METODY SZACOWANIA PARAMETRÓW MODELI DWULINIOWYCH

Transkrypt

1 METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XII/,, sr METODY SZACOWANIA ARAMETRÓW MODELI DWULINIOWYCH Joanna Górka, Mchał Bernard erzak Kaedra Ekonomer Sask Unwerse Mkołaja Koernka w Torunu e-ma: joanna.gorka@umk., erzak@umk. Sreszczene: W arkue rzedsawon zosane mode dwunow, jego budowa, własnośc oraz meod esmacj. Zarezenowana zosane równeż możwość osu modeu dwunowego za omocą modeu rzesrzen sanu. rakczne zasosowane modeu dwunowego w ołączenu z modeem GARCH ozwaa na jednoczesn os dwóch własnośc szeregów fnansowch, warunkowej warośc oczekwanej oraz warunkowej warancj. Mode en wkorzsano w emrcznej anaze ndeksów gełdowch, gdze dokonano rób osu ogarmcznch só zwrou. Orzmane wnk ozwoł na orównane modeu ze srukurą dwunową AR( ) BL(, GARCH ( r, z modem AR( ) GARCH ( r,. Słowa kuczowe: mode dwunow, mode GARCH, warunkowa warość oczekwana, warunkowa warancja WROWADZENIE odczas anaz zaeżnośc wsęującch na rnkach fnansowch nejednokrone sneje orzeba osu zwązków nenowch. Nenowość wnka ze skomkowanch różnorodnch zachowań nwesorów. Wkorzswane do modeowana fnansowch szeregów czasowch roces sochasczne można odzeć na roces nenowe w warunkowej warośc oczekwanej oraz roces nenowe w warunkowej warancj. Rozarwane w rac roces dwunowe BL worzą modee nenowe w warunkowej warośc oczekwanej. Naomas roces z rodzn GARCH są rzkładem mode nenowch w warunkowej warancj.

2 4 Joanna Górka, Mchał Bernard erzak roces dwunow ARMA(, q) BL(, z czasem dskrenm,,...,t można zasać jako gdze j k q β j j j k β, β, są arameram rocesu, k k, (), naomas jes rocesem zwanm bałm szumem o warancj równej δ. roces dwunowe zosał wrowadzone w racach [Granger, Andersen 978, Subba Rao, Gabr 98], a w eraurze oskojęzcznej ojawł sę w racach [Bruzda 3, Doman, Doman 4]. rz waroścach aramerów q roces dwunow redukuje sę do rocesu całkowce dwunowego BL (,, okreśonego wzorem gdze równej k k k k jes aramerem rocesu, a δ., () jes rocesem bałego szumu o warancj METODY SZACOWANIA ARAMETRÓW MODELI DWULINIOWYCH Meod szacowana aramerów zosaną zawężone do rocesów dwunowch AR( ) BL(,. W raze orzeb sneje możwość ch rozszerzena da rocesu osanego wzorem (). erwszą z rzedsawonch meod jes meoda najwększej wargodnośc MNW. Jej dea oega na obczenu warośc gęsośc rawdoodobeńswa uzskana rób (,,... T ), rz założonch waroścach aramerów Θ. Naeż wbrać aką ocenę aramerów Θ, da kórej funkcja wargodnośc osąga warość maksmaną. Funkcja wargodnośc rocesu AR( ) BL(, zasana jes wzorem n L(,,..., ;,,...,,,,...,,..., δ ) T T (3),5 n(π ),5 n( δ ),5 k k / δ k Koejną meodą szacowana aramerów mode dwunowch jes meoda quas wargodnośc oara o fr Kamana. W ceu wkorzsana ej meod k Os meod najwększej wargodnośc meoda oarej o fr Kamana zawar jes w rac [Durbn, Kooman ]. Da reazacj ej meod wsarczająca jes znajomość warośc oczekwanch wekora sanu obserwacj.

