WŠASNO CI PROJEKCJI MINIMALNYCH

UNIWERSYTET JAGIELLO SKI WYDZIAŠ MATEMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT MATEMATYKI WŠASNO CI PROJEKCJI MINIMALNYCH DOMINIK MIELCZAREK Praca doktorska napisana pod kierunkiem prof. dr hab. Grzegorza Lewickiego Kraków 2008

PODZI KOWANIA Szczególne podzi kowania skªadam mojej»onie Joannie, która podtrzymywaªa mnie na duchu w czasie pisania tej pracy. Jej pomoc duchowa i wiara we mnie przyczyniªa si w znacznym stopniu do napisania tej pracy. Dzi kuj równie» mojemu promotorowi prof. dr hab. Grzegorzowi Lewickiemu za cenne uwagi i zaproponowanie bardzo ciekawych problemów, których rozwi zanie stanowi niniejsza praca. 1

Spis tre±ci 1 Wst p 3 2

1 Wst p Oznaczmy przez P(X, Y ) zbiór wszystkich liniowych i ci gªych projekcji z przestrzeni unormowanej (X, ) na jej podprzestrze«y tzn. P(X, Y ) = { P B(X, Y ) : P Y = Id Y }, gdzie B(X, Y ) jest przestrzeni odwzorowa«liniowych i ci gªych prowadz - cych z X do Y. Powiemy,»e odwzorowanie P : X Y jest projekcj z X na Y wtedy i tylko wtedy, gdy P P(X, Y ). Aby nie byªo w tpliwo±ci, w caªej tej pracy zakªadamy,»e ka»dy operator jest liniowy. Staª równ λ(x, Y ) = inf { P : P P(X, Y )}, nazywamy relatywn staª projekcji. Projekcj P 0 P(X, Y ) nazywamy minimaln, je±li P 0 = λ(x, Y ). Analogicznie, projekcj P 0 P(X, Y ) nazywamy kominimaln, je±li Id P 0 = inf { Id P : P P(X, Y ) }. Istniej przestrzenie dla których zbiór P(X, Y ) jest zbiorem pustym. Tak jest na przykªad w przypadku, gdy X jest przestrzeni ci gów ograniczonych z norm supremum, natomiast Y to podprzestrze«x zªo»ona z ci gów zbie»nych do zera [42]. Je±li jednak istnieje projekcja z przestrzeni X na Y, to przestrze«y nazywamy uzupeªnialn. Dla pewnych podprzestrzeni wiadomo,»e zbiór P(X, Y ) jest niepusty. Zachodzi bowiem nast puj ce Twierdzenie 1.1 [43]. Niech X b dzie przestrzeni unormowan, a Y jej podprzestrzeni. Je»eli wymiar lub kowymiar przestrzeni Y jest sko«czony, to istnieje projekcja z przestrzeni X na podprzestrze«y. Zachodzi równie» nast puj ce Twierdzenie 1.2 [43]. Niech X b dzie przestrzeni unormowan, a Y jej podprzestrzeni o kowymiarze sko«czonym. Wtedy zachodzi nierówno± λ(x, Y ) codimy + 1. 3

W przypadku gdy kowymiar Y jest sko«czony, to wiadomo równie» jaka jest posta dowolnej projekcji ze zbioru P(X, Y ). Twierdzenie 1.3 [43]. Niech Y b dzie podprzestrzeni przestrzeni Banacha X. Ponadto niech kowymiar Y b dzie równy k oraz Y = k i=1 kerf i, gdzie funkcjonaªy f 1,..., f k z X s liniowo niezale»ne. Wtedy operator P jest projekcj z X na Y wtedy i tylko wtedy, gdy istniej y 1,..., y k X speªniaj ce warunki f i (y j ) = δ ij dla i, j = 1,..., k i takie,»e P ( ) = Id( ) k f i ( )y i. Odnotujmy,»e projekcje minimalne s zwi zane w pewnym sensie z twierdzeniem Hahna-Banacha, poniewa» w przypadku projekcji z X na Y szukamy rozszerzenia operatora Id: Y Y na X o mo»liwie najmniejszej normie, a takim rozszerzeniem jest dowolna projekcja minimalna. Minimalno± projekcji jest ±ci±le zwi zana z nast puj c nierówno±ci Lebesgue'a x P x Id P dist(x, Y ) (1 + P )dist(x, Y ), która zachodzi dla dowolnej projekcji P P(X, Y ) i dla dowolnego x X. Nierówno± ta daje oszacowanie aproksymacji dowolnego elementu x X przez element P x Y. Wida,»e ta aproksymacja jest lepsza dla projekcji P o maªej normie. Za pocz tek teorii projekcji minimalnych mo»na uzna twierdzenie o minimalno±ci projekcji Fouriera. Twierdzenie 1.4 [11]. Niech Y n oznacza podprzestrze«wielomianów trygonometrycznych stopnia co najwy»ej n. Wtedy klasyczna projekcja Fouriera z przestrzeni C(2π) na Y n jest minimalna. Bardzo wa»nym poj ciem jest jedyno± projekcji minimalnej. Projekcj minimaln P 0 P(X, Y ) nazywamy jedyn, je±li jest jedyn projekcj minimaln. Przez wiele lat problem czy klasyczna projekcja Fouriera jest jedyna, byª nierozwi zany. Udaªo si go rozwi za dopiero 20 lat po opublikowaniu pracy [11]. Twierdzenie 1.5 [15]. Klasyczna projekcja Fouriera z przestrzeni C(2π) na podprzestrze«y n jest jedyna. 4 i=1

