Blok 8: Moment bezwładności. Moment siły Zasada zachowania momentu pędu

Transkrypt

1 Blo 8: Moent bezwładności Moent siły Zasada zachowania oentu pędu Moent bezwładności awiając uch postępowy ciała, posługujey się pojęciai pzeieszczenia, szybości, pzyspieszenia tego ciała oaz wypadowej siły na nie działającej W opisie uchu postępowego zwyle tatujey ciała jao punty ateialne Nawet, jeśli ciało a duże oziay, wszystie powyższe wielości fizyczne wiążey ze śodie asy ciała, a sao ciało zastępujey pzez punt ateialny o asie ównej asie badanego ciała W opisie uchu obotowego taa onstucja yślowa pzestaje być uzasadniona, ponieważ w pzypadu tego uchu a znaczenie nie tyle watość asy ciała, ile ozład asy w pzestzeni Dlatego usiy wziąć pod uwagę oziay i ształt badanego ciała, tóego nie ożey już tatować ja puntu ateialnego, ale usiy je ozważać jao byłę sztywną Miaą bezwładności ciała w uchu postępowy jest asa ciała Miaą bezwładności ciała w uchu obotowy jest oent bezwładności Moent bezwładności ciała względe osi definiuje się, dzieląc byłę sztywną na ałe fagenty o asach i : i i, gdzie jest odległością fagentu były o asie i od i i wybanej osi, a suowanie pzebiega po wszystich fagentach Można zdefiniować oent bezwładności badziej doładnie za poocą całi: całej objętości V były sztywnej V d, gdzie całowanie pzebiega po Moent bezwładności jest wielością addytywną, tzn oent bezwładności uładu był sztywnych względe osi jest suą oentów bezwładności poszczególnych ciał tego uładu względe osi Moent bezwładności puntu ateialnego względe osi pzechodzącej pzez ten punt jest ówny zeo ś wybieana do obliczania oentu bezwładności ciała jest najczęściej osią obotu tego ciała Jeśli oś ta jest osią syetii ciała, wyznaczenie oentu bezwładności badzo często staje się poste Moenty bezwładności, podstawowych był względe ich osi syetii ożna znaleźć w tablicach ateatycznych Pojet jest współfinansowany z Euopejsiego Funduszu Społecznego w aach pogau opeacyjnego KPTŁ LUDZK 46

2 ula pełny walec pełny cieni ąże MR MR MR cieni pęt cienościenna ua cieni pieścień punt ateialny MR MR 0 Moent bezwładności były o asie M względe osi obotu innej niż oś syetii, ożna obliczyć z twiedzenia Steinea, 0 Md ale pod pewnyi waunai: 0 to oent bezwładności były względe tóejś z jej osi syetii, osie i są ównoległe do siebie, a odległość iędzy nii wynosi d Pojet jest współfinansowany z Euopejsiego Funduszu Społecznego w aach pogau opeacyjnego KPTŁ LUDZK 47

3 g Pzyład 9: Cztey uli, ażda o asie, znajdują się w wiezchołach wadatu o bou blicz oent bezwładności uładu ule względe osi zawieającej jeden z a boów wadatu oaz względe osi zawieającej pzeątną wadatu Kuli tatujey ja punty ateialne Moent bezwładności uładu względe wybanej osi jest ówny suie oentów bezwładności poszczególnych eleentów tego uładu względe tej osi Chcąc obliczyć oent bezwładności dowolnej były względe dowolnej osi, ozystay z twiedzenia Steinea: 0 Md, gdzie M to asa były, 0 to oent bezwładności były względe tóejś z jej osi syetii (najczęściej znany z tablic, osie i są ównoległe do siebie, a odległość iędzy nii wynosi d Moent bezwładności puntu ateialnego względe osi pzechodzącej pzez ten punt Moent bezwładności uładu ule względe jednego z boów wadatu: 4 Ma 0 Ma 0,00 g 0,0 g 0 Moent bezwładności uładu ule względe pzeątnej D a wadatu (uwaga: 40 Md 0 Md M Ma 0, 00 g 0, 00 g d D : 0 0 Pzyład 9: blicz oent bezwładności cieniego jednoodnego pęta o długości L i asie, względe osi postopadłej do niego i pzechodzącej pzez: punt odległy od śoda pęta o L/4 punt leżący na ońcu pęta Moent bezwładności cieniego, jednoodnego pęta względe osi postopadłej do niego i pzechodzącej pzez jego śode wynosi: 0, gdzie M to asa pęta, a L to jego długość Moent bezwładności względe innej ównoległej osi obliczay z tw Steinea: Ma i w ty pzypadu: 0 a L / 4, stąd a L /, stąd M( M( L 4 L Pzyład 93: Z jednoodnej uli o asie M i poieniu R wycięto ulę o poieniu R, tóej śode znajdował się w odległości od śoda dużej uli le wynosi oent bezwładności wydążonej uli względe osi pzechodzącej pzez punt stanowiący śode asy pełnej dużej uli i stycznej do wydążenia? Moent bezwładności pełnej uli względe osi to sua oentu bezwładności względe osi uli wydążonej i oentu bezwładności wydążenia Zate: dziuawe Zate uli wydazenia 7 7 M R 7 uli MR, a wydazenia 0 Ma ( MR 8 60 M/ dziuawe MR MR MR 7 60 MR, bo Pojet jest współfinansowany z Euopejsiego Funduszu Społecznego w aach pogau opeacyjnego KPTŁ LUDZK 48

4 Moent siły Moent siły M jest wielością wetoową zdefiniowaną względe osi obotu, jao: M F, gdzie - aię siły F Kieune wetoa M M jest postopadły do płaszczyzny wyznaczonej pzez wetoy ożna oeślić z eguły dla iloczynu wetoowego i F, a zwot Raię siły F to weto postopadły do osi obotu, tóego począte leży na tej osi, a oniec znajduje się w puncie pzyłożenia siły F Moent siły jest zate obliczany zawsze względe jaiejś osi Watość oentu siły: M F sin (, F Moent siły jest pzyczyną ziany uchu obotowego były sztywnej o oencie bezwładności nadając jej pzyspieszenie ątowe, : M, Jest to tzw zasada dynaii dla uchu obotowego były sztywnej Jeśli sua oentów wszystich sił działających na ciało jest ówna zeu, to ciało obaca się ze stałą szybością ątową, Pzyład 94: Stosune watości sił działających na F byłę sztywną wynosi Jai waune spełniają F 3 długości aion tych sił, jeżeli wiadoo, że była obaca się uche jednostajny woół osi postopadłej do płaszczyzny ysunu? Jeżeli była obaca się uche obotowy z jednostajną pędością ątową, to z zasady dynaii dla uchu obotowego, wypadowy oent sił działających na byłę jest ówny zeu: M 0, czyli M M 0 Moent siły : M F, gdzie jest aienie siły, czyli wetoe postopadły do osi obotu, tóego począte leży na tej osi, a oniec znajduje się w puncie pzyłożenia siły F Podobnie obliczay oent siły F : M F Ponieważ wetoy M i M są do siebie ównoległe i ają pzeciwne zwoty, to ównanie wetoowe na suę oentów sił ożna pzedstawić w postaci algebaicznej (wybiea oś X postopadłą do płaszczyzny ysunu i np zwóconą za tę płaszczyznę: F M M 0 F sin (, F F sin (, F F F Czyli F 3 długość aienia siły F jest tzyotnie niejsza od długości aienia siły F F Pojet jest współfinansowany z Euopejsiego Funduszu Społecznego w aach pogau opeacyjnego KPTŁ LUDZK 49

5 Moent pędu Zasada zachowania oentu pędu Moent pędu L jest wielością wetoową zdefiniowaną względe puntu, jao: - aię pędu p Kieune wetoa L L jest postopadły do płaszczyzny wyznaczonej pzez wetoy ożna oeślić z eguły dla iloczynu wetoowego Watość oentu pędu: L p sin (, p L L p i p, gdzie, a zwot Częściej stosowana jest duga definicja oentu pędu:, gdzie jest wetoe pędości ątowej były, o ieunu poywający się osią obotu i zwocie oeślony zgodnie z egułą śuby pawosętnej Moent pędu ożna powiązać z oente siły popzez tzw uogólnioną postać zasady dynaii dla uchu obotowego były sztywnej: L M t Zasada zachowania oentu pędu Jeżeli wypadowy oent sił działających na byłę sztywną jest ówny zeu, to oent pędu były nie ulega zianie: M 0 L 0 V Enegia inetyczna uchu obotowego Zasada zachowania enegii echanicznej Ciało pouszając się uche obotowy posiada enegię inetyczną uchu obotowego: E K Całowita enegia echaniczna były sztywnej w uchu obotowy nie ulega zianie wtedy i tylo wtedy, gdy wypadowa sił niezachowawczych działających na ciało jest ówna zeu i oent sił zewnętznych działających na ciało jest ówny zeu Pojet jest współfinansowany z Euopejsiego Funduszu Społecznego w aach pogau opeacyjnego KPTŁ LUDZK 0

6 Pojet jest współfinansowany z Euopejsiego Funduszu Społecznego w aach pogau opeacyjnego KPTŁ LUDZK Pzyład 9: Dwa ążi obacają się niezależnie w pzeciwne stony z pędościai ątowyi o watościach: i na jednej osi pzechodzącej pzez ich śodi i postopadłej do ich powiezchni W pewnej chwili ąże góny spada na ąże dolny i ążi te zlepiają się blicz pędość ątową złączonych ążów, jeżeli asa gónego ąża wynosi, a jego poień, natoiast asa dolnego ąża wynosi, a jego poień blicz zianę enegii inetycznej uładu i wyjaśnij, dlaczego jest ona óżna od zea (tzn dlaczego nie obowiązuje zasada zachowania enegii Zdezenie idealnie niespężyste bowiązuje zasada zachowania oentu pędu, ale nie obowiązuje zasada zachowania enegii echanicznej: L p L, czyli ( Podstawiay dane z zadania: (, stąd Ziana enegii inetycznej: ( ( ( ( E Po sóceniu piewszego iloczynu ułaów oaz spowadzeniu wszystich tzech sładniów do wspólnego ianownia, otzyujey: ( ( E Ziana enegii uładu jest ujena ta, ja się tego spodziewaliśy