10. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

Transkrypt

1 0. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH W obwoach prąu sinusoialnego przebiegi czasowe (prąów, napięć, sem, spm, mocy) cylicznie przybieraą na przemian wartości oatnie i uemne. Przebiegi o taim charaterze noszą nazwę przebiegów oscylacynych (z łac. oscillatio - ołysanie, wahanie). harater oscylacyny mogą mieć nie tylo przebiegi eletryczne. Przebiegi oscylacyne występuą również w ułaach mechanicznych. Zazwycza mówi się wtey o rganiach i o ruchu rgaącym. Taimi ruchami są: ruch wahała, ruch huśtawi, rgania struny instrumentu muzycznego, wibrace silnia orętowego. Oscylace mogą być wymuszone lub swobone. Fizycznym powoem występowania oscylaci wymuszonych est aieś źróło zewnętrzne. Narzuca ono częstotliwość oscylaci. Oscylace swobone poawiaą się przy brau bezpośrenio wymuszaącego e czynnia zewnętrznego, zaś ich częstotliwość, ta zwana częstotliwość rgań swobonych (albo własnych) wynia z charateru i wartości parametrów oscyluącego (rgaącego) obietu. Jeżeli częstotliwość rgań wymuszonych est równa częstotliwości rgań swobonych anego ułau zachozi w nim zawiso rezonansu. Nosi on nazwę rezonansu amplituowego. Sutiem ego występowania est intensyfiaca rgań, a więc masymalizaca amplitu parametrów zmieniaących się oscylacynie. ezonans amplituowy może występować również w obwoach eletrycznych. Jena w eletrotechnice rezonansem nazywa się nie rezonans amplituowy lecz rezonans fazowy. Zachozi on wtey gy w obwozie z elementami reatancynymi (cewa i onensator) nie ma przesunięcia fazowego pomięzy przebiegami czasowymi prąu i napięcia. zęstotliwość przy tóre, la anego obwou zachozi ta rozumiany rezonans nosi nazwę częstotliwości rezonansowe. zęstotliwość rezonansowa obwou tylo w szczególnych przypaach bywa równa częstotliwości rgań swobonych (własnych) obwou. W obwoach eletrycznych rozważa się wa rozae rezonansu: rezonans napięć zwany też rezonansem szeregowym i rezonans prąów zwany rezonansem równoległym. Obywa były omawiane (la naprostszych przypaów ich występowania) w rozziale 8. Obecnie przeanalizuemy nieco ołanie ich właściwości. 0.. ezonans napięć (rezonans szeregowy) Naprostszym obwoem, w tórym występue rezonans napięć est obwó szeregowy. ys. 0.. Gałąź szeregowa Waruniem zaistnienia rezonansu fazowego, a taim est rezonans napięć est to by mięzy sinusoialnymi przebiegami prąu i napięcia nie było przesunięcia fazowego, zatem by miały one taie same początowe ąty fazowe: ψ i ψ u (0.a)

2 Wynia stą warune otyczący argumentów wartości sutecznych zespolonych: arg( U ) arg( I ) (0.b) Aby te waruni były spełnione przebiegi prąu i napięcia muszą być nawzaem o siebie wprost proporconalne. Oznacza to, że w stanie rezonansu est: u( t ) K i( t ) i U K I, zatem, aby wystąpił rezonans impeanca zespolona musi być rezystancą: Z r ( r ) r (0.) Może ta być eynie wtey gy reatanca cewi inucyne est równa reatanci onensatora: r fr r π (0.3) πf r Parametry r i f r to pulsaca i częstotliwość, przy tórych występue rezonans, a więc pulsaca rezonansowa i częstotliwość rezonansowa. Ich wartości, przy anych wartościach poemności i inucyności gałęzi można wyznaczyć ze wzoru (0.3) ao: r, f r r (0.4) π π Wobec równości reatanci cewi i onensatora, przez tóre płynie ten sam sinusoialnie zmienny prą, ich napięcia w stanie rezonansu maą taie same wartości suteczne. Przebiegi wartości chwilowych tych napięć przesunięte są wzglęem siebie w fazie o pół resu - pozostaą w przeciwfazie. Stą suma wartości sutecznych zespolonych tych napięć est w aże chwili czasowe równa zeru - napięcia się znoszą: U r U r I r ( r ) I 0 0 (0.5a) r Jest zatem oczywiście: ur ( t ) ur ( t ) 0 (0.5b) W stanie rezonansu napięcie rezystora est więc równe napięciu całe gałęzi : u r ( t ) u( t ) (0.6) Na rys. 0.. poazano na czym polega znoszenie się przebiegów czasowych napięć na cewce i onensatorze gałłęzi szeregowe w stanie rezonansu. ys. 0.. Przebiegi czasowe napięć cewi i onensatora gałęzi w stanie rezonansu ys Przebiegi mocy chwilowych cewi i onensatora gałęzi w stanie rezonansu ównież moce cewi i onensatora gałęzi maą sinusoialne przebiegi wartości chwilowych. Ich częstotliwości są równe powoone częstotliwości prąu i napięcia (por. też wzór 8.6 z rozz. 8.). Taże te przebiegi pozostaą w przeciwfazie. Poazano to na rys W aże chwili czasowe albo moc z aą energia opływa o pola magnetycznego cewi est równa mocy z aą energia wypływa z pola eletrycznego onensatora, a więc cała energia uchoząca z onensatora est transferowana o cewi, albo występue sytuaca owrotna:

