γ β γ Γ β Im y y k t iβ dγ(x)+ γ Ω γ y k b iγ dω(x) (23) Re y y k b iγ dω(x) (24) Ω γ Im y y k b iγ dω(x) (25) Ω γ A 0 iα(k) = { Aiα (k) dla k = 0, 1 k A iα(k) dla k = 1, 2,, (26) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 14/36

19 Szereg wielobiegunowy Potencjał warstwy podwójnej I T 11α(x ) = I T 12α(x ) = I T 21α(x ) = I T 22α(x ) = 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 1α(k)f (z, k + 1) + [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) [ B Re 1α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B2α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) + (1 2ν)B 2α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B1α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) (1 2ν)B 1α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 2α(k)f (z, k + 1) [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B Re 2α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) } } } } (27) (28) (29) (30) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 15/36

20 Szereg wielobiegunowy Potencjał warstwy podwójnej I T 11α(x ) = I T 12α(x ) = I T 21α(x ) = I T 22α(x ) = 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 1α(k)f (z, k + 1) + [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) [ B Re 1α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B2α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) + (1 2ν)B 2α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B1α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) (1 2ν)B 1α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 2α(k)f (z, k + 1) [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) B ( ) iα (k) - momenty wielobiegunowe + [ B Re 2α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) } } } } (27) (28) (29) (30) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 15/36

21 Szereg wielobiegunowy Potencjał warstwy podwójnej I T 11α(x ) = I T 12α(x ) = I T 21α(x ) = I T 22α(x ) = 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 1α(k)f (z, k + 1) + [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) [ B Re 1α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B2α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) + (1 2ν)B 2α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Im { [ B1α 2Re (k) + B1α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) + [ B1α Re (k)f Re (z, k + 2) +B Im 1α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) (1 2ν)B 1α(k)f (z, k + 1) 1 4π(1 ν) Re { 2(ν 1) B 2α(k)f (z, k + 1) [ B2α 2Re (k) + B2α 2Im (k) ] (k + 1)f (z, k + 2) f ( ) (z, k) - funkcje wielobiegunowe + [ B Re 2α (k)f Re (z, k + 2) + B Im 2α(k)f Im (z, k + 2) ] (k + 1) } } } } (27) (28) (29) (30) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 15/36

22 Szereg wielobiegunowy Potencjał warstwy podwójnej Momenty wielobiegunowe: B iα (k) = β B Re iα (k) = β B Im iα (k) = β Biα 2Re (k) = β Biα 2Im (k) = β Γ β n y k u iβ dγ(x) (31) Re n y k u iβ dγ(x) (32) Γ β Im n y k u iβ dγ(x) (33) Γ β Re y Re n y k u iβ dγ(x) (34) Γ β Im y Im n y k u iβ dγ(x) (35) Γ β dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 16/36

23 Szereg wielobiegunowy Funkcje wielobiegunowe { ln z dla k = 0, f (z, k) = z k dla k = 1, 2,, (36) f Re (z, k) = Re z z k (37) f Im (z, k) = Im z z k (38) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 17/36

24 Szereg wielobiegunowy Podsumowanie Im x c y z x g x r a b A ( ) iα (k), B( ) iα Re (k) - zależne od wektora y f ( ) (z, k) - zależne od wektora z Momenty wielobiegunowe pozwalają na obliczenie składników potencjałów dla różnych punktów kolokacji bez potrzeby ponownego całkowania wzdłuż elementów brzegowych β i po obszarze komórek γ. dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 18/36

25 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 19/36

26 Transformacja W-W d < 1 2 ẑ Przesunięcie punktu rozwinięcia wielobiegunowego o wektor d dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 20/36

27 Transformacja W-W Wykorzystane zależności: ln(ẑ d) = ln ẑ + l=1 ( ) 1 ḓ l, (39) l z dla d < ẑ, (ẑ d) k = l=k ( ) l 1 d l k k 1 ẑ k, (40) l ( ) = ( ). (41) l=k l=0 dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 20/36

28 Transformacja W-W Transformowane momenty Momenty potencjału warstwy pojedynczej i objętościowego: { A Â 0 0 iα (l) = iα (0) ( dla l = 0, 1 l dl A 0 iα (0) + l l 1 ) k=1 k 1 d l k A 0 (39) iα (k) dla l = 1, 2,, Â Im iα (l) : Re Im, ARe iα Â Re iα (l) = Â iα (l) = l (k) AIm iα (k) l ( l ) d l k A iα (k), (40) k ( l ) [ ] d l k A Re iα k (k) + Re d A iα(k). (41) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 20/36