Oczywi±cie, projekcja minimalna nie zawsze istnieje. Jednak dla pewnych przestrzeni wiemy,»e projekcje minimalne istniej. Zachodzi bowiem nast puj ce Twierdzenie 1.6 [17]. Niech Y b dzie podprzestrzeni przestrzeni Banacha X. Je±li zbiór P(X, Y ) jest niepusty i przestrze«y jest izomorczna z przestrzeni dualn do pewnej przestrzeni Banacha Z, to istnieje projekcja minimalna z X na Y. Niestety twierdzenie 1.6, a raczej jego dowód, jest zupeªnie niekonstruktywny. W pewnych jednak przypadkach mo»na konstruktywnie wyznaczy projekcj minimaln. Przypomnimy podstawowe poj cia zwi zane z dziaªaniem grupy na zbiorze. Niech X b dzie przestrzeni Banacha, a G zwart grup topologiczn. Powiemy,»e grupa G dziaªa jako grupa operatorów na przestrzeni X, je±li ka»demu elementowi g G odpowiada ci gªy operator A g : X X o wªasno±ciach: A e = Id, A xy = A x A y, dla dowolnych x, y G. Operator A g w skrócie oznaczamy przez g. Dodatkowo zakªadamy,»e dla ustalonego x X funkcja A g (x) jest ci gªa ze wzgl du na zmienn g. Powiemy,»e podprzestrze«y przestrzeni X jest niezmiennicza wzgl dem G je±li A g (Y ) Y, dla dowolnego g G. Mówimy,»e projekcja P P(X, Y ) jest przemienna z grup G wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego g G zachodzi A g P = P A g. Wtedy zachodzi nast puj ce twierdzenie Rudina Twierdzenie 1.7 [37]. Niech zwarta grupa topologiczna G dziaªa jako grupa operatorów na przestrzeni Banacha X. Zaªó»my,»e podprzestrze«y przestrzeni X jest niezmiennicza wzgl dem grupy G. Wtedy, je±li istnieje projekcja z przestrzeni X na Y, to dla ka»dego ε > 0 istnieje projekcja Q, która jest przemienna z grup G i taka,»e Q (λ(x, Y ) + ε) sup g 2. g G 5