3 energia płynie z cewi i est w całości pobierana przez onensator. Występuą zatem oscylace energii ena nie pomięzy elementami reatancynymi obiornia a źrółem, lecz wyłącznie pomięzy elementami reatancynymi obiornia o różnym charaterze (onensatorem i inutorem). 0.. Parametry obwou rezonansowego Do opisywania zawisa rezonansu stosue się cały szereg zefiniowanych specalnie w tym celu wielości - parametrów obwou rezonansowego. Inżynier eletry powinien znać ich nazwy i efinice. Bęzie się z nimi styał nie tylo przy oazi analiz obwoów rezonansowych. Parametrami tymi są: Impeanca falowa ρ obwou rezonansowego, zwana też impeancą charaterystyczną - est nią reatanca aą maą i cewa i onensator przy pulsaci rezonansowe (reatance te są wtey sobie równe): ρ r r (0.7) Termin impeanca falowa występue również w teorii czwórniów i w teorii linii ługich. Dobroć obwou rezonansowego - la gałęzi szeregowe są nią stosuni, równych sobie w stanie rezonansu, reatanci cewi i onensatora oniesione o rezystanci gałęzi: Q r r ρ (0.8) Zatem obroć obwou rezonansowego est równa stosunowi impeanci falowe o rezystanci obwou. Dobroć obwou można też uzależnić o wartości energii występuących w obwozie: Energia pobierana przez rezystor w przeciągu enego oresu T ma wartość: W U T I (T ) P T I T. Masymalna energia cewi est równa masymalne energii onensatora (est to energia oscyluąca pomięzy tymi woma elementami) i ma wartość: W I max W max U max max. Stą la gałęzi szeregowe w stanie rezonansu słuszne są zależności: π I max r T I Q r Tr π π W max π W max (0.8a) I P r T r W (T ) W (T ) Tr Wzór (0.8) oreśla obroć obwou rezonansowego szeregowego, poczas gy wzór (0.8a) może być stosowany la owolnych obwoów. Współczynni tłumienia obwou rezonansowego - est nim owrotność obroci obwou rezonansowego: (0.9) Q Dla gałęzi szeregowe współczynni tłumienia obwou rezonansowego est równy stosunowi rezystanci o impeanci falowe: Q ρ (0.9a)