29 Transformacja W-W Transformowane momenty Momenty potencjału warstwy podwójnej: ˆB iα (l) = l ( l ) d l k B iα (k), (39) k ˆB Im iα (l), ˆB 2Im iα ˆB Re iα (l) = ˆB 2Re iα (l) = l (l) : Re Im, BRe iα k + 1 l + 1 l k + 1 l + 1 ( l + 1 k + 1 (k) BIm iα ( l + 1 k + 1 ) d l k Biα Re (k), (40) ) [ d l k Biα 2Re (k) + Re dbre (k)] iα. (41) (k), B2Re iα (k) B2Im iα (k) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 20/36

30 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 21/36

31 Rozwinięcia funkcji wielobiegunowych a x c y z z a c y < 1 2 z Im α - obszar z punktem kolokacji Re c - punkt rozwinięcia lokalnego x - punkt kolokacji dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 22/36

32 Rozwinięcia funkcji wielobiegunowych Potencjały zależne od U ij Wykorzystane zależności: dla y < z. ln(z y ) = ln z + l=1 1 l ( y ) l, (42) ( ) (z y ) k = (z ) k (y l + k 1 ) l k 1 z, (43) l=0 z dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 22/36

33 Szereg lokalny Potencjały zależne od U ij I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3)E 0 1α (α, k)g(y, k) +E1α Re (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Re (y, k) ], I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = (44) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 2α (α, k)g(y, k) E 2α (α, k)g Im (y, k) ], (45) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 1α (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Im (y, k) ], (46) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3)Re [ E2α 0 8πµ(1 ν) (α, k)g(y, k) ] Im [ E Im 2α (α, k)g(y, k) ] + Im [ E 2α (α, k)g Im (y, k) ]}. (47) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 23/36

34 Szereg lokalny Potencjały zależne od U ij I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3)E 0 1α (α, k)g(y, k) +E1α Re (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Re (y, k) ], I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = (44) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 2α (α, k)g(y, k) E 2α (α, k)g Im (y, k) ], (45) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 1α (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Im (y, k) ], (46) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3)Re [ E2α 0 8πµ(1 ν) (α, k)g(y, k) ] E ( ) iα (α, k) - momenty lokalne Im [ E Im 2α (α, k)g(y, k) ] + Im [ E 2α (α, k)g Im (y, k) ]}. (47) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 23/36

35 Szereg lokalny Potencjały zależne od U ij I11α(x U ) + J11α(x U 1 ) = 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3)E 0 1α (α, k)g(y, k) +E1α Re (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Re (y, k) ], I U 12α(x ) + J U 12α(x ) = I U 21α(x ) + J U 21α(x ) = (44) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 2α (α, k)g(y, k) E 2α (α, k)g Im (y, k) ], (45) 1 8πµ(1 ν) Re [ E Im 1α (α, k)g(y, k) E 1α (α, k)g Im (y, k) ], (46) I22α(x U ) + J22α(x U 1 ) = {(4ν 3)Re [ E2α 0 8πµ(1 ν) (α, k)g(y, k) ] g ( ) (y, k) - funkcje lokalne Im [ E Im 2α (α, k)g(y, k) ] + Im [ E 2α (α, k)g Im (y, k) ]}. (47) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 23/36

36 Transformacja W-L Transformowane momenty Momenty potencjału warstwy pojedynczej i objętościowego: E 0 iα (α, l) = { ln z A 0 iα (0) + k=1 1 l (z ) l A 0 iα (0) + k=1 E Re iα (α, l) = E iα (α, l) = ( l + k E Im iα (α, k) : Re Im, A Re iα (k) AIm iα (k) k ( l+k 1 ) k 1 (z ) k l A iα (k) dla l = 0, ( l+k 1 ) k 1 (z ) k l A iα (k) dla l = 1, 2,, ; (48) ( l + k ) (z ) k l 1 A iα (k), (49) k ) (z ) k l 1 [ Re z A iα (k) A Re iα (k) ]. (50) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 24/36

37 Szereg lokalny Funkcje lokalne g(y, k) = (y ) k, (51) g Re (y, k) = (y ) k Re y, (52) g Im (y, k) = (y ) k Im y. (53) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 25/36

