X. PODSTAWOWA MATEMATYKA REKONSTRUKCJI TOMOGRAFICZNYCH
|
|
- Sylwia Owczarek
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 X. PODSTAWOWA MATEMATYKA REKONSTRUKCJI TOMOGRAFICZNYCH 1.1 Definice; metoda wsteczne poeci w tomogafii tansmisyne Rys. 1.1 Pzyład dwóch zutów pzedmiotu złożonego z dwóch cylindycznych obietów Z czysto matematycznego puntu widzenia, poblem eonstuci funci z miezonych zutów pzedmiotu pzyład poazano na ys. 1.1 zawdzięczamy Radonowi, tóy opacował odpowiednią matematyę uż w Masowe zastosowanie tomogafii nastąpiło edna znacznie późnie. Za wynalezienie entgenowsiego tomogafu omputeowego Hounsfield waz z Comaciem, tóy podał ulepszony algoytm matematyczny, otzymali w 197 ou Nagodę Nobla. Doładności otzymywanych tomogamów są obecnie nadzwycza wysoie, pzeaczaą 1-3. Gwoli uposzczenia obliczeń załadamy, że mamy wiązę ównoległą o ozmiaach w xh, gdzie w szeoość, a h - wysoość wiązi. Rzecz będzie więc dotyczyć tomogafów piewsze geneaci. Pzymimy, że doonaliśmy pomiau wzdłuż 1
2 pzeywane linii, ównoległe do osi y obacaącego się uładu x,y, związanego z uładem źódło-deteto, podczas gdy z nieuchomym pacentem związany est uład X,Y. W dane odległości x od osi y ustawione pod ątem w stosunu do osi Y pacenta miezone natężenie wynosi: y Y x I, x I exp x, y dy, 1.1 x,y X gdzie elaca pomiędzy współzędnymi puntu x,y oaz x,y est następuąca: t x xcos ysin 1. y xsin ycos Rys. 1. Pzyęty do opisu uład współzędnych a x,y oznacza liniowy współczynni pochłaniania związany z puntem x, y = x,y. Wzó 1.1 łatwo est pzeształcić na: I p, x ln x, y dy 1.3 I, x Wielość p,x nosi nazwę tansfomaty Radona wielości. Wielość p,x nazywamy dla postoty poecą. Łatwo stwiedzić, że wystaczy ą zmiezyć tylo na półoęgu, gdyż zamiana detetoa i źódła miescami nie może zmieniać watości poeci, t. p x p,x p, x 1.4
3 Zadaniem tomogafii est, a uż mówiliśmy we wcześnieszym wyładzie, zeonstuowanie funci x,y, a więc i x,y. Reonstuca ta wcale nie est posta, nie tylo ze względów czysto matematycznych. Pzede wszystim tzeba mieć świadomość, że obazuąc ozład współczynnia pochłaniania w dane płaszczyźnie załadamy, że dane pomiaowe zeczywiście dotyczą niesończenie cienich pzeoów, ta że zamiast tówymiaowych voxeli możemy mówić o dwuwymiaowych pixelach. Po dugie, załadamy, że wszystie eestowane fotony pouszały się po liniach postych pomiędzy źódłem a detetoem. W zeczywistości wiąza pomieniowania X ma sończone ozmiay i ozbieżność ątową, a w tacie pzechodzenia pzez obiet wiąza ulega stwadnieniu, gdyż pomieniowanie o niższych enegiach est silnie pochłaniane i do odlegleszych wastw pzechodzi elatywnie więce pomieniowania o wyższe enegii. Dodatowo eszcze załadamy, że ozład współczynnia absopci w amach ozmiau wiązi i e ozbieżności ątowe est ednoodny. Umieętność szybie i pecyzyne eonstuci est oczywiście niezbędna. Od początowo algebaiczne metody używane pzez Hounsfielda, tóy mógł doonać eonstuci z 8x8 obazów z doładnością o. 1 - wyonano znaczący o, a późniesza metoda Ramachandana i Lashminaayanana pozwoliła na eonstuce z 56x56 a taże 51x51 obazów w ozsądnym czasie i z doładnością o ząd wielości lepszą. Chaateystyczną odmiennością metody SPECT od tansmisyne tomogafii omputeowe CT est badanie nie tyle współczynnia pochłaniania w danym obszaze, ile atywności wychodzące z danego miesca, ta więc miezymy wielość p, x Ax, y dy, 1.5 A gdzie Ax,y atywność wychodząca z puntu x,y, tóą wyznaczamy w opaciu o pomia wielości p A,x. Zaówno w metodzie CT, a i SPECT dążymy do wyznaczenia ozładu dwuwymiaowego z seii miezonych danych ednowymiaowych. 3
4 Załóżmy, że pomiay wyonywane są w seii oów, w tóych ąt zmienia się o a odległość x zmienia o x = t. Efetywnie wyznaczamy zatem wielości p i, gdzie p i pi, t 1.6 Nas inteesue odpowiednia funca podcałowa we wzoze 1.3 lub 1.5. Funcę tę eonstuuemy taże na dysetne siatce pixeli o ozmiaach np. w x w, a więc zmiezamy do znalezienia watości iw, w 1.7 i lub A i A iw, w 1.8 W patyce numeyczne wygodnie est posługiwać się acze maciezą ednowymiaową niż dwuwymiaową. Jeśli ozmia inteesuące nas maciezy wynosi N = n x n, to można zapisać piewsze n współczynniów piewszego wiesza, następnie pzypisać piewszemu współczynniowi dugiego wiesza element n+1- szy, piewszemu współczynniowi tzeciego wiesza element n+1-szy itd. W podobny sposób możemy opisać zaówno wielości miezone, a i eonstuowane. W taie zdysetyzowane fomie nasze ównania maą postać: N p Jeśli dysponuemy J pomiaami poeci p, to wielości { } teoetycznie można otzymać pzez poste odwócenie maciezy. W patyce nie est to wcale taie poste. Po piewsze, liczba elementów te maciezy est znaczna. Jeśli n = 56, to liczba elementów wetoa wynosi 65536, a więc pzy identyczne długości wetoa p maciez zawiea x elementów, t. ponad 4 miliady 4
