Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych (1101-4FS22) Michał Baj

Transkrypt

1 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych (-4FS) Michł Bj Zkłd Fizyki Cił Stłego Instytut Fizyki Doświdczlnej Wydził Fizyki Uniwersytet Wrszwski 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd

2 Prc domow Przeczytć: rozdził pt. Krótki zrys teorii grup z książki: P. Kowlczyk Fizyk cząsteczek, PWN ( lub: rozdził 5 pt. Symetri cząsteczek z książki: P.W. Atkins, Chemi Fizyczn, PWN 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd

3 Pln wykłdu Czy możemy (w szczególności w ciłch stłych) trktowć elektrony jko cząstki niereltywistyczne? Résumé dotyczące elementów krystlogrfii (przypomnienie) Symetrie punktowe tworów geometrycznych i krysztłów Elementy teorii grup (skończonych) w zstosowniu do grup punktowych 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd

4 Elektrony jko cząstki niereltywistyczne? Czy możemy (w szczególności w ciłch stłych) trktowć elektrony jko cząstki niereltywistyczne? Policzmy wrtość oczekiwną energii kinetycznej elektronu n stnie wodoropodobnym i porównjmy z jego energią spoczynkową 4 Z me Z mc Z E n Ry α n (4πε ) n n gdzie Ry Rydberg: Ry B α m e 4 (4πε ) 4πε e 4πε c 7,6 e 4πε B m c α promień Bohr me stł struktury subtelnej 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 4

5 Elektrony jko cząstki niereltywistyczne? Wrtość oczekiwn energii potencjlnej: V Ze πε 4 r możn policzyć wykonując cłkownie z r wodoropodobnymi funkcjmi rdilnymi: r k nl nl * k R r R r dr r Z B n V Ze r Ze Z 4πε 4πε B n 4πε B n n e Z Z Ry 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 5

6 Elektrony jko cząstki niereltywistyczne? Poniewż: E + V k E n Z m c Z to: E n n Ek En α Z η mc mc n k Ry α E n Weźmy: Z 9 (urn), n, E 5, kev (doświdczln krwędź K ~ 5,6 kev) η, Z 4 (krzem), n, E,67 kev (doświdczln krwędź K ~,8 kev) η, Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 6

7 Elektrony jko cząstki niereltywistyczne? Wniosek: Poprwki reltywistyczne mogą być istotne, le tylko dl ciężkich pierwistków, przede wszystkim dl wewnętrznych powłok elektronowych. Dl powłok zewnętrznych:. n w minowniku. ekrnownie przez powłoki wewnętrzne zmniejsz loklizcję, więc zmniejsz energię kinetyczną (Z eff < Z) Jednk: Poprwki reltywistyczne znoszą degenercję pewnych stnów i to może być istotne niezleżnie od wielkości smych poprwek 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 7

8 Poprwki reltywistyczne Wyjście poz przybliżenie niereltywistyczne (z uwzględnieniem spinu, z równni Dirc, rozwinięcie z dokłdnością do członów ~ α ): Hˆ ( + Hˆ rel + Hˆ p H ˆ ˆ + V m ˆ H rel pˆ 8m 4 D c + Hˆ SO ) Ψ i t Ψ człon niereltywistyczny poprwk związn z niekwdrtową zleżnością energii kinetycznej od pędu 8m H ˆ D c V tzw. człon Drwin 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 8

9 Poprwki reltywistyczne spin-orbit Stąd: ˆ H SO ˆ( σ V 4m c gdzie σˆ ˆ σ pˆ) wektor mcierzy Puliego: opertor spinu dl potencjłu: ˆ H SO Ze 4πε r i i oddziływnie spin-orbit (link) sˆ σˆ dził n dwuskłdnikowe spinory Ze Ze V mmy: V r 4πε r 4πε r 4m c ˆ( σ r pˆ) Ze 4πε r m c sl ˆ ˆ 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 9

10 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd Poprwki reltywistyczne spin-orbit W pierwszym rzędzie rchunku zburzeń, z wykorzystniem wzoru: ) )( / ( + + l l l n Z r B otrzymujemy: / / / / 4 j l n Z E j l n Z Ry E n SO α α i rozszczepienie stnów o różnym j (j l ± ½) dl l : ) ( ) ( l l n Z E l l n Z Ry n SO α α

11 Poprwki reltywistyczne spin-orbit Kżdy z tych jonów posid tylko jeden elektron ukłd wodoropodobny n Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd

12 Poprwki reltywistyczne spin-orbit 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd

13 Poprwki reltywistyczne spin-orbit Ukłdy wieloelektronowe wpływ ekrnowni: Z Cr 4 Z Au 79 Z Z SOAu SOCr SOAu SOCr Au Cr 4 7 ( p) 6 ( p) (d ) 5 (d ) 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd

14 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 4 Poprwki reltywistyczne cłość / 4 / 4 4 < j n n Z E j n n Z Ry E E E E n SO D rel α α Pojwijące się rozszczepienie struktur subteln

15 Poprwki reltywistyczne cłość Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 5

16 Spin-orbit półprzewodniki P.Y. Yu, M. Crdon, Fundmentls of Semiconductors 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 6

17 Spin-orbit półprzewodniki P.Y. Yu, M. Crdon, Fundmentls of Semiconductors 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 7

18 Spin-orbit. Miesznie spinowych i orbitlnych stopni swobody. Możliwość wpływni n spinowe stopnie swobody z pośrednictwem stopni orbitlnych mechnizmy relkscji spinowej 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 8

19 Elementy krystlogrfii (résumé ) Sieć punktow (Brvis): zbiór wszystkich punktów przestrzeni, które są wyznczone przez wektory: R n + n n gdzie i wektory jednostkowe (prymitywne) rozpinjące przestrzeń - wymirową, tzn. ( ), zś n, n n Z +, Wybór wektorów jednostkowych dl dnej sieci jest niejednoznczny Prymitywn komórk elementrn: wyróżnion objętość, któr po trnslcjch o wszystkie wektory dnej sieci Brvis wypełni cłą przestrzeń bez dziur i bez przekryć. Kżd prymitywn komórk elementrn zwier jeden punkt sieci Brvis. Wybór tkiej komórki nie jest jednoznczny 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 9

20 Elementy krystlogrfii (résumé ) Komórk elementrn: wyróżnion objętość, któr po trnslcjch o pewien podzbiór wektorów dnej sieci Brvis wypełni cłą przestrzeń bez dziur i bez przekryć. Komórk elementrn może zwierć więcej niż jeden węzeł sieci Brvis (nie mylić z pojęciem sieci z bzą!) Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd

21 Elementy krystlogrfii (résumé ) Proste sieciowe: proste, n których leży nieskończenie wiele węzłów sieci Płszczyzny sieciowe: płszczyzny, n których leży nieskończenie wiele węzłów sieci 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd

22 Elementy krystlogrfii (résumé ) Współrzędne punktów (np. w komórce elementrnej): wyrż się tk smo, jk w geometrii nlitycznej, le jednostkmi n osich są prmetry komórki 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd

23 Elementy krystlogrfii (résumé ) Wskźniki kierunków sieciowych: wyrżne są przez trzy liczby cłkowite, względem siebie pierwsze [h k l]. Jeżeli prost przechodzi przez początek ukłdu współrzędnych, to współrzędne pierwszego węzł leżącego n prostej, o ile są cłkowite, stnowią wskźniki prostej. Jeśli nie są cłkowite, to trzeb je sprowdzić do wspólnego minownik (njmniejszego), liczniki będą wtedy poszukiwnymi wskźnikmi kierunku. rodzin kierunków równowżnych 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd

24 Elementy krystlogrfii (résumé ) Wskźniki płszczyzn sieciowych. Równnie płszczyzny sieciowej przechodzącej przez punkty ( n,, ), (, n, ), (,, n ): x y z + + n n n u ns: n ; n ; n 4 stąd: p (h k l) (6 4 ) Po pomnożeniu przez p njmniejszą wspólną wielokrotność n, n i n otrzymujemy równnie z cłkowitymi h, k, l: x y z h + k + l p W ogólności: p, ±, ±, ±. (h k l) wskźniki Miller opisujące zbiór równoległych płszczyzn sieciowych 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 4

25 Elementy krystlogrfii (résumé ) Rodzin płszczyzn sieciowych (4 ) W ogólnym przypdku kierunek [h k l] nie jest prostopdły do płszczyzny (h k l) 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 5

26 Elementy krystlogrfii (résumé ) Rodzin płszczyzn równowżnych 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 6

27 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 7 Sieć odwrotn Sieć odwrotn do dnej sieci Brvis jest to tkże sieć Brvis, rozpięt przez wektory tkie, że: * * *,, ij i j πδ * ) ( ) ( ) ( * * * π π π czsmi w definicji omij się (tk było n wykłdzie prof. Stępniewskiego) π

28 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 8 Sieć odwrotn płszczyzny sieciowe Twierdzenie Wektor sieci odwrotnej jest prostopdły do płszczyzny sieciowej (h k l) Dowód: Weźmy dowolne, liniowo niezleżne wektory leżące w płszczyźnie (h k l), np.: wystrczy terz pokzć, że wektor jest do nich prostopdły: k l R h k R b, * * + + π π k k h h h k * * + + π π l l k k k l * ],, [ l k h R * ],, [ l k h R * ],, [ l k h R * ],, [ l k h R

