ZESZYTY AUKOWE UIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO R 768 FIASE, RYKI FIASOWE, UBEZPIECZEIA R 63 2013 IWOA KOARZEWSKA Unwersytet Łódzk WYKORZYSTAIE SYMULACJI STOCHASTYCZEJ DO BADAIA WRAŻLIWOŚCI SKŁADU OPTYMALYCH PORTFELI AKCJI Streszczene W racy okazano wykorzystane symulacj stochastycznej do badana wrażlwośc otymalnych wag model ortfelowych w rzyadku nwestycj w akcje. Z elementam rocesu odejmowana decyzj nwestycyjnych wąże sę neewność. Dotyczy ona: założeń o łącznym rozkładze rawdoodobeństwa stó zwrotu; jakośc szacunków oczekwanych stó zwrotu, warancj kowarancj; wyboru kryterów ogranczeń modelu otymalzacyjnego. Przedmotem analzy są otymalne ortfele akcj sółek będących komonentam ndeksu mwig40. Pokazano wynk analz statystycznych dla tygodnowych stó zwrotu w latach 2009 2011 oraz wynk badana symulacyjnego rzerowadzonego w celu zbadana wrażlwośc struktury ortfel utworzonych według model: Markowtza, mnmalzacj warunkowej straty CVaR, Telsera, a także roonowanego modelu mnmalzującego udzał erwszej głównej składowej macerzy korelacj stó zwrotu w warancj ortfela. W badanu symulacyjnym wykorzystano metodę ozwalającą na zachowane struktury sły wsółzależnośc mędzy stoam zwrotu ze składowych ortfel bazującą na rozkładze macerzy korelacj według wartośc własnych. Przerowadzone badane symulacyjne ozwala ocenć wybrane modele ortfelowe od względem wrażlwośc uzyskwanych rozwązań składów ortfel oraz daje rekomendację dla nwestorów dla wyboru konkretnego modelu. Słowa kluczowe: symulacje stochastyczne, wrażlwość, analza ortfelowa
246 Iwona Konarzewska Wrowadzene Celowość dywersyfkacj ortfel nwestycyjnych jest nekwestonowanym wnoskem wyływającym z rac welu wybtnych ekonomstów, ocząwszy od Markowtza [1952], Share a [1964], Lntnera [1965]. Jest to wynk normatywny teor rynku efektywnego oraz modelu CAPM (Catal Asset Prcng Model). Otymalny skład ortfela może być ustalony rzy rzyjęcu kryterum otymalzacj, jak n. mnmalzacja warancj stoy zwrotu z ortfela (model MV mean-varance), oraz ogranczeń wynkających z mnmalnych wymagań nwestora odnośne do stoy zwrotu z nwestycj neujemnośc wag. Rozwązana otymalne model ortfelowych uzyskuje sę rzy rzyjęcu arametrów charakteryzujących oczekwane stoy zwrotu oraz elementy macerzy kowarancj. Oceny tych arametrów są obarczone neewnoścą wynkającą m.n. z doboru okna czasowego dla róby statystycznej, a także możlwą nestacjonarnoścą rocesów stochastycznych generujących stoy zwrotu. Problem odnoszony w nnejszej racy to wrażlwość wartośc otymalnych wag. Zwracają na nego uwagę, w rzyadku model tyu MV, n. Best, Grauer [1991a; 1991b], Chora, Zemba [1993]. Konkretne z ch rac wynka, że rozwązana bardzo slne reagują na błędy szacunku lub rognoz arametrów; dotyczy to zwłaszcza ocen oczekwanych stó zwrotu. Wększą wrażlwość zaobserwowano, gdy w modelu wymaga sę neujemnośc wag. Gdy nwestor ne dysonuje recyzyjnym rognozam (a najczęścej tak właśne jest w raktyce), roonuje sę rzyjęce równych stó zwrotu dla wszystkch składowych 1. Wskazuje sę równeż na mnejszą wrażlwość rozwązań na błędy ocen elementów macerzy kowarancj. W racy oddano analze segment akcj średnch sółek na Gełdze Paerów Wartoścowych w Warszawe. Zwraca uwagę obecność slnych zwązków o charakterze lnowym mędzy szeregam emrycznych stó zwrotu z akcj 2. Przerowadzono badane symulacyjne, którego celem była weryfkacja wrażlwośc otymalnych rozwązań wybranych model ortfelowych w warunkach, gdy stoy zwrotu są generowane z welowymarowego rozkładu normalnego o zadanym wektorze wartośc oczekwanych oraz macerzy kowarancj odowadających 1 ajczęścej rzyjmowaną wartoścą dla oczekwanych stó zwrotu z akcj jest zero. 2 Słę zależnośc o charakterze lnowym roonuje sę merzyć za omocą ndeksu uwarunkowana lorazu najwększej do najmnejszej wartośc własnej macerzy korelacj stó zwrotu z akcj z róby.
Wykorzystane symulacj stochastycznej do badana wrażlwośc składu... 247 szacunkom na odstawe róby hstorycznej. W tak sformułowanych warunkach wrażlwość wag modelu może być nterretowana jako wynk zwązany z losową róbą. Dla omaru wrażlwośc wykorzystano odległość kątową wektorów wag. Rozważono ortfel nwestycyjny składający sę z akcj. Jego strukturę T określają wag X, =1,...,.; x = [X 1,...,X ]. Waga X stanow udzał kwoty zanwestowanej w akcje -tej sółk w wartośc oczątkowej całego ortfela. Ponżej odano najważnejsze rzyjęte oznaczena zależnośc. Stoa zwrotu z ortfela aktywów: gdze: R P P P R t 1 X R xr, (1) T t t t, tk t t 1 (2) Pt, k Pt, k k horyzont nwestowana; lczba tygodn jake ułyną od zakuu do srzedaży ortfela, P t cena -tych aktywów w okrese t, R t -elementowy wektor stó zwrotu z nwestycj dla składowych ortfela w okrese t. Wartość oczekwana stoy zwrotu z ortfela aktywów: T ER ( ) XER ( ) xr *, (3) 1 gdze: E(R ) = R * jest wartoścą oczekwaną stoy zwrotu z -tych aktywów, R * -elementowy wektor wartośc oczekwanych stó zwrotu z nwestycj w aktywów. Warancja ortfela aktywów: 2 x T x, (4)
248 Iwona Konarzewska gdze: Σ x macerz kowarancj stó zwrotu z nwestycj w akcje składowe ortfela Wartość ryzykowana VaR(α) dla ortfela aktywów: Przy założonym ozome ufnośc (1 ) 100% określa sę rocentowy kwantyl r ( R ) rozkładu rawdoodobeństwa stoy zwrotu z nwestycj ortfelowej: r ( R ) su r P( R r). (5) Welkość VaR, wyrażona zwykle w kwoce enężnej, odowada temu kwantylow. W nnejszej racy VaR(α) utożsamono z r ( R ). Wartość tego kwantyla dla małych wartośc jest ujemna oznacza stratę. Warunkowa wartość ryzykowana CVaR α dla ortfela aktywów: CVaR ( R ) E R R r ( R ). (6) Wartość CVaR α, zwykle ujemna, oznacza warunkową wartość oczekwaną stoy zwrotu z ortfela w rzyadku realzacj strat o wartośc bezwzględnej ne nższych nż wartość bezwzględna VaR(α). 1. Wybrane modele otymalzacj ortfela akcj W racy oddano badanu nastęujące modele służące konstrukcj ortfel akcj: Model Markowtza: mn 1 2 P ER ( ) r X 1 (7) X 0, 1,...,,
Wykorzystane symulacj stochastycznej do badana wrażlwośc składu... 249 mn max jest określoną wartoścą satysfakcjonującej nwestora mnmalnej stoy zwrotu. gdze rr, r Model mnmalzacj warunkowej straty CVaR: mn CVaR ( R ) 1 X 1 (8) X 0, 1,..., W rzyadku tego modelu wykorzystano dwe technk szacowana wartośc VaR(α): z wykorzystanem symulacj hstorycznej (model CVaR1) na odstawe róby hstorycznej bądź symulowanej; jako α-kwantyl rozkładu normalnego o wartośc oczekwanej odchylenu standardowym oszacowanym na odstawe róby hstorycznej bądź wynków symulacj (model CVaR_). Model Telsera: max ER ( ) P( R r ) 1 A 1 X 0, 1,...,, X (9) gdze r A oznacza stoę zwrotu z ortfela uznaną rzez nwestora za bezeczną, a α to rogowa wartość rawdoodobeństwa neosągnęca bezecznego ozomu stoy zwrotu.
250 Iwona Konarzewska Model PC mnmalzacj erwszej głównej składowej macerzy korelacj: Koncecja tego modelu wykorzystuje rozkład macerzy korelacj stó zwrotu według wartośc własnych: P = V Λ V T, (10) gdze P jest macerzą korelacj stó zwrotu, Λ dag( 1,..., ) jest dagonalną macerzą jej wartośc własnych, a V macerzą zwązanych z nm wektorów własnych. W racy Konarzewska [2012] okazano, że warancję ortfela akcj można wyrazć jako: 2 x T x T j1 j 2 j (11) gdze ], j Xllvlj, j=1,...,; l oznacza odchylene standardowe [ j l1 stoy zwrotu z l-tej składowej a v lj. l-ty element j-tego wektora własnego. Proonowany jest model mnmalzujący składową zwązaną z najwększą wartoścą własną. Model PC wydaje sę nteresujący w warunkach wystęowana slnych wsółzależnych stó zwrotu z akcj na rynku. mn 1 2 1 1 X 0, 1,..., X (12) 2. Portfele akcj średnch sółek na GPW w Warszawe w latach 2009 2011 Punktem wyjśca dla rzerowadzonego badana symulacyjnego wrażlwośc składów ortfel nwestycyjnych było rzerowadzene analzy statystycznej rynku akcj średnch sółek notowanych na GPW w Warszawe w latach 2009 2011. Badano tygodnowe ceny akcj stoy zwrotu. Badanem objęto 37 sółek
Wykorzystane symulacj stochastycznej do badana wrażlwośc składu... 251 uczestnków ndeksu mwig40. Wykres wartośc ndeksu w okrese róby zarezentowano na rysunku 1. 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 2012-01-02 2011-11-02 2011-09-02 2011-07-02 2011-05-02 2011-03-02 2011-01-02 2010-11-02 2010-09-02 2010-07-02 2010-05-02 2010-03-02 2010-01-02 2009-11-02 2009-09-02 2009-07-02 2009-05-02 2009-03-02 2009-01-02 Rysunek 1. Wykres wartośc ndeksu mwig40 w latach 2009 2011, dane tygodnowe Źródło: oblczena własne na odstawe danych www.stooq.l. Orócz analzy charakterystyk osowych, jak średne stoy zwrotu, odchylena standardowe stó zwrotu, macerz korelacj stó zwrotu, rzerowadzono także badane zgodnośc rozkładów stó zwrotu z rozkładem normalnym. Testy statystyczne ne wykazały stotnych odstęstw od rozkładu normalnego. Hstogram rozkładu tygodnowych stó zwrotu z ndeksu mwig40 zbudowany na odstawe danych za lata 2009 2011 okazano na rysunku 2. Rysunek 2. Rozkład stó zwrotu z ndeksu mwig40, dane tygodnowe z okresu 2009 2011. Źródło: oblczena własne za omocą rogramu GRETL.
252 Iwona Konarzewska Stoeń uwarunkowana macerzy korelacj 37 sółek wynosł 59,9, co śwadczy o slnej wsółzależnośc stó zwrotu. Dla sółek będących komonentam ndeksu oblczono otymalne wag w rzyadku analzowanych model, rzyjmując jako arametry oceny uzyskane na odstawe róby hstorycznej. Wynk oblczeń rzedstawono w tabel 1. Otymalne udzały sółek w ortfelu nwestycyjnym (%) Tabela 1 Sółka/ model CVaR1 Markowtz CVa- R_ Telser PC Sółka/ model CVar1 Markowtz CVa- R_ Telser PC AGO 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 GB 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 AST 0,00 0,00 0,00 16,48 0,00 GT 0,00 0,00 0,25 0,00 0,00 ATT 0,00 7,00 13,70 0,00 0,00 HWE 0,00 0,00 3,76 0,00 0,00 BDX 5,52 10,13 5,11 0,00 0,00 IDM 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 BIO 0,00 0,00 1,89 0,00 0,00 IPX 0,63 0,00 1,77 0,00 0,00 BSK 0,00 0,00 0,31 0,00 0,00 KPX 2,01 0,04 4,49 0,00 0,00 CAR 0,00 0,00 2,90 0,00 0,00 KRB 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 CCC 7,48 0,00 3,89 0,00 0,00 KTY 0,00 0,04 4,85 0,00 0,00 CCI 8,65 4,96 5,99 0,00 0,00 LPP 13,68 11,00 3,97 0,00 0,00 CDC 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 MDS 0,00 0,00 0,42 0,00 0,00 CDR 0,73 0,00 1,02 24,53 0,00 MIL 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 CIE 0,00 0,00 0,76 0,00 0,00 ET 11,36 18,13 5,46 0,00 0,00 CPS 10,33 14,93 5,21 0,00 0,00 OIL 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 CRM 0,52 9,46 4,82 58,99 0,00 ORB 0,00 0,00 2,15 0,00 0,00 EAT 2,01 0,00 3,28 0,00 0,00 PEP 9,18 12,51 4,52 0,00 0,00 ECH 0,00 0,00 2,09 0,00 0,00 PXM 1,09 0,00 2,29 0,00 0,00 EMP 10,52 2,37 4,86 0,00 100,00 RSE 0,00 0,00 0,05 0,00 0,00 EA 12,28 9,41 5,07 0,00 0,00 ZAP 0,00 0,00 1,47 0,00 0,00 EUR 4,00% 0,00% 3,65% 0,00% 0,00% Źródło: oblczena własne w MS Excel. Wybrane charakterystyk statystyczne dla oracowanych ortfel zarezentowano w tabel 2. Wybrane mernk statystyczne dla otymalnych ortfel akcj Tabela 2 Mernk/model ortfela Markowtz CVaR1 CVaR_ Telser PC 1 2 3 4 5 6 Średna stoa zwrotu z ortfela (%) 0,42 0,56 0,60 1,72 0,64 Odchylene standardowe (%) 2,10 2,42 2,58 6,40 4,28
Wykorzystane symulacj stochastycznej do badana wrażlwośc składu... 253 1 2 3 4 5 6 VaR(0,05) (%) -2,43-2,72-3,65-6,56-4,70 CVaR(0,05) (%) -4,93-4,44-5,56-11,27-7,08 Prawdoodobeństwo neosągnęca ozomu bezeczeństwa 0,433 0,459 0,420 0,395 0,497 Źródło: oblczena własne. Dla celów badana symulacyjnego wybrano 18 sółek, dla których udzał w rzynajmnej jednym ortfelu w tabel 1 był ne nższy nż 3%. Stoeń uwarunkowana macerzy korelacj wynosł 11,17, co oznacza, że elmnacja sółek sowodowała lkwdację znacznej częśc wzajemnych owązań mędzy stoam zwrotu. 3. Metoda symulacj wsółzależnych stó zwrotu z akcj Zastosowano nastęującą metodę generowana wartośc stó zwrotu z akcj w badanu symulacyjnym, zakładając, że można rzyjąć założene o normalnośc stó zwrotu ze składowych ortfela: Wygenerowane realzacj -elementowego wektora losowego η,..., T 1 o nezależnych składowych o standaryzowanym rozkładze normalnym (w badanu wygenerowano 1000 realzacj). Transformacja lnowa wektora η według wzoru: 1 1 v1 2 2v2... v V, (13) dag( 1,..., ) W wynku transformacj (13) otrzymano realzacje wektora losowego γ, którego macerz kowarancj odowada rzyjętej macerzy korelacj. Przemnożono wygenerowane wartośc rzez odowedne odchylena standardowe dodano odowedne wartośc średne. Wygenerowano 1000 realzacj wektorów losowych odowadających stoom zwrotu z 18 sółek. Metodę generowana zaroonowano w racy Konarzewska [2012: 234].
254 Iwona Konarzewska 4. Pomar wrażlwośc W racy Konarzewska [2008] zwrócono uwagę, że w rzyadku slnych wsółzależnośc mędzy szeregam stó zwrotu zagadnene mnmalzacj warancj ortfela jest źle uwarunkowane, co oznacza nejednoznaczność rozwązana otymalnego modelu Markowtza wele ortfel charakteryzuje sę odobną wartoścą warancj, mała zmana arametrów modelu rowadz do zasadnczo odmennych rozwązań. Przerowadzone badane symulacyjne m.n. mało na celu blższe rzyjrzene sę temu roblemow. Do omaru wrażlwośc składów ortfel wykorzystano odległość kątową wektorów: d 2 ( x1j x2 j) j1 A 1 2 2 x1j x2 j j1 j1 (14) Jest to mernk oarty na funkcj snus, równy jednośc dla wektorów ortogonalnych. 5. Założena rzyjęte w badanu symulacyjnym Przerowadzono analzę macerzy korelacj dla osemnastu wybranych sółek według wartośc własnych. Wynk: 4 wartośc własne wększe od jednośc; stoeń uwarunkowana 11,17. (osłużono sę algorytmem SVD Golub,Rensch 1971). Powtórzono oblczena otymalnych składów dla wybranych osemnastu sółek; w modelu Markowtza dołączono warunek dla mn ozomu stoy zwrotu (na ozome medany dla badanych sółek); w modelu Telsera dołączono warunek dla maksymalnej wartośc odchylena standardowego na ozome 7%, ozom bezeczeństwa rzyjęto równy 0,1%, rawdoodobeństwo neosągnęca ozomu bezeczeństwa równe 0,45. Wygenerowano 1000-elementowe szereg odowadające stoom zwrotu z akcj każdej ze sółek; oblczono otymalne składy ortfel oraz wartośc stó zwrotu mernków ryzyka dla ortfel, Generowane szeregów oblczena otymalnych składów ortfel owtórzono 100 razy.
Wykorzystane symulacj stochastycznej do badana wrażlwośc składu... 255 6. Wynk badana symulacyjnego Wybrane wynk badana symulacyjnego rzedstawono w tabelach 3a 3b. Zameszczono w nch: wynk otymalzacj składów ortfel dla osemnastu sółek uzyskane na odstawe danych hstorycznych, rzecętne wartośc udzałów w ortfelu oraz odchylena standardowe uzyskane w symulacjach. W tabel 4 zawarto nformacje o stoach zwrotu z ortfel, ryzyku szacowanym za omocą odchylena standardowego, a także oszacowane wartośc mar VaR(0,05) oraz CVaR. W rzyadku ortfel konstruowanych na odstawe danych hstorycznych do uzyskana oszacowań wykorzystano metodę symulacj hstorycznej. Dla ortfel będących wynkem symulacj stochastycznej w tabel 4 okazano rzecętne wartośc odchyleń standardowych. W tabel 4 okazano równeż wartośc realnej stoy zwrotu z ortfela oblczone rzy założenu, że w ortfel zanwestowano 6 styczna 2012 srzedano go 24 lutego 2012 roku. Udzały sółek w otymalnych ortfelach akcj (%) Tabela 3a Model Markowtz CVaR1 CVaR_ Sółka ortfel dla danych hstorycznych średne udzały odchylene standardowe ortfel dla danych hstorycznych średne udzały odchylene standardowe ortfel dla danych hstorycznych średne udzały odchylene standardowe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AST 0,2 0,7 1,47 0,0 1,2 2,11 0,0 0,6 1,29 ATT 1,0 0,5 1,21 2,3 1,6 2,95 0,6 1,1 2,04 BDX 7,1 5,9 4,18 21,4 5,8 5,36 12,2 6,1 5,56 CCC 6,5 5,4 3,82 0,9 5,2 4,84 2,8 4,7 3,59 CCI 9,1 9,5 3,87 1,6 10,3 5,59 7,9 8,0 3,43 CDR 1,8 1,9 1,37 0,0 2,2 2,28 1,6 1,7 1,58 CPS 6,6 8,5 4,57 9,0 8,2 5,87 9,5 8,6 2,67 CRM 3,1 2,0 2,30 7,7 2,5 2,10 5,3 2,1 2,05 EAT 0,5 1,1 1,59 0,0 1,8 2,81 0,0 1,0 1,66 EMP 14,3 13,1 4,53 8,8 12,8 5,32 10,2 12,2 2,80 EA 11,5 10,7 3,71 9,3 10,4 5,35 9,6 10,0 2,71 EUR 5,9 5,1 2,67 0,0 6,0 4,86 3,0 4,8 3,20 HWE 0,0 0,1 0,40 0,1 0,5 1,12 0,0 0,7 1,33 KPX 2,6 3,3 2,57 0,0 3,0 3,36 0,1 2,6 2,43
256 Iwona Konarzewska 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 KTY 0,0 0,5 1,35 0,1 2,0 3,49 3,1 1,0 1,24 LPP 13,0 12,6 4,03 16,8 10,5 5,61 9,0 16,2 3,94 ET 13,0 13,7 4,60 12,4 10,4 5,91 14,5 14,3 1,88 PEP 3,8 5,2 4,23 9,5 5,7 5,15 10,5 4,4 3,56 Źródło: oblczena własne. Udzały sółek w otymalnych ortfelach akcj cd. (%) Tabela 3b Model Telser PC Sółka ortfel dla danych hstorycznych średne udzały ortfel dla danych hstorycznych średne udzały odchylene standardowe odchylene standardowe AST 8,4 10,6 19,31 0,0 1,3 2,89 ATT 0,0 3,9 7,43 1,5 1,2 2,59 BDX 0,0 0,0 0,00 0,9 0,8 3,77 CCC 0,0 0,0 0,08 0,7 4,9 4,91 CCI 0,0 0,0 0,00 5,2 1,6 0,84 CDR 22,4 13,0 24,05 5,3 3,7 2,35 CPS 0,0 0,0 0,00 15,0 11,1 1,02 CRM 69,3 69,5 24,30 4,2 0,7 0,78 EAT 0,0 0,0 0,00 0,7 3,9 0,99 EMP 0,0 0,9 2,94 9,5 9,7 1,82 EA 0,0 0,1 1,28 11,0 10,4 1,87 EUR 0,0 0,8 3,47 9,2 7,5 1,54 HWE 0,0 1,1 4,76 3,3 3,1 2,15 KPX 0,0 0,0 0,00 0,0 4,0 3,11 KTY 0,0 0,0 0,00 13,4 7,6 1,66 LPP 0,0 0,0 0,18 8,5 11,6 2,71 ET 0,0 0,0 0,00 3,3 7,2 3,49 PEP 0,0 0,0 0,00 8,2 9,8 1,43 Źródło: oblczena własne. Charakterystyk statystyczne otymalnych ortfel akcj (%) Tabela 4 Model/ mernk Średna stoa zwrotu z ortfela Odchylene standardowe Var(0,05) CVaR Realna stoa zwrotu 1 2 3 4 5 6 Markowtz-hst 0,54 2,14-2,62-4,92 8,43 Markowtz-sym 0,55 2,09-2,90-3,75 9,20 CVaR1-hst 0,55 2,33-2,79-4,49 8,95
