INSTYTUT ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr

Transkrypt

1 Na prawach rękopisu o użytku służbowego INSTYTUT ENEROEEKTRYKI POITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr ABORATORIUM UKŁADÓW IMPUSOWYCH la kierunku AiR Wyziału Mechanicznego INSTRUKCJA ABORATORYJNA ĆWICZENIE Nr SPOSOBY OPISU UKŁADU AUTOMATYKI STEROWANIE DYSKRETNE OBIEKTEM CIĄŁYM MODE CYFROWY OBIEKTU CIĄŁEO Mirosław Łukowicz Słowa kluczowe: transmitancja, przestrzeń stanów, okres próbkowania, ekstrapolator. WROCŁAW 28

2 . Wstęp Moelowanie procesu sterowania komputerowego ma swe powaliny w teorii ukłaów impulsowych. Jest ona z powozenie stosowana w syntezie algorytmów sterowania oraz yskretnej symulacji ukłaów ciągłych. Rozważmy hipotetyczny system mikroprocesorowy, którego zaaniem jest powielenie ciągłego sygnału wejściowego na wyjście, przy czym sygnał wyjściowy bęzie yskretyzowany w czasie, oraz bęzie ciągły w poziomie, tzn. bęzie mógł przyjmować owolne wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Ogólny schemat takiego sytemu przestawiony jest na rys.. Rys.. Dyskretne sterowanie obiektem ciągłym ze sterownikiem o transmitancji (z). W syntezie algorytmu sterowania wymagana jest często znajomość moelu yskretnego obiektu ciągłego, w którym uwzglęniony jest proces formowania sygnału wyjściowego z przetwornika C/A. W takich rozważaniach pomocny może być rys. 2, w którym przestawiono kolejno procesy przetwarzania sygnału wejściowego. Rys. 2. Moel matematyczny procesu yskretnego sterowania obiektem ciągłym ze sterownikiem o transmitancji (z). Ciągły sygnał wejściowy jest próbkowany przez impulsator, którego moel matematyczny opisany jest następująca zależnością:

3 u *( t) u( t) n δ ( t nt ) u( nt ) δ ( t nt ) () p Z zależności tej wynika, że sygnał za impulsatorem jest zestawieniem impulsów Dirac a, czyli impulsów o nieskończonej wysokości i nieskończenie krótkim czasie trwania oraz polach powierzchni po wykresami impulsów równym współczynnikom u(nt p ). Pomięzy impulsami sygnał przyjmuje wartość zero. W związku z tym informacja w tym sygnale ukryta jest w postaci pól powierzchni poszczególnych impulsów Diraca generowanych przez impulsator. Współczynniki te są następnie przetwarzane przez mikroprocesor a właściwie algorytm (program w nim pracujący) reprezentowany przez opowienią transmitancję impulsową s (z). Sygnał wyjściowy algorytmu przetwarzającego ma taką samą naturę, jak sygnał wejściowy, tzn. jest ciągiem impulsów Diraca, ale o zmienionych przez ten algorytm współczynnikach, czyli polach powierzchni po impulsami. W rzeczywistym ukłazie regulacji obiekt ciągły jest sterowany najczęściej sygnałem schokowym wyprowazanym z systemy µp poprzez przetwornik C/A. Proces ten można zamoelować poając impulsy Diraca napływające z algorytmu sterowania na ekstrapolator zerowego rzęu, którego transmitancja ciągła jest następująca: n st p p e E s ( ) (2) s Interpretacja ziałania ekstrapolatora zerowego rzęu jest taka, że wyobywa on informację zawartą w polach powierzchni po impulsami w procesie całkowania ciągłego. Ponieważ interesuje nas sterowanie sygnałem o wartości zakoowanej w ostatnim impulsie, należy ten impuls scałkować i ojąć wynik wszystkich całkowań poprzenich. Należy być świaomym, że jest to moel matematyczny procesu, który przebiega w przetworniku C/A i musi być uwzglęniony poczas procesu syntezy algorytmu sterowania. Proces ten mógłby być pominięty, gyby obiekt ciągły był sterowany z komputera impulsami Diraca, a tak w rzeczywistości nie jest. Ponieważ ekstrapolator zerowego rzęu jest w swej naturze ciągły, można jego transmitancję połączyć z transmitancją rozpatrywanego obiektu jak na rys. 3. p OE ( e st p ) o s ( OE ( z) ( z ) Z s Rys. 3. Moel matematyczny procesu yskretnego. Sterowanie obiektem ciągłym ze sterownikiem o transmitancji (z).

4 Moel yskretny obiektu i ekstapolatora zerowego rzęu otrzymuje się przez bezpośrenie znalezienie transformaty Z szeregowego połączenia ekstrapolatora i obiektu, co aje w efekcie zależność: gzie transformatę następującą formułą: OE O Z ( s ( z) ( z ( s s ) O ) Z (3) można policzyć np. z metoy resiuów zgonie z nb rk r z k ( z) s s r k s k stp k rk s ( ) ( ) ( )! z e gzie n b jest liczbą różnych biegunów (, przy czym wielokrotność poszczególnych biegunów jest równa r k, z czego wynika, że n n b r k k Poanie sygnału na wejście obiektu oraz tak zaprojektowanego moelu obiektu powinno ać na wyjściu obiektu sygnał ciągły głaki, natomiast na wyjściu moelu sygnał ciągły o wartościach równych wartościom sygnału wyjściowego z obiekty, ale tylko w chwilach próbkowania (rys 4).. s sk (4) O ( OE ( z) ( z ) Z s Rys. 4. Opowieź obiektu i jego moelu na pobuzenie owolnym sygnałem wejściowym. Skoro opowiezi obiektu i jego moelu są takie same, to zaprojektowany algorytm sterowania la moelu powinien równie obrze pracować la obiektu ciągłego. W związku z tym korzystnie jest posługiwać się poczas syntezy algorytmu sterowania yskretnym moelem obiektu np. w postaci równań stanu. Rożne sposoby otrzymania yskretnego moelu stanowego obiektu ciągłego reprezentowanego transmitancją o ( przestawiono na rys. 5. o