29 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 9 Twierdzenie Odległość pomiędzy sąsiednimi płszczyznmi (h k l) jest równ: d (hkl) * ],, [ ) ( l k h hkl R d π Dowód: Równni dwóch sąsiednich płszczyzn (h k l): Niech h ; wtedy odległość możn wyznczyć jko rzut wektor n kierunek wektor : z l y k x h orz z l y k x h d (hkl) h / * ],, [ l k h R * ],, [ * ],, [ * * * * ],, [ * ],, [ ) ( ) ( l k h l k h l k h l k h hkl R R l k h h R R h d π + + Sieć odwrotn płszczyzny sieciowe

30 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd Sieć odwrotn wrunki Lue go Rozprsznie elstyczne fli (np. promieniowni X); Zmin wektor flowego przy rozprszniu: Interferencj konstruktywn od wszystkich węzłów rozprszjących zchodzi, gdy: czyli: k k k k k ' ' m k m k m k π π π * * * m m m G + + G k wektor sieci odwrotnej wrunki Lue go

31 Typy sieci Brvis, ukłdy krystlogrficzne P sieć prost (lub prymitywn), C o centrownych podstwch, I przestrzennie/objętościowo (lub wewnętrznie) centrown, F ściennie (lub płsko) centrown 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd

32 Sieć krystliczn Sieć krystliczn kżdemu węzłowi sieci Brvis przyporządkowny jest tom lub grup tomów (tkich smych bądź innych). Atomy te stnowią bzę tej sieci. sieć krystliczn bz (dwutomow) wektory jednostkowe sieci Brvis 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd

33 Sieć krystliczn Grfen bz wektory jednostkowe 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd

34 Przykłdy struktur krystlicznych Struktury gęstego upkowni (LK) (AB)-(AB) (ABC)-(ABC) Sieć Brvis heksgonln bz dwutomow np.: Ti, Co, He Sieć Brvis regulrn płsko centrown bz jednotomow np.: Au, Ag, Cu, Ne, Ar hcp fcc 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 4

35 Przykłdy struktur krystlicznych Struktur regulrn centrown objętościowo (bcc) (LK8) Sieć Brvis regulrn centrown objętościowo bz jednotomow np.: Cs, Li, K, N, Fe, W Struktur chlorku cezu (LK8) Sieć Brvis regulrn prost bz dwutomow np.: CsCl 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 5

36 Przykłdy struktur krystlicznych Struktur prost regulrn (sc) (LK6) Sieć Brvis prost regulrn bz jednotomow np.: Po Struktur NCl (LK6) Sieć Brvis regulrn płsko centrown bz dwutomow dwie podsieci N i Cl, kżd z nich fcc, przesunięte względem siebie o połowę boku lub połowę głównej przekątnej np.: NCl i wiele innych krysztłów jonowych 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 6

37 Przykłdy struktur krystlicznych Struktur dimentu (LK4) Sieć Brvis regulrn płsko centrown bz dwutomow utworzon z jednkowych tomów (jeden tom w węźle sieci Brvis, drugi w ¼ głównej przekątnej) np.: C, Si, Ge Struktur ZnS (blendy cynkowej) (LK4) Sieć Brvis regulrn płsko centrown bz dwutomow utworzon z różnych tomów (jeden tom w węźle sieci Brvis, drugi w ¼ głównej przekątnej) np.: GAs, CdTe 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 7

38 Przykłdy struktur krystlicznych Struktur wurcytu (LK4) Sieć Brvis heksgonln hcp bz czterotomow utworzon z różnych tomów struktur o wiąznich tetredrycznych dwie sieci hcp przesunięte względem siebie wzdłuż osi c podsieć nionow i ktionow np.: CdS, ZnO, GN 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 8

39 Symetrie punktowe lub: Opercje symetrii dnego obiektu przeksztłceni nie zmienijące wyglądu tego obiektu Symetrie punktowe tkie, dl których opercje symetrii zchowują przynjmniej jeden punkt przestrzeni Podstwowe punktowe opercje symetrii: Obroty włściwe Inwersj Odbicie zwiercidlne Obroty niewłściwe (obrót i nstępujące po nim odbicie od płszczyzny do osi) Obroty inwersyjne (obrót i nstępując po nim inwersj) Elementy symetrii, względem których wykonywne są dne opercje symetrii: osie obrotu środek inwersji płszczyzn zwiercidln osie obrotów niewłściwych osie inwersyjne 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 9

