Symetrie i prawa zachowania Wykład 6

Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/29

Rola symetrii Największym problem przy badaniu układów mechanicznych nie jest napisanie równań ruchu, ale ich scałkowanie. Wielkości zachowane występujące w danym układzie pozwalają ograniczyć liczbę niezbędnych całkowań i dostarczają istotnych informacji na temat samego układu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/29

Rola symetrii Największym problem przy badaniu układów mechanicznych nie jest napisanie równań ruchu, ale ich scałkowanie. Wielkości zachowane występujące w danym układzie pozwalają ograniczyć liczbę niezbędnych całkowań i dostarczają istotnych informacji na temat samego układu. Np. prawo zachowania energii mówi nam, jaka będzie prędkość wahadła przy przejściu przez najniższy punkt. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/29

Rola symetrii Największym problem przy badaniu układów mechanicznych nie jest napisanie równań ruchu, ale ich scałkowanie. Wielkości zachowane występujące w danym układzie pozwalają ograniczyć liczbę niezbędnych całkowań i dostarczają istotnych informacji na temat samego układu. Np. prawo zachowania energii mówi nam, jaka będzie prędkość wahadła przy przejściu przez najniższy punkt. Postaramy się znaleźć wzajemny związek pomiędzy wielkościami zachowanymi a symetriami układu fizycznego. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/29

Pędy uogólnione Zaczniemy od definicji pędu uogólnionego sprzężonego do współrzędnejq j p j L q j, j =1,2,...,n. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/29

Pędy uogólnione Zaczniemy od definicji pędu uogólnionego sprzężonego do współrzędnejq j p j L q j, j =1,2,...,n. Przykład 1: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do współrzędnej kartezjańskiejx j swobodnegopunktumaterialnegoporuszającego się w przestrzeni trójwymiarowej. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/29

Pędy uogólnione Zaczniemy od definicji pędu uogólnionego sprzężonego do współrzędnejq j p j L q j, j =1,2,...,n. Przykład 1: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do współrzędnej kartezjańskiejx j swobodnegopunktumaterialnegoporuszającego się w przestrzeni trójwymiarowej. Funkcja Lagrange a ma postać L = 1 2 m v2 = 1 ) (ẋ 2 m 1 2 +ẋ2 2 +ẋ3 2 = 1 2 mẋ iẋ i. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/29

Pędy uogólnione Pęduogólnionysprzężonydox j p j = L ẋ j = 1 2 m2ẋ i ẋ i ẋ j =mẋ i δ ij =mẋ j, j =1,2,3, jestj-tąskładowązwykłegopędu p =m v. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/29

Pędy uogólnione Pęduogólnionysprzężonydox j p j = L ẋ j = 1 2 m2ẋ i ẋ i ẋ j =mẋ i δ ij =mẋ j, j =1,2,3, jestj-tąskładowązwykłegopędu p =m v. Przykład 2: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do kąta wychylenia ϕ wahadła matematycznego. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/29

Pędy uogólnione Pęduogólnionysprzężonydox j p j = L ẋ j = 1 2 m2ẋ i ẋ i ẋ j =mẋ i δ ij =mẋ j, j =1,2,3, jestj-tąskładowązwykłegopędu p =m v. Przykład 2: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do kąta wychylenia ϕ wahadła matematycznego. y x Funkcja Lagrange a ma postać ϕ l L =T V = 1 2 m (ẋ 2 +ẏ 2) mgh. h m Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/29

Pędy uogólnione Pęduogólnionysprzężonydox j p j = L ẋ j = 1 2 m2ẋ i ẋ i ẋ j =mẋ i δ ij =mẋ j, j =1,2,3, jestj-tąskładowązwykłegopędu p =m v. Przykład 2: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do kąta wychylenia ϕ wahadła matematycznego. y x Funkcja Lagrange a ma postać ϕ l L =T V = 1 2 m (ẋ 2 +ẏ 2) mgh. h m { x =lsinϕ y = lcosϕ {ẋ =l ϕcosϕ ẏ =l ϕsinϕ Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/29

