Wielomiany podstawowe wiadomości

Transkrypt

1 Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i i = 0,, n przyjmują wartości zespolone, to funkcję tę nazywamy wielomianem zespolonym Stopień wielomianu f, oznaczany jako deg f ang degree, to najwyższy ze stopni jego składników jednomianów o niezerowych współczynnikach Ciekawostka Aby wyznaczyć wartość f s 0 wartość wielomianu f postaci w ustalonym punkcie s 0 możemy wielomian ten przedstawić w postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, = a 0 + s a + s a + + s a n + sa n, a następnie zastosować poniższy algorytm Hornera: w n := a n for i from n downto 0 do w i := w i+ s 0 + a i Poszukiwana wartość fs 0 to w 0 uzyskujemy ją kosztem n działań n mnożeń i n dodawań Nie istnieje tańszy, pod względem liczby wykonywanych działań oraz wykorzystywanej pamięci, algorytm wyznaczania wartości wielomianu w punkcie!

2 Miejsca zerowe wielomianu Miejsca zerowe wielomianu Każdą liczbę s 0 C dla której f s 0 = 0 nazywamy miejscem zerowym zerem, pierwiastkiem wielomianu f Łatwo wykazać, że każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty Łatwo również o przykład wielomianu rzeczywistego, dowolnie wysokiego parzystego stopnia, który nie posiada żadnego pierwiastka rzeczywistego Dopuszczając pierwiastki zespolone, prawdziwe jest następujące, trudne do wykazania, tzw podstawowe twierdzenie algebry Twierdzenie Gauss 799 Każdy wielomian zespolony dodatniego stopnia ma miejsce zerowe Twierdzenie to w połączeniu z poniższym twierdzeniem tzw twierdzeniem Bézout; nie jest ono autorstwa Bézout, ale pod taką nazwą jest znane odgrywa kluczową rolę w wielu działach matematyki Twierdzenie Jeżeli s 0 jest pierwiastkiem wielomianu f oraz deg f > 0, to wielomian ten dzieli się bez reszty przez wielomian s s 0 ; wielomian f można wówczas zapisać w postaci f s = s s 0 g s, gdzie g jest pewnym wielomianem stopnia deg f Z powyższych twierdzeń wynika, że każdy wielomian stopnia n > 0 ma dokładnie n pierwiastków liczonych z krotnościami; oznaczając te pierwiastki przez s,, s n, wielomian możemy zapisać w postaci iloczynowej f s = a n s s s s n Przykład Rozważmy wielomian f s = s + Jego pierwiastkami są liczby s 0 = i, s = + i, s = postać iloczynowa wielomianu f to f s = s + + i s + i s i, s = + i; + i x i Jeżeli f jest wielomianem rzeczywistym, to dla dowolnej liczby s C mamy f s = f s; oznacza to między innymi, że jeżeli liczba zespolona jest zerem wielomianu rzeczywistego, to liczba do niej sprzężona również Z twierdzenia Bézout wynika więc, że jeżeli s 0 jest zespolonym nierzeczywistym pierwiastkiem wielomianu f to wielomian ten dzieli się bez reszty przez trójamian kwadratowy s s 0 s s 0 = s Re s 0 s + s 0, tj f s = s Re s 0 s + s 0 g s, gdzie g jest wielomianem, takim że deg g = deg f 5

3 Wzory Viète a W przypadku gdy wielomian jest rzeczywisty, każde dwa czynniki jego rozkładu zawierające pierwiastki parami sprzężone, tj s s i oraz s s i, mogą zostać wymnożone Otrzymamy wówczas rozkład dowolnego wielomianu rzeczywistego na iloczyn wielomianów rzeczywistych stopnia pierwszego oraz trójmianów kwadratowych nierozkładalnych tzn o ujemnym wyróżniku: f s = a n s s l s s m l m s + α s + β k s + α r s + β r kr, gdzie s i R i =,, m ; α i, β i R i =,, r ; deg f = l + + l m + k + + k r Przykład Rozważmy ponownie wielomian f s = s + Rozkład tego wielomianu na iloczyn wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej dwa uzyskamy z jego postaci iloczynowej: f s = s + = = s + + s + s + Wzory Viète a i s + i s s s + + i s i Niech f będzie wielomianem rzeczywistym lub zespolonym stopnia n > 0 postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0 = a n s s s s n Poniższe wzory Viète a ustalają związki pomiędzy współczynnikami wielomianu f oraz jego pierwiastkami: a n a n a n a n n a 0 a n = s + s + + s n + s n = s s + + s s n + s s + + s s n + + s n s n = s s s n Ze wzorów tych wynika między innymi ciągła zależność współczynników wielomianu od jego pierwiastków Przykład Rozważmy poniższy układ równań x + y z = xy xz yz = xyz = Wprowadzając pomocniczą niewiadomą w = z otrzymujemy układ równoważny postaci x + y + w = xy + xw + yw =, xyw = 6

