Analiza portfeli narożnych z uwzględnieniem skośności

Transkrypt

1 Zeszyty aukowe Unwersytetu Szczecńskego nr 862 Fnanse, Rynk Fnansowe, Ubezpeczena nr 75 (205) DOI: /frfu s Analza portfel narożnych z uwzględnenem skośnośc Renata Dudzńska-Baryła Donata Kopańska-Bródka Ewa Mchalska Streszczene: odstawowym problemem w procese wspomagana decyzj nwestycyjnych jest utworzene najlepszej kombnacj nstrumentów fnansowych, która spełna pożądane warunk. ommo że model wyboru optymalnego portfela akcj zaproponowany przez Markowtza ma ogromne znaczene w teor fnansów praktyce nwestycyjnej, w śwetle przyjmowanych założeń jego zasadność jest kwestonowana. Welu badaczy wskazuje koneczność jego modyfkacj, poneważ przyjmowany w modelu komproms pomędzy zyskem ryzykem jest newystarczający. W artykule badane są portfele efektywne ze względu na trzy perwsze momenty rozkładu stopy zwrotu. W omawanym podejścu optymalna alokacja kaptału w nstrumenty fnansowe zależy dodatkowo od preferencj nwestora odnośne do skośnośc rozkładu merzonej trzecm momentem centralnym. Analzowane są te portfele (dla wybranej populacj akcj notowanych na Gełdze aperów Wartoścowych w Warszawe), których podstawowe charakterystyk rozkładu są zgodne z parametram portfel narożnych (corner portfolos) należących do grancy efektywnej otrzymanej na podstawe modelu dwóch parametrów. Słowa kluczowe: skośność, portfele efektywne, portfele narożne, zmodyfkowany model Markowtza Wprowadzene referencje decydenta dokonującego wyboru w zborze losowych warantów o rozkładach nesymetrycznych mogą być wyrażane poprzez ocenę momentów wyższych rzędów rozkładu prawdopodobeństwa. Obserwacje zachowań osób podejmujących decyzje wskazują, że preferowane są te waranty, którym odpowadają wyższe wartośc momentów rzędu neparzystego (wartość oczekwana, skośność) oraz nższe rzędu parzystego (warancja, kurtoza). Zasady decyzyjne oparte tylko na wartośc oczekwanej warancj ne budzą wątplwośc w wyborach ogranczonych do rozkładów symetrycznych, a w szczególnośc do rozkładów normalnych. Zatem decyzje nwestycyjne dotyczące konstrukcj optymalnego portfela akcj muszą uwzględnać fakt, że rozkłady stóp zwrotu akcj najczęścej są asymetryczne analza średna warancja jest newystarczająca. dr Renata Dudzńska-Baryła, Unwersytet Ekonomczny w Katowcach, e-mal: dudznska@ue.katowce.pl prof. dr hab. Donata Kopańska-Bródka, Unwersytet Ekonomczny w Katowcach, e-mal: broda@ue.katowce.pl dr Ewa Mchalska, Unwersytet Ekonomczny w Katowcach, e-mal: ewa.mchalska@ue.katowce.pl