Pędy uogólnione Przepiszmy funkcję Lagrange a uwzględniając podane równania transformacyjneiwstawiająch =l lcosϕ L = 1 2 m (ẋ 2 +ẏ 2) mgh = 1 ) (l 2 m 2 ϕ 2 cos 2 ϕ+l 2 ϕ 2 sin 2 ϕ mg (l lcosϕ). Stały wyraz mgl w funkcji Lagrange a jest nieistotny, gdyż zarówno definicja pędu jaki i równania ruchu zawierają tylko pochodne L, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/29

Pędy uogólnione Przepiszmy funkcję Lagrange a uwzględniając podane równania transformacyjneiwstawiająch =l lcosϕ L = 1 2 m (ẋ 2 +ẏ 2) mgh = 1 ) (l 2 m 2 ϕ 2 cos 2 ϕ+l 2 ϕ 2 sin 2 ϕ mg (l lcosϕ). Stały wyraz mgl w funkcji Lagrange a jest nieistotny, gdyż zarówno definicja pędu jaki i równania ruchu zawierają tylko pochodne L, dlatego możemy go pominąć Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/29

Pędy uogólnione Przepiszmy funkcję Lagrange a uwzględniając podane równania transformacyjneiwstawiająch =l lcosϕ L = 1 2 m (ẋ 2 +ẏ 2) mgh = 1 ) (l 2 m 2 ϕ 2 cos 2 ϕ+l 2 ϕ 2 sin 2 ϕ mg (l lcosϕ). Stały wyraz mgl w funkcji Lagrange a jest nieistotny, gdyż zarówno definicja pędu jaki i równania ruchu zawierają tylko pochodne L, dlatego możemy go pominąć i po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej rozpatrywać funkcję Lagrange a postaci L = 1 2 ml2 ϕ 2 +mglcosϕ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/29

Pędy uogólnione Obliczmy pęd uogólniony sprzężony do ϕ p ϕ = L ϕ = ( 1 ϕ 2 ml2 ϕ +mglcosϕ) 2 = 1 2 ml2 2 ϕ =l ml ϕ =l mv ϕ, gdzie w ostatniej równości uwględniliśmy związek pomiędzy prędkością kątową ϕ i prędkością liniową w kierunku kąta ϕ, v ϕ =l ϕ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/29

Pędy uogólnione Obliczmy pęd uogólniony sprzężony do ϕ p ϕ = L ϕ = ( 1 ϕ 2 ml2 ϕ +mglcosϕ) 2 = 1 2 ml2 2 ϕ =l ml ϕ =l mv ϕ, gdzie w ostatniej równości uwględniliśmy związek pomiędzy prędkością kątową ϕ i prędkością liniową w kierunku kąta ϕ, v ϕ =l ϕ. Widzimy, że pęd uogólniony sprzężony do kąta ϕ jest momentem pędu wahadła względem punktu zawieszenia nici. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/29

Pędy uogólnione Obliczmy pęd uogólniony sprzężony do ϕ p ϕ = L ϕ = ( 1 ϕ 2 ml2 ϕ +mglcosϕ) 2 = 1 2 ml2 2 ϕ =l ml ϕ =l mv ϕ, gdzie w ostatniej równości uwględniliśmy związek pomiędzy prędkością kątową ϕ i prędkością liniową w kierunku kąta ϕ, v ϕ =l ϕ. Widzimy, że pęd uogólniony sprzężony do kąta ϕ jest momentem pędu wahadła względem punktu zawieszenia nici. Nadal jest on jednak wielkością czysto mechaniczną. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/29

Pędy uogólnione Inaczej będzie w przypadku, gdy fukcja Larange a L zawiera potencjał uogólniony zależny od prędkości, co ilustruje kolejny przykład. Przykład 3: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do kartezjańskiej współrzędnejx j wektorapołożeniacząstkiomasiemiładunku elektrycznym q znajdującej się w polu elektromagnetycznym o potencjaleskalarnymϕ( r,t)ipotencjalewektorowym A( r,t). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/29