40 Symetrie punktowe obroty włściwe P.W. Atkins, Chemi fizyczn 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 4

41 Symetrie punktowe odbici P.W. Atkins, Chemi fizyczn 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 4

42 Symetrie punktowe obroty niewłściwe P.W. Atkins, Chemi fizyczn 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 4

43 Symetrie punktowe obroty inwersyjne J. Ginter, Wstęp do fizyki tomu, cząsteczki i cił stłego 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 4

44 Symetrie punktowe obroty inwersyjne J. Ginter, Wstęp do fizyki tomu, cząsteczki i cił stłego 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 44

45 Punktowe elementy symetrii sześcinu Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 45

46 Stosowne oznczeni elementów symetrii Element symetrii Schönflies (cząsteczki) Hermnn- Muguin (krysztły) Streitwolf (krysztły) Opercj Tożsmość E ε -krotny obrót Oś obrotu C n n δ n n-krotny obrót (6º/n) Płszczyzn symetrii σ m ρ odbicie Środek symetrii i i inwersj Oś obrotu niewłściwego Oś obrotu inwersyjnego S n n-krotny obrót + odbicie n σ n n-krotny obrót + inwersj W krysztłch możliwe są osie obrotu -, -, -, 4- i 6-krotne 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 46

47 Grupy punktowe Zbiór wszystkich punktowych opercji symetrii dnego obiektu, wrz z dziłniem polegjącym n skłdniu tych opercji tworzą grupę 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 47

48 Grup (według: P. Kowlczyk, Fizyk cząsteczek ) Zbiór elementów G orz dziłnie (mnożenie grupowe) tworzą grupę, jeśli: w zbiorze G istnieje element jednostkowy e, tki że e e kżdy element zbioru m w tym zbiorze element odwrotny -, tki że - - e mnożenie grupowe jest łączne: (b c) ( b) c Mnożenie grupowe nie musi być przemienne. Jeśli jest grup nzyw się przemienną lub belową Liczb elementów grupy nzyw się rzędem grupy 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 48

49 Tbel grupow rząd tej grupy wynosi 6 grup jest nieprzemienn np.: c d c f P. Kowlczyk, Fizyk cząsteczek 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 49

50 Przeksztłcenie przez podobieństwo, kls elementów sprzężonych Jeśli x i z są dowolnymi elementmi grupy, to przeksztłcenie podobieństw y z - x z prowdzi do elementu y sprzężonego do x z pomocą elementu z Pełny zbiór elementów grupy, które są ze sobą wzjemnie sprzężone (z pomocą dowolnych elementów grupy) nzyw się klsą Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 5

51 Grup symetrii cząsteczki moniku, C v Tbel grupow grupy C v (notcj Schönflies) Cząsteczk NH P. Kowlczyk, Fizyk cząsteczek rząd tej grupy wynosi 6 grup jest nieprzemienn grup zwier klsy: {E} kls elementu neutrlnego {C, C } obroty {σ, σ, σ } odbici 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 5

52 Mcierze opercji symetrii Punktowe opercje symetrii są izometrimi, więc kżdej z nich możn przypisć jkąś mcierz ortogonlną M (tzn. tką, że M - M T orz detm ±) W oczywisty sposób mcierze te będą spełniły reguły mnożeni grupowego: jeśli: b c to: M() M(b) M(c) Zbiór tkich mcierzy, z dziłniem mnożeni mcierzy tkże będzie stnowił grupę jedną z możliwych reprezentcji grupy opercji symetrii G 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 5

53 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 5 Mcierze opercji symetrii cos sin sin cos ) (, α α α α α C z M N przykłd: mcierz obrotu wokół osi z o kąt α (i) M mcierz inwersji ) ( xz M σ mcierz odbici w płszczyźnie y

54 Reprezentcje grupy Reprezentcją grupy nzyw się zbiór mcierzy o wymirze n n przyporządkownych elementom grupy tk, żeby to przyporządkownie zchowywło dziłnie w grupie, tzn.: jeśli zchodzi b c to musi być spełnione M() M(b) M(c) Rząd mcierzy M nzyw się wymirem reprezentcji 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 54

55 Reprezentcje grupy Reprezentcji dnej grupy może być dowolnie dużo. Większość jednk z tych reprezentcji dje się, poprzez przeksztłcenie podobieństw którąś z wybrnych mcierzy dnej reprezentcji sprowdzić do postci blokowej z blokmi identycznych rozmirów dl kżdej z mcierzy: ' M M ' Poniewż mnożenie mcierzy zblokownych poleg n niezleżnym mnożeniu bloków, sme bloki ( wiec mcierze o mniejszym wymirze niż mcierze wyjściowej reprezentcji) też stnowią dobre reprezentcje. Reprezentcje sprowdzlne w powyższy sposób do postci blokowej nzywją się przywiedlne lub redukowlne M '... ' M n 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 55

