Wykład III. Teoria pasmowa ciał stałych

Transkrypt

1 Wykład III Teoria pasmowa ciał stałych

2 Energia elektronu (ev) Powstawanie pasm w krysztale sodu pasmo walencyjne (zapełnione częściowo) Konfiguracja w izolowanym atomie Na: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 1 Ne Położenie równowagowe Odległość między atomami

3 Energia elektronu (ev) Powstawanie pasm w krysztale diamentu pasmo przewodnictwa (puste) Konfiguracja w izolowanym atomie C: 1s 2 2s 2 2p 2 pasmo walencyjne (pełne) Położenie równowagowe Odległość między atomami

4 -Każdy atom ma dwa stany1s dwa 2s, 6 stanów 2p, dwa 3s, 6 stanów 3p i wyższe Konfiguracja w izolowanym atomie Si: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 2 -Dla N atomów dostępnych jest 2N stanów 1s, 2N stanów 2s, 6N stanów 2p, 2N stanów 3s i 6N stanów 3p Po zbliżeniu atomów największemu rozszczepieniu ulegają stany 3s i 3p. Stany te mieszają się dając 8N stanów. Przy odległości równowagowej, pasmo to rozszczepia się na dwa pasma oddzielone przerwą E g. Górne pasmo przewodnictwa - zawiera 4N stanów i dolne walencyjne - też 4N stanów. W Si 4 podpasma łączą się w pasmo walencyjne

5 Metale, izolatory, półprzewodniki Zbliżenie atomów w krysztale prowadzi do rozszczepienia poziomów energetycznych Rozszczepione poziomy grupują się w pasma a) i b) - metale, c) Półprzewodnik (przerwa wzbr. 1eVumownie) d) izolator

6 Metale, izolatory, półprzewodniki metale półprzewodnik izolator To podejście tłumaczy: małą oporność metali w niskiej T (brak przerwy wzbronionej: stany wolne znajdują się w sąsiedztwie stanów zajętych elektronami); większą oporność półprzewodników i największą - izolatorów (im większa E g, tym mniejsze prawdopodobieństwo, że elektron znajdzie się w pasmie przewodnictwa); E g p~e kt k = J/K wykładniczy spadek oporności półprzewodników ze wzrostem temperatury (im wyższa temperatura, tym większe prawdopodobieństwo, że elektron znajdzie się w pasmie przewodnictwa).

7 Krawędź absorpcji To podejście tłumaczy również występowanie krawędzi absorpcji w półprzewodnikach i izolatorach (tylko fotony o energii większej od E g zostaną zaabsorbowane): h = Js c = m/s CdS

8 Elektronovolt (ev) Bardzo użyteczna jednostka energii w fizyce ciała stałego 1eV to energia potrzebna do przeniesienia elektronu w polu elektrycznym między punktami o różnicy potencjałów równej 1V Aby zamienić 1eV na 1J korzystamy z równania: 1eV = C V = J Aby obliczyć jakiej długości fali λ odpowiada foton o energii E, wyrażonej w ev, korzystamy z równania: λ(μm) = E(eV) λ(nm) = 1240 E(eV)

9 Kłopoty To podejście nie jest wystarczające aby wyjaśnić, dlaczego trudno jest wykonać diodę świecącą z krzemu. Problem rozwiązuje uwzględnienie periodyczności sieci krystalicznej.

10 2 atomy Na izolowane

11 Atomy w krysztale sodu Periodyczna sieć w krysztale

12 Periodyczność sieci i dozwolone pasma energii Izolowane atomy mają dyskretne dozwolone poziomy energetyczne Periodyczność sieci w ciele stałym prowadzi również do pojawienia się pasm energetycznych oddzielonych obszarami wzbronionymi

13 Twierdzenie Blocha W krysztale funkcje falowe będące rozwiązaniem równania Schrödingera z potencjałem periodycznym U(r) są iloczynem zespolonej fali płaskiej e i(k r) (odpowiadającej swobodnemu elektronowi) i funkcji periodycznej u n,k (r) (n liczba całkowita). i ( r) e kr u ( r) nk nk

14 Niejednoznaczność wektora k Funkcje Blocha posiadają dziwną własność: zarówno same funkcje jak i odpowiadające im wartości własne energii E obliczone dla k oraz k+g są identyczne: E n ( r) ( r) n. k n. kg ( k) E ( k G) gdzie G jest wektorem sieci odwrotnej: G n1b 1 n2b2 n3b 3 a a a a a a b1 2 b 2 b 2 a a a a a a a a a n n 1,n 2 i n 3 liczby całkowite, a i są wektorami podstawowymi sieci krystalicznej, b i są wektorami podstawowymi sieci odwrotnej. Węzły sieci odwrotnej są wyznaczone przez zbiór wektorów G

