Elementy rchunku prwdopodoeństw f 0 f() - gęstość rozkłdu prwdopodoeństw X f d P< < = f( d ) F = f( tdt ) - dystryunt rozkłdu E( X) = tf( t) dt - wrtość średn D ( X) = E( X ) E( X) - wrncj = f () F () Rozkłd równomerny w przedzle ( 0), (, ) (, ) dl 0 f = 0 dl 0 EX = ; D ( X )= -3 - - 0 3 f ()
Rozkłd równomerny n przedzle [,] = α ( ) + o: d = α - y f () Olczne cłek metodą Monte Crlo metod prókown prostego y n f d = M ( ) ; N K K f (X) dx = n N V K 0 f M ( ) dl, M f () Przykłdowy lgorytm rndomze; N:=00000; nc:=0; for := to N do egn :=rndom*(-) + ; y:=rndom*m; f y<f() then Inc(nc); end; clk:=nc*m*(-)/n;
metod prókown średnej (smple men method) N ( ) f d= ( ) f f( ) N = Przykłdowy lgorytm rndomze; N:=00000; sum:=0; for := to N do egn :=rndom*(-) + ; sum:=sum + f(); end; clk:=sum*(-)/n; ogólny wzór n cłkowne welowymrowe f X) dφ( X) = f = N = N ( f ( X ) K K f (,,, ) dφ(,,, ) = f = N = N f (,,, K ) gdze: Φ (X) - dystryunt zmennej X: dφ ( X) = ϕ( X) dx np: dφ = d (-wym. rozkłd równomerny)
Metody generown lcz pseudolosowych o rozkłdze równomernym Genertory lnowe ( + ) X = X + X +... + X c mod m n+ n n k n k+ przykłdy k= Xn = Xn + c mod + m c m utor 3 7 + 0 35 Zelńsk (966) 69069 3 Mrsgl (97) 4069 0 3-49 L'Ecuyer (988) 68909604606 0 48 Fshmn (990) nne ogólne genertory lnowe (Mrsgl, 995): ( 3) 9 X = 76 X + 476 X + 776 X mod ( 5) n n n n X = X + X + X + c mod ( 69) n n n n 3 Genertory nelnowe ( n ) X = X + n+ X = n + n n + ( 0 ) mod mod m Echenuer-Lehn (986) Inne genertory - genertory Fonccego - genertory n rejestrch przesuwnych - genertory oprte n mnożenu z przenesenem... - genertory meszne m 35 3 Echenuer-Hermnn (993) Testy zgodnośc - EX ; D( X) ; momenty; χ ; testy welowymrowe, testy pr... - Rozkłdy punktów w kostce welowymrowej [,0] n : X X,..., X, X X,..., X,.... ( X X. (, d) (, 3 d+ ),,..., Xd), ( Xd+, Xd+,..., Xd),...
Wyrne testy genertorów lcz losowych Test ch-kwdrt Nech: F= 0, F=, = < < < < = - rozce zoru wrtośc X 0 k { } p = P < X <, =,, n - lcz tkch elementów X cągu X,, Xn spełnjących < X < Dl dużego n sttystyk k ( n np) χk = = np m rozkłd lsk rozkłdow ch-kwdrt o k- stopnch swoody. Dl p = / k mmy: k = k n n n χk = Podone z rozkłdm welowymrowym ( X X ),, m Test njmnejszej odległośc w prch Generujemy n punktów z kostk m wymrowej ( 0,) m. n Olczmy odległośc w metryce eukldesowej dl wszystkch ( ) pr pkt. Nech D ozncz njmnejszą z tych odległośc. zmenn losow m T = n D m rozkłd wykłdnczy ze średną / V m gdze V ozncz ojętość m-wymrowej kul jednostkowej. m Uwg. Genertory lnowe zwykle ne spełnją tego testu!