Wykorzystane symulacj stochastycznej do badana wrażlwośc składu... 257 CVaR1-sym 0,58 2,18-2,83-3,41 9,73 CVaR_-hst 0,52 2,19-3,09-4,99 9,33 CVaR_-sym 0,52 2,17-3,04-3,80 9,80 Telser-hst 1,80 7,00-7,26-11,95 6,77 Telser-sym 1,95 6,98-9,44-12,30 7,38 PC-hst 0,54 2,29-3,12-5,10 12,00 PC-sym 0,50 2,26-3,20-4,13 12,11 Źródło: oblczena własne. Symulacja stochastyczna ozwolła na otraktowane otymalnych składów ortfel jako wynków losowych. W tabel 5 zarezentowano wynk charakteryzujące wrażlwość otymalnych rozwązań model ortfelowych: wartośc rzecętnych odległośc kątowych mędzy wektoram otymalnych wag, wartośc medan oraz odchyleń standardowych. ajbardzej wrażlwe okazały sę otymalne wag w rzyadku modelu CVaR1 rzecętna odległość kątowa wynosła 0,7531. ajmnejsze odległośc kątowe, a węc najwększą stablność elementów wektora otymalnych wag, zanotowano w rzyadku modelu Telsera. Porównane wartośc średnch oraz medan dla odległośc kątowych wag wskazuje we wszystkch rzyadkach oza modelem PC na rawostronną skośność rozkładów otymalnych wag. Odległośc kątowe składów ortfel w symulacjach Tabela 5 Markowtz CVaR1 CVaR_ Telser PC Średna 0,5742 0,7531 0,5701 0,4034 0,5116 Medana 0,5187 0,7067 0,5255 0,2821 0,5150 Odchylene standardowe 0,1171 0,1002 0,1066 0,2775 0,1376 Źródło: oblczena własne. Podsumowane W racy rzedstawono wynk badana symulacyjnego, którego założena oarto na emrycznych stoach zwrotu dla średnch sółek notowanych na olskm rynku gełdowym. Próbowano odowedzeć na ytane: jak slne zareagują wektory otymalnych wag ortfel, jeżel stoy zwrotu będą generowane z welo-
258 Iwona Konarzewska wymarowego rozkładu normalnego o arametrach oszacowanych na odstawe róby hstorycznej. e badano reakcj wag na zmany wartośc średnej stoy zwrotu dla żadnej ze sółek an na zmany elementów macerzy kowarancj. Obserwowana zmenność otymalnych wag była wynkem jedyne losowego charakteru generowanych rób. Modelem charakteryzującym sę najwększą wrażlwoścą rozwązań okazał sę model mnmalzujący CVaR, zwłaszcza jeżel do szacowana VaR stosowano, abstrahując od kształtu rozkładu stó zwrotu, metodę symulacj hstorycznej. W rzyadku szacowana VaR jako kwantyla rozkładu normalnego (oczywśce, gdy można rzyjąć, że rozkład emryczny wykazuje zgodność z tym rozkładem) wrażlwość rozwązań modelu CVaR modelu Markowtza jest odobna. Portfel Telsera okazał sę najbardzej stablny, jeśl chodz o skład, ale jednocześne najbardzej ryzykowny. Rozwązana modelu PC oartego na analze głównych składowych były bardzej stablne nż modelu Markowtza. Ogólne wszystke modele wykazały wysoką wrażlwość wag otymalnych. Przyglądając sę osągnętym realnym stoom zwrotu, można wyróżnć ortfel PC jako najbardzej zyskowny. Wbrew szacunkom oartym na danych hstorycznych ortfel Telsera rzynósł najmnejsze zysk realne. a rysunku 3 zlustrowano wyznaczone ortfele na mae ryzyko stoa zwrotu. Wdać na nej, że rzy rzyjętych założenach ortfele Markowtza, CVaR PC dają zblżone wynk średnch odchyleń standardowych. redna stoa zwrotu 2,5% 2,0% Maa ryzyko-stoa zwrotu Portfele Telsera 1,5% Portfele: Markowtza, CVaR, PC 1,0% 0,5% mwig40 0,0% 0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% odch. stand Rysunek 3. Maa ryzyko stoa zwrotu dla akcj ortfel akcj Źródło: oblczena własne.