Pędy uogólnione Inaczej będzie w przypadku, gdy fukcja Larange a L zawiera potencjał uogólniony zależny od prędkości, co ilustruje kolejny przykład. Przykład 3: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do kartezjańskiej współrzędnejx j wektorapołożeniacząstkiomasiemiładunku elektrycznym q znajdującej się w polu elektromagnetycznym o potencjaleskalarnymϕ( r,t)ipotencjalewektorowym A( r,t). Jak pokazaliśmy wcześniej(wykład 5) potencjał uogólniony ma w tym przypadku postać ( V ( r, v,t) =q ϕ( r,t) A( r,t) v ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/29

Pędy uogólnione Funkcja Lagrange a ma postać L =T V = 1 2 mẋ iẋ i q(ϕ A i ẋ i ). Obliczmypęduogólnionysprzężonydox j,j =1,2,3, p j = L = 1 ẋ j 2 m2ẋ ẋ i ẋ i i +qa i =mẋ i δ ij +qa i δ ij =mẋ j +qa j, ẋ j ẋ j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/29

Pędy uogólnione Funkcja Lagrange a ma postać L =T V = 1 2 mẋ iẋ i q(ϕ A i ẋ i ). Obliczmypęduogólnionysprzężonydox j,j =1,2,3, p j = L = 1 ẋ j 2 m2ẋ ẋ i ẋ i i +qa i =mẋ i δ ij +qa i δ ij =mẋ j +qa j, ẋ j ẋ j co możemy zapisać wektorowo p =m v +qa. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/29

Pędy uogólnione Funkcja Lagrange a ma postać L =T V = 1 2 mẋ iẋ i q(ϕ A i ẋ i ). Obliczmypęduogólnionysprzężonydox j,j =1,2,3, p j = L = 1 ẋ j 2 m2ẋ ẋ i ẋ i i +qa i =mẋ i δ ij +qa i δ ij =mẋ j +qa j, ẋ j ẋ j co możemy zapisać wektorowo p =m v +q A. Oprócz części mechanicznej, mamy tu składnik związany z potencjałem wektorowym pola elektromagnetycznego. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/29

Współrzędne cykliczne JeślifunkcjaLagrange azależytylkoodprędkości q j,aniezależy ododpowiedniejwspółrzędnejuogólnionejq j,totakąwspółrzędną nazywamy współrzędną cykliczną. Dla współrzędnej cyklicznej z definicji zachodzi L q j =0, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/29

Współrzędne cykliczne JeślifunkcjaLagrange azależytylkoodprędkości q j,aniezależy ododpowiedniejwspółrzędnejuogólnionejq j,totakąwspółrzędną nazywamy współrzędną cykliczną. Dla współrzędnej cyklicznej z definicji zachodzi L q j =0, a po skorzystaniu z odpowiedniego równania Lagrange a II rodzaju otrzymamy d dt L q j }{{} p j L =0 dp j q j dt =0 p j =const. }{{} 0 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/29

Współrzędne cykliczne Widzimy, że pęd uogólniony sprzężony do współrzędnej cyklicznej jest zachowany. Postarajmy się powiązać ten fakt z pewną symetrią układu fizycznego opisywanego funkcją Lagrange a L. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/29

Współrzędne cykliczne Widzimy, że pęd uogólniony sprzężony do współrzędnej cyklicznej jest zachowany. Postarajmy się powiązać ten fakt z pewną symetrią układu fizycznego opisywanego funkcją Lagrange a L. JeślifunkcjaLagrange aniezależyodwspółrzędnejuogólnionejq j, to możemy dokonać dowolnego przesunięcia(translacji) tej współrzędnejostałąwielkośća j q j q j =q j +a j q j = q j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/29

Współrzędne cykliczne Widzimy, że pęd uogólniony sprzężony do współrzędnej cyklicznej jest zachowany. Postarajmy się powiązać ten fakt z pewną symetrią układu fizycznego opisywanego funkcją Lagrange a L. JeślifunkcjaLagrange aniezależyodwspółrzędnejuogólnionejq j, to możemy dokonać dowolnego przesunięcia(translacji) tej współrzędnejostałąwielkośća j q j q j =q j +a j q j = q j i funkcja Lagrange a po transformacji będzie miała dokładnie taką samą postać, jak przed transformacją. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/29

