OPCJE. Wycena w modelach dyskretnych Parytet kupna - sprzedaży Ograniczenia na cenę opcji

Transkrypt

1 OPJE Wycena w moelach ysetnych Paytet na - szeaży Oganiczenia na cenę ocji

2 Zaganienia wycena ocji Fncja wyłaty, fncja zys Ryne osonały - założenia Wzoy na wycenę ocji zy założeni oesowej aitalizacji osete Wzoy na wycenę ocji zy założeni ciągłej aitalizacji osete Delta heging (stategia osłonowa elta) Algoytm wyceny w stalonej liczbie etaów

3 Fncja wyłaty / eoejsa ocja na Definicja Fncję zefiniowaną wzoem lb G c G c T K gy gy T max( K,) T K T K nazywamy fncją wyłaty la osiaacza ocji na.

4 Fncja wyłaty / eoejsa ocja szeaży Fncję zefiniowaną wzoem lb G K G T gy gy T K max( K,) T T K nazywamy fncją wyłaty la osiaacza ocji szeaży.

5 Teminy: in the money (w cenie), ot of the money (oza ceną), at the money (ooło ceny) Ocja na Ocja szeaży in the money ( w cenie) ot of the money (oza ceną) at the money (ooło ceny) ena instment bazowego jest wyższa o ceny wyonania. ena instment bazowego jest niższa o ceny wyonania. ena instment bazowego jest zbliżona lb ówna cenie wyonania. ena instment bazowego jest niższa o ceny wyonania. ena instment bazowego jest wyższa o ceny wyonania. ena instment bazowego jest zbliżona lb ówna cenie wyonania

6 Wycena ocji moel wmianowy założenia o yn osonałym. oocentowanie eozytów i eytów banowych jest jenaowe. wysoość zaciąganych eytów nie jest oganiczona 3. zaewniona jest łynność obot wszystimi atywami 4. nie ma żanych osztów związanych z zawieaniem tansacji 5. wszystie atywa są osonale ozielne 6. oszczalna jest óta szeaż atywów 7. ba możliwości abitaż

7 Równoważność otfeli w czasie Własność. Jeżeli w chwili ońcowej T, watość wóch otfeli jest jenaowa (P () T = P () T ), to ównież w chwili oczątowej ich watości mszą być ówne (P = P ) Pzyśćmy (zeciwnie) że w chwili oczątowej watość otfela iewszego jest mniejsza niż giego: P < P Wtey byłaby możliwa nastęjąca stategia abitażowa Kóta szeaż otfela P, za otfela P Uloowanie woty (P - P ) na oocentowanym oncie W chwili ońcowej : szeaż otfela iewszego za wotę P () T za otfela. za wotę zys. ze szeaży oanie otfela. (ozliczenie ótiej szeaży) Rezltat - zysanie abitażowego zys (P - P ) (+) T Gyby P był mniejszy analogiczne ozmowanie owazi o zysania zys abitażowego.

8 Moel wstanowy jenoetaowy wyceny ocji na zy aitalizacji oesowej el: oeślenie ceny ocji na Dane: cena ealizacji - K cena oczątowa acji - cena acji o ływie jenego oes w zya wzost w zya sa oesowa stoa wolna o yzya - Załaamy onato że (i) wycena ocji bęzie miała chaate abitażowy (zy innej niż zysana wycenie bęzie możliwy abitaż ) (ii) acja nie zynosi ywieny (iii) yne jest osonały (iv) aitalizacja jest oesowa

9 Moel wstanowy jenoetaowy wyceny ocji na. Pzyła cena ealizacji zł cena oczątowa acji - zł cena acji o ływie oes w zya wzost 5 zł w zya sa 7 zł oesowa stoa wolna o yzya - %

10 Moel wstanowy jenoetaowy wyceny ocji na. Pzyła 5 zł 4 K = zł = zł =? zł 7 zł zł Watość ocji (fncja wyłaty) o ływie jenego oes w zya wzost ceny acji max(, K) max(,5 ) 4 Watość ocji (fncja wyłaty) o ływie jenego oes w zya sa ceny acji max(, K) max(, 7 )

11 Moel wstanowy jenoetaowy wyceny ocji na. Pzyła Rozważmy otfel słaający się z jenej ocji na w ozycji ótiej oaz ewnej liczby acji, tóą oznaczamy symbolem Watość otfela o ływie jenego oes bęzie wynosić: V gy cena acji wzośnie V 7 - gy cena acji sanie.