4 zęstotliwość wzglęna (tożsama z pulsacą wzglęną) - stosune ane częstotliwości o częstotliwości rezonansowe: f (0.0) f r r ozstroenie wzglęne - różnica wartości reatanci cewi i onensatora oniesiona o wartości rezystanci gałęzi: X ξ (0.) 0.3. Prą gałęzi Obwó szeregowy ma impeancę zespoloną: Z ( ) Ze ϕ gzie: Z ( ), ϕ arctg Postawiaąc o tych wzorów zależność (0.) impeancę i ąt przesunięcia fazowego gałęzi można wyrazić w funci rozstroenia wzglęnego: ( ) ( ) X Z ξ ξ, ϕ arctg arctgξ W stanie rezonansu impeanca gałęzi est równa e rezystanci Z r, stą wartość U suteczna natężenia prąu wynosi: I r. Jest więc: U U U I I r Z ξ ξ ξ (0.a) ozstroenie wzglęne ξ może przymować wartości z przeziału o minus niesończoności o plus niesończoności ( < ξ < ). Dla stanu rezonansu przymue wartość zero. Dla te wartości rozstroenia wzglęnego wartość suteczna prąu osiąga masimum (i bra est przesunięcia fazowego pomięzy prąem i napięciem). W analizie obwoów rezonansowych wzór (0.a) zazwycza przeształca się wprowazaąc o niego wartość wzglęną prąu gałęzi efiniowaną ao stosune wartości suteczne prąu o ego wartości suteczne w stanie rezonansu (zięi temu uzysue się ientyczny wyres la obwoów z prąami o różnych natężeniach): I (0.b) I r ξ Wyres zależności wartości wzglęne prąu o rozstroenia wzglęnego poazue rys. 0.4., zaś wyres zależności ąta fazowego impeanci (a zatem ąta przesunięcia fazowego pomięzy prąem i napięciem gałęzi) rys Na rys wiać, że nawięsze wartości wzglęne prąu występuą la rozstroenia wzglęnego blisiego zeru, zatem la częstotliwości blisich częstotliwości rezonansowe. Przeział

5 zmienności częstotliwości, la tórego prą osiąga nawięsze wartości suteczne nosi nazwę pasma przenoszenia. Pozostałe przeziały stanowią pasmo tłumieniowe. ys Wartość wzglęna prąu w funci rozstroenia wzglęnego ys Przesunięcie fazowe w funci rozstroenia wzglęnego Umownie pasmem przewozenia oreśla się I przeział w tórym 0, 707 I r I Z zależności można I r ξ wyznaczyć wartości rozstroenia wzglęnego stanowiące granice pasma przenoszenia. Wynoszą one: ξ, Pasma przenoszenia i tłumieniowe obwou rezonansowego poazano na rys ys Pasma przenoszenia i tłumieniowe obwou rezonansowego ozstroenie wzglęne można taże wyrazić w funci obroci (lub e owrotności: współczynnia tłumienia) obwou rezonansowego i częstotliwości wzglęne. W tym celu o wzoru (0.) trzeba postawić r, wyniaące z efinici częstotliwości (0.0) i Q z efinici obroci obwou (0.7b): r ξ r Q r (0.3) Postawiaąc (0.3) o (0.b) otrzymue się: I Ir Q ξ Q Q Uwzglęniaąc to, że współczynni tłumienia est owrotnością obroci obwou ( Q (0.4) ) wzór (0.4) można przeształcić o postaci uzależnione o tego współczynnia: I (0.4a) I r - 8 -

6 I Wzglęne wartości prąu, la wu różnych wartości współczynnia tłumienia, I r poazano w funci częstotliwości wzglęne na rys. 0.7a., zaś w funci częstotliwości wzglęne (la 0 ) i e owrotności (la 0, zatem ) na rys. 0.7b. ys. 0.7a. Wartość wzglęna prąu w funci częstotliwości wzglęne la różnych współczynniów tłumienia ys. 0.7b. Wartość wzglęna prąu w funci częstotliwości wzglęne i e owrotności Na rys. 0.7b wiać, że szeroość przeziału, w tórym występuą nawięsze wartości wzglęne prąu, a więc szeroość pasma przenoszenia obwou rezonansowego, zależy o wartości współczynnia tłumienia - im mnieszy współczynni tym węższy est ten przeział. Owrotność współczynnia tłumienia to obroć obwou. Zatem więsza obroć ae węższe pasmo przenoszenia. W technice rezonans napięć wyorzystywany est głownie w teleomuniaci, przee wszystim po to by wyorębnić przebiegi o aieś onretne częstotliwości (może to być częstotliwość na aie naae auyce ana staca raiowa lub telewizyna) z tła przebiegów o innych częstotliwościach (sygnały innych staci). Im więsza obroć obwou tym węższe pasmo przenoszenia i barzie wyesponowany est wybierany sygnał Napięcia gałęzi U Postawienie wzoru (0.4a) o wyrażenia na wartość suteczną napięcia na rezystorze I ae zależność: U I I r U r ( ) ( ) gzie Ur Ir to wartość suteczna napięcia na rezystorze w stanie rezonansu. Wobec U r U otrzymue się ostatecznie: U U (0.5) ( ) Wartość suteczną napięcia na cewce inucyne otrzymue się mnożąc wartość suteczną prąu przez reatancę inucyną: U I. Postawiaąc o tego wzoru wyrażenie na prą (0.4a) oraz uwzglęniaąc wzory (0.7) i (0.9), z tórych wynia, że r, a taże zależność r z wzoru (0.0) otrzymue się: - 8 -