Współrzędne cykliczne Widzimy, że pęd uogólniony sprzężony do współrzędnej cyklicznej jest zachowany. Postarajmy się powiązać ten fakt z pewną symetrią układu fizycznego opisywanego funkcją Lagrange a L. JeślifunkcjaLagrange aniezależyodwspółrzędnejuogólnionejq j, to możemy dokonać dowolnego przesunięcia(translacji) tej współrzędnejostałąwielkośća j q j q j =q j +a j q j = q j i funkcja Lagrange a po transformacji będzie miała dokładnie taką samą postać, jak przed transformacją. Mówimy, że układ ma symetrię translacyjną ze względu na współrzędnąq j. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/29

Współrzędne cykliczne Widzimy, że prawo zachowania pędu w pewnym kierunku możemy dość prosto powiązać z symetrią układu fizycznego ze względu na translacje w tym samym kierunku. Podobnie, niezmienniczość obrotowa układu fizycznego względem pewnej osi symetrii, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/29

Współrzędne cykliczne Widzimy, że prawo zachowania pędu w pewnym kierunku możemy dość prosto powiązać z symetrią układu fizycznego ze względu na translacje w tym samym kierunku. Podobnie, niezmienniczość obrotowa układu fizycznego względem pewnej osi symetrii, która wiąże się z niezmienniczością względem przesunięć kąta obrotu, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/29

Współrzędne cykliczne Widzimy, że prawo zachowania pędu w pewnym kierunku możemy dość prosto powiązać z symetrią układu fizycznego ze względu na translacje w tym samym kierunku. Podobnie, niezmienniczość obrotowa układu fizycznego względem pewnej osi symetrii, która wiąże się z niezmienniczością względem przesunięć kąta obrotu, prowadzi do zachowania odpowiedniej składowej momentu pędu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/29

Współrzędne cykliczne Widzimy, że prawo zachowania pędu w pewnym kierunku możemy dość prosto powiązać z symetrią układu fizycznego ze względu na translacje w tym samym kierunku. Podobnie, niezmienniczość obrotowa układu fizycznego względem pewnej osi symetrii, która wiąże się z niezmienniczością względem przesunięć kąta obrotu, prowadzi do zachowania odpowiedniej składowej momentu pędu. Ilustruje to następujący, rozpatrywany już wcześniej, przykład. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/29

Współrzędne cykliczne Przykład4:Punktmaterialnyomasiemporuszasiępo wewnętrznej powierzchni stożka o kącie półrozwartości α. z g α m Funkcja Lagrange a we współrzędnych cylindrycznych ma postać ϕ r y L = 1 2 m [(1+ctgα)ṙ 2 +r 2 ϕ 2] mgrctgα x Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/29

Współrzędne cykliczne Przykład4:Punktmaterialnyomasiemporuszasiępo wewnętrznej powierzchni stożka o kącie półrozwartości α. z g α m Funkcja Lagrange a we współrzędnych cylindrycznych ma postać ϕ r y L = 1 2 m [(1+ctgα)ṙ 2 +r 2 ϕ 2] mgrctgα x Widzimy, że ϕ jest współrzędną cykliczną. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/29

Współrzędne cykliczne Przykład4:Punktmaterialnyomasiemporuszasiępo wewnętrznej powierzchni stożka o kącie półrozwartości α. z g α m Funkcja Lagrange a we współrzędnych cylindrycznych ma postać ϕ r y L = 1 2 m [(1+ctgα)ṙ 2 +r 2 ϕ 2] mgrctgα x Widzimy, że ϕ jest współrzędną cykliczną. W takim razie p ϕ = L ϕ =mr2 ϕ =const, ale p ϕ =r mr ϕ }{{} v ϕ =L z =const. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/29

