Fizyka Materii Skondensowanej Równanie kp. LCAO.

Transkrypt

1 Fizyk Mterii Skondensownej Równnie kp. LCAO. Wydził Fizyki UW Jcek.Szczytko@fuw.edu.pl Projekt: POKL /10 00 "Chemi, fizyk biologi n potrzeby społeczeństw XXI wieku: nowe mkrokierunki studiów I, II i III stopni" Potencjł periodyczny Twierdzenie Bloch E( n, k ) E( n, k G) k E( n 1, k ) m ( k G) E( k G) m Struktur psmow dl gzu elektronów swobodnych w sieci regulrnej prostej (stł sieci ), wierzchołki prbol mją wskźniki G hg [hkl]= 000, 100,100, 00, 00, 1 kg l g3 gi i k Potencjł periodyczny Twierdzenie Bloch E( n, k ) E( n, k G) k E( n 1, k ) m ( k G) E( k G) m G hg 1 kg l g3 gi Struktur psmow dl gzu elektronów swobodnych w sieci regulrnej prostej (stł sieci ), wierzchołki prbol mją wskźniki [hkl]= 000, 100,100, 00, 00, 010,010,001,001, i k 1

2 Potencjł periodyczny Twierdzenie Bloch E( n, k ) E( n, k G) k E( n 1, k ) m ( k G) E( k G) m G hg 1 kg l g3 Struktur psmow dl gzu elektronów swobodnych w sieci regulrnej prostej (stł sieci ), wierzchołki prbol mją wskźniki [hkl]= 000, 100,100, 00, 00, 010,010,001,001, 110,101,110,101,101,110,101,110 k W pustej przestrzeni? gi i Potencjł periodyczny Twierdzenie Bloch Co z tą pustą przestrzenią? Przyjmijmy, że w węzłch sieci znjduje się mły potencjł V ( ) V0 cos mły potencjł (rozwżymy przypdek jednowymirowy) Jk wygląd wpływ słbego potencjłu n energie n grnicy strefy Brillouin? i i igr V0 V ( r ) V ( r R) V e e e G G k hkl = 000, 100,100, 00, 00, k Potencjł periodyczny Twierdzenie Bloch Opis stnów elektronowych n grnicy strefy Brillouin wymg superpozycji co njmniej dwóch fl płskich. Dl znikjącego (le niezerowego) potencjłu flmi tymi są: G i ( ) ~ e 1, k G G i i ~ e e G G i i ~ e e G i G G i ( ) ~ e e, k k now współrzędn ~ cos gęstość prwdopodobieństw cos ~ sin gęstość prwdopodobieństw sin Rozwiąznie odpowid dwóm flom o tej smej długości: Potencjł periodyczny Twierdzenie Bloch Opis stnów elektronowych n grnicy strefy Brillouin wymg superpozycji co njmniej dwóch fl płskich. Dl znikjącego (le niezerowego) potencjłu flmi tymi są: G i ( ) ~ e 1, k G G i i ~ e e G G i i ~ e e G i G G i ( ) ~ e e, k k now współrzędn ~ cos gęstość prwdopodobieństw cos ~ sin gęstość prwdopodobieństw sin Rozwiąznie odpowid dwóm flom o tej smej długości:

3 Potencjł periodyczny Potencjł periodyczny Twierdzenie Bloch Pojwi się przerw energetyczn n grnicy strefy Brillouin Ptrz H.Ibch, H. Luth Fizyk Cił Stłego. now współrzędn Twierdzenie Bloch Pojwi się przerw energetyczn n grnicy strefy Brillouin now współrzędn 1 G G E m0 m0 G G 4V m0 m0 k cos sin Rozwiąznie odpowid dwóm flom o tej smej długości: k cos sin Potencjł periodyczny Potencjł periodyczny Twierdzenie Bloch Pojwi się przerw energetyczn n grnicy strefy Brillouin now współrzędn Twierdzenie Bloch Pojwi się przerw energetyczn n grnicy strefy Brillouin now współrzędn k cos sin 4 6 psmo psmo psmo 8 k cos sin