5 Np. metoa: bezpośrenia, szeregowa, równoległa. o o (- z -) Z met. resiuów s o ( OE (z) A, B, C, c2m (w Matlabie) z metoą zoh A, B, C, 2 o D zerowego rzeu 2 o D obiekt z ekstrapolatorem ztp Postawienie np. o o( s z Postawienie np. zt p o o s z ( Iz A) B D OE ( z) C + Np. metoa: bezpośrenia, szeregowa, równoległa, Rys. 5. Drogi przejścia z transmitancji ciągłej obiektu na yskretne równania stanu i transmitancję impulsową moelu obiektu z ekstrapolatorem zerowego rzęu. Najprostszym sposobem otrzymania yskretnego moelu stanowego obiektu jest znalezienie najpierw moelu stanowego ciągłego, a następnie przejście na moel stanowy yskretny korzystając z opowieniej funkcji w Matlabie, np. c2 ( continuous to iscrete transformation with metho, gzie metoa zoh czyli zero-orer-hol opowiaa zastosowaniu ekstrapolacji zerowego rzęu). Moel stanowy ciągły można zaprojektować korzystając z jenej z meto wyszczególnionych na rys. 5. Dla przypomnienia poniżej zestawiono kroki ziałania w metozie bezpośreniej. Niech bęzie ana transmitancja obiektu, la którego należy znaleźć opis w przestrzeni zmiennych stanu ( l l n bl s + bl s + K+ b s + b l < n n n s + a s + K+ a s + a Pozielmy licznik i mianownik przez s n. Wówczas otrzymamy ( l l bl s + bl s + K+ b s + bs n + an s + + a s + a s K Wprowazamy nową funkcję E( o następującej postaci Y( U(S) U l l Y ( bl s + bl s K b s b s n n a s + K+ a s + a s n E( Wówczas sygnał wyjściowy jest równy ) (5) (6) (7)

6 l l Y E( ( bl s + bl s + K + bs + bs ) (*) (8) i obowiązują zależności jak następuje: E( + an s + K + as + as ) U (9a) ( n + E U E( ( a s + K + a s a s ) (**) (9b) Na postawie równań (*) i (**) można sporzązić schemat blokowy moelu w przestrzeni zmiennych stany jak na rys. 6. Y( b l b b U( E( E(s - E(s -2 -n E(s-n E(s sx n x n sx n- x n- sx n-2 sx 2 x 2 sx x a n a n 2 M a a Rys. 6. Schemat blokowy moelu obiektu w przestrzeni stanu otrzymany metoą bezpośrenią. Po postawieniu E(sx n można sformułować kolejno równania stanu w następującej postaci sx x sx sx 2 x n 2 3 M () x n ax ax2 K an sxn U xn oraz równanie wyjściowe: Y b x + b x2 + K + b l xl + () Stosując metoę bezpośrenią otrzymujemy macierze moelu o stałej formie jak następuje: Macierz stanowa:

7 Macierz wejściowa: Macierz wyjściowa A a a a 2 a n (2) M B (3) [ b b b ] C (4) K l K oraz macierz bezpośreniego sprzężenia wyjścia z wejściem [ ] D. (5) PRORAM ĆWICZENIA. W Simulink-u zarejestrować opowieź obiektu o transmitancji o o (6a) ( Ns + )( Is + ) ( s + N + ji)( s + N ji ) (6b) na skok jenostkowy, gzie N jest liczbą liter w nazwisku, a I w imieniu. O typie transmitancji zaecyuje prowazący tzn. okona wyboru mięzy 6a i 6b. 2. Zakłaając, że obiekt ten bęzie sterowany yskretnie w czasie, obrać opowieni okres próbkowania i znaleźć transmitancję yskretną OE (z) obiektu z ekstrapolatorem. 3. Znaleźć moel obiektu ciągłego w przestrzeni zmiennych stanu. 4. Znaleźć moel yskretny obiektu i ekstrapolatora w przestrzeni zmiennych stanu. 5. Zarejestrować opowieź moelu yskretnego korzystając z opowieniego bloczka w Simulink-u oraz zamoelować ten ukła korzystając z sumatorów, bloku opóźnienia i opowienich wzmocnień macierzowych jak przestawiono na rys. 7 w ostatnim wariancie. Uwagi!. W sprawozaniu zamieścić wszelkie obliczenia i wyprowazenia. 2. Wszystkie kroki w wyprowazeniach powinny być opisane i uzasanione słownie. 3. Koniecznie poać wnioski.

8 o ( OE (z) A, B, C, A, B, C, D D B z - C A Rys. 7. Wzór schematu o realizacji w Simulink-u.