Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Transkrypt

1 Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja wykładnicza i logarytmiczna. Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Wartość funkcji wykładniczej dla argumentów niewymiernych Mówiąc o funkcji wykładniczej, wykładowca prześlizgnął się nad problemem definicji tejże dla niewymiernych (było konsekwentnie powiedziane jedynie, jak się liczy wartość dla ). Teraz będzie o tym dopowiedzenie. "Szkolny" sposób wprowadzenia potęgi dla niewymiernych polegał zazwyczaj na zdefiniowaniu jako granicy, gdzie był jakimś ciągiem monotonicznym liczb wymiernych zbieżnym do (np. ciągiem przybliżeń dziesiętnych ). W wykładzie szkolnym zazwyczaj nie dowodziło się istnienia granicy tego ciągu, poprzestając na argumentach intuicyjnych. Uzbrojeni w twierdzenia o granicach ciągów, możemy łatwo pokazać istnienie granicy : Otóż jeśli jest ciągiem monotonicznym, to taki jest też ciąg ; jest to ponadto ciąg ograniczony, więc zbieżny. Funkcja wykładnicza o podstawie Okazuje się dogodne (z przyczyn, które staną się jasne niedługo) wziąć w definicji funkcji wykładniczej. Funkcja odwrotna do, tzn., nazywa się logarytmem naturalnym [1]. Granica funkcji w punkcie Definicja Heinego Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie (co oznaczamy: każdego ciągu { } zbieżnego do i o wyrazach różnych od zachodzi równość: ) jeżeli dla Przykład. Weźmy bowiem dowolny ciąg { } zbieżny do zera; mamy:

2 Przykład Rozważmy funkcję, definiowaną jako: Funkcja sgn nie posiada granicy w punkcie. Weźmy bowiem: ; mamy oraz. Weźmy teraz drugi ciąg ; mamy oraz, tak więc nie istnieje. Można jednak mówić tu o granicy jednostronnej w punkcie. Granica jednostronna Liczbę nazywamy granicą lewostronną (prawostronną) funkcji w punkcie, jeśli warunki: symbolami: i (odpowiednio ) implikują. Sytuacje te oznaczamy granica lewostronna i granica prawostronna. W ten sposób, mamy Przykład (c.d.) Symbolu używamy również na oznaczenie granicy niewłaściwej: Przykład Mamy: ; natomiast Przykład nie istnieje; natomiast:

3 Przykład Podobnie: nie istnieje; natomiast: Funkcje bez jednostronnych granic Istnieją jednak funkcje, które nie posiadają nawet jednostronnych granic (właściwych, ani niewłaściwych). Należy do nich np. funkcja: W punkcie nie posiada ona jednostronnej granicy (ani lewo-, ani prawostronnej). Aby pokazać nieistnienie granicy prawostronnej, weźmy dwa ciągi, o wyrazach dodatnich: Mamy,. Oba ciągi są zbieżne do zera. i podobnie Widzimy, że nie istnieje granica prawostronna w zerze (podobnie przekonujemy się, że nie istnieje też granica lewostronna). Prócz granicy funkcji dla skończonego, rozważamy też granicę w nieskończoności. Granica w nieskończoności Mówimy, że granicą funkcji w nieskończoności jest liczba (ozn. ), jeżeli dla każdego ciągu { } takiego, że zachodzi:. Przykład Mamy:

4 Przykład Funkcje trygonometryczne: nie posiadają granic w. Działania na granicach Twierdzenie Przy założeniu, że granice i istnieją i są skończone, zachodzą wzory: Wzory te pozostają też prawdziwe, jeśli jest, jak też są prawdziwe dla granic jednostronnych. Dowód Dowody są takie same jak dla granic ciągów z poprzedniego rozdziału. Analogony twierdzeń z rozdziału o granicach ciągów Mamy też analogony innych twierdzeń dla granic ciągów: Twierdzenie Jeśli granice i istnieją, to nierówność implikuje nierówności wraz z równością implikują Jak poprzednio, wzory te są też prawdziwe dla oraz dla granic jednostronnych. Dowód Dowody są analogiczne jak w przypadu granic ciągów. CBDO

5 Kilka warunków dostatecznych istnienia granicy Najsampierw przenieśmy definicję ciągu ograniczonego na funkcje: Ograniczenie funkcji Mówimy, że funkcja jest ograniczona z góry (dołu), jeżeli istnieje taka stała, że dla każdego z dziedziny zachodzi: (odpowiednio ). Wśród różnych analogonów na istnienie granic ciągów i funkcji, mamy następujący odpowiednik twierdzenia o zbieżności ciągów monotonicznych ograniczonych: Twierdzenie Jeśli funkcja jest niemalejąca i ograniczona z góry, to istnieje granica dla dowolnego. Uwaga Niezbędne jest tu założenie o monotoniczności funkcji. Dla funkcji niemonotonicznych twierdzenie to nie zachodzi przypomnijmy sobie przykład funkcji. Dowód Ciąg jest rosnący, a stąd ciąg jest niemalejący; a ponieważ jest też ograniczony, to jest zbieżny. Niech Pozostaje pokazać, że przy narzuceniu warunków: oraz zachodzi Weźmy jakieś. Istnieje wówczas takie, że. Mając to bierzemy takie, żeby dla zachodziła nierówność. Stąd skąd