4 Potencjł periodyczny Twierdzenie Bloch Poniewż funkcj Bloch przesunięt o wektor sieci odwrotnej nie zmieni się to wygodnie jest przedstwić wyniki tylko w I szej strefie Brillouin. Trzeb wówczs numerowć psm energetyczne. Stn elektronu w ciele stłym zdny jest przez wektor flowy z I szej strefy, numer psm orz rzut spinu. T. Stcewicz & A. Witowski Model cisnego wiązni (LCAO) Budujemy krysztł z tomów bzą są jednoelektronowe funkcje flowe elektronów znjdujących się n poziomch swobodnych tomów rozmieszczonych w węzłch sieć krystlicznej : Oddziływnie z włsnym tomem Δ ty stn Atom w położeniu Δ gdzie mł poprwk od potencjłu pochodzącego od wszystkich pozostłych tomów: Model cisnego wiązni (LCAO) Budujemy krysztł z tomów bzą są jednoelektronowe funkcje flowe elektronów znjdujących się n poziomch swobodnych tomów rozmieszczonych w węzłch sieć krystlicznej : Oddziływnie z włsnym tomem Δ ty stn Atom w położeniu LCAO (liner combintion of tomic orbitls) dość dobrze opisuje psm elektronowe powstłe n bzie wewnętrznych powłok elektronowych tomu (wlencyjne). Metod mniej dokłdn dl elektronów przewodnictw. Model cisnego wiązni ndje się np. do opisu psm metli przejściowych czy psm wlencyjnych krysztłów kowlencyjnych. Δ Model cisnego wiązni (LCAO) Przybliżone rozwiąznie w postci funkcji Bloch: Φ, ep Sprwdzić: Φ, Φ, Φ, ep Φ, Energie wyznczmy metodą wricyjną: Φ, Φ, Φ, Φ, Wyrżenie Φ, Φ, ep, łtwo uprościć zkłdjąc młe nkrywnie się funkcji flowych dl Φ, Φ,

5 Model cisnego wiązni (LCAO) Przybliżone rozwiąznie w postci funkcji Bloch: Model cisnego wiązni (LCAO) Przybliżone rozwiąznie w postci funkcji Bloch: Φ, ep Φ, ep Sprwdzić: Φ, Φ, Sprwdzić: Φ, Φ, Φ, ep Φ, Φ, ep Φ, Energie wyznczmy metodą wricyjną: Energie wyznczmy metodą wricyjną: Φ, Φ, Φ, Φ, Φ, Φ, Φ, Φ, 1 Φ, Φ, 1 Φ, Φ, Ogrniczymy się tylko do njbliższych sąsidów ep ep,, Ogrniczymy się tylko do wyrzów digonlnych w członie z Model cisnego wiązni (LCAO) 1 Φ, Φ, ep, Ogrniczymy się tylko do njbliższych sąsidów Ogrniczymy się tylko do wyrzów digonlnych w członie z Jeśli funkcje są sferycznie symetryczne (stny ), to cłki nkrywni zleżą od odległości pomiędzy poszczególnymi węzłmi: ep Model cisnego wiązni (LCAO) Jeśli funkcje są sferycznie symetryczne (stny ), to cłki nkrywni zleżą od odległości pomiędzy poszczególnymi węzłmi: ep Wynik sumowni zleży od struktury, dl której wykonujemy rchunki Dl struktury :, 0,0 ; 0,, 0 ; 0,0, ; cos cos cos Dl struktury : 8 cos Dl struktury : 4 cos cos cos cos.. Ogrniczymy się tylko do njbliższych sąsidów

6 Model cisnego wiązni (LCAO) Dl struktury :, 0,0 ; 0,, 0 ; 0,0, ; cos cos cos Model cisnego wiązni (LCAO) Dl struktury :, 0,0 ; 0,, 0 ; 0,0, ; cos cos cos H. Ibch, H. Lüth, Solid Stte Physics H. Ibch, H. Lüth, Solid Stte Physics Model cisnego wiązni (LCAO) Dl struktury :, 0,0 ; 0,, 0 ; 0,0, ; cos cos cos Kunz, A.B.: Phys. Rev. B6, 056 (198)