3 Meod szacowana aramerów mode dwunowch 4 naeż najerw rzedsawć roces w rzesrzen sanu (ozn. SSM). Ogón mode SSM składa sę z równana sanu δ C A, (4) oraz równana obserwacj Y H, (5) gdze δ są rocesam bałoszumowm o warancj odowedno δ δ δ. Rozarwan mode ), ( ) ( BL AR okreśon jes jako k k k.... (6) roces ), ( ) ( BL AR w rzesrzen sanu można zasać w osac C B A, (7) Y H, (8) gdze [ ],,..., ' C, [ ],,..., H, A, (9), B. () W ceu wkorzsana fru Kamana, na kórm oara jes funkcja wargodnośc, mode rzesrzen sanu naeż rzekszałcć w odowedn sosób. Da SSM ma osać C B A, () Y H. () Nech ( ) B A x. (3)

4 4 Joanna Górka, Mchał Bernard erzak Wówczas równane () ma osać x C. odsawając do równana () (3) orzmujem x Ax B x AC BC, (4) Y Hx. (5) W ceu orzmana warośc oczekwanej szumu na ozome równm zero w równanu (4) dodano odjęo składnk B Cδ. Sąd x Ax B x AC BC( δ ) BCδ. (6) Warośc oczekwane wekora sanu obserwacj wznaczone na odsawe nformacj dosęnch w chw są nasęujące E ( x ) AE( x) BCδ, (7) E( Y ) H E( x ). (8) Da równana SSM są nasęujące A B B C, (9) Y H. () Nech x ( A B B ). () Wówczas równane (9) rzjmuje osać x C. odsawając do równań () () orzmujem x Ax B x B x AC BC BC, () Y Hx. (3) Nech z ( A B B ) x. (4) Wówczas równane () ma zas x z AC BC BC. osać ą odsawam nasęne do równań (3) (4), w wnku czego orzmwane są równana. z Az B z B z c C B Y ( B A C AB C) BC ABC BBC BC Hz HAC HBC HBC 3 B B C (6) W ceu orzmana, zarówno w równanu sanu, jak równanu obserwacj, warośc oczekwanej szumu na ozome równm zero, dodawano odjęo wrażene ( ) B A C ABC δ w równanu (5) oraz wrażene HB Cδ w równanu (6) orzmując (5)

5 Meod szacowana aramerów mode dwunowch 43 z Az B C B B C B z B z 3 B B C AB C B C ( B A C AB C) δ ( B A C AB C)( δ ) c C B Y Hz HAC HBC (7) HBC( δ ) HBCδ Warośc oczekwane wekora sanu obserwacj oszacowane na odsawe nformacj dosęnch w chw okreśone są wzoram (8) (9). ( z ) ( ) ( ) AE z BA C ABC δ ( Y ) H E( z ) HB Cδ (6) E, (8) E. (9) Da warośc > naeż w erwszm kroku osęować ak samo jak w rzadku, a nasęne wrowadzać koejne odsawena w ceu uzskana odowednej form równana sanu obserwacj. ZASTOSOWANIE MODELI DWULINIOWYCH DLA EKONOMICZNYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Badanu zosał oddane ndeks gełdowe WIG, WIG, WIG-BANK, WIG-TELE, WIG-SOZ, WIG-BUDO oraz WIG-INFO. Wszske szereg czasowe bł anazowane w okrese głównm Dodakowo szereg zbadano w dwóch odokresach oraz Deczja o uworzenu dwóch odokresów sowodowana bła fakem wrowadzena w 7.. ssemu WARSET, co mogło meć znaczn włw na wcenę sółek osaeczne na własnośc ndeksów. Dokonano anaz sascznej ogarmcznch só zwrou w okrese głównm oraz odokresach. Swerdzono wsęowane zjawska skośnośc w wększośc rzadków. Naomas w rzadku wszskch ndeksów odnoowano znaczne odwższoną kurozę. rzerowadzono równeż es Boxa-Ljunga es Enga 3. Da wększośc ndeksów swerdzono sasczne soną auokoreację ogarmcznch só zwrou. Tes Enga wkazał sasczne soną auokoreację mędz kwadraam ogarmcznch só zwrou da wszskch anazowanch szeregów. Ważną kwesą rzed zasosowanem modeu do danch emrcznch jes rawdłowe rozoznane, cz badacz ma do cznena z nenowoścą w warunkowej warośc średnej, cz w warunkowej warancj. Okazuje sę jednak, że zarówno roces dwunowe BL (,, jak roces GARCH ( r, osadają Lczba branch od uwagę rzędów oóźnena wnosła oraz 4. 3 rzjęo rząd oóźnena oraz 4.