56 Reprezentcje nieprzywiedlne Jeśli przeksztłcenie przez podobieństwo żdną z mcierzy nleżącą do grupy nie sprowdz jednocześnie wszystkich mcierzy do postci blokowej z identycznym rozmirem bloków, to tk reprezentcj nzyw się nieprzywiedln lub nieredukowln. Reprezentcji nieprzywiedlnych dnej grupy jest tyle, ile kls w grupie np. grup C v musi mieć reprezentcje nieprzywiedlne. Jeśli grup m n elementów (jest rzędu n), zś k i jest wymirem i-tej reprezentcji nieprzywiedlnej, to: k i i n poniewż grup C v m reprezentcje nieprzywiedlne i 6 elementów, to nie m innej możliwości niż reprezentcje - wymirowe i jedn -wymirow: Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 56

57 Reprezentcje nieprzywiedlne Reprezentcje nieprzywiedlne grupy C v E P. Kowlczyk, Fizyk cząsteczek 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 57

58 Chrktery reprezentcji Chrktery reprezentcji to śldy mcierzy reprezentcji Dl wszystkich wzjemnie sprzężonych elementów grupy chrktery są tkie sme (tzn. dl wszystkich elementów dnej klsy) Chrktery wszystkich mcierzy I, A, B, dnej reprezentcji Γ tworzą wektor chrkterów reprezentcji: χ( Γ) χ( I) χ( A) χ( B) Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 58

59 Chrktery reprezentcji Włsności wektorów chrkterów reprezentcji. Dl kżdej reprezentcji nieprzywiedlnej (i tylko dl nieprzywiedlnej) Γ kwdrt długości wektor chrkterów tej reprezentcji jest równy rzędowi grupy, n: χ( Γ) n. Wektory chrkterów dwóch różnych reprezentcji nieprzywiedlnych są ortogonlne χ( Γ ) χ( Γ ) użyteczne kryterium nieprzywiedlności reprezentcji!!! 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 59

60 Chrktery reprezentcji. Wśród reprezentcji nieprzywiedlnych zwsze istnieje jednowymirow reprezentcj jednostkow, dl której wektor chrkterów złożony jest z smych jedynek (njczęściej nzywn jest on reprezentcją A ) 4. Rozkłdu reprezentcji przywiedlnej ϒ n nieprzywiedlne Γ i możn dokonć poprzez rozkłd wektor chrkterów reprezentcji przywiedlnej ϒ n wektory chrkterów reprezentcji nieprzywiedlnych Γ i : χ( ϒ) α i χ( Γi ) i α i określ ile rzy w blokowej postci ϒ wystąpi blok mcierzy reprezentcji Γ i 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 6

61 Chrktery reprezentcji Tbel chrkterów reprezentcji nieprzywiedlnych grupy C v lub krócej: 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 6

62 Teori grup mechnik kwntow Równnie Schrödinger opisujące dny ukłd fizyczny jest niezmiennicze względem opercji symetrii tego ukłdu. Tk więc dziłnie tych opercji symetrii nie może zmienić energii ukłdu (nie wyprowdz poz dny poziom energetyczny) Funkcje flowe związne z dnym poziomem energetycznym ukłdu przy opercjch symetrii przechodzą nwzjem n siebie, czyli wyznczją pewną reprezentcję (nieprzywiedlną!) grupy symetrii ukłdu. Wymir reprezentcji określ liczbę różnych funkcji flowych o tej smej energii, więc degenercję stnu. Brdzo często stny nzyw się nzwmi nieprzywiedlnych reprezentcji, według których trnsformują się ich funkcje flowe Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 6

63 Teori grup mechnik kwntow Teori grup pozwl np.:. przewidzieć zerownie się elementów mcierzowych opertorów z funkcjmi flowymi różnych stnów ( więc znleźć np. reguły wyboru przejść optycznych). przewidzieć schemt rozszczepień stnów zdegenerownych pod wpływem zburzeni obniżjącego symetrię hmiltoninu 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 6

64 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 64

65 Trnsformcj pól E i V B Pol U U, { E, B} { E ', B ' } ' ' E E E γ ( E + v B) ' ' B B B γ ( B v E) c E i B nie mją chrkteru uniwerslnego zleżą od ukłdu odniesieni! 7--8 Fizyk mterii skondensownej i struktur półprzewodnikowych - wykłd 65