5 elementów. Odwacanie ta wielie maciezy est tudnością samą w sobie poblemem numeycznym zapewnienie odpowiednie doładności odwacania, ale też i czasowym. Po dugie, zanim zabiezemy się do eonstuci musimy wyonać wszystie pomiay, co wydłuża czas uzysiwania obazu. Weszcie niebagatelną spawą są szumy pomiaowe, tóe mogą badzo zdefomować wyni. Obazy można uzysać w dużym pzybliżeniu metodą wsteczne poeci, tóa polega na pzypisaniu ażdemu pixelowi znaduącemu się na dane linii taiego samego ułama zmiezone watości natężenia, t. eśli zmiezone natężenie wynosi I, a na te linii znadue się m pixeli, to ażdemu pixelowi pzypisuemy watość I/m altenatywnie możemy ażdemu pixelowi pzypisać watość I, gdyż w ońcu spowadzi się to tylo do nomalizaci natężeń w obazie. Suma natężeń w ażdym pixelu, uzysanych z ażdego pomiau dae wyobażenie o inteesuącym nas obazie. Na ys. 1.3 poazano zastosowanie te metody do eonstuci świecenia w wypadu istnienia dwóch świecących puntów i tylo dwóch, postopadłych poeci. Mieząc natężenia wzdłuż ieunów postopadłych otzymamy np. identyczne watości, powiedzmy edynowe, a na ysunu z lewe stony /6 1/6 1/6 1/6 1/3 1/6 1/3 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/3 1/6 1/3 1/6 1/6 1/6 Rys. 1.3 Odtwazanie obazu puntów świecących czewone z dwóch postopadłych poeci. Po lewe stonie ysunu poazano miesca świecenia czewone punty i natężenia zmiezone wzdłuż poeci. Po pawe stonie poazuemy wyni eonstuci metodą wsteczne poeci. 5
6 Postępuąc zgodnie z algoytmem wsteczne poeci, pixelom na liniach dugie i piąte licząc od góy pzypiszemy watości 1/6 i podobnie w olumnach 3 i 5 od lewe. Łatwo spawdzić, że, po dodaniu obu watości, miescom świecenia punty pzypisze się w ten sposób watości 1/3. Taa sama watość poawi się w pixelach,3 i 5,5. Pixelom nie leżącym wzdłuż miezone poeci pzypiszemy oczywiście natężenia zeowe. Dysponowanie ta oganiczoną infomacą i postym algoytmem dopowadziło nas zatem do znalezienia miesc świecenia, ale taże i atefatów: smug w wieszach i 5 oaz olumnach 3 i 5, a taże nie istnieących miesc świecenia o natężeniach identycznych z zeczywistymi miescami świecenia. Łatwo spawdzić, że wyonanie dodatowych poeci pod ątami 45 stopni nie usunie tych atefatów. W ogólnym wypadu położenia miesc goących będą silnie ozmyte, a pzy oazi poawią się inne atefaty, choć o słabszych natężeniach. Waz ze wzostem liczby poeci ozmycie miesca świecenia spada i otzymywany ozład natężenia zmienia się a 1/ ys. 1.4, co wyażemy nieco późnie. Taa sytuaca est edna na ogół tudna do zaaceptowania w diagnostyce zeczywistych pzypadów. Rys. 1.4 Wyni eonstuci puntu świecącego metodą wsteczne poeci, gdy wyona się dużą liczbę poeci 6
7 W szczególnym wypadu ednego puntu świecącego pochłaniaącego matematya eonstuci wygląda poście. n x, y p,, gdzie x x cos ysin, 1.1 a pzy n poecach so ąta wynosi n. Rozmywanie ostych szczegółów obazu est w medycynie nuleane nie do zaaceptowania i z tego względu stosue się inne technii eonstuci, w szczególności opate o tansfomaty Fouiea, dla tóych opacowano szybie algoytmy. Zwóćmy edna też uwagę, że poste zutowanie wsteczne est bezwymiaowe, podczas gdy poszuiwany współczynni pochłaniania ma wymia odwotności długości i zależy więc od użytych ednoste. Aby sobie poadzić z tym poblemem należy w odpowiedni sposób nomalizować eonstuce. Reonstuuąc ozład współczynnia pochłaniania możemy sozystać z metody iteacyne. Dla ażdego pixela wystaczy tylo az wyznaczyć współczynnii w ównaniu 1.9, a następnie ta dobieać watości, aż osiągnie się nalepsze odwzoowanie miezonych poeci. Pzyład taiego iteacynego ozwiązania est poazany na ys W piewsze oleności bieze się pod uwagę tylo wynii hoyzontalnych poeci, co oczywiście powodue złe odtwozenie wyniów dla poeci pionowych. W dugim ou ównomienie ozłada się óżnice atualnych i odtwozonych poeci wetyalnych. Następnie obimy to samo dla poeci uośnych itd. Boda naważnieszym pytaniem patycznym est tu pytanie o liczbę niezbędnych poeci dla zeonstuowania ozładu { }. Łatwo się domyśleć, że im badzie będzie sompliowany ozład, tym więsza liczba poeci będzie potzebna do ego pawidłowe eonstuci. Niemnie edna w ealnych sytuacach wystaczy zawsze ich sończona liczba. 7
8 Rys. 1.5 Pzyład iteacyne metody eonstuci 1 1. Tansfomace Fouiea Do otzymania doładnieszych eonstuci współczynnia absopci lub ozładu atywności stosuemy badzie wyafinowane metody, opate głównie na wyozystaniu tansfomat Fouiea. Jednowymiaową tansfomatę Fouiea funci p,x definiuemy ao: 1 T.A.Delcha, Physics in Medical Diagnostics, Chapman&Hall
9 P p,x exp ix dx FT[p,x ] 1.13 Tansfomata dwuwymiaowa wygląda podobnie: M, t, sexp i t s dtds FT[ t, s] 1.14 Ze względu na definicę poeci, patz wzó 1.3, można łatwo poazać, że funca P est dwuwymiaową funcą M, opisaną wzoem 1.14, liczoną dla = i t = x. Kozystaąc z tansfomaci 1. możemy zapisać ównanie 1.14 inacze: M, x, y exp[ i{x cos sin y sin cos ]dx dy x, yexp[ ix cos ysin ]dxdy M,R 1.15 Ja widać, możemy zmienną potatować ao szczególny pomień w pzestzeni Fouiea, zdefiniowany ao R 1.16 i napisać P ix x, y e dx dy M, M, R 1.17 W patyce to wygląda ta, a byśmy pzeszli do zmiennych biegunowych w pzestzeni Fouiea. Jednowymiaowa tansfomata poeci ówna est zatem tansfomacie dwuwymiaowe inteesuące nas funci x,y wzdłuż oeślonego ieunu. Maąc zbió zmiezonych p x dla óżnych ieunów obliczamy tansfomaty P, a następnie doonuemy tansfomaci odwotne Fouiea: 9
10 x, y FT [M, ] Ja widać, ednowymiaowa tansfomata Fouiea poeci 1.13 est wyniiem scałowania tansfomaty Fouiea współczynnia absopci wzdłuż ednego ieunu lub, inacze mówiąc, pzeoem pzez dwuwymiaową tansfomatę x,y wzdłuż osi spzężone z osią x. Jeśli zatem dysponuemy naboem poeci, możemy odtwozyć zeonstuować ozład współczynnia absopci w badane pzez nas płaszczyźnie. Wyonuąc taie tansfomaty należy bać pod uwagę istnienie szumów pomiaowych, tóe pzeładaą się na szum w obazie. Ponadto, oganiczoność danych powadzić może do powstania w obazie atefatów. 1.3 Twiedzenie o splocie Splot funci hx,y i fx,y zdefiniowany est ao g x, y h x t, y s f t, s dtds h * f 1.19 Załóżmy, że obie ozpatywane funce maą tansfomaty Fouiea ówne odpowiednio H, i F, h x, yexp[ i x y] dxdy FT[ h x, y] f x, yexp[ i x y] dxdy FT[ f x, y] 1. Można poazać, że tansfomata Fouiea splotu funci h i f wynosi G, H, F, 1.1 1
11 Stosuąc opeacę odwotną można też dowieść, że FT [ H, F, ] FT [ H, ]* FT [ F, ] h x, y* f x, y Wsteczna poeca wyozystuąca tansfomaty Fouiea Poażemy teaz, w ai sposób, ozystaąc z idei wsteczne poeci i technii fouieowsie, można uzysać eonstucę pzestzennego ozładu współczynnia absopci. Zgodnie z ideą wsteczne poeci, wszystim pixelom wzdłuż badanego ieunu pzypisuemy taie same watości. Dla ułatwienia, niech będą one ówne watościom zmiezonych poeci, a więc x, y p,x 1.3 Kozystaąc z poeci zmiezonych pod óżnymi ątami otzymamy więc: x, y, x, y S S S p, x d p[, cos ] d, 1.4 gdzie est długością wetoa wodzącego x,y, a oznaczenia ątów i innych wielości zostały podane na ys. 1.. Indes S pzy wielości funci oznacza, że chodzi o wyni sumacyny całowy. Rozpatzmy dla pzyładu sytuacę, w tóe pochłanianie zachodzi edynie w puncie x,y =, oznaczonym na wspomnianym ysunu, a więc x, y x, y x y 1.5 Poeca te funci wynosi po postu x, a więc funca S ówna będzie 11
12 1 1 S x, y x d [ cos ] d 1.6 Ponieważ dla dowolne funci fx x xi [ f x] 1.7 i df dx xxi gdzie x i są miescami zeowymi funci fx, otzymuemy S 1 x, y sin cos o Z puntowego obietu utwozył się zatem obiet o symetii ołowe o natężeniu zmieniaącym się a 1/. Wyni ten zasygnalizowaliśmy uż wcześnie na ys Ewidentnie obaz sumacyny i zeczywisty się óżnią i w związu z tym należy opacować metodę zniwelowania efetu 1/. Zobaczmy, w ai sposób możemy sobie pomóc. Zgodnie z naszym wcześnieszym wyniiem 1.18: x, y, d M, Rexp[ ir xcos ysin ] R dr 1.9 Powyższą elacę możemy zapisać w postaci: F, y p, u d ux cos y sin x, 1.3 gdzie p F 1, u M, R R exp iru dr FT [ M, R R ]
13 Ze wzoów 1.17 i 1.18 wynia edna, że: FT [ M, R R ] FT [ P, R R ] FT [ P, ] 1.3 Dla dalszego postępowania musimy sozystać z twiedzenia o tansfomacie Fouiea splotu funci: FT [ P, ] FT [ P, ]* FT 1.33 Tansfomata Fouiea bezwzględne watości zmienne w tym wypadu nie istniee, ao że est to funca nieoganiczona. Aby móc powadzić obliczenia musimy zatem założyć, że tansfomata Fouiea zawiea tylo sończoną liczbę sładowych, co spowadza się do sztucznego oganiczenia zaesu zmienności do zaesu,. Zatem, zamiast liczyć tansfomatę bezwzględne watości obliczamy tansfomatę funci dla dla 1.34 Tansfomata ta ma następuącą postać: f u exp iu d exp iu iu sin u exp iu d exp iu iu u cos u 1 u exp iu d exp iu d iu [sin c u sin c exp iu d iu u] 1.35 gdzie sin x sin c x 1.36 x 13
14 Zatem, łącząc wzoy 1.33 i 1.35: F p, x p,uf x u du 1.37 Oganiczenie zaesu częstości fouieowsich eduue wpływ szumów pomiaowych. Poceduę taą nazywamy więc filtowaniem, a wzó 1.37 est właśnie wzoem wyozystuącym onetny filt. Zauważmy, że eśli filtem f będzie funca -Diaca, to p F,x będzie tożsame z p,x, a więc zeczywiste watości x,y i sumacyne S x,y będą taie same. Maąc obliczoną funcę p F dla ażdego ąta, dla tóego wyonano pomiay, można wyonać ostateczne wsteczne zutowanie zmiezonych poeci. W patyce analiz fouieowsich stosowane są ozmaite filty. Ponadto, numeyczne obliczenia dotyczą acze szeegów niż całe. Pzymuąc w dysetyzaci zmiennych o -1, dysetna postać filtu 1.35, nazywana filtem Ramachandana - Laashminaayanana, est następuąca: f 4 iu fi i dla dla i dla i 1, 3, 5,... i, 4, 6, Innym, często stosowanym filtem est filt Sheppa i Logana, tóy óżni się od popzedniego czynniiem mnożącym, aim est funca sinc: F SL sin c 1.39 E.Roita w Fizyczne metody diagnostyi medyczne i teapii, ed. A.Z.Hyniewicz i E.Roita, PWN 14
15 Jego postać dysetna est następuąca: f SL i 8 1, 4 1 i i, 1,, 3, Jeśli w funci p F,x pzymiemy dla zmienne x o w = u = x = -1, otzymamy dla filta Ramachandana i Lashminaayanana dysetną postać poeci : F F 1 1 pin p, iw pi pi w w i 4 n n 1.41 We wzoze 1.41 sumowanie pzebiega po wszystich watościach n, dla tóych i-n est liczbą niepazystą. Watości wsteczne poeci w postaci dysetne są następuące: F F x, y iw, w i p, x p x, 1.4 gdzie w est ozmiaem pixela, natomiast, zgodnie ze wzoem 1.1 x iw cos wsin 1.43 We wzoze 1.4 sumowanie po odpowiada sumowaniu po wszystich poecach zmiezonych dla ątów natomiast zmienna x wybiea ze wszystich tych poeci tę, tóa pzechodzi pzez pixel i. Dodatowym oiem w eonstuci est nomalizaca, aby suma zmiezonych poeci była ówna sumie poeci po wyonaniu opeaci filtowania. Opisana metoda est populana, gdyż est szyba, a obliczenia można wyonywać w tacie pomiaów. Jedna dla dobe eonstuci wymagana est duża liczba poeci, co est pewną wadą metody. 15
16 1.5 Reonstuca obazu metodami iteacynymi 3 Na ys. 1.5 pzedstawiliśmy napostszy sposób iteacynego odtwazania pzestzennego ozładu współczynnia pochłaniania ao pzeciwwagę dla matematycznie popawne metody, w tóe należy wpiew odwócić maciez i w ównaniu 1.1. Odwacanie to est edna nieefetywne, a samo ównanie można ozwiązać metodą iteacyną np. Raphsona-Newtona albo tóąolwie inną. Reonstuca polega na wyonaniu obliczeń w czteech oach. Ko 1: pzymuemy pewne watości początowe, napoście śednią ze zmiezone liczby J poeci: J 1 Nt N i1 p 1.44 i gdzie N t i N oznaczaą odpowiednio liczbę poeci wyonanych w popzecznym ieunu wzdłuż zmienne x, a N - liczbę ątów, dla tóych pzepowadzano pomiay poeci. Ko : obliczenie watości poeci na podstawie watości l l iteacach: otzymanych po N l z l Ko 3: Zmodyfiowanie watości l zgodnie z zasadą dane funci iteacyne: l1 l l f p, z 1.46 Ko 4: powtazanie oów 1-3 aż do uzysania zbieżności w watościach poeci. 3 E.Roita w Fizyczne metody diagnostyi medyczne i teapii, ed. A.Z.Hyniewicz i E.Roita, PWN 16
17 Poniże omówimy tzy populane metody eonstuci. W metodzie ART od Algebaic Reconstuction Technique elaca 1.46 ma postać: l1 l p z l 1.47 albo l p z l 1 l,, 1.48 N gdzie N oznacza liczbę pixeli daących wład do -te poeci. Obliczenia taie powadzimy dla wszystich poeci, edna po dugie, co oznacza, że watości w danym -tym pixelu są modyfiowane tyle azy, ile mamy poeci. Tę właśnie metodę w patycznym działaniu zapezentowaliśmy na ys Tego odzau łatwo wyonywalne na omputeze pzybliżenie powadzi czasem do atefatów, co est związane z wstawianiem do mianownia popawi wielości N. Lepsze wynii otzymuemy, gdy nasza popawa est nie p z l /N lecz 4 l p z l 1 l,, 1.49 L N gdzie L est długością linii pzechodzące pzez onetny pixel. Reonstuce wyonywane metodą ART nazywane są czasem szumem piepzu i soli, związanym z nadmieną postotą używanego pzybliżenia. Szum ten można zeduować pzez wpowadzenie do obliczeń pewnych elasaci, t. banie tylo części obliczanych popawe patz czynni gaszący w ównaniu Zmnieszenie szumu pociąga za sobą edna wydłużenie czasu obliczeń. 4 A.C.Ka, M.Slaney, Pinciples of Computeized Tomogaphic Imaging, IEEE Pess
18 18 Metoda SIRT od Simultaneous Iteative Reconstuction Technique wyonue podobne iteace, ale bieze pod uwagę ednocześnie wszystie zmiezone poece, tóe pzechodzą pzez -ty pixel. O ile, w metodzie ART modyfiace następuą oleno w ażdym pixelu, w metodzie SIRT obliczamy popawi dla wszystich pixeli i dopieo po ozwiązaniu wszystich ównań wpowadzamy te popawi. Modyfiace watości są tu następuące: 1 l l l z L N p 1.5 gdzie L oznacza długość poeci, a nie liczbę pixeli N. Altenatywnie używa się 1, l l l N z L p 1.51 W obu wzoach sumowanie pzebiega po wszystich poecach wnoszących wład do -tego pixela. W SIRT nomalizue się watości po ażde iteaci. O ile opisane dwie metody są stosowane pzede wszystim do zeonstuowania obazu, można też sozystać z ogólne poceduy LSIT od Least-Squae Iteative Technique, a więc metody iteacyne wg schematu namnieszych wadatów, tóa opata est na minimalizaci funci l p z R, 1.5 gdzie { } oznaczaą niepewności pomiaowe. Tu, poszuuąc namniesze watości funci R, pzyównuemy pochodną funci R do zea, w wyniu czego otzymuemy:
19 l 1 l l l 1 p z l 1.53 Dla polepszenia szybości zbieżności iteaci wpowadza się czynni gaszący, oganiczaący o w dane iteaci: l1 l l 1.54 gdzie można wyznaczyć np. ze wzou: p z 1 l l l 1.55 Metody iteacyne pozwalaą na otzymanie obazu nawet w sytuacach, gdy zmiezona liczba poeci J est mniesza od liczby pixeli N, a więc metoda wsteczne poeci nie est możliwa. Jednaże metody iteacyne należy stosować zawsze z dużą ostożnością, gdyż ich wyni może zawieać atefaty. Nota bene, nie ma metod idealnych, tóe gwaantowałyby pawidłowe, a więc bez znieształceń, odtwozenie wszystich szczegółów badanego obietu. Doładność est funcą ilości zebane infomaci, stopnia złożoności obietu oaz ozmiau ocze siati, na tóe doonuemy eonstuci. Istniee też metoda, tóe aonimem est SART od ang. Simultaneous Algebaic Reconstuction Technique, tóa łączy nieao w sobie nalepsze cechy opisanych wyże metod ART I SIRT. Je zaletą est to, że pozwala na uzysanie dobe eonstuci obazu uż w ednym ou 5. 5 Opis te technii można znaleźć w cytowane uż monogafii A.C.Ka, M.Slaney, Pinciples of Computeized Tomogaphic Imaging, IEEE Pess
X. PODSTAWOWA MATEMATYKA REKONSTRUKCJI TOMOGRAFICZNYCH
X. PODSTAWOWA MATEMATYKA REKONSTRUKCJI TOMOGRAFICZNYCH. Definice; metoda wsteczne poeci w tomogafii tansmisyne Załadamy, że mamy wiązę ównoległą o ozmiaach w x h, gdzie w szeoość, a h - wysoość wiązi.
Bardziej szczegółowoXXX OLIMPIADA FIZYCZNA (1980/1981). Stopień I, zadanie teoretyczne T4 1
XXX OLMPADA FZYCZNA (1980/1981). Stopień, zadanie teoetyczne T4 1 Źódło: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej; Waldema Gozowsi; Andzej Kotlici: Fizya w Szole, n 3, 1981.; Andzej Nadolny, Kystyna Pniewsa:
Bardziej szczegółowoL(x, 0, y, 0) = x 2 + y 2 (3)
0. Małe dgania Kótka notatka o małych dganiach wyjasniające możliwe niejasności. 0. Poszukiwanie punktów ównowagi Punkty ównowagi wyznaczone są waunkami x i = 0, ẋi = 0 ( Pochodna ta jest ówna pochodnej
Bardziej szczegółowo8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 8. 8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 8.. Płaski stan napężenia Tacza układ, ustój ciągły jednoodny, w któym jeden wymia jest znacznie mniejszy od pozostałych,
Bardziej szczegółowoII.6. Wahadło proste.
II.6. Wahadło poste. Pzez wahadło poste ozumiemy uch oscylacyjny punktu mateialnego o masie m po dolnym łuku okęgu o pomieniu, w stałym polu gawitacyjnym g = constant. Fig. II.6.1. ozkład wektoa g pzyśpieszenia
Bardziej szczegółowoPRZEMIANA ENERGII ELEKTRYCZNEJ W CIELE STAŁYM
PRZEMIANA ENERGII ELEKTRYCZNE W CIELE STAŁYM Anaizowane są skutki pzepływu pądu pzemiennego o natężeniu I pzez pzewodnik okągły o pomieniu. Pzyęto wstępne założenia upaszcząace: - kształt pądu est sinusoidany,
Bardziej szczegółowoLINIA PRZESYŁOWA PRĄDU STAŁEGO
oitechnia Białostoca Wydział Eetyczny Kateda Eetotechnii Teoetycznej i Metoogii nstucja do zajęć aboatoyjnych Tytuł ćwiczenia LNA RZEYŁOWA RĄD TAŁEGO Nume ćwiczenia E Auto: mg inŝ. Łuasz Zaniewsi Białysto
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Modele odpowiedzi do akusza Póbnej Matuy z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad 00 W kluczu są pezentowane pzykładowe pawidłowe odpowiedzi. Należy ównież uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są inaczej
Bardziej szczegółowoROZWIĄZUJEMY PROBLEM RÓWNOWAŻNOŚCI MASY BEZWŁADNEJ I MASY GRAWITACYJNEJ.
ROZWIĄZUJEMY PROBLEM RÓWNOWAŻNOŚCI MASY BEZWŁADNEJ I MASY GRAWITACYJNEJ. STRESZCZENIE Na bazie fizyki klasycznej znaleziono nośnik ładunku gawitacyjnego, uzyskano jedność wszystkich odzajów pól ( elektycznych,
Bardziej szczegółowoMetody optymalizacji. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metody optymalizacji d inż. Paweł Zalewski kademia Moska w Szczecinie Optymalizacja - definicje: Zadaniem optymalizacji jest wyznaczenie spośód dopuszczalnych ozwiązań danego polemu ozwiązania najlepszego
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PŁASZCZYZNY
GEOMETRIA PŁASZCZYZNY. Oblicz pole tapezu ównoamiennego, któego podstawy mają długość cm i 0 cm, a pzekątne są do siebie postopadłe.. Dany jest kwadat ABCD. Punkty E i F są śodkami boków BC i CD. Wiedząc,
Bardziej szczegółowoMIERNICTWO WIELKOŚCI ELEKTRYCZNYCH I NIEELEKTRYCZNYCH
Politechnika Białostocka Wydział Elektyczny Kateda Elektotechniki Teoetycznej i Metologii nstukcja do zajęć laboatoyjnych z pzedmiotu MENCTWO WEKOŚC EEKTYCZNYCH NEEEKTYCZNYCH Kod pzedmiotu: ENSC554 Ćwiczenie
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ODPOWIEDZI DO ARKUSZA ROZSZERZONEGO Zadanie ( pkt) A Zadanie ( pkt) C Zadanie ( pkt) A, bo sinα + cosα sinα + cosα cos sinα sin cosα + π π + π sin α π A więc musi
Bardziej szczegółowoMETEMATYCZNY MODEL OCENY
I N S T Y T U T A N A L I Z R E I O N A L N Y C H w K i e l c a c h METEMATYCZNY MODEL OCENY EFEKTYNOŚCI NAUCZNIA NA SZCZEBLU IMNAZJALNYM I ODSTAOYM METODĄ STANDARYZACJI YNIKÓ OÓLNYCH Auto: D Bogdan Stępień
Bardziej szczegółowoRama płaska metoda elementów skończonych.
Pzyład. Rama płasa metoda elementów sończonych. M p l A, EJ P p l A, EJ l A, EJ l l,5 l. Dysetyzacja Podział na elementy i węzły x st. sw. M 5 P Z X, M, V, H 7, M, H Y, V Element amy płasiej węzły, x stopni
Bardziej szczegółowoModel klasyczny gospodarki otwartej
Model klasyczny gospodaki otwatej Do tej poy ozpatywaliśmy model sztucznie zakładający, iż gospodaka danego kaju jest gospodaką zamkniętą. A zatem bak było międzynaodowych pzepływów dób i kapitału. Jeżeli
Bardziej szczegółowoWyznaczanie profilu prędkości płynu w rurociągu o przekroju kołowym
1.Wpowadzenie Wyznaczanie pofilu pędkości płynu w uociągu o pzekoju kołowym Dla ustalonego, jednokieunkowego i uwastwionego pzepływu pzez uę o pzekoju kołowym ównanie Naviea-Stokesa upaszcza się do postaci
Bardziej szczegółowoModelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate Wykład III
Modelowanie pzepływu cieczy pzez ośodki poowate Wykład III 6 Ogólne zasady ozwiązywania ównań hydodynamicznego modelu pzepływu. Metody ozwiązania ównania Laplace a. Wpowadzenie wielkości potencjału pędkości
Bardziej szczegółowodr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów
Instukcja współfinansowana pzez Unię Euopejską w amach Euopejskiego Funduszu Społecznego w pojekcie Innowacyjna dydaktyka bez oganiczeń zintegowany ozwój Politechniki Łódzkiej zaządzanie Uczelnią, nowoczesna
Bardziej szczegółowoMECHANIKA OGÓLNA (II)
MECHNIK GÓLN (II) Semest: II (Mechanika I), III (Mechanika II), ok akademicki 2017/2018 Liczba godzin: sem. II*) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. sem. III*) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. (dla
Bardziej szczegółowoZadania do rozdziału 5
Zadania do rozdziału 5 Zad.5.1. Udowodnij, że stosując równię pochyłą o dającym się zmieniać ącie nachylenia α można wyznaczyć współczynni tarcia statycznego µ o. ozwiązanie: W czasie zsuwania się po równi
Bardziej szczegółowoKONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH
Konkusy w województwie podkapackim w oku szkolnym 08/09 KONKURS Z MTEMTYKI L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH ETP REJONOWY KLUZ OPOWIEZI Zasady pzyznawania punktów za każdą popawną odpowiedź punkt za błędną odpowiedź
Bardziej szczegółowoPRACA MOC ENERGIA. Z uwagi na to, że praca jest iloczynem skalarnym jej wartość zależy również od kąta pomiędzy siłą F a przemieszczeniem r
PRACA MOC ENERGIA Paca Pojęcie pacy używane jest zaówno w fizyce (w sposób ścisły) jak i w życiu codziennym (w sposób potoczny), jednak obie te definicje nie pokywają się Paca w sensie potocznym to każda
Bardziej szczegółowo29 Rozpraszanie na potencjale sferycznie symetrycznym - fale kuliste
9 Rozpaszanie na potencjae sfeycznie symetycznym - fae kuiste W ozdziae tym zajmiemy się ozpaszaniem na potencjae sfeycznie symettycznym V ). Da uchu o dodatniej enegii E = k /m adiane ównanie Schödingea
Bardziej szczegółowoWAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Bardziej szczegółowoRównanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki
napisał Michał Wierzbici Równanie Fresnela W anizotropowych ryształach optycznych zależność między wetorami inducji i natężenia pola eletrycznego (równanie materiałowe) jest następująca = ϵ 0 ˆϵ E (1)
Bardziej szczegółowoFunkcja obliczajca wartoci elementów cigu Fibonacciego Cig Fibbonaciego: F(1)=1 F(2)=1 F(n)=F(n-1)+F(n-2) dla n>2
Teat: Pogaowanie dynaiczne. Pogaowanie dynaiczne Uycie stategii pogaowania dynaicznego polega na zapaitaniu w odpowiednie stutuze (naczcie tablicy) wyniów ozwizania podpobleów, na tóe został podzielony
Bardziej szczegółowoBlok 8: Moment bezwładności. Moment siły Zasada zachowania momentu pędu
Blo 8: Moent bezwładności Moent siły Zasada zachowania oentu pędu Moent bezwładności awiając uch postępowy ciała, posługujey się pojęciai pzeieszczenia, szybości, pzyspieszenia tego ciała oaz wypadowej
Bardziej szczegółowoDobór zmiennych objaśniających do liniowego modelu ekonometrycznego
Dobó zmiennych objaśniających do liniowego modelu ekonometycznego Wstępnym zadaniem pzy budowie modelu ekonometycznego jest okeślenie zmiennych objaśniających. Kyteium wybou powinna być meytoyczna znajomość
Bardziej szczegółowoEnergia kinetyczna i praca. Energia potencjalna
negia kinetyczna i paca. negia potencjalna Wykład 4 Wocław Univesity of Technology 1 NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 Paca Kto wykonał większą pacę? Hossein Rezazadeh Olimpiada w Atenach 004 WR Podzut
Bardziej szczegółowoREZONATORY DIELEKTRYCZNE
REZONATORY DIELEKTRYCZNE Rezonato dielektyczny twozy małostatny, niemetalizowany dielektyk o dużej pzenikalności elektycznej ( > 0) i dobej stabilności tempeatuowej, zwykle w kształcie cylindycznych dysków
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Póbna Matua z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad W niniejszym schemacie oceniania zadań otwatych są pezentowane pzykładowe popawne odpowiedzi. W tego typu ch należy
Bardziej szczegółowoOptymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań
Mieczysław POŁOŃSKI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego, Warszawa, ul. Nowoursynowsa 159 e-mail: mieczyslaw_polonsi@sggw.pl Założenia Optymalizacja harmonogramów
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne. 5.1 Oddziaływanie pola magnetycznego na ładunki. przewodniki z prądem. 5.1.1 Podstawowe zjawiska magnetyczne
Rozdział 5 Pole magnetyczne 5.1 Oddziaływanie pola magnetycznego na ładunki i pzewodniki z pądem 5.1.1 Podstawowe zjawiska magnetyczne W obecnym ozdziale ozpatzymy niektóe zagadnienia magnetostatyki. Magnetostatyką
Bardziej szczegółowoOcena siły oddziaływania procesów objaśniających dla modeli przestrzennych
Michał Benad Pietzak * Ocena siły oddziaływania pocesów objaśniających dla modeli pzestzennych Wstęp Ekonomiczne analizy pzestzenne są ważnym kieunkiem ozwoju ekonometii pzestzennej Wynika to z faktu,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Bardziej szczegółowo4. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.
Katogafia matematyczna. ementy teoii powiezchni. Odwzoowanie powiezchni na powiezchnię. 4. ementy teoii powiezchni. Odwzoowanie powiezchni na powiezchnię. 4.. Powiezchnie Powiezchnią w geometii óŝniczowej
Bardziej szczegółowoXXXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne
XXXVII OIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne ZADANIE D Nazwa zadania: Obacający się pęt swobodnie Długi cienki pęt obaca się swobodnie wokół ustalonej pionowej osi, postopadłej do niego yc.
Bardziej szczegółowonależą do grupy odbiorników energii elektrycznej idealne elementy rezystancyjne przekształcają energię prądu elektrycznego w ciepło
07 0 Opacował: mg inż. Macin Wieczoek www.mawie.net.pl. Elementy ezystancyjne. należą do gupy odbioników enegii elektycznej idealne elementy ezystancyjne pzekształcają enegię pądu elektycznego w ciepło.
Bardziej szczegółowoOBWODY PRĄDU SINUSOIDALNEGO
aboatoium Elektotechniki i elektoniki Temat ćwiczenia: BOTOM 06 OBODY ĄD SSODEGO omiay pądu, napięcia i mocy, wyznaczenie paametów modeli zastępczych cewki indukcyjnej, kondensatoa oaz oponika, chaakteystyki
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 5. Badanie przekaźnikowych układów sterowania
ĆWICZENIE 5 Badanie zekaźnikowych układów steowania 5. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest badanie zekaźnikowych układów steowania obiektem całkującoinecyjnym. Ćwiczenie dotyczy zekaźników dwu- i tójołożeniowych
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM: Sterowanie rzeczywistym serwomechanizmem z modułem przemieszczenia liniowego Wprowadzenie
Utwozenie: PRz, 1, Żabińsi Tomasz Modyfiacja: PRz, 15, Michał Maiewicz LABORATORIUM: Steowanie zeczywistym sewomechanizmem z modułem zemieszczenia liniowego Wowadzenie Celem ćwiczenia jest identyfiacja
Bardziej szczegółowo11. DYNAMIKA RUCHU DRGAJĄCEGO
11. DYNAMIKA RUCHU DRGAJĄCEGO Ruchem dgającym nazywamy uch, któy powtaza się peiodycznie w takcie jego twania w czasie i zachodzi wokół położenia ównowagi. Zespół obiektów fizycznych zapewniający wytwozenie
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Póbna Matua z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad 0 W ni niej szym sche ma cie oce nia nia za dań otwa tych są pe zen to wa ne pzy kła do we po paw ne od po wie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI 12
Olga Koacz, Kzysztof Kawczyk, Ada Łodygowski, Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Kzysztof Tye Konsultace naukowe: of. d hab. JERZY RAKOWSKI Poznań /3 MECHANIKA BUDOWLI. DRGANIA WYMUSZONE, NIETŁUMIONE
Bardziej szczegółowoWyznaczenie współczynnika dyfuzji cieplnej κ z rozkładu amplitudy fali cieplnej
ace Instytutu Mechanii Góotwou AN Tom 15, n 3-, gudzień 13, s. 69-75 Instytut Mechanii Góotwou AN Wyznaczenie współczynnia dyfuzji cieplnej κ z ozładu amplitudy fali cieplnej JAN KIEŁBASA Instytut Mechanii
Bardziej szczegółowom q κ (11.1) q ω (11.2) ω =,
OPIS RUCHU, DRGANIA WŁASNE TŁUMIONE Oga Kopacz, Adam Łodygowski, Kzysztof Tymbe, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Konsutacje naukowe: pof. d hab. Jezy Rakowski Poznań 00/00.. Opis uchu OPIS RUCHU
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 METODY OPTYMALIZACJI NIELINIOWEJ BEZ OGRANICZEŃ
WYKŁAD 5 METODY OPTYMALIZACJI NIELINIOWEJ BEZ OGRANICZEŃ Wstęp. Za wyjątie nielicznych funcji, najczęściej w postaci wieloianów, dla tórych ożna znaleźć iniu na drodze analitycznej, pozostała więszość
Bardziej szczegółowoPattern Classification
Pattern Classification All materials in these slides were taen from Pattern Classification (2nd ed) by R. O. Duda, P. E. Hart and D. G. Stor, John Wiley & Sons, 2000 with the permission of the authors
Bardziej szczegółowoĆw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań
KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE USŁUG TRANSPORTOWYCH W OBSZARZE DZIAŁANIA CENTRUM LOGISTYCZNO-DYSTRYBUCYJNEGO
PACE NAUKOWE POLIECHNIKI WASZAWSKIEJ z. 64 anspot 2008 Jolanta ŻAK Wydział anspotu Politechniki Waszawskie Zakład Logistyki i Systemów anspotowych ul. Koszykowa 75, 00-662 Waszawa logika@it.pw.edu.pl MODELOWANIE
Bardziej szczegółowo13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym
Bardziej szczegółowoRestauracja a poprawa jakości obrazów
Restauracja obrazów Zadaniem metod restauracji obrazu jest taie jego przeształcenie aby zmniejszyć (usunąć) znieształcenia obrazu powstające przy jego rejestracji. Suteczność metod restauracji obrazu zależy
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoArytmetyka finansowa Wykład 6 Dr Wioletta Nowak
Aytmetya finansowa Wyład 6 Wioletta Nowa Ryne apitałowy zez yne apitałowy ozumie się ogół tansacji upna-spzedaży, tóych pzedmiotem są instumenty finansowe o oesie wyupu dłuższym niż o. Śodi uzysane z emisji
Bardziej szczegółowoElementarne przepływy potencjalne (ciąg dalszy)
J. Szanty Wykład n 4 Pzepływy potencjalne Aby wytwozyć w pzepływie potencjalnym siły hydodynamiczne na opływanych ciałach konieczne jest zyskanie pzepływ asymetycznego.jest to możliwe pzy wykozystani kolejnego
Bardziej szczegółowo( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego
Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego /9 Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego Chodzi o wyznaczenie pochodnych cząstowych funcji błędu E względem parametrów elementów uładu
Bardziej szczegółowoA. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna
A. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z wsaźniami esploatacyjnymi eletronicznych systemów bezpieczeństwa oraz wyorzystaniem ich do alizacji procesu esplatacji z uwzględnieniem przeglądów
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoANALIZA WIELOKRYTERIALNA
ANALIZA WIELOKRYTERIALNA Dział Badań Operacyjnych zajmujący się oceną możliwych wariantów (decyzji) w przypadu gdy występuje więcej niż jedno ryterium oceny D zbiór rozwiązań (decyzji) dopuszczalnych x
Bardziej szczegółowoWykład: praca siły, pojęcie energii potencjalnej. Zasada zachowania energii.
Wykład: paca siły, pojęcie enegii potencjalnej. Zasada zachowania enegii. Uwaga: Obazki w tym steszczeniu znajdują się stonie www: http://www.whfeeman.com/tiple/content /instucto/inde.htm Pytanie: Co to
Bardziej szczegółowoOptymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań
Mieczysław OŁOŃSI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego, Warszawa, ul. Nowoursynowsa 159 e-mail: mieczyslaw_polonsi@sggw.pl Założenia Optymalizacja harmonogramów
Bardziej szczegółowoGrupowanie sekwencji czasowych
BIULETYN INSTYTUTU AUTOMATYKI I ROBOTYKI NR 3, 006 Grupowanie sewencji czasowych Tomasz PAŁYS Załad Automatyi, Instytut Teleinformatyi i Automatyi WAT, ul. Kalisiego, 00-908 Warszawa STRESZCZENIE: W artyule
Bardziej szczegółowoLaboratorium Półprzewodniki, Dielektryki i Magnetyki Ćwiczenie nr 10 Pomiary czasu życia nośników w półprzewodnikach
Laboaoium Półpzewodniki, Dielekyki i Magneyki Ćwiczenie n 10 Pomiay czasu życia nośników w półpzewodnikach I. Zagadnienia do pzygoowania: 1. Pojęcia: nośniki mniejszościowe i większościowe, ównowagowe
Bardziej szczegółowoWykład 1. Elementy rachunku prawdopodobieństwa. Przestrzeń probabilistyczna.
Podstawowe pojęcia. Wykład Elementy achunku pawdopodobieństwa. Pzestzeń pobabilistyczna. Doświadczenie losowe-doświadczenie (zjawisko, któego wyniku nie możemy pzewidzieć. Pojęcie piewotne achunku pawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowo4.15 Badanie dyfrakcji światła laserowego na krysztale koloidalnym(o19)
256 Fale 4.15 Badanie dyfracji światła laserowego na rysztale oloidalnym(o19) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie stałej sieci dwuwymiarowego ryształu oloidalnego metodą dyfracji światła laserowego. Zagadnienia
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoKognitywistyka II r. Teoria rzetelności wyników testu. Teorie inteligencji i sposoby jej pomiaru (4) Rzetelność czyli dokładność pomiaru
Kognitywistyka II Teoie inteligencji i sposoby jej pomiau (4) Teoia zetelności wyników testu Rzetelność czyli dokładność pomiau W języku potocznym temin zetelność oznacza niezawodność (dokładność). W psychometii
Bardziej szczegółowoNotatki z II semestru ćwiczeń z elektroniki, prowadzonych do wykładu dr. Pawła Grybosia.
Notatki z II semestu ćwiczeń z elektoniki, powadzonych do wykładu d. Pawła Gybosia. Wojciech Antosiewicz Wydział Fizyki i Techniki Jądowej AGH al.mickiewicza 30 30-059 Kaków email: wojanton@wp.pl 2 listopada
Bardziej szczegółowoSkojarzone wytwarzanie energii elektrycznej i ciepła na bazie elektrowni jądrowej w Polsce
onfeencja nauowo-techniczna 13 15 lutego 2013. NAUA I TECHNIA WOBEC WYZWANIA BUDOWY ELETROWNI JĄDROWEJ MĄDRALIN 2013 Wazawa, Intytut Technii Cieplnej Politechnii Wazawiej D hab. inż. azimiez Duziniewicz
Bardziej szczegółowoANALIZA DANYCH W STATA 8.0
ANALIZA DANYCH W STATA 8.0 ZAJĘCIA 3 1. Rozpoczęcie 1. Stwozyć w katalogu C:/temp katalog stata_3 2. Ściągnąć z intenetu ze stony http://akson.sgh.waw.pl/~mpoch plik zajecia3.zip (kyje się on pod tekstem
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci
Ćwiczenie 4 - Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Strona 1/13 Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Spis treści 1.Cel ćwiczenia...2 2.Wstęp...2 2.1.Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 15. Rozdział 8: Drgania samowzbudne
WYKŁAD 5 Rozdział 8: Drgania samowzbudne 8.. Istota uładów i drgań samowzbudnych W tym wyładzie omówimy właściwości drgań samowzbudnych [,4], odróżniając je od poznanych wcześniej drgań swobodnych, wymuszonych
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE SIŁ MIĘŚNIOWYCH I REAKCJI W STAWACH KOŃCZYNY DOLNEJ PODCZAS NASKOKU I ODBICIA
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 896-77X 44, s. 49-56, Gliwice 0 WYZNACZANIE SIŁ MIĘŚNIOWYCH I REAKCJI W SAWACH KOŃCZYNY DOLNEJ PODCZAS NASKOKU I ODBICIA KRZYSZO DRAPAŁA, KRZYSZO DZIEWIECKI, ZENON MAZUR,
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 11 OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA
WYKŁAD OPTYMALIZACJA WIELOKYTEIALNA Wstęp. W wielu pzypadkach pzy pojektowaniu konstukcji technicznych dla okeślenia ich jakości jest niezędne wpowadzenie więcej niż jednego kyteium oceny. F ) { ( ), (
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI POLITECHNIKI KRAKOWSKIEJ Instytut Fizyki LABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI, ELEKTRONIKI I MIERNICTWA
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI POITEHNIKI KRAKOWSKIEJ Instytut Fizyki ABORATORIUM PODSTAW EEKTROTEHNIKI, EEKTRONIKI I MIERNITWA ĆWIZENIE 7 Pojemność złącza p-n POJĘIA I MODEE potzebne do zozumienia
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoANALIZA HAMBURSKIEGO PROCESU KSZTAŁTOWANIA KOLAN RUROWYCH
Aademia Góniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica Wydział InŜynieii Metali i Infomatyi Pzemysłowej Kateda Plastycznej Pzeóbi Metali ozpawa dotosa T Y T U Ł ANALIZA HAMBUSKIEGO POCESU KSZTAŁTOWANIA KOLAN
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 1 / 16 Literatura
Bardziej szczegółowoKURS GEOMETRIA ANALITYCZNA
KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 2 Działania na wektoach w układzie współzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etapez.pl Stona 1 Część 1: TEST Zaznacz popawną odpowiedź (tylko jedna jest pawdziwa). Pytanie 1 Któe
Bardziej szczegółowo23 PRĄD STAŁY. CZĘŚĆ 2
Włodzimiez Wolczyński 23 PĄD STAŁY. CZĘŚĆ 2 zadanie 1 Tzy jednakowe oponiki, każdy o opoze =30 Ω i opó =60 Ω połączono ze źódłem pądu o napięciu 15 V, jak na ysunku obok. O ile zwiększy się natężenie pądu
Bardziej szczegółowoA. POMIARY FOTOMETRYCZNE Z WYKORZYSTANIEM FOTOOGNIWA SELENOWEGO
10.X.010 ĆWCZENE NR 70 A. POMARY FOTOMETRYCZNE Z WYKORZYSTANEM FOTOOGNWA SELENOWEGO. Zestaw pzyządów 1. Ogniwo selenowe.. Źódło światła w obudowie 3. Zasilacz o wydajności pądowej min. 5A 4. Ampeomiez
Bardziej szczegółowoROZKŁAD NORMALNY. 2. Opis układu pomiarowego
ROZKŁAD ORMALY 1. Opis teoetyczny do ćwiczenia zamieszczony jest na stonie www.wtc.wat.edu.pl w dziale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZEIA LABORATORYJE (Wstęp do teoii pomiaów). 2. Opis układu pomiaowego Ćwiczenie
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoBADANIE DOKŁADNOŚCI INSTRUMENTÓW RTK GNSS W OPARCIU O STANDARD ISO 17123-8
Archiwum Fotogrametri Kartografii i Teledetec Vol. 9, 009 ISBN 978-83-6576-09-9 BADANIE DOKŁADNOŚCI INSTRUMENTÓW RTK GNSS W OPARCIU O STANDARD ISO 73-8 EXAMINATION OF THE ACCURACY OF RTK GNSS RECEIVERS
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki
Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi
Bardziej szczegółowoPodstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
. Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoIDENTIFICATION OF PARAMETERS OF THE SET THE VEHICLE-THE LIGHTWEIGHT SEMITRAILER GN2000 BY MEANS OF THE EXPERIMENTAL MODAL ANALYSIS METHOD
Tadeusz PAWŁOWSKI Pzemysłowy Instytut Maszyn Rolniczych ul. Staołęca 31, 60-963 Poznań e-mail: office@pim.poznan.pl IDENTIFICATION OF PARAMETERS OF THE SET THE VEHICLE-THE LIHTWEIHT SEMITRAILER N000 BY
Bardziej szczegółowoPRĄD ELEKTRYCZNY I SIŁA MAGNETYCZNA
PĄD LKTYCZNY SŁA MAGNTYCZNA Na ładunek, opócz siły elektostatycznej, działa ównież siła magnetyczna popocjonalna do pędkości ładunku v. Pzekonamy się, że siła działająca na magnes to siła działająca na
Bardziej szczegółowo10. PODSTAWOWY MODEL POTOKU RUCHU PORÓWNANIE RÓŻNYCH MODELI (wg Ashton, 1966)
1. Podstawowy model potou ruchu porównanie różnych modeli 1. PODSTAWOWY MODEL POTOKU RUCHU PORÓWNANIE RÓŻNYCH MODELI (wg Ashton, 1966) 1.1. Porównanie ształtu wyresów różnych unci modeli podstawowych Jednym
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE NR 3 OBLICZANIE UKŁADÓW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH METODĄ SIŁ OD OSIADANIA PODPÓR I TEMPERATURY
zęść OLIZNIE UKŁÓW STTYZNIE NIEWYZNZLNYH METOĄ SIŁ 1 POLITEHNIK POZNŃSK INSTYTUT KONSTRUKJI UOWLNYH ZKŁ MEHNIKI UOWLI ĆWIZENIE NR 3 OLIZNIE UKŁÓW STTYZNIE NIEWYZNZLNYH METOĄ SIŁ O OSINI POPÓR I TEMPERTURY
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoRównania Lagrange a II rodzaju
echania Analityczna i Dgania ównania Lagange a II odzaju ównania Lagange a II odzaju g inż. Seastian Pauła Aadeia Góniczo-Hutnicza i. Stanisława Staszica w Kaowie Wydział Inżynieii echanicznej i ootyi
Bardziej szczegółowoWykład 17. 13 Półprzewodniki
Wykład 17 13 Półpzewodniki 13.1 Rodzaje półpzewodników 13.2 Złącze typu n-p 14 Pole magnetyczne 14.1 Podstawowe infomacje doświadczalne 14.2 Pąd elektyczny jako źódło pola magnetycznego Reinhad Kulessa
Bardziej szczegółowo