2 24 Renata Dudzńska-Baryła, Donata Kopańska-Bródka, Ewa Mchalska referencje decydenta z awersją do ryzyka wyraża funkcja użytecznośc o dodatnej trzecej pochodnej (Scott, Horvath 980), natomast w ocene rozkładów prawdopodobeństwa na podstawe parametrów wyżej ocenane są te z dodatną skośnoścą. referencja dodatnej skośnośc to preferencja wększego prawdopodobeństwa dużych zysków ogranczonego prawdopodobeństwa strat. W modelach wyboru portfela trzec moment centralny przyjmowany jest jako mara skośnośc. Rozważana na temat asymetr rozkładu losowych stóp zwrotu znaczena tego faktu dla decyzj nwestycyjnych przedstawono mędzy nnym w pracach Ardtt (975) oraz Xong Idzorek (20). Z kole Scott Horvath (980) wykazal, że jeśl rozkład losowych stóp zwrotu jest asymetryczny lub funkcja użytecznośc nwestora jest funkcją wyższego stopna nż funkcja kwadratowa, to w ocene nwestycj należy uwzględnać momenty co najmnej trzecego czwartego rzędu. Równeż w sytuacj, kedy decyzja nwestycyjna dotyczy skończonego przedzału czasu, jej ocena na podstawe dwóch perwszych momentów jest newystarczająca pownno sę uwzględnć momenty wyższych rzędów losowej stopy zwrotu (Samuelson 970). oszerzene zasady wyboru portfela akcj o trzec moment centralny czyn problem znaczne bardzej złożony nż w przypadku dwóch perwszych momentów. W ostatnch latach wele prac pośwęcono metodom technkom konstrukcj optymalnego portfela akcj z uwzględnenem kryterum maksymalzacj skośnośc. Do rozwązana problemu najczęścej wykorzystywane jest welomanowe programowane celowe (La 99; Chunhachnda n. 997; rakash n. 2003) oraz programowane rozmyte (Jana n. 2007). W analze decyzj nwestycyjnych zbór portfel tworzących grancę efektywną ma zasadncze znaczene. Lna efektywna jest wyznaczana poprzez rozwązywane zadań polegających na optymalzacj jednego momentu (kryterum) przy dowolne określonych wartoścach pozostałych momentów. W celu wyznaczena grancy efektywnej z uwzględnenem skośnośc maksymalzowany jest trzec moment centralny portfela akcj przy dowolne ustalonych wartoścach średnej warancj. Granca efektywna jest powerzchną w przestrzen trójwymarowej jej wyznaczene stwarza duże trudnośc numeryczne, poneważ polega na rozwązywanu zadań, które ne są problemam programowana wypukłego. W sytuacj kedy rozważa sę tylko dwa perwsze momenty, lna efektywna jest krzywą w przestrzen dwuwymarowej, a zadane należy do klasy zadań programowana kwadratowego. W celu wyznaczena grancy efektywnej wystarczy wyznaczyć portfele narożne (corner portfolos). W dalszej częśc będą analzowane portfele o maksymalnej skośnośc przy założenu, że przynajmnej jeden z parametrów jest zgodny z parametram portfel narożnych.

3 Analza portfel narożnych z uwzględnenem skośnośc 25. Momenty rzędu perwszego, drugego trzecego jako charakterystyk portfela akcj rzyjmjmy, że R = [ R, R 2,..., R ] oznacza wektor losowych stóp zwrotu akcj, 2,..., stanowących potencjalne składnk portfela, przy czym zakładamy, że oczekwana wartość E[R ] <, gdze =, 2,...,. onadto x = [ x, x 2,..., x ], oznacza wektor udzałów akcj, 2,..., w portfelu, którego stopa zwrotu R = Rx + R 2x R x, przy czym x + x x = oraz x 0 dla =, 2,...,. Wartość oczekwana losowej stopy zwrotu portfela stanow moment zwykły rzędu perwszego jest wyznaczana na podstawe momentów zwykłych rzędu perwszego losowych stóp zwrotu poszczególnych akcj. W zapse macerzowym wartość oczekwana stopy zwrotu portfela akcj:, () gdze macerz M jest macerzą o wymarach ( ) (tzn. wektorem wartośc oczekwanych stóp zwrotu poszczególnych akcj) postac:. (2) Zaps oczekwanej stopy zwrotu portfela za pomocą sumy jest następujący:. (3) Z kole warancja portfela akcj jest momentem centralnym rzędu drugego losowej stopy zwrotu portfela można ją oblczyć, wykorzystując momenty centralne rzędu drugego losowych stóp zwrotu akcj. Warancja portfela w zapse macerzowym ma postać:. (4) Macerz M jest macerzą warancj kowarancj o wymarach ( ) postac:, (5) czyl macerzą momentów centralnych rzędu drugego losowych stóp zwrotu akcj. Zaps warancj za pomocą sum daje wzór: V = c x x, (6) = j= gdze, dla, j =, 2,...,. Jedną z mar skośnośc rozkładu losowej stopy zwrotu portfela jest jej moment centralny rzędu trzecego. Moment centralny rzędu trzecego losowej stopy zwrotu portfela można wyrazć za pomocą momentów centralnych rzędu trzecego losowych stóp zwrotu akcj. W zapse macerzowym marę skośność rozkładu losowej stopy zwrotu portfela wyraża zależność:, (7) j j