7 U I r I r zaś po wyonaniu zieleń: U U ( ) ( ) U ( ) (0.6) Wartość suteczną napięcia na onensatorze otrzymue się mnożąc wartość suteczną prąu przez ego reatancę: U I. Z (0.7) i (0.9) wynia, że la onensatora est r. Doonuąc taich samych postawień a la napięcia na inutorze otrzymue się: U I I r r zaś po uporząowaniu: ( ) U U U (0.7) ( ) Wyresy zależności wartości sutecznych napięć rezystora, cewi i onensatora o częstotliwości wzglęne la wu różnych współczynniów tłumienia poazano na rys. 0.8a i 0.8b. Wiać na nich, że nawięsze napięcia na onensatorze i cewce występuą wcale nie wtey gy prą gałęzi i proporconalne o niego napięcie na rezystorze maą nawięszą wartość, a więc la częstotliwości rezonansowe, lecz la częstotliwości mniesze (napięcie na onensatorze) lub więsze (napięcie na cewce inucyne). Im więsza obroć (mnieszy współczynni tłumienia) obwou tym masima wartości sutecznych napięć są więsze i występuą la częstotliwości bliższych częstotliwości rezonansowe. ( ) ys. 0.8a. Napięcia na cewi, onensatora i rezystora gałęzi la współczynnia tłumienia 0,5 ys. 0.8b. Napięcia na cewi, onensatora i rezystora gałęzi la współczynnia tłumienia 0, Wartości częstotliwości wzglęnych, przy tórych występuą nawięsze napięcia na onensatorze i na cewce można wyznaczyć przyrównuąc o zera ich pochone wzglęem U (, ) parametru ( U 0 i (, ) 0 )

8 W wyniu otrzymue się wyrażenia: i (0.8) gzie i to częstotliwości wzglęne przy tórych napięcia opowienio na cewce i na onensatorze osiągaą nawięsze wartości. Po postawieniu (0.8) o (0.6) i (0.7)otrzymue się: U U max U max (0.9) ezonans prąów (rezonans równoległy) ezonans prąów, nazywany taże antyrezonansem polega na tym, że nawzaem ompensuą się nie napięcia, a przy rezonansie napięć, lecz prąy. Naprostszym obwoem w tórym tai rezonans (antyrezonans) występue est gałąź złożona z iealnych elementów G (rys. 0.9). ys Schemat zastępczy gałęzi równoległe G Z warunu występowania rezonansu ( ψ i ψu ) wynia, że amitanca zespolona te gałęzi w stanie rezonansu est równa e onutanci: Yr G ( r ) G r (0.0) Jest zatem: r r (0.) Z zależności (0.) można wyznaczyć pulsacę i częstotliwość przy tórych, la anych wartości poemności i inucyności zachozi zawiso rezonansu prąów. Wzór ai się otrzymue est ientyczny z opowienim wzorem la gałęzi szeregowe w stanie rezonansu napięć (0.4): r f r r π π (0.) Pulsaca r i częstotliwość f r to pulsaca rezonansowa i częstotliwość rezonansowa. W przypau rezonansu prąów nazywane bywaą one również pulsacą antyrezonansową i częstotliwością antyrezonansową. Napięcia wszystich trzech elementów iealnych tworzących gałąź równoległą G maą ientyczne przebiegi. Przebiegi prąów cewi i onensatora są więc w przeciwfazie, stą w stanie rezonansu ich suma est w aże chwili czasowe równa zeru: I r I r U ( r ) U 0 0 r (0.3a) ir ( t ) ir ( t ) 0 (0.3b)