15 Sieć odwrotna Sieć odwrotna to zbiór wektorów falowych dla których odpowiednie fale płaskie mają okresowość sieci krystalicznej: gdzie T wektor translacji G T=2n lub cos(g T)=1 Dla sieci 1D, w której odległość między atomami wynosi a: G=2/a

16 Periodyczność E(k) E n ( k) E ( k G) n Ze względu na tę periodyczność, wystarczy ograniczyć się do obszaru od π a do + π, czyli do tzw. I-szej strefy Brillouina a

17 I strefa Brillouina dla sieci regularnej fcc Komórka elementarna sieci fcc I strefa Brillouina dla sieci fcc

18 E(k) (relacja dyspersji) Jak wcześniej wspomniano, ze względu na periodyczność E(k), wystarczy ograniczyć się do obszaru tzw. I-szej strefy Brillouina. W większości półprzewodników pasmo przewodnictwa i pasmo walencyjne w pobliżu swoich krawędzi mają postać jak na rysunku obok. Z całej zależności E(k) wycinamy obszar zaznaczony na górnym rys. na czerwono

19 Półprzewodniki z prostą i skośną przerwą wzbronioną Przerwa prosta Przerwa skośna

20 E(k) dla Si i GaAs E(k) dla Si (skośna przerwa) i GaAs (prosta przerwa)

21 E F E F Puste pasmo Przerwa wzbr. Pełne pasmo Częściowo pełne pasmo Przerwa wzbr. Częściowo pełne pasmo Częściowo pełne p. Pełne pasmo IZOLATOR METAL METAL lub półprzewodnik lub półmetal

22 Koncepcja dziury Elektron opisany funkcją Blocha jest naładowaną cząstką biegnącą przez kryształ. W obrazie klasycznym reprezentuje prąd elektryczny. W paśmie całkowicie zapełnionym każdemu elektronowi o wektorze falowym k towarzyszy elektron z -k i odpowiednie przyczynki do prądu znoszą się. J ( e) Vi 0 Jeśli zabierzemy jeden elektron, to wytworzymy dziurę, ale prąd będzie wówczas różny od zera: J ( e) Vi ( e) Ve eve i 0 N i Taki sam prąd wytworzymy jeśli do całkowicie zapełnionego pasma wprowadzimy dziurę o nieznanym ładunku q h i nieznanej prędkości v h J ( e) Vi qhvh qhvh i 0

23 Pojęcie i właściwości dziury J ( e) V ( e) V ev i 0 i e e J ( e) Vi qhvh qhvh i 0 qh e v = v h e Przyspieszenie brakującego elektronu i dziury są takie same: a e ee ee m m * * e h a h m m * * h e

24 Masa efektywna Dla elektronu swobodnego: E p k 2m 2m de dk 2 k m de 2 dk 2 2 m m de 2 dk Dla elektronu w sieci krystalicznej: m Dla dziury w sieci krystalicznej (w pasmie walencyjnym): 2 1 * 2 de e 2 dk E h -E h e e m m * * h e k = - k Ponieważ p = m v = ħk v h v e

25 Relacja E(k) decyduje o masie efektywnej! Masa efektywna elektronów w punkcie w GaAs w pasmie przewodnictwa jest mała (duża krzywizna, pochodna duża i m e * mała) w porównaniu do masy efektywnej dziur w punkcie (mała krzywizna, pochodna 2 d E 2 dk mała i m h * duża) 2 d E 2 dk m e * de 2 dk Elektrony przy wierzchołku pasma walencyjnego mają masę efektywną ujemną. Dziury dodatnią.

26 Prawdziwe (m e, m h ) i efektywne masy (m e *, m h *) - masy efektywne są różne dla różnych półprzewodników - prawdziwe równe masie elektronu swobodnego - dlaczego? dp/dt =d(mv)/dt = F : II zasada dynamiki Newtona! F = F wewn + F zewn F zewn = siła zewnętrzna F wewn = siła wynikająca z istnienia potencjału periodycznego; to oddziaływanie prowadzi do zależności E(k), z której z kolei wynika masa efektywna, m e *. dp/dt =d(m e * v)/dt = F zewn Zatem elektron zachowuje się w polu siły zewnętrznej, tak jakby miał nową masę, m e *.

27 Półprzewodnik w polu elektrycznym dep F dx dv e ( x) ( e) dx + - dv ( x) dx ( x) const c V cx E p cex