Współrzędne cykliczne Dzięki odpowiedniemu wyborowi układu współrzędnych, niezmienniczość obrotowa rozpatrywanego układu fizycznego względem osi Oz została sprowadzona do niezmienniczości ze względu na przesunięcia kąta ϕ, a równanie Lagrange a d L dt ϕ L ϕ =0, które jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/29

Współrzędne cykliczne Dzięki odpowiedniemu wyborowi układu współrzędnych, niezmienniczość obrotowa rozpatrywanego układu fizycznego względem osi Oz została sprowadzona do niezmienniczości ze względu na przesunięcia kąta ϕ, a równanie Lagrange a d L dt ϕ L ϕ =0, które jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, zostało sprowadzone do równania różniczkowego pierwszego rzędu p ϕ =mr 2 ϕ ϕ = p ϕ mr 2. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/29

Współrzędne cykliczne Dzięki odpowiedniemu wyborowi układu współrzędnych, niezmienniczość obrotowa rozpatrywanego układu fizycznego względem osi Oz została sprowadzona do niezmienniczości ze względu na przesunięcia kąta ϕ, a równanie Lagrange a d L dt ϕ L ϕ =0, które jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, zostało sprowadzone do równania różniczkowego pierwszego rzędu p ϕ =mr 2 ϕ ϕ = p ϕ mr 2. Tym samym liczba całkowań niezbędnych do rozwiązania równania ruchu została zredukowana o jeden. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/29

Twierdzenie Noether Związek pomiędzy prawami zachowania a symetriami układu fizycznego ma charakter uniwersalny, czego dowiodła Emmy Noether(1882 1935). Zanim sformułujemy twierdzenie Noether przeanalizujmy sytuację, której ono dotyczy. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/29

Twierdzenie Noether Związek pomiędzy prawami zachowania a symetriami układu fizycznego ma charakter uniwersalny, czego dowiodła Emmy Noether(1882 1935). Zanim sformułujemy twierdzenie Noether przeanalizujmy sytuację, której ono dotyczy. Rozważmy transformację współrzędnych układu o n stopniach swobody q i q i =q i (q 1,q 2,...,q n,t,α), i =1,2,...,n, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/29

Twierdzenie Noether Związek pomiędzy prawami zachowania a symetriami układu fizycznego ma charakter uniwersalny, czego dowiodła Emmy Noether(1882 1935). Zanim sformułujemy twierdzenie Noether przeanalizujmy sytuację, której ono dotyczy. Rozważmy transformację współrzędnych układu o n stopniach swobody q i q i =q i (q 1,q 2,...,q n,t,α), i =1,2,...,n, która jest różniczkowalna w sposób ciągły względem ciągłego parametru α i odwracalna q i q i =q i ( q 1,q 2,...,q n,t,α ), i =1,2,...,n. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/29

Twierdzenie Noether Ponadto, dla wygody zakładamy, że q i (q 1,q 2,...,q n,t,α) =q i, i =1,2,...,n, α=0 co oznacza, że rozpatrywana transformacja ewoluuje w sposób ciągły wraz z parametrem α od transformacji identycznościowej, któraodpowiadaα =0. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/29

Twierdzenie Noether Ponadto, dla wygody zakładamy, że q i (q 1,q 2,...,q n,t,α) =q i, i =1,2,...,n, α=0 co oznacza, że rozpatrywana transformacja ewoluuje w sposób ciągły wraz z parametrem α od transformacji identycznościowej, któraodpowiadaα =0. Przykładem takiej transformacji jest translacja punktu materialnego o stały wektor a: r r = r +α a r = r α a, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/29

Twierdzenie Noether Ponadto, dla wygody zakładamy, że q i (q 1,q 2,...,q n,t,α) =q i, i =1,2,...,n, α=0 co oznacza, że rozpatrywana transformacja ewoluuje w sposób ciągły wraz z parametrem α od transformacji identycznościowej, któraodpowiadaα =0. Przykładem takiej transformacji jest translacja punktu materialnego o stały wektor a: przy czym r r = r +α a r = r α a, r α=0 = r, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/29