38 Szereg lokalny Potencjał warstwy podwójnej I11α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F1α (α, k)g(y, k) + F1α 2Re (α, k)g(y, k) +F1α Re (α, k)g Re (y, k) + F1α 2Im (α, k)g(y, k) + F1α Im (α, k)g Im (y, k) ], I12α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 2α (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) + (1 2ν)F 2α (α, k)g(y, k) ], I21α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 1α (α, k)g(y, k) F1α Re (α, k)g Re (y, k) F1α 2Im (α, k)g(y, k) F1α Im (α, k)g Im (y, k) (1 2ν)F 1α (α, k)g(y, k) ], I22α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F2α (α, k)g(y, k) F2α 2Re (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) ]. (54) (55) (56) (57) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 26/36

39 Szereg lokalny Potencjał warstwy podwójnej I11α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F1α (α, k)g(y, k) + F1α 2Re (α, k)g(y, k) +F1α Re (α, k)g Re (y, k) + F1α 2Im (α, k)g(y, k) + F1α Im (α, k)g Im (y, k) ], I12α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 2α (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) + (1 2ν)F 2α (α, k)g(y, k) ], I21α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 1α (α, k)g(y, k) F1α Re (α, k)g Re (y, k) F1α 2Im (α, k)g(y, k) F1α Im (α, k)g Im (y, k) (1 2ν)F 1α (α, k)g(y, k) ], I22α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F2α (α, k)g(y, k) F2α 2Re (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) ]. F ( ) iα (α, k) - momenty lokalne (54) (55) (56) (57) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 26/36

40 Szereg lokalny Potencjał warstwy podwójnej I11α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F1α (α, k)g(y, k) + F1α 2Re (α, k)g(y, k) +F1α Re (α, k)g Re (y, k) + F1α 2Im (α, k)g(y, k) + F1α Im (α, k)g Im (y, k) ], I12α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 2α (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) + (1 2ν)F 2α (α, k)g(y, k) ], I21α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Im [ F 2Re 1α (α, k)g(y, k) F1α Re (α, k)g Re (y, k) F1α 2Im (α, k)g(y, k) F1α Im (α, k)g Im (y, k) (1 2ν)F 1α (α, k)g(y, k) ], I22α(x T 1 ) = 4π(1 ν) Re [ 2(ν 1) F2α (α, k)g(y, k) F2α 2Re (α, k)g(y, k) F2α Re (α, k)g Re (y, k) F2α 2Im (α, k)g(y, k) F2α Im (α, k)g Im (y, k) ]. g ( ) (y, k) - funkcje lokalne (54) (55) (56) (57) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 26/36

41 Transformacja W-L Transformowane momenty Momenty potencjału warstwy podwójnej: F 2Re iα (α, l) = F Im iα (α, k), F 2Im F iα (α, l) = F Re iα (α, l) = ( l + k ) (z ) k l 1 B iα (k), (58) k ( l + k + 1) (k + 1) (z ) k l 2 Biα Re (k), (59) k + 1 ( l + k + 1) (k + 1) (z ) k l 2[ Biα 2Re k + 1 iα (α, k) : Re Im, Biα Re (k) BIm iα (k), B2Re iα (k) Re z B Re iα (k)]. (60) (k) B2Im iα (k) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 27/36

42 Szereg lokalny Podsumowanie a x y c z z a c Im E ( ) iα (α, k), F ( ) g ( ) (y, k) - zależne Re od wektora y iα (α, k) - zależne od wektora z Transformacja W-L i szereg lokalny pozwalają na rozdział wpływu do wielu punktów kolokacji, za pomocą tych samych momentów lokalnych. dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 28/36

43 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 29/36

44 Transformacja L-L Przesunięcie punktu rozwinięcia lokalnego o wektor d dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 30/36

45 Transformacja L-L ˇX iα (α, l) = ( k ) (d ) k l X iα (α, k) l k=l { dla ˇXiα (α, l) Ě 0 iα (α, l), Ěiα (α, l), ˇF Re Im iα (α, l), ˇF iα (α, l), ˇF } iα (α, l), Ě Re iα (α, l) = ˇF 2Re iα (α, l) = ( k l k=l ( k l k=l {Ě Im iα (l), ˇF } 2Im iα (l) : Re Im, { E Re iα (k), F Re iα (k), F 2Re iα (k) } { E Im iα (k), F Im iα (k), F 2Im (61) ) (d ) k l[ E Re iα (α, k) Re d E iα (α, k) ], (62) ) (d ) k l[ F 2Re iα (α, k) Re d F Re iα (α, k) ]. (63) iα (k) } dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 31/36