4 Równania algebraiczne którego rozwiązaniami, na podstawie wzorów Viète a, są pierwiastki wielomianu s s + s + s + Ponieważ s + s + s + = s s + + s + = s + s + = s + i s i s +, zatem poszukiwaną trójką rozwiązań x, y, w jest każdy z elementów:, i, i,, i, i, i, i,, i, i,, i,, i, i,, i Uwzględniając, że z = w, rozwiązania x, y, z wyjściowego układu tworzą poniższe trójki:, i, i,, i, i, i, i,, i, i,, i,, i, i,, i Równania algebraiczne Równanie postaci a n x n + a n x n + + a x + a 0, = 0, a n 0 nazywamy równaniem algebraicznym stopnia n Zauważmy, że równanie jest uogólnieniem równania z n = c, którego rozwiązanie było treścią wykładu trzeciego Z poprzednich rozważań tj z twierdzeń, wynika, że równanie ma zawsze n rozwiązań liczonych z krotnościami Równania algebraiczne stopnia pierwszego Dla n = jedynym rozwiązaniem równania jest x 0 = a 0 a Równania algebraiczne stopnia drugiego Dla n = lewą stronę rówanania możemy sprowadzić do postaci kanonicznej a x + a x + a 0 = a x + a a a [ = a x + a a + a 0 = a a ] a, x + a a a a 0 a a gdzie = a a a 0 to tzw wyróżnik Przyjmując = {δ, δ} otrzymujemy x + a a a = x + a a δ a x + a a + co oznacza, że wielomian x a x + a x + a 0 ma dwa rozwiązania postaci x = a δ a, x = a + δ a δ a, 7

5 Równania algebraiczne Jeżeli wyróżnik = a a a 0 jest rzeczywisty i nieujemny, rozwiązania te możemy wyrazić w postaci x = a a a a 0, x = a + a a a 0 a a Jeżeli wyróżnik = a a a 0 jest ujemny rozwiązania te przyjmują postać x = a i a a 0 a, x = a + i a a 0 a 5 a a Przykład Dla wielomianu f x = x + + i x + i, mamy = + i + i = 6 Jego pierwiastki wyznaczymy ze wzoru Mamy x = i = i x = i + Przykład 5 Dla wielomianu f x = x + x + 0, mamy = i = 0 = 6 Jego pierwiastki wyznaczymy więc ze wzoru 5 Mamy x = 6i = i x = + 6i = + i Przykład 6 Dla wielomianu f x = x + + i x i, mamy = + i + 8i = 6i Ponieważ 6i = { + i, i }, zatem pierwiastki wielomianu f mają postać x = i i = + i, x = i + + i = + Równania algebraiczne stopnia trzeciego + Aby uzyskać ogólne wzory na rozwiązania równania algebraicznego stopnia trzeciego wygodnie jest przyjąć, nie tracąc ogólności, że a = : x + a x + a x + a 0 = 0 6 Dokonując podstawienia x = y a równanie 6 przekształcamy do postaci 0 = y a + a y a + a y a + a 0 = y + a a y 9a a 7a 0 a 7 7 i 8

6 Równania algebraiczne Przyjmując p = a a, q = 9a a 7a 0 a 7 otrzymujemy równanie y + yp q = 0, 8 które, po dokonaniu kolejnego podstawienia y = z p, prowadzi do równania z z qz 7 p = 0, które jest równaniem algebraicznym stopnia drugiego względem niewiadomej w = z w qw 7 p = 0 Równanie to potrafimy już rozwiązać uzyskując poszukiwane rozwiązania dowolnego równania algebraicznego stopnia trzeciego tzw wzory Cardano Przykład 7 Wyznaczymy pierwiastki wielomianu f x = x 6x + 8x 8 Dokonując podstawienia x = y + otrzymujemy 0 = f y + = y + 6 y y + 8 = y + 6y + Ponieważ p = 6, q =, zatem wprowadzając kolejną zamianę zmiennych y = z z, otrzymujemy 0 = z + 6 z + = z 8 z z z + = z z 6 + z 8 Oznacza to, że pierwiastki wyjściowego wielomianu znajdziemy wyznaczając zera wielomianu z z 6 + z 8 Podstawiając w = z otrzymujemy skąd Mamy kolejno 0 = w + w 8 = w + 9 = w w +, 0 = z = = z z + z = 0 z + = 0 z z + 0 = z + = = z + z z + z + + i z + z z + 6 i 6 z i + i 6 9

7 x = +, x, = + ± i Równania algebraiczne Dla każdego z sześciu wyznaczonych powyżej pierwiastków z wyliczamy kolejno wartości y = z, a następnie x = y + Otrzymujemy sześć pierwiastków z, x = +, x 5,6 = + ± i + + Zauważmy na koniec, że pierwiastki x, x, x równe są odpowienio pierwiastkom x, x 5, x 6 Ponieważ wyjściowy wielomian był stopnia trzeciego więc jego trzy różne zera to x, x, x Równania algebraiczne stopnia czwartego Podobnie jak w przypadku równań algebraicznych stopnia pierwszego, drugiego i trzeciego, istnieją ogólne wzory uzyskane przez Ferrari, skradzione i opublikowane przez Cardano w Ars Magna w 55 r pozwalające wyznaczać analityczną postać dowolnego równania stopnia czwartego 5 Równania algebraiczne stopnia n 5 Dla równań algebraicznych stopnia n 5 wykazano, że podanie ogólnych wzorów na ich rozwiązania wykorzystujących wyłącznie działania dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie oraz pierwiastkowanie nie jest możliwe prace Abela, Ruffiniego, Galois a! Ciekawostka Liczba będąca rozwiązaniem równania algebraicznego o całkowitych współczynnikach nazywana jest liczbą algebraiczną Na przykład, jako rozwiązanie równania s, jest liczbą algebraiczną; z kolei liczby π, e czy nie są liczbami algebraicznymi dowody ich niealgebraiczności są bardzo trudne Zbiór wszystkich liczb algebraicznych a jest ich przeliczalnie wiele, z naturalnymi działaniami dodawania oraz mnożenia liczb, tworzy ciało 0