Twierdzenie Noether y obrót punktu o kąt α względem osi Oz układu kartezjańskiego: y y r α β x r x x { x =rcos(β +α) y =rsin(β +α) { x =rcosβ y =rsinβ x =rcosβcosα rsinβsinα =xcosα ysinα y =rsinβcosα+rcosβsinα =xsinα+ycosα z =z Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 16/29

Twierdzenie Noether Obrót odwrotny otrzymamy podstawiając α α x =xcosα ysinα y =xsinα+ycosα z =z x =x cosα+y sinα y = x sinα+y cosα z =z Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/29

Twierdzenie Noether Obrót odwrotny otrzymamy podstawiając α α x =xcosα ysinα y =xsinα+ycosα z =z x =x cosα+y sinα y = x sinα+y cosα z =z a dla α = 0 otrzymamy transformację identycznościową. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/29

Twierdzenie Noether Obrót odwrotny otrzymamy podstawiając α α x =xcosα ysinα y =xsinα+ycosα z =z x =x cosα+y sinα y = x sinα+y cosα z =z a dla α = 0 otrzymamy transformację identycznościową. Zapiszmy powyższe równania w formie macierzowej: x y = z x y z = cosα sinα 0 sinα cosα 0 0 0 1 cosα sinα 0 sinα cosα 0 0 0 1 x y z x y z r =A r, r =A T r, gdziea T oznaczamacierztransponowanądomacierzya. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/29

Twierdzenie Noether Funkcja Lagrange a w nowych współrzędnych ma postać L(q, q,t) =L ( q ( q,t,α ), q ( q,t,α ),t ) L ( q, q,t,α ). Obliczmy pochodną L n ( ) L α = q i q i=1 i α + L q i n [ ( d L = q i α dt q i=1 i ) qi α + L d q i dt ] q i, α Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/29

Twierdzenie Noether Funkcja Lagrange a w nowych współrzędnych ma postać L(q, q,t) =L ( q ( q,t,α ), q ( q,t,α ),t ) L ( q, q,t,α ). Obliczmy pochodną L n ( ) L α = q i q i=1 i α + L q i n [ ( d L = q i α dt q i=1 i ) qi α + L d q i dt gdzie skorzystaliśmy z równań Lagrange a II rodzaju i zamieniliśmy kolejność różniczkowania L = d ( ) L q i, q i dt q i α = d q i dt α. ] q i, α Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/29

Twierdzenie Noether Funkcja Lagrange a w nowych współrzędnych ma postać L(q, q,t) =L ( q ( q,t,α ), q ( q,t,α ),t ) L ( q, q,t,α ). Obliczmy pochodną L n ( ) L α = q i q i=1 i α + L q i n [ ( d L = q i α dt q i=1 i ) qi α + L d q i dt gdzie skorzystaliśmy z równań Lagrange a II rodzaju i zamieniliśmy kolejność różniczkowania L = d ( ) L q i, q i dt q i α = d q i dt α. Wyrażeniepodsumąpoprawejstroniewzoruna L α jestpochodną iloczynu L n α = i=1 ( ) d L q i = d ( n dt q i α dt i=1 ) L q i. q i α Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/29 ] q i, α

Twierdzenie Noether Układ fizyczny ma symetrię ze względu na rozpatrywaną transformację,jeślinowafunkcjalagrange al (q, q,t,α)jest równa wyjściowej funkcji L(q, q, t) wyrażonej przez nowe współrzędne L(q, q,t) =L ( q, q,t,α ) =L ( q, q,t ). Biorąc pod uwagę niezmienniczość cechowania równań Lagrange a II rodzaju, warunek symetrii będzie również spełniony jeśli po prawej stronie tej równości dodamy zupełną pochodną czasową dowolnej różniczkowalnej funkcji współrzędnych, czasu i parametru α L ( q, q,t,α ) =L ( q, q,t ) + d dt F( q,t,α ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 19/29

Twierdzenie Noether Różniczkując powyższy związek po α otrzymamy α L ( q, q,t,α ) = α L( q, q,t ) + α = d αdt F( q,t,α ), gdyż ze względu na symetrię α L( q, q,t ) = L(q, q,t) =0. α d dt F( q,t,α ) Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/29