46 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 32/36

47 Obliczanie naprężeń Potencjały równania brzegowego naprężeń Pochodne potencjałów równania przemieszczeń względem współrzędnych punktu x : x U j ik (x, x)t kβ dγ(x) β Γ β = Iikα,j(x U ), (64) k x j x j { } U ik (x, x)b kγ dω(x) = γ Ω γ k T ik (x, x)u kβ dγ(x) β Γ β = k J U ikα,j(x ), (65) I T ikα,j(x ). (66) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 33/36

48 Obliczanie naprężeń Potencjały równania brzegowego naprężeń Nowe potencjały: I U ijkα(x ) = I U ikα,j(x ), (64) J U ijkα(x ) = J U ikα,j(x ), (65) I T ijkα(x ) = J T ikα,j(x ), (66) obliczane są za pomocą szeregu lokalnego przez zastąpienie funkcji g ( ) (y, k) ich pochodnymi: { } g, j (y, k) = k(y ) k 1 1, (67) i g Re, j (y, k) = k(y ) k 1 Re (y ) { 1 0 g Im, j (y, k) = k(y ) k 1 Im (y ) { 0 1 } { + (y ) k 1 i } { + (y ) k 1 i }, (68) }. (69) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 33/36

49 Obliczanie naprężeń Potencjały równania brzegowego naprężeń Na przykład: I U 1j1α (x ) + J U 1j1α (x ) = I T 1j1α (x ) = 1 4π(1 ν) Re 1 8πµ(1 ν) Re [ (4ν 3)E 0 1α (k)g, j (y, k) ] +E Re 1α (k)g, j (y, k) E 1α (k)g, Re j (y, k), [ 2(ν 1) F1α (k)g, j (y, k) + F 2Re 1α (k)g, j (y, k) +F Re 1α (k)g Re, j (y, k) + F 2Im 1α (k)g, j (y, k) + F Im 1α (k)g Im, j (y, k) ]. (64) (65) dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 33/36

50 Obliczanie naprężeń Potencjały równania brzegowego naprężeń Ostatecznie: β U ijk (x, x)t kβ dγ(x) = Γ β { 2µν 1 2ν δ ijillkα(x U ) + µ [ Iijkα(x U ) + Ijikα(x U ) ]}. k (64) Do obliczenia potencjałów równania naprężeń można wykorzystać momenty wielobiegunowe i lokalne, oraz ich transformacje takie same jak w przypadku równania przemieszczeń. dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 33/36

51 Plan prezentacji 1 Ogólny opis metody 2 Szereg wielobiegunowy 3 Transformacja W-W 4 Szereg lokalny i transformacja W-L 5 Transformacja L-L 6 Obliczanie naprężeń 7 Literatura dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 34/36

52 Literatura Beatson R., Greengard L., A short course on fast multipole methods, Carrier J., Greengard L., Rokhlin V., A fast adaptive multipole algorithm for particle simulations, SIAM J Sci Stat Comp, 9, 4, , Dreszer J. (red.), Poradnik inżyniera. Matematyka, WNT, Warszawa, Greengard L., Rokhlin V., A fast algorithm for particle simulations, J Comput Phys, 73, , Liu Y.J., A new fast multipole boundary element method for solving large-scale two-dimensional elastostatic problems, Int J Numer Meth Eng, 65, , dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 35/36

53 Literatura Liu Y.J., Nishimura N., The fast multipole boundary element method for potential problems: A tutorial, Eng Anal Bound Elem, 30, , Nishimura N., Fast multipole accelerated boundary integral equation methods, Appl Mech Rev, 55, 4, , Rokhlin V., Rapid Solution of Integral Equations of Classical Potential Theory, J Comput Phys, 60, , Yamada Y., Hayami K., A multipole boundary element method for two dimensional elastostatics, Tech. Report, METR 95-07, Math. Eng. Section, Dept. Math. Eng., Information. Phys., Univ. Tokyo, dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 35/36

54 Koniec części I LaTeX Template based on Oxygen, dr inż. Jacek Ptaszny Algorytm SWMEB. Część 1. 36/36

Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych

Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Algorytm SWMEB. Część

Bardziej szczegółowo

Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych

Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Przykłady analizy.