7 Równnie kp ms efektywn,, Wektor nie jest pędem (opertor pędu ),,, Funkcj Bloch w równniu Schrödinger: Δ, Δ,,, Po wstwieniu do równni uproszczeniu przez dostjemy równnie n, : Δ, Równnie Schrodinger n obwiednię, :,,, Równnie kp ms efektywn Równnie Schrodinger n obwiednię, :,, Jest to tzw. równnie wykorzystywne do obliczeń energii i funkcji flowych wokół pewnego znnego rozwiązni dl. Pełny hmiltonin,,, Zburzenie: Funkcję, orz energię znjdujemy w rchunku zburzeń Równnie kp ms efektywn Blisko leżące psm Równnie kp ms efektywn Rozwijmy Dl wokół punktu ekstremlnego, np. 0: 0 0 0,,,, Liniowe w 0 W ekstremum człony liniowe znikją Rozwijmy wokół punktu ekstremlnego, np. 0: Lndolt Boernstein

8 Równnie kp ms efektywn 0 1 Wprowdzmty tzw. tensor odwrotności msy efektywnej: 1,,,, 0 0 Tensor jest symetryczny ( ). Jeśli ekstremum energii jest w punkcie (k=0) to powierzchni stłej energii jest elipsoidą w przestrzeni, któr po sprowdzeniu do osi głównych m postć: 0 Gdzie to msy efektywne w kierunku osi głównych. Równnie kp ms efektywn Energi E n (k) wokół ekstremum dl krysztłu jednoosiowego (np. GN): Dl krysztłu kubicznego: 0 0 tzw. psmo sferyczne W pobliżu ekstremum (np. punkt (k=0)) możemy ogrniczyć się do przybliżeni prbolicznego psmo prbloczne. W ogólności w zleżności energii od wektor flowego występują człony wyższego rzędu, które zostły zniedbne (wyższe rzędy rchunku zburzeń). W ogólności energi elektronu jest funkcją skłdowych wektor flowego k=(k 1,k,k 3 ). Powierzchni stłej energii w ogólnym przypdku może mieć skomplikowny chrkter, jej ksztłt zleży od wszystkich psm. Bdnie tensor msy efektywnej to jeden z głównych problemów fizyki cił stłego Równnie kp ms efektywn Energi E n (k) wokół ekstremum Psmo nieprboliczne Psmo niesferyczne Równnie kp ms efektywn Struktur psmow cił stłych Przykłdy: R. Stępniewski D. Wsik

9 Rozwijmy ekstremlnego, np. 0: 0 wokół punktu Jeśli nsz krysztł m skończone rozmiry zbiór wektorów k jest skończony (choć olbrzymi!), np. możemy przyjąć periodyczne wrunki brzegowe i wtedy: Wrunki Born Krmn Skończone rozmiry krysztłu L, L y, L z Ψ postć funkcji Bloch Ψ( + L,y,z) = Ψ(, y + L y,z) = Ψ(, y, z + L z ) e e e ikl ik yly ikzlz Ilość stnów n jednostkę energii (zleży od ilości wymirów) 4 ni ki 0,,,..., L L L i i i k y k Ilość stnów w objętości 1 L L L y z V 3 L y L 34 Jeśli nsz krysztł m skończone rozmiry zbiór wektorów k jest skończony (choć olbrzymi!), np. możemy przyjąć periodyczne wrunki brzegowe i wtedy: Wrunki Born Krmn Skończone rozmiry krysztłu L, L y, L z Ψ postć funkcji Bloch Ψ( + L,y,z) = Ψ(, y + L y,z) = Ψ(, y, z + L z ) e e e ikl ik yly ikzlz Ilość stnów w objętości 4 ni ki 0,,,..., L L L 1 L L L y Ilość stnów n jednostkę energii (zleży od ilości wymirów) i z i V L 35 i L y k y k Ilość stnów n jednostkę energii (zleży od ilości wymirów) w przestrzeni o wymirch (w jednostkowej objętości) 1 Przypdek 3D 1 4 Dl psm sferycznego i prbolicznego: 1 1 / / L y kul Fermiego T=0 K k y k 9

10 D Ilość stnów n jednostkę energii (zleży od ilości wymirów) w przestrzeni o wymirch (w jednostkowej objętości) 1 Przypdek 3D Dl psm sferycznego i prbolicznego: 1 1 / / Gestosc stnów Energi (ev) D Wewnątrz studni:, sin D D 1 dl psm sferycznego i prbolicznego: funkcj schodkow Heviside D,,,, ep ep,, ep, Mrc Bldo MIT OpenCourseWre Publiction My