6 44 Joanna Górka, Mchał Bernard erzak odobną srukurę auokoreacjną kwadraów obserwacj, na odsawe kórej są one odróżnane od mode nowch. Oznacza o, że na odsawe esu ARCH badacz ne jes w sane wskazać jednoznaczne na roces BL (, cz roces GARCH ( r, 4. oneważ sneje możwość omłk w secfkacj modeu, daego eż w rzadku anaz fnansowch szeregów czasowch auorz roonują rzjęce modeu AR( ) BL(, GARCH ( r, osac k k k r z η h, γ η j η η, (3) h γ h, (3) gdze, k, γ, β j są arameram rocesu, a jes nezaeżną zmenną osową ze ζ skośnego rozkładu - Sudena n (, δ ). aramer n oznacza czbę son swobod rozkładu, a warość arameru ζ ma włw na skośność rozkładu. Logarm funkcj wargodnośc, rz szacowanch aramerach {, k, γ, β j, n, ξ}, jes osac 5 gdze n L( ; T,..., (,5 n π ( n ) n Γ(( n ) n( /( ξ (/ ξ ))) n s,5 n h ( n ) n( (( s T,,, γ, β, n, ξ ) k m) j K / ) ξ ) /( n )) h j n Γ( n / ) (3) k k k ( ) (33) (( n )/ ) Γ n m ξ (34) π Γ( n/ ) ξ s m ξ ξ (35) 4 orównaj Bruzda (3). 5 aramer n oznacza czbę son swobod w rzadku rozkładu normanego rzjmuje warość 3, aramer ξ odowada za skośność rozkładu rzjmuje warośc z rzedzału (,) da rozkładu ewosronne asmercznego oraz warośc z rzedzału (, ) da rozkładu rawosronne asmercznego.

7 Meod szacowana aramerów mode dwunowch 45 K da da m ( ) s m ( ) < s rzjęo dwe wjścowe secfkacje szacowanch mode. erwszą założoną secfkację sanow mode AR( ) BL(, GARCH ( r,, naomas w rzadku drugej secfkacj rzjęo mode AR( ) GARCH ( r,. Nasęne o oszacowanu obdwu mode za omocą krerum nformacjnego Schwarza zosane rozsrzgnęe zagadnene, cz dodane do modeu AR( ) GARCH ( r, srukur dwunowej oeszło jego doasowane do danch emrcznch. Ze wzgędu na ogranczene rozmaru eksu referau, rzedsawono ko rzkładowe modee da ogarmcznch só zwrou ndeksu WIG-TELE. Tabea Wnk esmacj aramerów mode da ndeksu WIG-TELE w okrese AR( ) BL(,) GARCH(,) AR( ) GARCH(,) aramer Ocen -Sudena Ocen -Sudena,6,99,64,99,98,86 γ,9 3,85,87 3,8 γ β,9 7,8,9 7,6,89 74,7,89 75 n 7,7 6,34 7,6 6,37 ζ,7 33, 3,65 K. Schwarza -4,793 K. Schwarza -4,734 Źródło: oracowane własne. (36)