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 14 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) przedmiotu

Karta (sylabus) przedmiotu Karta (sylabus) przedmiotu [Budownictwo] Studia I stopnia Przedmiot: Metody obliczeniowe Rok: III Semestr: VI Rodzaj zajęć i liczba godzin: Studia stacjonarne Studia niestacjonarne Wykład 15 16 Ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Stateczność ramy - wersja komputerowa

Stateczność ramy - wersja komputerowa Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

Najprostszy element. F+R = 0, u A = 0. u A = 0. Mamy problem - równania zawierają siły, a warunek umocowania - przemieszczenia

Najprostszy element. F+R = 0, u A = 0. u A = 0. Mamy problem - równania zawierają siły, a warunek umocowania - przemieszczenia MES skończony Najprostszy element Część I Najprostszy na świecie przykład rozwiązania zagadnienia za pomocą MES Dwie sprężyny Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na element A B R F F+R, u A R f f F

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych

Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych dr inż. Grzegorz DZIERŻANOWSKI dr hab. inż. Wojciech GILEWSKI Katedra Mechaniki Budowli i Zastosowań Informatyki 10 XII 2009 - część I 17 XII 2009 -

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych, macierze, Google

Układy równań liniowych, macierze, Google Układ równań linowych { x+2y = 6, 3x y = 4 (0) Spotkania z Matematyka Układy równań liniowych, macierze, Google Aleksander Denisiuk denisjuk@matman.uwm.edu.pl Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Wykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy

Wykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy Wykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy Metody eliminacji i podstawienia wstecz Metoda dekompozycji LU i jej zastosowania Metody dla macierzy specjalnych i rzadkich Metody iteracyjne

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Jądrowe klasyfikatory liniowe

Jądrowe klasyfikatory liniowe Jądrowe klasyfikatory liniowe Waldemar Wołyński Wydział Matematyki i Informatyki UAM Poznań Wisła, 9 grudnia 2009 Waldemar Wołyński () Jądrowe klasyfikatory liniowe Wisła, 9 grudnia 2009 1 / 19 Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION Mirosław GUZIK Grzegorz KOSZŁKA PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION W artykule przedstawiono niektóre

Bardziej szczegółowo

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Kinematyka płynów - zadania

Kinematyka płynów - zadania Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor.

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Dany jest stan naprężenia w układzie x 1,x 2,x 3 T 11 12 13 [ ] 21 23 31 32 33 Znaleźć wektor naprężenia w płaszczyźnie o normalnej

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4. Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Mathematics

KARTA KURSU. Mathematics KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Matematyka Mathematics Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Maria Robaszewska Zespół dydaktyczny dr Maria Robaszewska Opis kursu (cele kształcenia) Celem kursu jest zapoznanie

Bardziej szczegółowo

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX Autor: Spis treści Wstęp. Wprowadzenie...................................... Warunki korzystania z usługi............................ Przykładowe próbki

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań

Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań I Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań do użytku wewnętrznego Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i. i= 5 ( ) i i=

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do MES. Krzysztof Banaś. 24 października 2012

Wprowadzenie do MES. Krzysztof Banaś. 24 października 2012 Wprowadzenie do MES Krzysztof Banaś 24 października 202 MES (Metoda Elementów Skończonych 2 ) jest jednym z podstawowych narzędzi komputerowego wspomagania badań naukowych i analiz inżynierskich, o bardzo

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie

Bardziej szczegółowo

(U.16) Dodawanie momentów pędu

(U.16) Dodawanie momentów pędu .0.004 7. (U.6) Dodawanie momentów pędu 5 Rozdział 7 (U.6) Dodawanie momentów pędu 7. Złożenie orbitalnego momentu pędu i spinu / 7.. Przejście do bazy sprzężonej W praktycznych zastosowaniach potrzebujemy

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Obliczenia symboliczne Symbolic computations Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Informatyka Rodzaj zajęć: wykład,

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja macierzy. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja macierzy. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja macierzy P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Uwagi o eliminacji Gaussa Przypuśćmy, że mamy rozwiazać kilka układów równań z ta sama lewa strona,

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1 10. 10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 10.1. Zastosowanie funkcji Airy'ego =0 (10.1) Zakładamy, że istnieje funkcja F(x,y) spełniająca następujące

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki

Bardziej szczegółowo

III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH

III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,

Bardziej szczegółowo

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Ćwiczenie audytoryjne pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Autor: dr inż. Radosław Łyszkowski Warszawa, 2013r. Metoda elementów skończonych MES FEM - Finite Element Method przybliżona

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13

SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13 CZĘŚĆ I. ALGEBRA ZBIORÓW... 15 ROZDZIAŁ 1. ZBIORY... 15 1.1. Oznaczenia i określenia... 15 1.2. Działania na zbiorach... 17 1.3. Klasa zbiorów. Iloczyn kartezjański zbiorów...