11 D 1D 1D 1 dl psm sferycznego i prbolicznego:,,, J. Szczytko, et l. Phys. Rev. Lett. 93, (004) Mrc Bldo MIT OpenCourseWre Publiction My 011 0D 0D Dl IZOLOWANEJ kropki Δ 0, Δ Złóżmy, że czs życi stnu o energii jest równy, złożymy też znik wykłdniczy podsumownie ep, 0 A ep Trnsformt Fourrier, 0 1 Profil Lorentz 1 Mrc Bldo MIT OpenCourseWre Publiction My 011 Mrc Bldo MIT OpenCourseWre Publiction My

12 w przestrzeni energii: Mmy: Stąd: Czyli obszry, w których 1 0dją istotny wkłd do gęstości stnów. Są to tzw. osobliwości vn Hove [L. Vn Hove, Physicl Review 89, 1189 (1953)] Punkty osobliwe w 3D (vn Hove): H. Ibch, H. Lüth, Solid Stte Physics Punkty osobliwe w D: Punkty osobliwe w 1D: minimum punkt siodłowy mksimum minimum mksimum ln

13 Widmo fononów orz gęstość stnów fononowych w dimencie H. Ibch, H. Lüth, Solid Stte Physics Michł Bj Michł Bj m sens niezleżnie od tego, czy mmy do czynieni z krysztłem, czy np. z ciłem morficznym. Opis stnów z pomocą wektor flowego ( więc tkże ) m jednk sens wyłącznie w przypdku istnieni symetrii trnslcyjnej hmiltoninu (krysztł). Gęstoś stnów D grfen Liniow zleżność dyspersyjn w grfenie: Metod cisnego wiązni przy uwzględnieniu odziływni z njbliższymi sąsidmi [P. R. Wllce, The Bnd Theory of Grphite, Physicl Review 71, 6 (1947).] dje : 14cos 4cos cos 3 H. Ibch, H. Lüth, Solid Stte Physics Michł Bj

14 Gęstoś stnów D grfen Liniow zleżność dyspersyjn w grfenie: Metod cisnego wiązni przy uwzględnieniu odziływni z njbliższymi sąsidmi [P. R. Wllce, The Bnd Theory of Grphite, Physicl Review 71, 6 (1947).] dje : 14cos 4cos cos 3 Gęstoś stnów D grfen Liniow zleżność dyspersyjn w grfenie: Metod cisnego wiązni przy uwzględnieniu odziływni z njbliższymi sąsidmi [P. R. Wllce, The Bnd Theory of Grphite, Physicl Review 71, 6 (1947).] dje : 14cos 4cos cos Gęstoś stnów D grfen Liniow zleżność dyspersyjn w grfenie: Metod cisnego wiązni przy uwzględnieniu odziływni z njbliższymi sąsidmi [P. R. Wllce, The Bnd Theory of Grphite, Physicl Review 71, 6 (1947).] dje : 14cos 4cos cos 3 Liczb stnów w objętości : Metod cisnego wiązni wnioski W rmch metody cisnego wiązni powstwnie psm wyjśnimy jko efekt wzjemnego oddziływni stnów tomowych poszczególnych tomów tworzących ciło stłe. Stny tomowe klsyfikujemy jko nleżące do odpowiednich powłok: H. Ibch, H. Lüth, Solid Stte Physics Jeśli w krysztle mkroskopowym mmy N komórek elementrnych, to kżdemu stnowi tomowemu, odpowid N lub N miejsc n elektrony odpowiednio: bez uwzględnieni spinu lub z uwzględnieniem spinu W tkim rzie, jeśli uwzględnić spin, to w kżdym pśmie jest N miejsc n elektrony