6 Jednocześnie: Ponieważ, to dla każdego istnieje takie, że. Mamy stąd Z obu nierówności: (1) i (2) mamy: CBDO Twierdzenie dla funkcji nierosnących lub niemalejących i oraniczonych W analogiczny sposób dowodzi się twierdzeń dla funkcji nierosnących oraz dla granic prawostronnych. Można to podsumować jako Tw.Jeśli funkcja jest nierosnąca lub niemalejąca i ograniczona, to granice istnieją w każdym punkcie. Dla, istnieje granica. CBDO Zachodzi też twierdzenie w pewnym sensie odwrotne: Twierdzenie XX Jeśli funkcja nie posiada granicy skończonej w punkcie, to istnieje ciąg { } taki, że, oraz ciąg jest rozbieżny. Bez dowodu. Definicja Cauchy'ego Prócz definicji Heinego, jest jeszcze jedna, inna ale równoważna, i równie ważna, definicja Cauchy'ego. Def. Mówimy, że funkcja posiada w punkcie granicę, jeżeli A oto obiecana równoważność: Twierdzenie XXX Obie definicje granicy funkcji w punkcie: Cauchy'ego i Heinego są równoważne. [2]

7 Dowód Przypuśćmy najsampierw, że warunek Cauchy'ego nie jest spełniony, tzn. W szczególności, biorąc, wnioskujemy, że istnieje ciąg { } taki, że oraz Warunek (3) mówi, że oraz. Gdyby więc przypuścić, że, to musiałaby być spełniona równość ; ale ta równość jest sprzeczna z (4). Pokazaliśmy w ten sposób, że warunek Cauchy'ego jest konieczny, aby funkcja posiadała granicę w myśl definicji Heinego. Teraz pokażemy, że jest on również warunkiem wystarczającym. Niech będzie dane i niech oraz. Ponieważ z założenia warunek Cauchy'ego jest spełniony, to istnieje takie, że nierówność: implikuje. Ponieważ spełniona jest równość, to nierówność zachodzi dla wszystkich dostatecznie dużych (tzn. począwszy od pewnego ). Dla tych mamy więc nierówność Twierdzenie XXXX, a to znaczy, że czyli. W teorii ciągów mieliśmy warunek Cauchy'ego dla ciągów, którego spełnienie gwarantowało zbieżność ciągu. Przy granicy funkcji mamy analogiczne twierdzenie. Tw.XXXX Warunkiem koniecznym i dostatecznym na istnienie (skończonej) granicy funkcji punkcie jest, aby dla dowolnego istniało takie, że dla spełniających: w zachodzi:. Dowód Pokażemy najsampierw konieczność tego warunku. Jeśli, to dla dowolnego zadanego

8 istnieje takie, że warunek: implikuje. Jeśli więc warunki (5) są spełnione, to zachodzą nierówności: i po dodaniu tychże pod znakiem wartości bezwzględnej otrzymujemy. Jeśli chodzi o dostateczność warunku, to przypuśćmy, że granica funkcji w punkcie nie istnieje, mimo iż są spełnione założenia tw. XXXX. Istnieje wówczas na mocy tw. XX taki ciąg { }, że, oraz że ciąg jest rozbieżny. Z równości wynika, że istnieje takie, że dla można w nierównościach (5) podstawić i. To implikuje, że. Z twierdzenia Cauchy'ego dla ciągów wnioskujemy stąd, że ciąg jest zbieżny wbrew naszemu przypuszczeniu. CBDO Twierdzenie XXX' Powyższe twierdzenia XXX i XXXX dają się rozszerzyć na przypadek następująco:. Brzmią one wtedy Tw.XXX'. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby zachodziła równość aby jest, Twierdzenie XXXX' Tw.XXXX'. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby istniała granica (skończona), jest, aby Dowody twierdzeń XXX' i XXXX' Dow. Dowody są analogiczne jak twierdzeń XXX i XXXX. CBDO 1. Wprowadzono je w XVII w., a pierwsi zrobili to Napier i Bernoulli. 2. tzn. jeśli funkcja w jakimś punkcie ma granicę w myśl def. Cauchy'ego, to ma ją też zgodnie z def. Heinego i na odwrót; a jeśli nie ma w myśl def. Cauchy'ego to nie ma też z def. Heinego i na odwrót.