12 Moel wstanowy jenoetaowy wyceny ocji na. Pzyła Załóżmy onato, ze otfel jest wolny o yzya, czyli o ływie oes jego watość jest ientyczna zy ażym scenaisz ceny ońcowej acji V V oznacza to, że tą =,5 Zatem otfel owinien słaać się z łgiej ozycji w acjach w liczbie,5 oaz z ótiej ozycji ocji na w liczbie. W ob zyaach (wzost bąź sa ceny acji) watość otfela o ływie jenego oes wynosi 35 zł.

13 Moel wstanowy jenoetaowy wyceny ocji na. Pzyła Aby o jenym oesie zysać z loaty 35 zł należy w chwili oczątowej zainwestować wotę: 35 35, 9, 7 Oznacza to, że watość jego otfela (, - ) w chwili oczątowej msi być ówna V = 9,7 zł. (Potfel jest wolny o yzya, latego jego oesowa stoa zwot msi być ówna %). Z giej stony watość otfela w chwili oczątowej można zestawić w ostaci V,5 5 9, 7 zł stą =,83

14 Moel wstanowy jenoetaowy. Pzyła Uwaga. ena ocji =,83 zł jest tzw. ceną abitażową, lb ceną fai. Rzeczywiście gyby cena ocji była więsza, to inwesto otzebowałby mniej niż 9,7 zł na onstcję otfela w chwili oczątowej, zatem jenooesowy zys byłby więszy niż %, czyli istniałaby możliwość abitaż. (n.. =, to watość otfela oczątowego 8 zł, ońcowego 35, zys 5%) Gyby cena ocji była mniejsza niż,83 zł, (n. zł) to inwesto owinien zająć ozycję owotną (óta szeaż,5 acji, no ocji, zeonowanie ozostałych ienięzy (3 zł) na oncie). Po ływie oes należy oić,5 acji za 75 zł i zysać z ocji 4 zł (w zya zwyżi), bąź oić,5 acji za 35 zł w zya zniżi, zatem wyać w ob sytacjach 35 zł. Ale o ływie oes eozyt jest wat 36 zł. Otzymjemy abitażowy zys w wysoości zł (watość otfela w chwili oczątowej była zeowa)

15 Moel wstanowy jenoetaowy wyceny ocji na. Pzyae ogólny Rozważmy - ja w zyłazie - wolny o yzya otfel słaający się z jenej ocji na w ozycji ótiej oaz ewnej liczby acji Wtey czyli gzie V V ) (, zatem K,,

16 Moel wstanowy jenooesowy wyceny ocji na. Pzyae ogólny Gyby > +, to możliwy byłby abitaż olegający na możliwości zaciągnięcia nieoganiczonego eyt zy stoie oaz inwestycja w acje. Gyby + >, to możliwy byłby abitaż olegający na ótiej szeaży acji i loowanie ienięzy na loacie o oocentowani. Obie sytacje wylcza założenie (7)

17 Moel wstanowy jenoetaowy wyceny ocji na. Pzyae ogólny oo otfel jest wolny o yzya, jego oczna stoa zwot msi być ówna stoie zwot wolnej o yzya. Zatem: ońc.wat. otf./(+) = ocząt. wat. otf. tą, wyliczając otzymjemy (wzglęniając wzó na elta) ) ( (