Twierdzenie Noether Różniczkując powyższy związek po α otrzymamy α L ( q, q,t,α ) = α L( q, q,t ) + α = d αdt F( q,t,α ), gdyż ze względu na symetrię α L( q, q,t ) = L(q, q,t) =0. α d dt F( q,t,α ) Zamieniając kolejność różniczkowania otrzymamy następujący warunek symetrii α L ( q, q,t,α ) = d dt α F( q,t,α ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/29

Twierdzenie Noether Wstawmy teraz do warunku symetrii wyprowadzony uprzednio wzór L α = d ( n ) L q i, dt q i=1 i α wówczas otrzymamy równość ( d n ) L q i = d F dt q i=1 i α dt α. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/29

Twierdzenie Noether Wstawmy teraz do warunku symetrii wyprowadzony uprzednio wzór L α = d ( n ) L q i, dt q i=1 i α wówczas otrzymamy równość ( d n ) L q i = d F dt q i=1 i α dt α. Przenieśmywszystkonalewąstronęrównościiwstawmyα =0 ( d n L q i F ) dt q i=1 i α α =0, α=0 α=0 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/29

Twierdzenie Noether a zatem wyrażenie w nawiasie, które oznaczymy J musi być wielkością stałą J n L q i q i α F α=0 α =const. α=0 i=1 W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie Noether, które brzmi następująco. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/29

Twierdzenie Noether a zatem wyrażenie w nawiasie, które oznaczymy J musi być wielkością stałą J n L q i q i α F α=0 α =const. α=0 i=1 W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie Noether, które brzmi następująco. Jeśli funkcja Lagrange a jest niezmiennicza względem różniczkowalnej w sposób ciągły trasformacji współrzędnych q i q i =q i (q 1,q 2,...,q n,t,α), i =1,2,...,n, przyczymq i α=0 =q iisąspełnionerównaniaruchu,towielkość J określona powyżej jest stałą ruchu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/29

Twierdzenie Noether Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Noether nie jest prawdziwe, tzn., że istnieją wielkości zachowane, którym nie odpowiadają ciągłe przekształcenia symetrii. Na przykład wektor Lenza Λ = p L mα r r, gdzie r jest wektorem położenia ciała względem centrum potencjału, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/29

Twierdzenie Noether Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Noether nie jest prawdziwe, tzn., że istnieją wielkości zachowane, którym nie odpowiadają ciągłe przekształcenia symetrii. Na przykład wektor Lenza Λ = p L mα r r, gdzie r jest wektorem położenia ciała względem centrum potencjału, p =m rjegopędem, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/29

Twierdzenie Noether Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Noether nie jest prawdziwe, tzn., że istnieją wielkości zachowane, którym nie odpowiadają ciągłe przekształcenia symetrii. Na przykład wektor Lenza Λ = p L mα r r, gdzie r jest wektorem położenia ciała względem centrum potencjału, p =m rjegopędem,a L = r pmomentempędu, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/29

Twierdzenie Noether Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Noether nie jest prawdziwe, tzn., że istnieją wielkości zachowane, którym nie odpowiadają ciągłe przekształcenia symetrii. Na przykład wektor Lenza Λ = p L mα r r, gdzie r jest wektorem położenia ciała względem centrum potencjału, p =m rjegopędem,a L = r pmomentempędu,jest wielkościązachowanąwpotencjalekeplerav(r) = α r,jednaknie odpowiada mu żadne ciągłe przekształcenie symetrii. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/29

Twierdzenie Noether Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Noether nie jest prawdziwe, tzn., że istnieją wielkości zachowane, którym nie odpowiadają ciągłe przekształcenia symetrii. Na przykład wektor Lenza Λ = p L mα r r, gdzie r jest wektorem położenia ciała względem centrum potencjału, p =m rjegopędem,a L = r pmomentempędu,jest wielkościązachowanąwpotencjalekeplerav(r) = α r,jednaknie odpowiada mu żadne ciągłe przekształcenie symetrii. Zadanie1:Udowodnić,że Λ =const. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/29