15 Metod cisnego wiązni wnioski W rmch metody cisnego wiązni powstwnie psm wyjśnimy jko efekt wzjemnego oddziływni stnów tomowych poszczególnych tomów tworzących ciło stłe. Stny tomowe klsyfikujemy jko nleżące do odpowiednich powłok: Metod cisnego wiązni wnioski C, Si, Ge Be H. Ibch, H. Lüth, Solid Stte Physics Nieprzyst liczb elektronów n komórkę (metl) Przyst liczb elektronów n komórkę (niemetl) Przyst liczb elektronów n komórkę le przekrywjące się psm (metle II grupy, np. Be sljd wcześniej!) H. Ibch, H. Lüth, Solid Stte Physics Metod cisnego wiązni wnioski W rmch metody cisnego wiązni powstwnie psm wyjśnimy jko efekt wzjemnego oddziływni stnów tomowych poszczególnych tomów tworzących ciło stłe. Stny tomowe klsyfikujemy jko nleżące do odpowiednich powłok. Metod cisnego wiązni wnioski Stny się mieszją przykłdem może być np. hybrydyzcj stnów tworzących wiązni w krysztłch kowlencyjnych, domieszki stnów d do psm p itp. mówiąc o stnch (psmch) o symetrii s, p, d etc. mmy n myśli włsności trnsformcyjne pod dziłniem opercji grupy symetrii punktowej krysztłu stny te trnsformują się tk jk odpowiednie stny tomowe degenercje stnów określone są przez wymir nieprzywiedlnych reprezentcji odpowiedniej grupy wektor flowego i są niższe niż stnów tomowych (rozszczepieni stnów tomowych z powodu obniżeni symetrii) stny mją oczywiście inne energie niż odpowiednie stny tomowe, z których się wywodzą i ich kolejność w skli energii może być inn Michł Bj Michł Bj

16 Powierzchnie Fermiego metli Powierzchnie Fermiego metli Ashcroft, Mermin /Section%010_Metls Electron_dynmics_nd_Fermi_surfces.pdf Metod cisnego wiązni wnioski Metod cisnego wiązni wnioski Michł Bj

17 Metod cisnego wiązni wnioski Metod cisnego wiązni wnioski Szmulowicz, F., Segll, B.: Phys. Rev. B1, 568 (1980). Michł Bj Szmulowicz, F., Segll, B.: Phys. Rev. B1, 568 (1980). prwie jk dl elektronów swobodnych Michł Bj Metod cisnego wiązni wnioski Cu: [1s s p 6 3s 3p 6 ] 3d 10 4s 1 [Ar] 3d 10 4s 1 Ni: [1s s p 6 3s 3p 6 ] 3d 9 4s 1 [Ar] 3d 9 4s 1 uporządkownie ferromgnetyczne, rozszczepienie wymienne, różne energie stnów z różnym spinem, dwie różne gęstości stnów dl spinu i Psmo d Michł Bj

18 Półprzewodniki Półprzewodniki grupy IV (Si, Ge) struktur dimentu Związki półprzewodnikowe AIIIBV (np. GAs, GN) i AIIBVI (np. ZnTe, CdSe) struktur blendy cynkowej lub wurcytu Związki półprzewodnikowe AIVBVI (np. SnTe, PbSe) struktur NCl Półprzewodniki Półprzewodniki grupy IV (Si, Ge) struktur dimentu Związki półprzewodnikowe AIIIBV (np. GAs, GN) i AIIBVI (np. ZnTe, CdSe) struktur blendy cynkowej lub wurcytu Związki półprzewodnikowe AIVBVI (np. SnTe, PbSe) struktur NCl Si Przerw energetyczn skośn, Eg = 1,1 ev Minimum psm przewodnictw n kierunku Δ, powierzchnie stłej energii elipsoidy obrotowe (6 sztuk), m =0,9 m0, m=0,19 m0, Mksimum psm wlencyjnego w punkcie Γ, mlh=0,153 m0, mhh=0,537 m0, mso=0,34 m0, Δso= 0,043 ev Ge Przerw energetyczn skośn, Eg = 0,66 ev Mksimum psm wlencyjnego w punkcie Γ, mlh=0,04 m0, mhh=0,3 m0, mso=0,09 m0, Δso= 0,9 ev Minimum psm przewodnictw w punkcie L, powierzchnie stłej energii elipsoidy obrotowe (8 połówek), m =1,6 m0, m=0,08 m0, Półprzewodniki Półprzewodniki grupy IV (Si, Ge) struktur dimentu Związki półprzewodnikowe AIIIBV (np. GAs, GN) i AIIBVI (np. ZnTe, CdSe) struktur blendy cynkowej lub wurcytu Związki półprzewodnikowe AIVBVI (np. SnTe, PbSe) struktur NCl Półprzewodniki Półprzewodniki grupy IV (Si, Ge) struktur dimentu Związki półprzewodnikowe AIIIBV (np. GAs, GN) i AIIBVI (np. ZnTe, CdSe) struktur blendy cynkowej lub wurcytu Związki półprzewodnikowe AIVBVI (np. SnTe, PbSe) struktur NCl GAs Przerw energetyczn prost, Eg = 1,4 ev Mksimum psm wlencyjnego w punkcie Γ, mlh=0,076 m0, mhh=0,5 m0, mso=0,145 m0, Δso= 0,34 ev Minimum psm przewodnictw w punkcie Γ, powierzchnie stłej energii sfery, mc=0,065 m0 Sn Struktur dimentu Zerow przerw energetyczn, Eg = 0 ev (tzw. odwrócon struktur) Mksimum psm wlencyjnego w punkcie Γ, mv=0,195 m0, mv=0,058 m0, Δso=0,8 ev Minimum psm przewodnictw w punkcie Γ, powierzchnie stłej energii sfery, mc=0,04 m