18 Po oszczeniach otzymjemy gzie, ) ( )] ( [ ) ( )] ( [ ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

19 Moel wstanowy jenoetaowy wyceny ocji na. Pzyae ogólny. Posmowanie twiezenie. ena eoejsiej ocji na w wstanowym moel jenoetaowym (zy wcześniejszych oznaczeniach) ana jest wzoem zatem gzie, ) ( )] ( [ ) (, max, max, ) ( K K gzie

20 Moel wstanowy jenoetaowy wyceny ocji szeaży. twiezenie. ena eoejsiej ocji szeaży z ceną ealizacji K w jenoetaowym moel wmianowym wynosi: gzie P oaz P oznaczają watości ocji szeaży (wyłaty z ocji) oowienio o wzoście, o sa acji, czyli Dowó w zya ocji szeaży można zysać naślając ostęowanie z owo la ocji na lb wyozystać aytet na-szeaży (o czym - óźniej), zy aitalizacji oesowej P P P, max, max, ) ( K P K P gzie P P P

21 Moel wstanowy jenoetaowy wyceny ocji na. UWAGI Uwaga. (a) Wzó oeślający cenę ocji na nie zawiea watości awooobieństw wzost ani sa ceny acji. (b) Liczby i (-) można inteetować jao awooobieństwo (oowienio) wzost, sa ceny acji (c) Pzy inteetacji liczb i (-) jao awooobieństwa, cena ocji na jest oczeiwaną watością fncji wyłaty zysontowaną czynniiem /(+ ). () jest fncją malejącą zmiennej K na zeziale (, ) (e) jest fncją osnącą zmiennej na zeziale (K/, K/)

22 Moel wstanowy jenoetaowy wyceny ocji na. Uwaga 3. Pzy inteetacji obabilistycznej liczb i (- ) watość oczeiwana ceny acji o jenym oesie jest ówna watości zyszłej woty. Dowó E E Postawiając o wzo E watości wyażeń i - otzymjemy: E

23 Moel wstanowy wetaowy wyceny ocji na. Zmienność ceny acji K () (b) (a) (e) (c) (f)

24 Moel wstanowy wetaowy twiezenie 3. ena eoejsiej ocji na z ceną ealizacji K w woesowym moel wstanowym wynosi: gzie liczby i (-) wynoszą oowienio -. gzie K, max K, max, max K

25 Moel wstanowy wetaowy wyceny ocji na. Zmienność watości ocji () (b) (a) (e) (c) (f) Oznaczenia watości ocji w węzłach

26 Moel wstanowy wetaowy tosjąc wzó na wycenę ocji na w moel jenoetaowym la węzłów (b), (c) otzymjemy Znając te wyceny można wyznaczyć cenę ocji w chwili oczątowej - czyli w węźle (a)

27 Moel wstanowy wetaowy Postawiając wa ozenie wzoy o ostatniego otzymjemy Mamy więc

28 Moel wstanowy wetaowy Uwaga 4.. Poobnie ja la wyceny ocji w moel jenoetaowym liczby, -, można inteetować ja awooobieństwa oowienio wotnego wzost, wzost i sa, wotnego sa acji.. Wzó na wycenę ocji można zestawić nastęjąco K, max K, max, max K lb z życiem wmian Newtona K max,.

29 Moel wstanowy n oesowy Uogólnienie wzo na wycenę ocji na la moel wetaowego Uwaga 5. Wzó na wycenę ocji na w moel wetaowym można ogólnić (metoą incji matematycznej) na zyae moel n - oesowego:., max K., max K n n n n n

30 Dzewo cen w moel mltiliatywnym, wmianowym (4 etay, cena oczątowa)

31 eny ońcowe acji w moel mltiliatywnym wmianowym, n-etaowym Możliwe ceny ońcowe mszą mieć ostać n-, gzie =,,,n. Na zewie cenowym istnieje óżnych óg owazących o węzła ientyfiowanego z ceną n-, gyż aża oga jest jenoznacznie schaateyzowana zez n- wyazowy ciąg (,,,,,,), zawieający lite oaz (n-) lite. n

32 eny ońcowe w moel mltiliatywnym wmianowym, n-etaowym Pawooobieństwo ażej taiej ogi jao onincji zazeń niezależnych - wynosi (-) n- Zatem awooobieństwo ceny ońcowej n- wynosi n ( ) n

33 Inteetacja wzo na wycenę ocji na w moel n - oesowym., max K n n n n n n n Jeżeli otatjemy ja awooobieństwo wzost acji, to liczba ana wyżej jest awooobieństwem zysania ceny ońcowej acji n-, zaś liczba max( n- -K,) jest watością (fncją wyłaty) ocji na zy tej cenie acji. twiezenie 4. ena ocji na jest ówna watości bieżącej oczeiwanej fncji wyłaty z ocji.

34 Moel wstanowy n oesowy Wzó na wycenę ocji szeaży Uwaga 6. ena ocji szeaży w moel n oesowym ana jest wzoem P n n n n max n K, Uwaga 7. Jeżeli otatjemy jao awooobieństwo wzost acji, to liczba P jest ówna zatalizowanej na moment oczątowy oczeiwanej watości fncji wyłaty ocji szeaży. Liczba Max(K- n-, ) jest watością (fncją wyłaty) ocji szeaży zy cenie acji n-.

35 Moel wmianowy wyceny ocji zy założeni ciągłej aitalizacji osete TW. 5. Watość ocji na w moel jenoetaowym wmianowym, zy aitalizacji ciągłej ana jest wzoem Dowó. = e T [ +(-) ] gzie = (e T )/( ) Rozważmy otfel słaający się z acji (łga ozycja) i jenej ocji (óta ozycja). Obliczymy watość, la tóej otfel ten jest wolny o yzya. W zya wzost ceny acji watość otfela w momencie wygaśnięcia ocji jest ówna - zaś w gim zya -.

36 Moel wmianowy wyceny ocji iągła aitalizacja osete Obojętność wobec yzya wymaga by watości te były ówne; - = -. Zatem liczba acji w otfel wynosi = ( - ) / ( ) Watość w chwili oczątowej ozatywanego otfela wynosi ( - )e T. Ponieważ oczątowy oszt twozenia otfela wynosił - mamy więc ówność - = ( - ) e T - ( - ) e T = e T - ( - ) = e T ( e T ) + = e T

37 Moel wmianowy wyceny ocji ciągła aitalizacja osete ( e T ) + = e T ostawiając = ( - ) / ( ) ównanie zyjmie ostać: e T = ( - ) (e T ) /( ) + e T = ( - ) (e T ) /( ) + ( ) /( ) e T = [ e T - e T + + ]/( ) e T = [ e T - e T + ]/( ) e T = (e T ) )/( ) + ( - e T )/( ) e T = (e T ) )/( ) + ( - e T )/( ) = e T [ +(- ) ] gzie = (e T )/( ), - = ( - e T +)/( )= ( - e T )/( )

38 Wzoy na wycenę ocji zy założeni ciągłej aitalizacji osete W moel jenoetaowym T e max stoa oczna T e ( ), gzie K, max K, T czas o nia ( w latach ) Uwaga 8. ena ocji na w moel n-etaowym, zy ciągłej aitalizacji osete, ana jest wzoem n n T e - oczna stoa, T - czas o nia T e ; T T n T ealizacji n n max K, zeział ealizacji czasowy (w latach) jenego oes

39 Poównanie wzoów w moel jenoetaowym aitalizacja ciągła, aitalizacja oczna T e max T e ( ), gzie K, max K, stoa oczna T czas o nia ealizacji ( w latach ) max ( ), max K K,, gzie

40 Poównanie wzoów w moel n etaowym (aitalizacja ciągła, aitalizacja oesowa) oes jenego ł T e K n e T n n n T. ; (w latach) ealizacji T - czas o nia - oczna stoa,, max., max K n n n n n oesowa stoa gzie

41 ( UWAGI O DELIE (elta heging) W analizie jenoetaowego moel wyceny ocji staliliśmy liczbę acji zyaającej na jeną ocję w ozycji ótiej ) Jest on jenocześnie oocją liczby acji o liczby ocji (w ozycji ótiej) la otfela całowicie zabezieczonego (hege atio). W moel wieloetaowym elta może być óżna w ażym węźle siati zmienności ceny acji (zatem la ażego eta, la ażej sytacji) Jeżeli w ażym momencie otfel acji i ocji ma być całowicie zabezieczony, należy moyfiować jego sła w zależności o scenaisza zmiany ceny acji.