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI. Wprowadzenie do środowiska Matlab

LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI. Wprowadzenie do środowiska Matlab LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI Wprowadzenie do środowiska Matlab 1. Podstawowe informacje Przedstawione poniżej informacje maja wprowadzić i zapoznać ze środowiskiem

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA. ĆWICZENIA Układy Równań Liniowych

ALGEBRA LINIOWA. ĆWICZENIA Układy Równań Liniowych ALGEBRA LINIOWA ĆWICZENIA Układy Równań Liniowych ALEXANDER DENISIUK Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://userspjwstkedupl/~denisjuk/ Proponowane zadania powinny zostać zrealizowane

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do MES. Dla każdego ES, w oparciu o przemieszczenia w węzłach, wyznaczamy siły działające na niego, odkształcenia, naprężenia, itp.

Wprowadzenie do MES. Dla każdego ES, w oparciu o przemieszczenia w węzłach, wyznaczamy siły działające na niego, odkształcenia, naprężenia, itp. MES 2 Wprowadzenie do MES Everything important is simple! Podstawowe zasady MES Dzielimy konstrukcję na proste fragmenty (analogia klocki Lego, cegły), które nazywamy elementami skończonymi (ES). ES są

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

Czy umiemy mnożyć wektory?

Czy umiemy mnożyć wektory? Czy umiemy mnożyć wektory? wprowadzenie do algebry geometrycznej Jacek Grela 1 UJ 2010 Plan działania Motywacja Wprowadzenie do algebry geometrycznej Algebra 2D, 3D Przykład fizyczny Algebra czasoprzestrzeni

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Laboratorium z Podstaw Programowania Zajęcia 1

Laboratorium z Podstaw Programowania Zajęcia 1 Laboratorium z Podstaw Programowania Zajęcia 1 ZADANIE 1 Program obliczający pole odcinka kołowego o zadanym promieniu R oraz kącie rozwarcia. Promieo R oraz kąt (w stopniach) należy wczytad z klawiatury.

Bardziej szczegółowo

Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II

Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych dr inż. Ryszard Rębowski 1 OPIS ZJAWISKA Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych 8 listopada 2015 1 Opis zjawiska Będziemy obserwowali proces tworzenia

Bardziej szczegółowo

Doświadczalne sprawdzenie twierdzeń Bettiego i Maxwella LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Doświadczalne sprawdzenie twierdzeń Bettiego i Maxwella LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl fb.com/imiopolsl twitter.com/imiopolsl LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Doświadczalne

Bardziej szczegółowo

Obliczanie indukcyjności cewek

Obliczanie indukcyjności cewek napisał Michał Wierzbicki Obliczanie indukcyjności cewek Indukcyjność dla cewek z prądem powierzchniowym Energia zgromadzona w polu magnetycznym dwóch cewek, przez uzwojenia których płyną prądy I 1 i I

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania

TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne II. Układy równań liniowych

Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Układ równań liniowych Układem równań

Bardziej szczegółowo

Minimalizacja form boolowskich UC1, 2009

Minimalizacja form boolowskich UC1, 2009 Minimalizacja form boolowskich UC, 29 mplikanty funkcji boolowskiej UC, 29 2 mplikanty funkcji boolowskiej UC, 29 3 Metody minimalizacji UC, 29 4 Siatki Karnaugh UC, 29 5 Siatki Karnaugh UC, 29 Stosowanie

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Załącznik nr 1 do procedury nr W_PR_12 Nazwa przedmiotu: Matematyka II Mathematics II Kierunek: inżynieria środowiska Rodzaj przedmiotu: Poziom kształcenia: nauk ścisłych, moduł 1 I stopnia Rodzaj zajęć:

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Roboty Manipulacyjne i Mobilne dr inż. Janusz Jakubiak Katedra Cybernetyki i Robotyki Wydział Elektroniki, Politechnika Wrocławska Wrocław, 10.03.2015 Dlaczego potrzebna

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do MES. Dla każdego ES, w oparciu o przemieszczenia w węzłach, wyznaczamy siły działające na niego, odkształcenia, naprężenia, itp.

Wprowadzenie do MES. Dla każdego ES, w oparciu o przemieszczenia w węzłach, wyznaczamy siły działające na niego, odkształcenia, naprężenia, itp. MES 2 Everything important is simple! odstawowe zasady MES Dzielimy konstrukcję na proste fragmenty (analogia klocki Lego, cegły), które nazywamy elementami skończonymi (ES). ES są połączone w węzłach

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo