KSZTAŁTOWANIE CHARAKTERYSTYK CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH NIEREKURSYWNYCH FILTRÓW WYGŁADZAJĄCYCH

Transkrypt

1 POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No Electricl Egieerig 0 Jkub PĘKSIŃSKI* Grzegorz MIKOŁAJCZAK* Jusz KOWALSKI** KSZTAŁTOWANIE CHARAKTERYSTYK CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH NIEREKURSYWNYCH FILTRÓW WYGŁADZAJĄCYCH W prcy przedstwioo zgdieie wygłdzi sygłów przy pomocy cyfrowych filtrów o skończoej odpowiedzi impulsowej. Zpropoowo róże writy współczyików filtru o -ciu elemetch, których wrtości dobiero w oprciu o żądy ksztłt chrkterystyki mplitudowej. Prc może być wykorzyst zjęcich z przedmiotu dotyczącego filtrcji cyfrowej, zwłszcz w zgdieich usuwi zkłócei ddytywego o rozkłdzie ormlym. SŁOWA KLUCZOWE: wygłdzie sygłów, filtry cyfrowe, filtry o skończoej odpowiedzi impulsowej.. WSTĘP Wygłdzie jest jedą z metod cyfrowego przetwrzi sygłów, polegjącą estymcji wrtości sygłów w ustloych chwilch podstwie zrówo poprzedich, jk i stępych obserwcji. W prktyce jest to zstąpieie wyrzów dego szeregu, mjącego przebieg ieregulry, iym o przebiegu głdszym, o którym moż przypuszczć, że lepiej reprezetuje istotę zjwisk iż szereg pierwoty. Njczęstszą metodą rozwiązi problemu wygłdzi jest odpowiedi filtrcj sygłu cyfrowego, skąd pochodzi rówież określeie filtr wygłdzjący, stosowe do określeie różorkich lgorytmów wygłdzi. Termi filtr jest często używy do określei urządzei istiejącego w formie sprzętowej lub progrmowej podłączoego do zszumioego zbioru dych celem ekstrkcji pożądej iformcji. W dowolym przypdku możemy zstosowć filtr do przeprowdzei trzech podstwowych opercji przetwrzi iformcji: Filtrcji, któr ozcz ekstrkcję iformcji w chwili t podstwie dych zebrych do chwili t. * Zchodiopomorski Uiwersytet Techologiczy w Szczeciie. ** Pomorski Uiwersytet Medyczy w Szczeciie.

2 7 Jkub Pęksiński, Grzegorz Mikołjczk, Jusz Kowlski Wygłdzi g. smoothig, któr różi się od filtrcji tym, że estymowe prmetry w chwili t powstją rówież podstwie dych zebrych po chwili t. Ozcz to, że podczs wygłdzi istieje pewe opóźieie przetwrzi iformcji. Poiewż podczs wygłdzi wykorzystujemy de zebre ie tylko do chwili t, lecz tkże późiej, dltego możemy oczekiwć dokłdiejszej estymcji prmetrów iż przy filtrcji. Predykcji, któr m celu określeie iformcji o procesie, który będzie mił miejsce w przyszłości, p. w chwili t + τ dl τ > 0 podstwie zmierzoych sygłów do chwili t. Powyższe ustlei moż przedstwić wykresie, pokzującym jk mją się de w stosuku do estymowej wrtości wyjści filtru z rys. []. Rys.. Ilustrcj przedstwijąc opercje przetwrzi sygłu Filtry wygłdzjące zlzły we współczesym świecie uki szerokie zstosowie, gdyż istotą kżdego eksperymetu jest pomir różych prmetrów i wielkości, które w trkcie trwi lizowego zjwisk mogą być obrczoe różego rodzju zkłóceiem o chrkterze losowym. W świecie uki sygłów o tkim chrkterze jest wiele, począwszy od przebiegów ekoometryczych i sttystyczych, poprzez sygły określjące procesy techologicze, zjwisk fizycze i chemicze, kończąc sygłch w telekomuikcji i elektroice.. FILTR O SKOŃCZONEJ ODPOWIDZI IMPULSOWEJ FIR Filtr o skończoej odpowiedzi impulsowej g. Fiite Impulse Respose filter - FIR filter rodzj ierekursywego filtru cyfrowego. Nzw FIR ozcz filtr o skończoej odpowiedzi impulsowej polski skrót tej zwy to filtr SOI. Ozcz to tyle, że rekcj wyjściu tego ukłdu pobudzeie o skończoej długości jest rówież skończo przez długość pobudzei i odpowiedzi rozumiemy tu długość odcik czsu, dl którego próbki sygłu