Generowne lcz pseudolosowych o rozkłdze dowolnym Metod odwrcn dystryunty Nech α m rozkłd równomerny n przedzle (0,) Def. X = F ( α ) o: P{ X } { α } { α } = P F = P F ( ) = F ( ) F = α = F ( α) f d= α =? Przykłd - funkcj trójkątn (,) A, 0 f = 0, 0, Przykłd - funkcj potęgow n A, 0 f = 0, 0, (,) Przykłd 3 - funkcj wykłdncz; λ > 0 λ Ae, 0 f = 0, < 0
Przykłd 4 - nejednorodny rozkłd wykłdnczy: f = λep ( t) dt, λ 0 0 0, < 0 f() t dt = α λ() tdt= ln( α) 0 λ() tdt= lnα 0 - równne n
Metod elmncj (von Neumnn, 95) Wrnt szczególny Nech f ( ) ędze gęstoścą nteresującego ns rozkłdu. d (, ) f < d, (, ) f = 0. Generujemy dwe zmenne losowe U U o rozkłdch równomernych U (, ) U ( 0, d ).. Jeżel U < f ( U), to przyjąć X = U ; w przecwnym przypdku prę U, U wyelmnowć powtórzyć olczen od p.. Zmenn X m rozkłd f ( ). Wrnt ogólny Wyermy tką gęstość prwdopodoeństw g, y generowne lcz losowych o tej gęstośc yło łtwe szyke orz wyznczmy stłą c > 0, tką, że (, ) f < cg g - gęstość domnując. Generujemy punkt losowy X o rozkłdze g orz lczę losową U o rozkłdze równomernym U ( 0,).. Powtrzmy generowne wg. p. dopók ne zostne spełnony wrunek kceptcj cug( X ) f ( X ) Zmenn X m rozkłd f ( ). Wyór optymlnej stłej: f c = sup g
Przykłd. Generowne rozkłdu normlnego przy użycu rozkłdu wykłdnczego N(0,). Ogólne: ( µ ) N ( µ, σ ): fµ, σ = ep < < σ π σ Metod:. Początkowo generujemy zmenną losową X o gęstośc: ep, 0 f = π 0, < 0 (dodtn połówk rozkłdu normlnego), przy użycu gęstośc domnującej: g = e dl > 0 - oznczmy go przez E(0,). Uwg: dl U (0,), zmenn ( ln( U )) m rozkłd wykłdnczy o gęstośc g. Stł c wynos f e c = sup = g π. Wyposżmy zmenną X w znk (+) lu (-) z prwdopoeństwem /. Algorytm: repet Generuj X o rozkłdze wykłdnczym E(0,) Generuj U o rozkłdze równomernym U(0,) untl e Ue X e X π π Generuj U o rozkłdze równomernym U(0,) f U 0.5 then X ( X) return X
Inne metody generown rozkłdu normlnego I. Metod odwrcn dystryunty (Odeh Evns, 974) Przylżene: F gu < u< ( u) = g( u) dl 0.5 u< 0 0 dl 0 0.5 gdze: Lt () gu = t, t= lnu Mt () 0 Lt = 0.3343088 + t+ 0.344088547t + 0.0043045t + 0.000045364048t 3 4 + M ( t) = 0.099348466060 + 0.58858570495t+ 0.530346366t + 0.0353775850t + 0.0038560700634t 3 4 II. Metod dekompozycj (Mrsgl Bry 964)
Symulcj Monte Crlo Wyór reprezentcj ukłdu Olczen dl procesu elementrnego Wyór stnu początkowego Repet Określene prwdopodoeństw zmny stnu Genercj zmennych losowych odpowdjącym wszystkm możlwym przejścom Relzcj untl konec Zps wynków Ukłd o odpowedz lnowej Ukłd o odpowedz nelnowej powtrzmy relzcje procesu dl N cząstek wynk sumujemy znjdujemy mnmlne N które dorze opsuje ukłd mkroskopowy olczen wykonujemy jednocześne dl N cząstek
. Symulcj Monte Crlo z czsem dyskretnym Wyór stnu początkowego t t 0 t Repet t t + t Określene prwdopodoeństw zmny stnu Genercj zmennych losowych odpowdjącym wszystkm możlwym przejścom w czse t Relzcj untl konec or t> t k Zps wynków. Symulcj Monte Crlo z czsem cągłym Wyór stnu początkowego t t 0 Repet Określene prwdopodoeństw zmny stnu Genercj czsów przejśc t dl kżdego procesu elementrnego P Wyór njkrótszego czsu tmn odpowdjącego P Relzcj perwszego przejśc P r t t + t mn untl konec or t> t k Zps wynków r
Typy procesów ze względu n zleżność rozkłdu prwdopodoeństw od hstor ukłdu (wyór chwl początkowej) Procesy nezleżne od hstor (procesy Mrkow) Procesy z pmęcą Przykłdy symulcj Monte Crlo z czsem dyskretnym (lnowe). Rozpd promenotwórczy. Ruchy Brown (łądzene przypdkowe - rndom wlk) Przykłdy symulcj Monte Crlo z czsem cągłym (lnowe). Rozpd promenotwórczy. Trnsport nośnków łdunku w mterle delektrycznym Przykłd symulcj Monte Crlo z czsem cągłym (nelnowy) Rekomncj promenst w delektrykch