9 W stanie rezonansu przez cewę i onensator płyną prąy, ena zamyaą się one w obrębie gałęzi i poza nią nie wypływaą. Prą płynący przez onutancę est więc w stanie rezonansu w aże chwili czasowe równy prąowi całe gałęzi równoległe G: i Gr ( t ) i( t ) (0.4) Poobnie est z przemianami energetycznymi. Występue oscylacyna wymiana energii pomięzy onensatorem i cewą lecz zawiso to obywa się w obrębie gałęzi, nie ma więc oscylacynego przepływu energii pomięzy nią a źrółem. ys Przebiegi czasowe prąów cewi i onensatora gałęzi G w stanie rezonansu ys. 0.. Przebiegi mocy chwilowych cewi i onensatora gałęzi G w stanie rezonansu Pomięzy obwoem szeregowym z rezonansem napięć i obwoem równoległym G z rezonansem prąów zachozą liczne poobieństwa o tzw. charaterze ualnym. Dualność polega na tym, że zależności otyczące prąu w enym rozau rezonansu charateryzuą napięcie w rugim rozau rezonansu i owrotnie. Jest to efetem tego, że bra przesunięcia fazowego pomięzy prąem i napięciem przy rezonansie napięć wynia z oemowania się o siebie reatanci cewi i onensatora, wyrażaących się stosuniem wartości suteczne napięcia o wartości suteczne prąu, zaś przy rezonansie prąów z oemowania się o siebie ich susceptanci bęących owrotnościami reatanci, a więc owrotnościami tych stosunów. Impeanca falowa gałęzi równoległe ao obwou rezonansowego efiniowana est wzorem (0.7) - ta samo a impeanca falowa gałęzi szeregowe w stanie rezonansu. Dobroć równoległego obwou rezonansowego efiniowana est energetycznie. Po przeształceniu o postaci wyorzystuące stosune impeanci otrzymue się zależność owrotną o analogiczne zależności la gałęzi szeregowe: U W m ( ) π max π U Q π r (0.5) W G (T ) G U T π G G U ρ r r r Dobroć obwou wyrażona przez stosune energii ma charater uniwersalny, wyrażana przez stosune impeanci zależy o charateru połączeń ezonans prąów w obwozie złożonym z gałęzi i ys. 0.9 przestawia wyiealizowaną gałąź równoległą. W rzeczywistości cewa inucyna zawsze (poza przypaiem gy est zrobiona z materiału naprzewozącego) posiaa aąś rezystancę, w tóre zachozi cieplne rozprawszanie energii eletryczne. ównież w gałęzi z onensatorem zawsze występue rezystanca. Jest to rezystanca przewoów łączących onensator z resztą obwou. Powinno to zostać uwzglęnione w mnie wyiealizowanym schemacie zastępczym obwou. Schemat tai przestawiono na rys

10 Amitance zespolone gałęzi równoległych obwou wynoszą: ) ( ) ( ) ( Y, Y Wypaowa amitanca zespolona est sumą tych amitanci: w Y Y Y zatem: w ) ( ) ( Y ezonans fazowy w obwozie wystąpi gy nie bęzie przesunięcia fazowego pomięzy prąem i napięciem, a więc wtey gy część uroona te amitanci zespolone (czyli susceptanca zastępcza obwou) bęzie równa zeru: 0 ) ( r r r r (0.6) Po ilu przeształceniach równania (0.6) otrzymue się zależność: r (0.6a) Analizuąc tę zależność rozważa się trzy przypai - przypae ogólny i wa (wyiealizowane) przypai szczególne. Przypae ogólny występue gy:, i (co wyłącza obywa przypai szczególne) Pulsaca rezonansowa ma wtey wartość: r (0.7) ys. 0.. Obwó równoległy złożony z gałęzi i