19 Półprzewodniki Półprzewodniki grupy IV (Si, Ge) struktur dimentu Związki półprzewodnikowe AIIIBV (np. GAs, GN) i AIIBVI (np. ZnTe, CdSe) struktur blendy cynkowej lub wurcytu Związki półprzewodnikowe AIVBVI (np. SnTe, PbSe) struktur NCl Spektroskopi fotoemisyjn prc wyjści brier potencjłu PbSe Przerw energetyczn prost w punkcie L, Eg = 0,8 ev Mksimum psm wlencyjnego w punkcie L, powierzchnie stłej energii elipsoidy obrotowe, m =0,068 m0, m=0,034 m0, Minimum psm przewodnictw w punkcie L, powierzchnie stłej energii elipsoidy obrotowe, m =0,07 m0, m=0,04 m0, H. Ibch, H. Lüth, Solid Stte Physics Spektroskopi fotoemisyjn prc wyjści brier potencjłu Spektroskopi fotoemisyjn Struktur psmow cił stłych Wyzncznie struktury psmowej H. Ibch, H. Lüth, Solid Stte Physics Phys. Rev. B 71, (005)

20 Spektroskopi fotoemisyjn Struktur psmow cił stłych Wyzncznie struktury psmowej Heterostruktury półprzewodnikowe Phys. Rev. B 71, (005) Heterostruktury półprzewodnikowe Bndgp engineering Vlence bnd offset Investigtion of high ntimony content gllium rsenic nitride gllium rsenic ntimonide heterostructures for long wvelength ppliction Vlence bnd offset: (powinowctwo) Su Hui Wei, Computtionl Mterils Science, 30, (004)

21 Bndgp engineering Vlence bnd offset Bndgp engineering Vlence bnd offset Wlukiewicz Physic B (001) Bndgp engineering Bndgp engineering W jki sposób możemy zmienić strukturę psmową heterostruktury: wybierjąc mterił (np. GAs/AlAs) kontrolując skłd kontrolując nprężenie Prwo Vegrd: określ stłą sieci stopu dwóch krysztłów binrnych A i B (np. GAs i GP lbo GN i AlN) 1 prwo empiryczne W jki sposób możemy zmienić strukturę psmową heterostruktury: wybierjąc mterił kontrolując skłd kontrolując nprężenie Prwo Vegrd: dot. przerwy energetycznej stopu binrnego : 1 1 b tzw. bowing przerwy energetycznej Z Dridi et l. Semicond. Sci. Technol. 18 No 9 (September 003)

22 Bndgp engineering W jki sposób możemy zmienić strukturę psmową heterostruktury: wybierjąc mterił kontrolując skłd kontrolując nprężenie Vlence bnd offset Heterostruktury półprzewodnikowe Quternry compounds Thin Solid Films 433 (003) Heterostruktury półprzewodnikowe Quinternry compounds Bndgp engineering W jki sposób możemy zmienić strukturę psmową heterostruktury: wybierjąc mterił (np. GAs/AlAs) kontrolując skłd kontrolując nprężenie iiiopticl properties iiiopticl properties Quinternry brriers push room temperture opertion of GSb bsed type I lsers further into mid infrred