Zasada zachowania energii Twierdzenie Noether w wersji przez nas udowodnionej nie obejmuje transformacji czasu. Dlatego rozpatrzymy teraz oddzielnie przypadek symetrii względem translacji czasu t t =t+a, a =const. Funkcja Lagrange a będzie symetryczna względem takich transformacji jeśli L(q, q,t) =L(q, q,t +a) L t =0. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/29

Zasada zachowania energii Twierdzenie Noether w wersji przez nas udowodnionej nie obejmuje transformacji czasu. Dlatego rozpatrzymy teraz oddzielnie przypadek symetrii względem translacji czasu t t =t+a, a =const. Funkcja Lagrange a będzie symetryczna względem takich transformacji jeśli L(q, q,t) =L(q, q,t +a) L t =0. Obliczmy zupełną pochodną czasową funkcji L ( dl n L dt = q j + L ) q j. q j q j j=1 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/29

Zasada zachowania energii Skorzystajmy z równanń Lagrange a II rodzaju L = d L. q j dt q j Wówczas otrzymamy dl dt = = [ ( ) n d L q j + L ] d q i dt q j=1 j q j dt ( ) n d L q j = d n L q j. dt q j=1 j dt q j=1 j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/29

Zasada zachowania energii Skorzystajmy z równanń Lagrange a II rodzaju L = d L. q j dt q j Wówczas otrzymamy dl dt = = [ ( ) n d L q j + L ] d q i dt q j=1 j q j dt ( ) n d L q j = d n L q j. dt q j=1 j dt q j=1 j Skąd wynika, że d n L q j L =0 h dt q j j=1 n j=1 L q j q j L =const. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/29

Zasada zachowania energii Zachowaną wielkość h nazywamy funkcją energii. Dla układów zachowawczych istnieje potencjał, niezależny od prędkości, więc V =0 L = (T V) = T. q j q j q j q j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/29

Zasada zachowania energii Zachowaną wielkość h nazywamy funkcją energii. Dla układów zachowawczych istnieje potencjał, niezależny od prędkości, więc V =0 L = (T V) = T. q j q j q j q j Dla więzów skleronomicznych i jeśli nie wykonujemy transformacji do poruszających się układów odniesienia, związki pomiędzy wektorami położenia punktów, i = 1, 2,..., N, a współrzędnymi uogólnionymi mają postać r i = r i (q 1,q 2,...,q n ) r i = n j=1 r i q j q j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/29

Zasada zachowania energii i energia kinetyczna wyraża się wzorem T = = N 1 2 m i r 2 i = i=1 ( n N N i=1 1 2 m i 1 2 m r i r i i q j q l n j=1 ) j,l=1 i=1 }{{} a jl r i q j q j q j q l = n l=1 n j,l=1 r i q l q l a jl q j q l, gdziewspółczynnikia jl niezależąodprędkościuogólnionych. Obliczmy n T n n n ( q q j = a kl q k q l k q l ) q j = a kl q j, q j q j q j j=1 j=1 k,l=1 j,k,l=1 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/29

Zasada zachowania energii n j=1 T q j q j = = = n j,k,l=1 n j,k,l=1 n j,l=1 ( ) qk q l a kl q l + q k q j q j q j a kl (δ kj q l + q k δ lj ) q j a jl q l q j + n j,k=1 a kj q k q j =2T. W takim razie znaleziona wcześniej wielkość zachowana h jest równa h = n j=1 L q j q j L = n j=1 T q j q j L =2T (T V) =T +V =E. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/29

Zasada zachowania energii W ten sposób dowiedliśmy, że funkcja energii h jest wielkością zachowaną jeśli funkcja Lagrange a nie zależy jawnie od czasu, dla układów podlegających siłom zachowawczym i więzom skleronomicznym funkcja energii h jest równa całkowitej energii układu h =E =T +V =const. W przypadku więzów reonomicznych, które mogą wykonywać pracę nad układem, całkowita energia nie musi być zachowana. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/29