11 Zatem wartość pulsaci rezonansowe (i częstotliwości rezonansowe) zależy nie tylo o poemności i inucyności elementów obwou ale taże o ich rezystanci. Przypai szczególne maą miesce gy rezystance obywu gałęzi są enaowe:. Gy: ρ Gy zachozi ten przypae równanie (0.6a) est spełnione niezależnie o wartości pulsaci (a więc i częstotliwości). ewa i prawa strona równania są wtey tożsamościowo równe zeru. Obwó est zatem w stanie rezonansu la aże częstotliwości.. Gy: ρ Dla tego przypau wzór (0.7) upraszcza się o zależności ientyczne z tymi z tórych wylicza się pulsacę i częstotliwość rezonansow la przypaów wyiealizowanych gałęzi i G: r f r r, π π (0.7a) 0.7. Kompensaca mocy bierne zeczywiste obiornii występuące w pratyce esploatacyne maą nieomal zawsze charater ryzystancyno-inucyny. Taimi obiorniami są instalace omowe, a taże całe zasilane energią eletryczną załay przemysłowe. harater inucyny naaą im wchozące w sła ich systemów eletroenergetycznym silnii i transformatory. Tai charater powoue, że występue tu oscylacyny przepływ energii pomięzy obiorniiem a źrółem (por. rozz. 7..). Ta część energii tóra bierze uział w tych oscylacach powoue przepływ oatowego prąu (tzw. słaowe bierne prąu), tóry nie przenosi o obiornia użyteczne energii, ae ena oatowe straty energetyczne związane z przesyłem. Zmusza też o przewymiarowywania przeroów przewoów zasilaących i o przewymiarowywania mocy źróła energii. Temu oscylacynemu przepływowi energii można przeciwziałać ołączaąc o obiornia (inucyno-rezystancynego) onensator o opowienio obrane poemności. ys Kompensaca mocy bierne a) schemat ułau, b) wyres wsazowy napięcia i prąów Konensator est ołączany równolegle, zatem napięcie na zacisach obiornia nie ulega zmianie, stą nie ulega zmianie również prą obiornia. Prą ten est opóźniony w fazie w stosunu o napięcia o ąt φ, poczas gy prą płynący przez onensator wyprzeza napięcie w fazie o ąt π. Na rysunu 0.3b. wiać, że bęący sumą tych wu prąów prą wypaowy ( i w( t ) ) ma wartość suteczną ( I w ) mnieszą o wartości suteczne prąu obiornia (I)

12 ównież φ w ąt przesunięcia fazowego wypaowego prąu wzglęem napięcia est mnieszy o ąta φ. Zatem wypaowa moc bierna obiornia z ołączonym onensatorem Qw UIw sinφw est mniesza o mocy bierne obiornia ( Q UIw sinφ ). Mówimy że moc bierna obiornia (inucyna) est ompensowana mocą bierną (poemnościową) onensatora. Pełna ompensaca mocy bierne występue wtey gy Q Q. Występue wtey rezonans (równoległy). Wówczas wypaowa moc bierna ułau obiorni-onensator est równa zeru ( Q w 0 ), zaś prą wypaowy est w fazie z napięciem, zatem występue rezonans (równoległy). Wartość suteczna prąu onensatora potrzebnego o taie zupełne ompensaci mocy bierne wynosi: I I sinφ, zatem poemność tego onensatora ma wartość: I B I sinφ U. U ys Prą wypaowy w funci poemności onensatora a) wyres wsazowy b) wyres zależności Dla poemności więszych obwó przymue charater poemnościowy, zaś wartość suteczna prąu wypaowego rośnie - obiorni został przeompensowany. Jest to nieorzystne z esploatacynego puntu wizenia - obciążanie prąnic obiorniami poemnościowymi powoue przepięcia zwłaszcza w stanach ynamicznych. Stą ostarczyciele energii eletryczne stosuą taie taryfy, tóre zachęcaą obiorców o tego, by wypaowy charater obiorniów był inucyny, z niewielim współczynniiem mocy. Obliczenie poemności onensatora, zmnieszaącego przesunięcie fazowe prąu wzglęem napięcia z ąta φ na ąt φ w naproście ys Tróąt mocy przy ompensaca mocy przeprowaza się orzystaąc z tróąta mocy bierne poazanego na rys. 0.5.: Q B U Q Q w P tgφ P tgφw P ( tgφ tgφ w ) U U U (0.8) W wzorze 0.8. o obliczania mocy bierne na postawie znaomości mocy czynne wyorzystano mnożenie te mocy przez tangens ąta przesunięcia fazowego. Wyliczanie mocy bierne na postawie wartości mocy czynne i współczynnia mocy Λ cosφ byłoby nieco barzie łopotliwe. Stą w rozliczeniach pomięzy ostarczycielami energii eletryczne i e obiorcami stosue się współczynni mocy efiniowany ao tg φ