42 Dzewo cen w moel mltiliatywnym, wmianowym (4 etay, cena oczątowa)

43 UWAGI O DELIE (elta heging) W zyjętym moel zmienności acji, w gafie ceny o tym oesie istnieje + węzłów. Ponmejemy te węzły liteą i (i= oowiaa scenaiszowi wszystich saów, zaś i = + samych wzostów). W węźle schaateyzowanym zez aamety (,i) oznaczmy cenę acji zez i zaś watość ocji zez i W ażym węźle (,i) wielość elty może być inna. Można oazać że wynosi ona i i i i i i,,..., ;,,...

44 UWAGI O DELIE (elta heging) Aby otfel słaający się z jenej ocji w ozycji ótiej i ewnej liczby acji w ozycji łgiej, był wolny o yzya, liczba acji msi być moyfiowana w ażym o, w zależności o zmieniającej się ceny acji,,,... ;,,..., i i i i i i ) (

45 Moel wstanowy wieloetaowy Pzyła wyceny w moel - etaowym Doonamy wyceny ocji na zy nastęjących anych liczba etaów n cena oczątowa acji cena ealizacji ocji K 4 oesowa stoa ocentowa 6% wsółczynni wzost, wsółczynni sa,85 watość ze wzo na wycenę,6

46 Moel wstanowy wieloetaowy Algoytm wyceny w moel etaowym Zbowanie siati cen acji w moel wmianowym Ustalenie fncji wyłaty ocji ( max{ cena ońcowa acji cena ealizacji ocji, zeo}) Wycena ocji w węzłach sieci eta 9, ze wzo na wycenę w moel jenoetaowym Wycena ocji w węzłach sieci eta 8, ze wzo na wycenę w moel jenoetaowym It. Wycena ocji w momencie oczątowym

47 Pzyła wyceny w moel etaowym iata cen acji w moel wmianowym ,7, wsółczynni wzost 55,98,85 wsółczynni sa 49,98 438,58 358,3 365,48 98,6 34,57 3,66 48,83 53,8 58,88 7,36,5 5,74,5 7,8 76,6 79,78 83,38 44, 46,88 49,8 5,8 55,87,,4 4,85 7,34 9,89,, 4,4 6, 8,4,4 85, 86,7 88,43 9, 9, 7,5 73,7 75,7 76,67 78, 6,4 6,64 63,89 65,7 5, 53,4 54,3 55,4 44,37 45,6 46,6 37,7 38,47 39,4 3,6 3,7 7,5 7,79 3,6 9,69

48 ,7 8 9, wsółczynni wzost 55,98 9,85 wsółczynni sa 49,98 438,58 358,3 365,48 98,6 34,57 3, ,83 53,8 58, ,36,5 5,74, ,8 76,6 79,78 83, , 46,88 49,8 5,8 55,87 6 7,,4 4,85 7,34 9,89 7 8,, 4,4 6, 8,4, , 86,7 88,43 9, 9, 9 3 7,5 73,7 75,7 76,67 78, 3 3 6,4 6,64 63,89 65, , 53,4 54,3 55, ,37 45,6 46, ,7 38,47 39, ,6 3, ,5 7, , , A B D E F G H I J K L 4 FUNKJA WYPŁATY PO. ET 4 K 4 479,7 <=MAX(L8-$$4;) 43 6% 44, 98,58 <=MAX(L-$$4;) 45,85 46,6 7,66 <=MAX(L-$$4;) , ,87 5 5, 53 54, 55 56, 57 58, 59 6, <=MAX(L36-$$4;) 6 6, <=MAX(L38-$$4;) 63

49 Moel wstanowy etaowy. Ustalenie fncji wyłaty z ocji o. etaie A B D E F G H I J K L 4 FUNKJA WYPŁATY PO. ET 4 K 4 479,7 <=MAX(L8-$$4;) 43 6% 44, 98,58 <=MAX(L-$$4;) 45,85 46,6 7,66 <=MAX(L-$$4;) , ,87 5 5, 53 54, 55 56, 57 58, 59 6, <=MAX(L36-$$4;) 6 6, <=MAX(L38-$$4;) 63

50 Moel wstanowy etaowy. Ustalenie watości ocji w 9. etaie ze wzo na wycenę w moel jenoetaowym A B D E F G H I J K L 4 4 K 4 479,7 <=MAX(L8-$$4;) 43 6% ($$46*L4+L44*(-$$46))/(+$$43) > 383,9 44, 98,58 <=MAX(L-$$4;) 45,85 ($$46*L44+L46*(-$$46))/(+$$43) > 33,4 46,6 7, ,8 48 8,5 49 5,3 5 5,87 5 8,98 5, 53 54, 55 56, 57 ( ), gzie 58, 59 max, max, K K 6, <=MAX(L36-$$4;) 6 ($$46*L6+L6*(-$$46))/(+$$43) > 6, <=MAX(L38-$$4;) 63

51 Moel wstanowy etaowy. Ustalenie watości ocji w ażym etaie, w ażej sytacji ( ze wzo na wycenę w moel jenoetaowym) A B D E F G H I J K L 4 4 K 4 479,7 <=MAX(L8-$$4;) 43 6% ($$46*L4+L44*(-$$46))/(+$$43) > 383,9 44, 35,38 98,58 <=MAX(L-$$4;) 45,85 4,77 33,4 46,6 87,7 79,97 7, ,44 36,6 6,8 48 9,6, 9,4 8,5 49 8, 73,8 63,8 5,3 5 6,5 5,9 43,78 3,43 5, ,7 37,36 9,5,7 8,98 5 3,7 6, 9,6,56 5,8, 53 7,89,89 7,73, ,38 4,7,63, 55,87,9 56,5, 57 58, 59 6 ( ), gzie, <=MAX(L36-$$4;) 6 6 max K, max K,, <=MAX(L38-$$4;) 63

52 , <=MAX(L38-$,4858 sma > 56,7634 zatal. ma 3,6968 Moel wstanowy etaowy. Ustalenie watości ocji na ostawie wzo n K n n n n max, L. Liczba wzostów P-stwo, ROZKŁ.DWUM L*Q 479,7 <=MAX(L8-$,64668, ,58 <=MAX(L-$ 9,43784,365 7,66 8,9335, ,5 7, ,47 5,87 6, ,9864, 5,6585, 4,476736, 3,446738,,6683, <=MAX(L36-$,57864 Q

53 Notacja K- cena jenostowa ostawy w ontacie fowa T- oes (w latach) ozostający o ostawy cena instment bazowego, bęącego zemiotem ontat f watość łgiej ozycji w ontacie fowa wolna o yzya oczna stoa ocentowa (zy ciągłej aitalizacji) Litey, f mogą wystąić ze wsaźniami wyznaczającymi nt na osi czas z zeział [; T] n., t, T,

54 Paytet cen ocji na i szeaży all-t aity Rozważmy otfel o słazie:. eoejsa ocja szeaży walo o atalnej cenie z ceną ealizacji K i teminem ealizacji T,. ontat teminowy na tego samego walo z tą sami ceną ealizacji i z tym samym teminem ealizacji co ocja szeaży. Rozatzmy wa zyai: a) w chwili T: T < K ontat teminowy zyniesie statę K T ocja szeaży zyniesie wyłatę K - T zatem (nie wzglęniając osztów tansacji) zeływy finansowe w chwili T mają bilans zeowy b) w chwili T: T > K ontat teminowy zyniesie zys ówny T - K ocja szeaży bęzie bezwatościowa i nie zostanie wyonana Zatem w chwili T wyłata otfela bęzie ówna T - K