4 26 Renata Dudzńska-Baryła, Donata Kopańska-Bródka, Ewa Mchalska gdze symbol oznacza loczyn Kroneckera. Macerz skośnośc M jest macerzą o wymarach ( ) 2 postac, (8) a jej elementam są momenty centralne losowych stóp zwrotu akcj. Mara skośnośc rozkładu losowej stopy zwrotu portfela przedstawona przy użycu sum jest następującą zależnoścą:, (9) gdze, dla. 2. Granca efektywna a portfele narożne Rozwązana modelu Markowtza, w którym optymalzuje sę dwa perwsze momenty losowej stopy zwrotu, są przedstawane grafczne w płaszczyźne ryzyko dochód, w postac grancy efektywnej, czyl zboru portfel efektywnych. ortfel efektywny to tak portfel, dla którego ne stneje portfel o takm samym ryzyku wększym zysku an też portfel o takm samym zysku mnejszym ryzyku (Haugen 996). Wyznaczane zboru portfel efektywnych jest ucążlwe, gdyż wymaga rozwązana welu zadań optymalzacyjnych o postac: (0) przyjmując różne wartośc parametru l z przedzału. Zauważono jednak, że do określena całej grancy efektywnej wystarczy znajomość podzboru zboru portfel efektywnych złożonego ze wszystkch portfel narożnych. Kolejne portfele narożne charakteryzują sę tym, że ch skład różn sę jednym walorem dodawanym lub ujmowanym. Mówmy, że cąg portfel efektywnych jest cągem kolejnych portfel narożnych (Kopańska-Bródka red. 2004) wtedy, gdy: oraz jeśl dla dowolnego m =, 2,..., M, portfele m m + są kolejnym sąsednm portfelam narożnym, to skład m + różn sę dokładne jednym walorem dodanym do portfela m lub ujętym, tzn. jeżel I jest zborem numerów wszystkch walorów, I m jest zborem numerów walorów w portfelu m, a I m + w portfelu m +, to:.

5 Analza portfel narożnych z uwzględnenem skośnośc 27 Algorytm wyznaczana kolejnych portfel narożnych opera sę na określanu wartośc l, dla której udzał jednego ze składnków portfela zmnejszy sę do zera, jeżel wcześnej mał wartość z przedzału otwartego, bądź też osągne wartość wększą od 0, jeżel wcześnej mał wartość równą 0. Ops algorytmu można znaleźć w pracach Sharpe a (2000) Kopańskej-Bródk (red. 2004). W wynku zastosowana wspomnanego algorytmu otrzymuje sę zbór portfel narożnych oraz odpowadające m pary charakterystyk dla. Dysponując zborem portfel narożnych, można określć udzały dowolnego portfela efektywnego jako wypukłej kombnacj lnowej udzałów dwóch sąsednch portfel narożnych. Jeżel udzały dwóch sąsednch portfel narożnych m m + tworzą wektory oznaczone odpowedno przez x m, to udzały portfela efektywnego E leżącego pomędzy m m + wyznacza sę następująco:. () onadto gdy znane są charakterystyk portfel narożnych, możlwe jest wyznaczene postac analtycznych fragmentów funkcj przedstawającej grancę efektywną w płaszczyźne ryzyko dochód, w przedzałach zadanych charakterystykam portfel narożnych (Kopańska-Bródka red. 2004). Rozważana dotyczące portfel znajdujących sę na grancy efektywnej można zatem ogranczyć do zboru portfel narożnych. 3. Modele wyboru portfela akcj z uwzględnenem mary skośnośc Włączene mary skośnośc w postac trzecego momentu centralnego do model wyboru portfel optymalnych rozważano już od lat sedemdzesątych XX weku (Smonson 972; Kane 982; Barone-Ades 985; La 99; Konno n. 993). Jednak dopero wraz z rozwojem narzędz nformatycznych ułatwających oblczena numeryczne zwązane z wyznaczanem momentów wyższych rzędów nastąpł wzrost lczby publkacj, których autorzy badają znaczene momentów wyższych losowych stóp zwrotu dla konstruowanych portfel (Athayde, Flores 2004; Malevergne, Sornette 2005; Gudoln, Tmmermann 2008; L n. 200; Kemalbay n. 20; Km n. 204; roelss, Schwezer 204). W analzowanych w tej pracy modelach wyboru portfel, w których jako kryterum optymalzacyjne przyjęto maksymalzację momentu trzecego losowej stopy zwrotu portfela, uwzględnono wyznaczone wcześnej parametry w postac wartośc charakterystyk portfel narożnych. ara (V, R ) stanow charakterystyk portfela narożnego m m m, zaś para (V, R ) to charakterystyk portfela o ndekse m+ czyl portfela m + m+ m +. W perwszym modelu przyjęto ustalony pozom oczekwanej stopy zwrotu portfela oraz warancj portfela równe odpowedno R oraz V. m m