Dla dowolnej ustalonej projekcji P P(X, Y ) o wªasno±ci P λ(x, Y )+ε szukana projekcja Q jest zdeniowana wzorem Q(x) = G gp g 1 (x)dg, dla x X. Symbol dg oznacza probabilistyczn miar Haara na grupie G. W szczególno±ci, je±li dla ka»dego elementu g G operatory A g s izometriami, wtedy zachodzi nast puj ce Twierdzenie 1.8 Niech zwarta grupa topologiczna G dziaªa jako grupa operatorów na przestrzeni Banacha X. Zaªó»my,»e podprzestrze«y przestrzeni X jest niezmiennicza wzgl dem grupy G. Ponadto niech dla ka»dego g G operator A g b dzie izometri na X. Wtedy, je±li istnieje dokªadnie jedna projekcja P P(X, Y ) przemienna z grup G, to projekcja ta jest minimalna i kominimalna. Powy»sze rozumowanie nie implikuje,»e projekcja ta jest jedyna. Mo»e si bowiem zdarzy,»e istnieje wiele projekcji nieprzemiennych z grup G o minimalnej normie. Twierdzenie 1.8 wyrosªo z dowodu twierdzenia o minimalno±ci projekcji Fouriera, przypadek ten byª jego pierwszym zastosowaniem. Przejd¹my teraz do twierdze«dotycz cych jedyno±ci projekcji. Dla dowolnej przestrzeni unormowanej X przez S(X) oznaczamy sfer jednostkow a przez B(X) domkni t kul jednostkow. Przestrze«unormowan (X, ) nazywamy gªadk wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego punktu x S(X) istnieje dokªadnie jeden funkcjonaª f x S(X ) taki,»e f x (x) = x. Punktem ekstremalnym zbioru K nazywamy ka»dy punkt ze zbioru K, nie b d cy ±rodkiem»adnego odcinka o ko«cach b d cych dwoma ró»nymi punktami zbioru K. Zbiór punktów ekstremalnych zbioru K oznaczamy przez extk. Zachodzi znane twierdzenie Twierdzenie 1.9 [27]. Niech X b dzie gªadk przestrzeni Banacha a Y dowoln jej podprzestrzeni. Wtedy je±li istnieje projekcja z X na Y o normie równej jeden, to projekcja ta jest jedyna. Podprzestrze«Y przestrzeni unormowanej X nazwiemy sªabo oddzielaj c, je»eli ka»dy punkt ekstremalny sfery jednostkowej S(Y ) ma jedyne rozszerzenie do punktu ze sfery jednostkowej S(X ). 6

Twierdzenie 1.10 [12]. Niech Y b dzie sªabo oddzielaj c podprzestrzeni przestrzeni unormowanej X. Wtedy je»eli istnieje projekcja z X na Y o normie równej jeden, to projekcja ta jest jedyna. Inne rezultaty dotycz ce problemów istnienia, jedyno±ci, oszacowania relatywnej staªej projekcji mo»na znale¹ w [1], [2], [4], [5], [8], [9], [13], [16], [18], [19], [21], [20], [22], [33], [35], [38]. Oznaczmy przez z norm B(X) = { T : X X : T jest liniowy i ci gªy }, A = sup Ax, x =1 dla A B(X). Operator A B(X) jest zwarty, je±li domkni cie zbioru A (B (X)) jest zwarte w X. Oznaczmy przez z norm K(X) = { T B(X) : T jest zwarty }, A = sup Ax, x =1 dla A K(X). Przejd¹my teraz do omówienia gªównych wyników pracy. Praca ta skªada si z sze±ciu rozdziaªów. W drugim rozdziale pracy w lemacie?? podana zostaªa ogólna posta projekcji na pewne podprzestrzenie o kowymiarze niesko«czonym. Korzystaj c z lematu?? w podrozdziale drugim zostaªa wyznaczona projekcja minimalna i norma tej projekcji z przestrzeni funkcji ci gªych na odcinku [0, 1] na podprzestrze«y funkcji, które zeruj si na ci gu {x n } n=1 [0, 1] monotonicznie zbie»nym do jedno±ci (twierdzenia??,??,??,??). Gªównymi twierdzeniami w tej pracy s nast puj ce Twierdzenie 1.11 [30]. Niech H b dzie o±rodkow i rzeczywist przestrzeni Hilberta. Wtedy istnieje dokªadnie jedna projekcja P a P (K(H), Y ) o normie równej jeden, gdzie Y = { A K(H) : A = A T }. 7

Projekcja ta wyra»a si wzorem P a (A) = A + AT 2 dla dowolnego operatora A ze zbioru K(H), oczywi±cie A T oznacza operator sprz»ony do A. Projekcj P a nazywamy projekcj u±redniania. Dowód tego twierdzenia skªada si z dwóch cz ±ci. Pierwsza cz ± to twierdzenie?? dotycz ce przypadku, gdy H jest niesko«czenie wymiarow, rzeczywist i o±rodkow przestrzeni Hilberta. Druga cz ± to twierdzenie?? dotycz ce przypadku, gdy H jest rzeczywist, sko«czenie wymiarow przestrzeni Hilberta. Twierdzenie 1.12 Niech H b dzie o±rodkow, rzeczywist przestrzeni Hilberta. Niech Q P (U(H), Y 1 ) b dzie dowoln projekcj o normie równej jeden, gdzie U(H) = { A B(H) : A A T jest zwarty }, Wtedy Q wyra»a si wzorem Y 1 = { A B(H) : A = A T }., dla A U(H). Q(A) = A + AT 2, W rozdziale czwartym koncentrujemy si na przestrzeni macierzy kwadratowych z norm generowan przez norm symetryczn. Bardziej szczegóªowo, niech X n = {A: R n R n : A jest liniowe}, Y n = { A X n : A = A T }. Po ustaleniu w przestrzeni R n bazy kanonicznej, ka»dy element z przestrzeni X n jest macierz kwadratow o wymiarze n. Powiemy,»e norma na przestrzeni R n jest symetryczna, je±li speªnia warunek n n a i e i = ε i a σ(i) e i, i=1 8 i=1

