S. Baran - Podstawy fizyki materii skondensowanej Pasma energetyczne. Pasma energetyczne

Transkrypt

1 Pasma energetyczne

2 Niedostatki modelu gazu Fermiego elektronów swobodnych Pomimo wielu sukcesów model nie jest w stanie wyjaśnić następujących zagadnień: 1. różnica między metalami, półmetalami, półprzewodnikami i izolatorami 2. występowanie dodatnich wartości współczynnika Halla 3. pewne własności transportowe (np. ciężkie fermiony), w szczególności magnetotransportowe (np. magnetoopór) Przewodniki (metale, półmetale), a półprzewodniki i izolatory Wartości elektrycznego oporu właściwego w temperaturze pokojowej obejmują wiele rzędów wielkości: od 10-8 Ωm (np Ωm dla Ag) aż do 1024 Ωm (np. teflon). Materiały można podzielić na metale, półmetale, półprzewodniki i izolatory biorąc jako kryterium wartość oporu właściwego. Taki podział wymaga jednak arbitralnego przyjęcia wartości oporu rozgraniczających poszczególne klasy materiałów. Alternatywnym kryterium podziału może być zależność oporu od temperatury. W przypadku przewodników opór rośnie wraz z temperaturą (wyjaśnić to można na bazie modelu gazu Fermiego elektronów swobodnych czy klasycznego modelu Drudego). W półprzewodnikach i izolatorach opór maleje z temperaturą. Jak zostanie to wykazane w dalszej części wykładu zależność oporu elektrycznego od temperatury wiąże się ściśle z zapełnieniem pasm energetycznych w stanie podstawowym (0 K). W półprzewodnikach (izolatorach) w temperaturze zera bezwzględnego pasmo walencyjne (tworzone przez e- walencyjne) jest całkowicie obsadzone. Powyżej pasma walencyjnego znajduje się obszar energii, w którym brak jest stanów elektronowych zwany przerwą energetyczną (przerwą wzbronioną). Sąsiadujące z nią od strony wyższych energii pasmo przewodnictwa jest całkowicie puste (brak nośników prądu). W przewodnikach pasmo przewodnictwa (będące w tym przypadku zarazem pasmem walencyjnym) jest wypełnione częściowo dzięki czemu e- mogą obsadzać wolne stany co może doprowadzić do pojawienia się niezerowego wypadkowego pędu e- dającego transport ładunku elektrycznego (przepływ prądu elektrycznego).

3 Pasma energetyczne źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 7, rys. 1, str. 197

4 Pasma energetyczne jako konsekwencja zakazu Pauliego źródło: H. Ibach, H. Lüth, Fizyka..., rys. 1.1, str. 15

5 Model prawie swobodnych elektronów (ruch e- jest słabo zaburzony przez periodyczny potencjał dodatnich jonów) źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 7, rys. 3, str. 200

6 Model prawie swobodnych elektronów (ruch e- jest słabo zaburzony przez periodyczny potencjał dodatnich jonów) źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 7, rys. 2, str. 199

7 Twierdzenie Blocha Funkcje własne równania Schrödingera dla potencjału periodycznego są iloczynem funkcji ik r opisującej falę płaską e i funkcji uk(r) o periodyczności sieci kryształu. Ψk(r) = uk(r) eik r gdzie uk(r) = uk(r + T) T wektor translacji sieciowej

8 Funkcja Blocha Funkcja Blocha zawierająca składową opisaną wektorem falowym k zawiera również składowe opisane wektorami k + G, gdzie G jest wektorem sieci odwrotnej. Odpowiednie współczynniki są powiązane równaniem: (λk - ε)ck + ΣGUGCk-G = 0, gdzie λk = ħ2k2/2m źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 7, rys. 7, str. 206

9 Funkcja Blocha kwazipęd elektronu w krysztale Sens fizyczny wektora falowego k, używanego do indeksowania funkcji Blocha 1. W zderzeniach e- z fononem wielkość ħk nazywana jest kwazipędem lub pędem krystalicznym e- ponieważ w zderzeniu musi być spełniona reguła wyboru: k + q = k' + G gdzie k i k' są kwazipędem e odpowiednio przed i po zderzeniu, q kwazipędem fononu, a G wektorem sieci odwrotnej. Dobierając odpowiednio G można sprowadzić k, k', q do wybranych stref Brillouina Działanie operatora translacji sieciowej T T(Ψk(r)) = Ψk(r + T) = uk(r + T) eik Teik r = eik Tuk(r) eik r = eik T Ψk(r) T(Ψk-G(r)) = ei(k-g) T Ψk-G(r) =e-ig Teik T Ψk-G(r) = eik T Ψk-G(r) (we wzorach powyższych skorzystano z własności f. Blocha: uk(r) = uk(r + T) ) 3. Gdy znika potencjał sieci, równanie (λk - ε)ck + ΣGUGCk-G = 0 redukuje się do (λk - ε)ck = 0. Oznacza to, że w funkcji Blocha opisanej wektorem falowym k nie występują już składniki z wektorami falowymi różniącymi się od k o wektor sieci odwrotnej G. Wtedy uk(r) = ΣGCk-Ge-ik G = Cke-ik 0 = Ck = const ponieważ Ck-G = 0 dla G 0. Funkcja falowa przyjmuje postać fali płaskiej: Ψk(r) = eik r jak ma to miejsce dla e- swobodnego.

10 Przybliżenie pustej sieci Strefa zredukowana w przybliżeniu pustej sieci dla sieci regularnej źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 7, rys. 8, str. 212

11 Relacja dyspersji w pobliżu granicy strefy Brillouina w modelu prawie swobodnych elektronów źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 7, rys. 9, str. 214

12 Stosunek współczynników Ck i Ck-G w pobliżu granicy strefy Brillouina w modelu prawie swobodnych elektronów źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 7, rys. 10, str. 215

13 Metale i izolatory Kryształ składający się z N prymitywnych komórek elementarnych ma 2N stanów elektronowych w każdym paśmie. Warunkiem koniecznym, aby kryształ był izolatorem jest całkowita i parzysta liczba elektronów walencyjnych na prymitywną komórkę elementarną. Nie jest to jednak warunek wystarczający ponieważ pasma energetyczne mogą się przekrywać w skali energii dając w rezultacie zamiast jednego pasma całkowicie zapełnionego dwa (lub więcej) pasm zapełnionych częściowo. Tak jest np. w berylowcach, które są metalami pomimo tego, że na prymitywną komórkę elementarną przypadają dwa elektrony walencyjne. źródło: na podstawie Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 7, rys. 11, str. 216