6 28 Renata Dudzńska-Baryła, Donata Kopańska-Bródka, Ewa Mchalska Model S E(R ) = R V = max = V x = x 0 m m dla =, 2,, Jako rozwązane tego modelu otrzymano (dla wartośc charakterystyk odpowadających portfelom narożnym m, dla m =, 2,..., M ) M portfel o charakterystykach (V, R,S ). m m m W kolejnym modelu pomnęto ogranczene dotyczące warancj portfela. Model 2 S max E(R ) = R = x = x 0 m dla =, 2,, W modelu trzecm pomnęto warunek dotyczący oczekwanej wartośc stopy zwrotu portfela. Model 3 S V = max = V x = x 0 m dla =, 2,, W ostatnm z rozważanych model określono zakres zmennośc oczekwanej wartośc stopy zwrotu portfela oraz warancj portfela, uwzględnając charakterystyk sąsednch portfel narożnych m m +. Model 4 S max R E(R ) R m + m + V = x = x 0 V V m m dla =, 2,, Równoczesne uwzględnene jako kryterów wyboru portfela wszystkch trzech momentów jest kłopotlwe, poneważ wymaga znalezena rozwązana kompromsowego przy maksymalzacj wartośc oczekwanej stopy zwrotu portfela oraz maksymalzacj mary skośnośc przy jednoczesnej mnmalzacj warancj stopy zwrotu portfela. ewne propozycje model wyboru portfela akcj uwzględnających momenty stopna perwszego, drugego (2) (3) (4) (5)

7 Analza portfel narożnych z uwzględnenem skośnośc 29 trzecego, a nawet czwartego zawerają prace Kemalbaya n. (20) oraz Glawschnga Sedla (203). 4. Analza trzech momentów dla zboru portfel narożnych W badanu nad optymalną alokacją kaptału w nstrumenty fnansowe z uwzględnenem preferencj odnośne do skośnośc rozkładu merzonej trzecm momentem centralnym wykorzystano dane dotyczące dzennych stóp zwrotu z okresu dla 4 akcj notowanych na Gełdze aperów Wartoścowych w Warszawe, stanowących składnk ndeksu WIG20 po rewzj rocznej 2 marca 204 (pomnęto sześć spółek, których perwsze notowana mały mejsce po 2 lutego 2008). Analzowano zarówno dane z całego okresu od 2008 do 203 roku, jak dane pochodzące z poszczególnych lat. Celem artykułu jest analza grancy efektywnej portfel o parametrach z grancy efektywnej względem skośnośc merzonej trzecm momentem centralnym. Dla wszystkch akcj oblczono zatem wartośc oczekwane stóp zwrotu oraz macerze warancj kowarancj trzece momenty centralne. astępne dla całego okresu oraz poszczególnych lat (razem sedem okresów) wyznaczono odpowedne zbory portfel narożnych, które były wystarczające do opsu grancy efektywnej (w sense modelu Markowtza model (0)). Otrzymane wartośc oczekwane warancje stóp zwrotu portfel narożnych stanowły parametry rozwązywanych w dalszej kolejnośc model (2) (5) dla wszystkch sedmu przedzałów czasowych. Wszystke oblczena wykonano w pakece SAS, wykorzystując solver L oraz samodzelne przygotowane programy. Rysunek. Skośność portfel efektywnych (dane z lat ) Źródło: opracowane własne.

8 30 Renata Dudzńska-Baryła, Donata Kopańska-Bródka, Ewa Mchalska arametry struktura portfel uzyskanych na podstawe modelu pokrywają sę z parametram strukturą portfel narożnych, co wynka ze specyfk ogranczeń modelu. Rozwązywane modelu ne jest zatem koneczne dysponując zborem portfel narożnych, wystarczy oblczyć wartośc trzecego momentu centralnego dla poszczególnych portfel. o analze wartośc trzecego momentu centralnego dla portfel efektywnych zauważono pewną regularność (rysunek ), jednak znalezene postac analtycznej zaobserwowanych zależnośc będze przedmotem dalszych badań. odobna regularność była obserwowana równeż dla portfel efektywnych wyznaczanych w rocznych przedzałach czasowych. ortfele o maksymalnej skośnośc wyznaczane zgodne z modelem 2 różną sę od portfel narożnych zarówno składem, jak wartoścam dwóch parametrów, warancj skośnośc (w modelu 2 wartość oczekwana była przyjmowana na pozome wartośc oczekwanej portfel narożnych). Wzrost skośnośc portfel optymalnych nastąpł kosztem wzrostu warancj (rysunek 2). rezentowany rysunek dotyczy roku 2009, ale te same zależnośc zaobserwowano we wszystkch badanych okresach. Rysunek 2. Charakterystyk portfel narożnych portfel o maksymalnej skośnośc dla modelu 2 (rok 2009) Źródło: opracowane własne. W modelu 3 przyjęto wartość warancj na pozome warancj kolejnych portfel narożnych. ortfele optymalne różną sę od portfel narożnych, a wzrost wartośc trzecego momentu centralnego portfel optymalnych w stosunku do portfel narożnych nastąpł kosztem wartośc oczekwanej (rysunek 3).