dla dowolnych a i R, dowolnej permutacji σ zbioru {1,..., n}, dowolnych ε i { 1, 1}. Oczywi±cie, e i, to i-ty wektor bazy kanonicznej w przestrzeni R n. Powiemy,»e norma na przestrzeni X n jest generowana przez norm symetryczn na przestrzeni R n wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje norma 0 symetryczna na przestrzeni R n i taka,»e A = sup Ax 0, x 0 =1 dla dowolnej macierzy A X n. Gªównym rezultatem w rozdziale czwartym jest nast puj ce Twierdzenie 1.13 [31]. Je±li w przestrzeni unormowanej (X n, ) norma macierzy jest generowana przez norm symetryczn na przestrzeni R n, to projekcja u±redniania P a P(X n, Y n ) okre±lona wzorem P a (A) = A + AT 2 dla A X n, jest projekcj minimaln. W rozdziale tym zostaªa wyliczona norma projekcji u±redniania w przypadku normy macierzy generowanej przez normy 1, (twierdzenie??, twierdzenie??). Wykazano równie»,»e je±li norma macierzy nie jest generowana przez norm symetryczn, to projekcja u±redniania nie jest minimalna (twierdzenie??). Wyniki rozdziaªu trzeciego zostaªy opublikowane w [30]. Natomiast wyniki z rozdziaªu czwartego opublikowano w [31]., 9

Literatura [1] M. Baronti, P. Papini, Norm one projections onto subspaces of l p, Ann. Mat. Pura Appl. 152 (1988), 53-61. [2] J. Blatter, E. W. Cheney, Minimal projections onto hyperplanes in sequence spaces, Ann. Mat. Pura Appl. 101 (1974), 215-227. [3] H. F. Bohnenblust, Subspaces of l p,n -spaces, Amer. J. Math. 63 (1941), 64-72. [4] B. L. Chalmers, G. Lewicki, Symmetric spaces with maximal projections constants, J. Funct. Anal. 200 (1) (2003), 1-22. [5] B. L. Chalmers, G. Lewicki, Symmetric subspaces of L 1 with large projections constants, Studia Math. 134 (1999), 119-134. [6] B. L. Chalmers, D. Mupasiri and M. Prophet, A characterization and equations for shape-preserving projections, Journ. Approx. Th. vol. 138 (2006), 184-196. [7] B. L. Chalmers, F. T. Metcalf, The determination of minimal projections and extensions in L 1, Trans. Amer. Math. Soc. 329 (1992), 289-305. [8] E. W. Cheney, P. D. Morris, On the existence and characterization of minimal projections, J. Reine Angew. Math. 270 (1974), 61-76. [9] E. W. Cheney, W. A. Light, Approximation Theory in Tensor Product Spaces, Lectures Notes in Math. vol 1169, Springer-Verlag, Berlin (1985). [10] E. W. Cheney, C. R. Hobby, P. D. Morris, F. Schurer and D. E. Wulbert, On the minimal property of Fourier projection, Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), 51-52. [11] E. W. Cheney, C. R. Hobby, P. D. Morris, F. Schurer and D. E. Wulbert, On the minimal property of Fourier projection, Trans. Amer. Math. Soc. 143 (1969), 249-258. [12] E. W. Cheney, K. H. Price, Minimal projections in Approximation Theory, Proc. Symp. Lancaster, July 1969, London (1970), 249-258. Trans. Amer. Math. Soc. 143 (1969), 249-258. [13] H. B Cohen, F. E. Sullivan, Projections onto cycles in smooth, reexive Banach spaces, Pac. J. Math. 265 (1981), 235-246. 10