3 Ksztłtowie chrkterystyk częstotliwościowych ierekursywych filtrów... 7 przyjmują wrtości iezerowe. Aby wruek te był spełioy, w filtrch tego typu ie występuje pętl sprzężei zwrotego, z tego powodu zywe są ierekursywymi. Filtr te opisy jest stępującym rówiem: m0 y h m m gdzie: sygł wejściowy, y sygł wyjściowy, hm odpowiedź impulsow filtr. W dziedziie częstotliwości rówiu odpowid zleżość: Y f f j j j e H e X e gdzie: Ye jω, He jω i Xe jω widm Fourier, Ω częstotliwość uormow. W przypdku zstosowi filtrów FIR do wygłdzi sygłów stosujemy skończoą liczbę współczyików hm odpowiedzi impulsowej - N N=k+ - zwykle ieprzyst ilość elemetów orz wprowdzmy opóźieie by dl bieżącej próbki sygłu wyjściowego y korzystć z przeszłych -k i przyszłych +k wrtości sygłu wejściowego. Jedocześie korzystmy z symetryczej odpowiedzi impulsowej co powoduje, że filtr m liiową chrkterystykę fzową. Powyższe ustlei prowdzą do stępującej zleżości: N y h k k N k gdzie pr h k h k. PRZYKŁAD KSZTAŁTOWANIA CHARAKTERYSTYK FILTRU Jko przykłd zostie rozptrzoy filtr ierekursywy o msce pięcioelemetowej N = opisy stępującym rówiem: y b c b Dl którego chrkterystyk częstotliwościow opis jest wzorem: H cos b cos c Jeżeli chcemy elimicji wyższych częstotliwości filtr doloprzepustowy, to leży postwić wruki: H0= orz Hπ=0 co prowdzi do zleżości: b c b c 0 Którą przeksztłcjąc otrzymmy: b c cos cos H 7

4 Jkub Pęksiński, Grzegorz Mikołjczk, Jusz Kowlski 7 By wyzczyć i c trzeb postwić dodtkowe wruki, kilk z ich przedstwioo poiżej: p. chcemy by filtr mił psmo przepustowe do Ω=½ π czyli HΩ=½ π= c b ostteczie: cos cos H b w pśmie przepustowym chrkterystyk był mksymlie płsk, leży rozwiąć fukcję cos w szereg Tylor, co prowdzi do: H 9 0 c b ostteczie: cos cos Hb 0 c stwimy żądie by wricj sygłu wyjściowego był miiml: y co prowdzi do zleżości: y któr osiąg miimum dl: c b w końcu: cos cos Hc d jeżeli wszystkie współczyiki są sobie rówe =b=c=/, to otrzymmy filtr średiej ruchomej o chrkterystyce: cos cos Hd Chrkterystyki mplitudowe propoowych filtrów przedstwioo rys..

5 Ksztłtowie chrkterystyk częstotliwościowych ierekursywych filtrów... 7 Rys.. Chrkterystyki mplitudowe propoowych filtrów FIR. WYNIKI TESTÓW Propoowe filtry opise rówimi, 0,,, poddo testom, polegjącym wygłdziu ciągu próbek { k }, wygeerowych podstwie tłumioego sygłu hrmoiczego {s k }, przedstwioym rys., zkłócoych szumem { k }, o rozkłdzie ormlym Guss, wrtości przeciętej zero E = 0 i wricji V =, gdzie wrtość odchylei stdrdowego zmieio w zkresie od 0 do 0 co. e k K sk si k k 0; K K Do porówi wyików filtrcji zkłócei zstosowo mirę błędu średiokwdrtowego: MSE s k y k K k Wrtości uzyske w tbeli wskzują, że jlepiej usuw zkłóceie filtr średiej ruchomej. Wyiki te potwierdzją teorię, gdyż te filtr m jwiększą wrtość współczyik tłumiei dl zkłócei o rozkłdzie ormlym. Rówież filtr ozczoy Hc, który relizuje miimlą wricję przy wruku: H0 = orz Hπ = 0, odzcz się porówywlymi wrtościmi MSE z Hd. Wydje się, że postult dotyczący miimlej wrtości wricji wrz z wrukmi dotyczącymi prmetrów częstotliwościowych, pozwl optymle usuwie zkłócei ddytywego o rozkłdzie ormlym.

6 7 Jkub Pęksiński, Grzegorz Mikołjczk, Jusz Kowlski Rys.. Przebieg sygłu orygilego {s } orz zkłócoego szumem o rozkłdzie ormlym { } Tbel. Wrtości błędu średiokwdrtowego MSE dl poszczególych filtrów MSE Lp. H Hb 0 Hc Hd ,000,,,0,7,0 0,0,7,,,0 0,0000,,90,,79 7,, 0,,,0, LITERATURA 0,000 0,9,9,9,,,7,7 7,7,7 9, 0,0007 0,9,9,,7,7,7, 7,, 9, [] Cdy J.V., Sigl Processig The Moder Approch. McGrw-Hill, New York 9. [] Lyos R.G., Wprowdzeie do cyfrowego przetwrzi sygłów. WKŁ, W-w 999. [] Zieliński P.T., Cyfrowe przetwrzie sygłów. Od teorii do zstosowń. WKŁ, W-w 00. ESTIMATING THE FREQUENCY RESPONSE NONRECURSIVE SMOOTHING FILTERS The pper presets the problem of smoothig sigls with digitl filters with fiite impulse respose. Proposed vrits of filter coefficiets -five elemets, the vlues of which were selected bsed o the desired shpe of the mplitude. The work c be used i the clssroom with the subject for digitl filterig, especilly i issues of dditive oise removl of orml distributio.