55 Paytet cen ocji na i szeaży Wniose. Rozważany otfel ma w chwili T fncję wyłaty ocji na. tw. 8. oo watość otfela w chwili T jest watością ocji na, zatem watość otfela w chwili oczątowej msi być taże ówny watości ocji, czyli = P + f gzie, P ceny oowienio ocji na, ocji szeaży, f - watość ontat teminowego na w chwili t =, czyli = P + - e -T K Uwaga. Jeżeli założymy aitalizację oesową oaz wolną o yzya stoę w oesie o ealizacji ocji, wzó na aytet zyjmie ostać = P + - K/(+)

56 Paytet cen ocji na i szeaży Uwaga 9. Jeżeli założymy aitalizację oczną oaz oczny oes o chwili ealizacji ocji, wzó na aytet zyjmie ostać = P + - K/(+) Z ostatniej ówności oaz wzoów Można taże zysać wzó na cenę ocji szeaży E, max, max, ) ( K P K P gzie P P P, max, max, ) ( K K gzie

57 Oganiczenia na cenę ocji na oaz ocji szeaży e cena eoejsiej ocji na P e cena eoejsiej ocji szeaży a cena ameyańsiej ocji na P a cena ameyańsiej ocji szeaży stoa ocentowa wolna o yzya, zy aitalizacji ciągłej o cena acji w chwili oczątowej T temin ealizacji ocji K cena wyonania ocji

58 Oganiczenia na cenę ocji na tw. 9. eny ocji na sełniają nastęjące nieówności o a e max( o K e -T, ) Uzasanienie ena ocji ameyańsiej nie może być wyższa niż cena ynowa acji gyż w zeciwnym zya taniej byłoby ić ację bezośenio na yn, zatem o a Ze wzglę na więsze awnienia właściciela ocji ameyańsiej jej cena nie może być mniejsza o ceny ocji eoejsiej, czyli a e z aytet na-szeaży ( e P e = o K e -T ) e = o K e -T + P e watość ocji nie może saść oniżej zea (mamy P e,) zatem e o K e -T tą i nieówności e otzymjemy e max( o K e -T, )

59 Oganiczenia na cenę ocji szeaży tw.. eny ocji szeaży sełniają nastęjące nieówności K P a P e max ( Ke -T,) Uzasanienie Gyby K < P a, to wystawiając ocję szeaży z cena wyonania K zysjemy w najgoszym zya P a - K (co jest zysiem abitażowym); P a P e gyż za szesze awnienia ocji ameyańsiej nie możemy łacić mniej; z aytet ceny ocji P e = e - o + K e -T oaz nieówności e otzymjemy P e Ke -T - o, P e max(ke -T, ) onieważ P e, więc

60 Watość wewnętzna i watość czasowa Def. Watość wewnętzna ocji jest to óżnica mięzy ceną instment bazowego, a ceną wyonania w zya ocji na, natomiast w zya ocji szeaży watość wewnętzna jest ówna óżnicy mięzy ceną wyonania, a ceną instment bazowego. Def. Watość czasowa (zewnętzna) ocji jest to óżnica mięzy ceną ocji (emią), a jej watością wewnętzną jeśli óżnica ta jest niejemna w zeciwnym azie watość czasowa jest ówna ze.

61 Zależność mięzy emią (ceną) ocji na a ceną instment bazowego oaz watością wewnętzną ocji gzie TV- ( time vale ) watość czasowa IV (intinsic vale) watość wewnętzna

62 Wycena ocji J.. ox,.a. Ross, M. Rbinstein Wycena ocji eoejsiej w moel ysetnym Fische Blac, Myon holes, Robet Meton (973) Wycena ocji eoejsiej w moel ciągłym Fische Blac, Myon holes Nagoa Nobla 997- za nową metoę wyceny instmentów ochonych