8 46 Joanna Górka, Mchał Bernard erzak Tabea Wnk esmacj aramerów mode da ndeksu WIG-TELE w okrese AR( ) BL(,) GARCH(,) AR( ) GARCH(,) aramer Ocen -Sudena Ocen -Sudena, 3,9, 3,38,89,6 γ,54 3,9,46 3, γ β,8 4,43,3 4,34,79,9,8 3,6 n 7,7 3,69 6,99 3,76 ζ,94,59,96,97 K. Schwarza -4,3734 K. Schwarza -4,3737 Źródło: oracowane własne. Tabea 3 Wnk esmacj aramerów mode da ndeksu WIG-TELE w okrese BL(,) GARCH(,) GARCH(,) aramer Ocen -Sudena Ocen -Sudena -,56,64 γ,56,5,56,49 γ,7 4,5,7 4,53 β,9 56,7,9 56, n 6,49 6,3 6,54 6,3 ζ,4 3,4,5 3,68 K. Schwarza -5, K. Schwarza -5,7 Źródło: oracowane własne. ODSUMOWANIE W arkue rzedsawono mode dwunow, jego budowę, własnośc oraz meod esmacj. Mode en wkorzsano w emrcznej anaze ndeksów gełdowch, gdze dokonano rób osu ogarmcznch só zwrou. Orzmane wnk ozwoł na orównane modeu ze srukurą dwunową AR( ) BL(, GARCH ( r, z modem AR( ) GARCH ( r,. Uzskane warośc krerum nformacjnego Schwarza, da mode AR( ) BL(, GARCH ( r,, AR( ) GARCH ( r,, różną sę doero na rzecm mejscu o rzecnku (da wększośc mode), co w rzadku orawne oszacowanch mode

9 Meod szacowana aramerów mode dwunowch 47 unemożwa ocenę faku, cz dodane do modeu AR( ) GARCH ( r, srukur dwunowej oeszło jego doasowane do danch emrcznch. Badane ozwoło równeż na wsunęce wnosku, ż w oszczegónch odokresach anaz może wsęować zjawsko auokoreacj da só zwrou, jak zankać, co naeż brać od uwagę w secfkacj mode. W rzadku wkorzsana w modeach skośnego rozkładu -sudena uzskwane bł sasczne sone warośc ocen aramerów ζ oraz n, co owerdza zasadne rzjęce ego rozkładu za rozkład warunkow. Esmacja mode w odokresach ozwoła na denfkację zmennośc warośc ocen aramerów ζ oraz n, co śwadcz o zmenającch sę w czase skośnośc rozkładów oraz kuroz. W rzadku nekórch ndeksów, wrowadzene ssemu WARSET mało włw na zank srukur nenowej w warośc oczekwanej, w m sense, że aramer odowedzan za srukurę dwunową okazał sę w odokrese sasczne neson. BIBLIOGRAFIA Bruzda J. (3) roces dwunowe roces GARCH w modeowanu fnansowch szeregów czasowch, rzegąd Sasczn. Doman M.,Doman R. (4) Ekonomerczne modeowane dnamk rnku fnansowego, Wdawncwo Akadem Ekonomcznej w oznanu. Durbn J., Kooman S.J. () Tme Seres Anass b Sae Sace Mehods, Oxford Unvers ress, New York. Granger C. W. J., Andersen A.. (978) An Inroduon o Bnear Tme Seres Modes, Gongen: Vandenhoeck and Rurech. Subba Rao T., Gabr M.M. (98) An Inroducon o Bsecra Anass and Bnear Tme Seres Modes, Srnger-Verag, Bern. THE METHODS OF ESTIMATING THE ARAMETERS OF BILINEAR MODELS Absrac: In he aer we resen sochasc rocess whch s caed bnear rocess, he srucure of he rocess and s roeres. Then we resen he reresenaon of he sae sace for he bnear mode. Fna, we show he mehods of esmang he arameers of bnear modes and some emrca exames as we. Ke words: bnear mode, GARCH mode