9 Analza portfel narożnych z uwzględnenem skośnośc 3 Rysunek 3. Charakterystyk portfel narożnych portfel o maksymalnej skośnośc dla modelu 3 (rok 200) Źródło: opracowane własne. ortfele optymalne otrzymane na podstawe modelu 4, w którym zakres zmennośc oczekwanej wartośc stopy zwrotu oraz warancj portfela ogranczono wartoścam charakterystyk sąsednch portfel narożnych m m +, przyjmują zwykle gorszą z wartośc charakterystyk portfel narożnych m m + (mnejszą dla wartośc oczekwanej wększą dla warancj), tzn. E (R ) = R oraz V m+ = V. Sytuacja taka jest zlustrowana na rysunku 4 m pomędzy portfelam narożnym 3 4. ekedy zdarza sę jednak, że tylko jedna z charakterystyk przyjmuje gorszą z wartośc (rysunek 4, mędzy portfelam 2 3). Rysunek 4. Charakterystyk portfel narożnych portfel o maksymalnej skośnośc dla modelu 4 (rok 200) Źródło: opracowane własne.

10 32 Renata Dudzńska-Baryła, Donata Kopańska-Bródka, Ewa Mchalska Empryczna analza portfel o maksymalnej skośnośc, których wybrane charakterystyk odpowadają charakterystykom portfel narożnych, prowadz do wnosku, że wzrost skośnośc portfela odbywa sę kosztem spadku wartośc oczekwanej lub wzrostu warancj albo pogorszenem obu tych charakterystyk jednocześne. Uwag końcowe W klasycznej teor Markowtza wyboru portfela akcj podstawowym charakterystykam służącym do oceny nwestycj są wartość oczekwana oraz warancja losowej stopy zwrotu portfela (Markowtz 952). Jednak podejśce take wymaga określonych założeń dotyczących rozkładu losowych stóp zwrotu (rozkład normalny) lub postac funkcj użytecznośc nwestora (funkcja kwadratowa), które zwykle ne są spełnone. rzyjmuje sę, że modele uwzględnające wyższe momenty rozkładu odnoszą sę do dowolnych rozkładów stóp zwrotu ne podlegają tak ostrej krytyce jak model uwzględnający tylko średną warancję. Jednak modyfkacja dwuparametrycznego modelu Markowtza o dodatkowe krytera powoduje to, że otrzymywane zadana są złożonym problemam optymalzacyjnym. onadto uwzględnene mar skośnośc zależnych od trzecego momentu centralnego dodatkowo komplkuje problem, poneważ mary te, a ścślej ch estymatory, są bardzo wrażlwe na punkt początkowy okres, z jakego pochodzą obserwacje. Mmo tych wszystkch trudnośc coraz częścej w analze portfelowej wykorzystywane jest zarówno kryterum maksymalnej dodatnej skośnośc, jak mnmalnej kurtozy, a poszukwane dobrych efektywnych narzędz służących wyznaczanu grancy efektywnej jest w dalszym cągu problemem otwartym. Lteratura Ardtt F.D. (975), Skewness and Investor s Decsons: A Reply, The Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, vol. 0, s Athayde G., Flores R. (2004), Fndng a Maxmum Skewness ortfolo A General Soluton to Three-Moments ortfolo Choce, Journal of Economc Dynamcs and Control, vol. 28, s Barone-Ades G. (985), Arbtrage Equlbrum wth Skewed Asset Returns, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, vol. 20, s Chunhachnda., Dandapan K., Hamd S., rakash A.J. (997), ortfolo Selecton and Skewness: Evdence from Internatonal Stock Markets, Journal of Bankng and Fnance, vol. 2, s Glawschng M., Sedl I. (203), ortfolo Optmzaton wth Serally Correlated, Skewed and Fat Taled Index Returns, Central European Journal of Operatons Research, vol. 2, s Gudoln M., Tmmermann A. (2008), Internatonal Asset Allocaton under Regme Swtchng, Skew, and Kurtoss references, Revew of Fnancal Studes, vol. 2, s Haugen R.A. (996), Teora nowoczesnego nwestowana, WIG-ress, Warszawa. Jana., Roy T.K., Mazumder S.K. (2007), Mult-objectve Mean-varance-skewness Model for ortfolo Optmzaton, Advanced Modelng and Optmzaton, vol. 9, s Kane A. (982), Skewness reference and ortfolo Choce, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, vol. 7, s