Wykorzystane symulacj stochastycznej do badana wrażlwośc składu... 259 Lteratura Best M.J., Grauer R.R. [1991], On Senstvty of Mean-Varance-Effcent Portfolos to Changes n Asset Means: Some Analytcal and Comutatonal Results, The Revew of Fnancal Studes, Vol. 4, o. 2, 315 342. Chora V.K., Zemba W.T. [1993], The Effect of Errors n Means, Varances, and Covarances on Otmal Portfolo Choce, Journal of Portfolo Management, Vol. 19, 2, 6 11. Golub G.H., Rensch C. [1971], Sngular Value Decomoston and Least Squares Solutons, n: J.H. Wlknson, C. Rensch [eds.] Lnear Algebra, Srnger-Verlag, Berln. Konarzewska I. [ 2008], On measurng the senstvty of the otmal ortfolo allocaton, Badana Oeracyjne Decyzje, 2, 55 75. Konarzewska I. [2012], eewność ryzyko rynkowe nwestycj w akcje. Studum metodologczno-emryczne, Wydawnctwo Unwersytetu Łódzkego, Łódź. Lntner J. [1965], The Valuaton of Rsk Assets and the Selecton of Rsky Investments n Stock Portfolos and Catal Budgets, Revew of Economcs and Statstcs, 47, 13 37. Markowtz H. [1952], Portfolo Selecton, Journal of Fnance, 7, 77 91. Share W. [1964], Catal Asset Prces: A Theory of Market Equlbrum under Condtons of Rsk, Journal of Fnance, 19, 425 442. www.stooq.l STOCHASTIC SIMULATIO OPTIMAL PORTFOLIOS STRUCTURES SESITIVITY AALYSIS BY STOCHASTIC SIMULATIO Summary The aer resents the alcaton of stochastc smulaton technque n the analyss of senstvty of otmal weghts for chosen ortfolo models. Rsk s related to several elements of nvestment decson rocess: assumtons about jont robablty dstrbuton of the rates of return on stock, qualty of exected rates of return, rsk and correlaton estmates, the choce of the otmzaton model crteron and constrants. The subject of analyss are the otmal stock ortfolos for comanes beng the comonents of mwig40 ndex on Warsaw Stock Exchange n the erod 2009 2011 we analyzed weekly rates of return. The smulaton study was conducted n the am of the otmal ortfolo structures senstvty nvestgaton. The followng models were taken
260 Iwona Konarzewska nto account: Markowtz model, the model mnmzng condtonal loss (CVaR), Telser model and the roosed model mnmzng the mact of the correlaton matrx frst rncal comonent on the ortfolo varance. Rates of return were generated wth the alcaton of the method whch reserves the structure and strength of the nterrelatonshs among the seres. The method s based on the correlaton matrx egenvalue decomoston Conducted smulaton exerments allow us to recommend the choce of defnte ortfolo model to nvestors. Keywords: stochastc smulaton, senstvty, ortfolo analyss Translated by Iwona Konarzewska