[14] H. S. Collins, W. Ruess, Weak compactness in spaces of compact operators and of vector-valued functions, Pac. J. Math. 106 (1983), 45-70. [15] S. D. Fisher, P.D. Morris, D.E. Wulbert, Unique minimality of Fourier projections, Trans. Amer. Math. Soc. 265 (1981), 235-246. [16] C. Franchetti, Projections onto hyperplanes in Banach spaces, J. Approx. Theory 38 (1983), 319-333. [17] J. R. Isbell, Z. Semadeni, Projections constants and spaces of continuous functions, Trans. Amer. Math. Soc. 107 no. 1 (1963), 38-48. [18] J. E. Jamison, A. Kaminska and G. Lewicki, One-complemented subspaces of Musielak-Orlicz sequence spaces, Journ. Approx. Th. vol. 130, (2004), 1-37. [19] H. Koenig, Spaces with large projections constants, Isreal J. Math. 50 (1985), 181-186. [20] H. Koenig, N. Tomczak-Jaegermann, Norms of minimal projections, J. Funct. Anal. 119 (1994), 253-280. [21] H. Koenig, N. Tomczak-Jaegermann, Bounds for projection constants and 1-summing norms, Trans. Amer. Math. Soc. 320 (1990), 799-823. [22] G. Lewicki, Best approximation in spaces of bounded linear operators, Dissertations Math. 330 (1994), 1-103. [23] G. Lewicki, On the unique minimality of the Fourier type-type extensions in L 1 space, in: "Proceedings Fifth Internat. Conf. On Function Spaces, Poznan 1998", Lect. Not. Pure and Applied Math. 213 (1998), 337-345. [24] G. Lewicki, G. Marino and P. Pietramala, Fourier-type minimal extensions in real L 1 -space, Rocky Mount.J.Math. 30 no.3 (2000), 1025-1037. [25] G. Lewicki, M. Prophet, Codimension-one minimal projections onto Haar subspaces, Journ. Approx. Th. vol. 127 (2004), 198-206. [26] G. Lewicki, M. Prophet, Minimal multi-convex projections, Studia Math. 178 (2007), 99-124. [27] G. Lewicki, L. Skrzypek, Chalmers-Metcalf operator and uniqueness of minimal projections, Journ. Aprox. Th. 148 (2007), 71-91. [28] P. V. Lambert, Minimum norm property of the Fourier projection in spaces of continuous function Bull. Soc. Math. Belg. 21 (1969), 359-369. 11

[29] P. V. Lambert, Minimum norm property of the Fourier projection in spaces of L 1 -spaces Bull. Soc. Math. Belg. 21 (1969), 370-391. [30] D. Mielczarek, The unique minimality of an averaging projection, Monatsch. Math. 154 (2008), 157-171. [31] D. Mielczarek, Minimal projections onto spaces of symmetric matrices, Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica 44 (2006), 69-82. [32] J. Musielak, Wst p do analizy funkcjonalnej, PWN (1989). [33] Wª. Odyniec, G. Lewicki, Minimal projections in Banach Spaces, in: Lectures Notes in Mathematics, Vol. 1449, Springer, Berlin, Heildelberg, New York, 1990. [34] R. Phelps, Lectures on Choquet's Theorem, in: D.Van Nistrand Company, Vol. 1449, Springer, New York 1996. [35] B. Randriannantoanina, One-complemented subspaces of real sequence spaces, Results Math. (33) (1998), 139-154. [36] S. Rolewicz, On minimal projections of the spaces L 1 ([0, 1]) on 1- codimensional subspace, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 34 (1996), 151-153. [37] W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN (2002). [38] L. Skrzypek, Uniqueness of minimal projections in smooth matrix spaces, J. Approx. Theory (107) (2000), 315-336. [39] L. Skrzypek, B. Shekhtman, Uniqueness of minimal projections onto two-dimensional subspaces, Studia Math. (168) (2005), 237-284. [40] L. Skrzypek, B. Shekhtman, Norming points and unique minimality of orthogonal projections, Abstract and Applied Analysis (2006), 1-17. [41] L. Skrzypek, On the uniqueness of norm-one projection in James-type spaces generated by lattice norms, East Journal an Approximations (6) (2000), 21-51. [42] A. Sobczyk, Projections of the space (m) on its subspace c 0, Bull. Amer. Math. Soc. 47 (1941), 938-947. [43] P. Wojtaszczyk, Banach Spaces For Analysts, Cambridge Univ. Press, 1991. 12