11 Analza portfel narożnych z uwzględnenem skośnośc 33 Kemalbay G., Özkut C.M., Franko C. (20), ortfolo Selecton wth Hgher Moments: A olynomal Goal rogrammng Approach to ISE-30 Index, Ekonometr ve İstatstk Sayı, 3, s Km W.Ch., Fabozz F.J., Cherdto., Fox Ch. (204), Controllng ortfolo Skewness and Kurtoss Wthout Drectly Optmzng Thrd and Fourth Moments, Economc Letters, vol. 22, s Konno H., Shrakawa H., Yamazak H. (993), A Mean-absolute Devaton-skewness ortfolo Optmzaton Model, Annals of Operatons Research, vol. 45, s Kopańska-Bródka D. (red.) (2004), Wybrane problemy loścowej analzy portfel akcj, Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej w Katowcach, Katowce. La T. (99), ortfolo Selecton wth Skewness: A Mult-Objectve Approach, Revew of Quanttatve Fnance and Accountng, vol., s L X., Qn Z., Kar S. (200), Mean-varance-skewness Model for ortfolo Selecton wth Fuzzy Returns, European Journal of Operatonal Research, vol. 202, s Malevergne Y., Sornette D. (2005), Hgher-Moment ortfolo Theory, Journal of ortfolo Management, vol. 3, s Markowtz H. (952), ortfolo Selecton, Journal of Fnance, vol. 7, s rakash A.J., Chang C., actwa T. (2003), Selectng a ortfolo wth Skewness: Recent Evdence from US, European, and Latn Amercan Equty Markets, Journal of Bankng and Fnance, vol. 27, s roelss J., Schwezer D. (204), olynomal Goal rogrammng and the Implct Hgher Moment references of US Insttutonal Investors n Hedge Funds, Fnancal Markets and ortfolo Management, vol. 28, s. 28. Samuelson. (970), Effcent ortfolo Selecton for areto-levy Instruments, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, vol. 2, s Scott R.C., Horvath.A. (980), On the Drecton of reference for Moments of Hgher Order Than the Varance, Journal of Fnance, vol. 35, s Sharpe W.F. (2000), Macro-Investment Analyss: Optmzaton. The Crtcal Lne Method, web.stanford. edu/~wfsharpe/ma/opt/ma_opt3.htm ( ). Smonson D. (972), The Speculatve Behavor of Mutual Funds, Journal of Fnance, vol. 27, s Xong J.X., Idzorek T.M. (20), The Impact of Skewness and Fat Tals on the Asset Allocaton Decson, Fnancal Analysts Journal, vol. 67, s Analyss of skewness for corner portfolos Abstract: The man am of the process of nvestment decson support s to create the best combnaton of fnancal nstruments, whch satsfes the desred condtons. Although the model of optmal portfolo selecton proposed by Markowtz s of great mportance n the theory of fnance and nvestment practce, n the lght of assumptons ts legtmacy s questoned. Many researchers have ndcated the need to modfy t, because the assumed trade-off between return and rsk s nsuffcent. We examne effectve portfolos by consderng the frst three moments of the dstrbuton of returns. In ths approach, the optmal allocaton of captal also depends on the nvestor s preferences regardng the skewness measured by the thrd central moment. Such portfolos are analyzed (for selected populaton of stocks lsted on Warsaw Stock Exchange), whose frst two moments of the dstrbuton are consstent wth the parameters of corner portfolos belongng to the effcent fronter obtaned on the bass of the rsk-return model. Keywords: skewness, effcent fronter, corner portfolos, modfed Markowtz model

12