LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny. Sprwdź poprwność wzorów. Określ położenie biegunów 1) równni oscylcyjnego & + ω ( + ω ( b u(, ω n > ( n n ( n n ) równni komplementrnego do oscylcyjnego & + ω ( ω ( b u(, ω n >. Zdni : ) Dobierz tk by w odpowiedzi ukłdu nie pojwiły się oscylcje. b) Dobierz tk by ukłd był stbilny. c) Dobierz tk by ukłd dochodził do stnu równowgi bez przeregulowń d) Kiedy ukłd jest niestbilny i bez oscylcji Przykłdy: 1) & ( + 5 ( + ( bu( ) & ( + ( 3) & ( + ( + ( ) & ( + ( + ( u( 5) & ( ( + ( 6) & ( ( + ( 7) & ( + 3 ( + 9( 8) & ( + ( + 9( 9) & ( 3 ( + 9( 1) & ( 3 ( + 9( 11) 5& ( + 5 ( + ( bu( 1) 13) & ( + ( + ( 1) & ( + ( ( 15) 16) & ( + ( ( 17) & ( + 3 ( + 9( 18) & ( + ( + 9( Zdni rozwiąż n dw sposoby (licząc i pierwistki orz wyznczjąc ) i porównj zgodność odpowiedzi. Ukłdy n grnicy stbilności są uznwne jko ukłdy niestbilne. Równnie sttyczne jest ukłdem stbilnym. Poprwne rozwiąznie to nie tylko zgodność odpowiedzi końcowej le również poprwne wprowdznie wrunków (ogrniczeń) w trkcie rozwiązni. ListZd.doc 1
Rozwiąznie zdnie 1 1) & + ω ( + ω ( b u(, ω n > ( n n Jeśli 1 ( ± 1) λ1, ωn ± ωn 1 ωn, to pierwistki są rzeczywiste: λ1 ωn ( + 1) i ω ( 1) λ n. Poniewż ω n >, to znk pierwistków zleży od wyrżeń: + 1 i 1. ) Jeśli > 1, to ukłd stbilny poniewż: sprwdzenie + 1< 1< 1< () 1< 1< b) 1, to ukłd niestbilny poniewż: ( ) + 1> ( ) 1> > + > sprwdzenie 1< ( ) 1< 1< c) Jeśli 1, to mmy pierwistek podwójny λ ω, ukłd stbilny. d) Jeśli 1 1, n< λ 1, ( ) ωn >, to mmy pierwistek podwójny, ukłd niestbilny. () Jeśli < 1, to pierwistki są zespolone: Re( λ1 ) Re( λ ) ωn i Im( λ1,) ± ωn 1. Poniewż ω n >, to znk części rzeczywistej (położenie pierwistków) zleży od : ) jeśli < < 1, to Re( λ1 ) Re( λ ) ωn <, ukłd stbilny, b) jeśli 1 < <, to Re( λ1 ) Re( λ) ωn >, ukłd niestbilny, c) jeśli, to Re( λ1 ) Re( λ ) ωn, ukłd n grnicy stbilności. ) & + ω ( ω ( b u(, ω n > ( n n ( ± 1) λ1, ωn ± ωn + 1 ωn + Poniewż ω n >, to znk pierwistków zleży od wyrżeń: + 1 i 1. ) Jeśli, to: sprwdzenie b) Jeśli <, to: + + 1> + 1< + 1> + 1> 1> () ( ) + + 1> ( ) + 1< > + > sprwdzenie Zwsze λ1 ωn + ωn + 1> i λ ωn ωn + 1< + + 1> ( ) () + 1> 1> + ListZd.doc
Rozwiąznie zdnie przykłd 1: & ( + 5 ( + ( bu( I. Rozwiąznie n podstwie wyznczonych pierwistków λ + 5λ+ 5, 5± 5 λ 1, Zd.1. (Odpowiedź bez oscylcji) Ukłd musi spełnić wrunek: 5 5 / Odpowiedź zd.1: 5/ Zd.1b. (Ukłd stbilny) Ukłd musi spełnić wrunek: Re(λ 1, ) < Rozwżmy dw przypdki: 1 ( < ) lub ( ) 1 () < 5 < > 5 / (b) 5 Re( λ1) Re( λ ) < zwsze Odp.1 [ b]: > 5/ () 5 / (b) 5+ 5 λ 1) < ( b) > (c) 5 5 Re( λ ) < ( c) zwsze ( b) Re( λ 1 ) < ( c) Re( λ ) < 5+ 5 5 5 < < 5 + 5 < 5 5 < ( ) 5 < 5 5 > 5 zwsze 5 < 5 < > Odp. [ b c]: 5 / > < 5/ Alterntywny sposób rozwiązni : () 5 / 5+ 5 (b) λ 1) < ( bc) > (c) 5 5 Re( λ ) < Wzory Viete dl λ + bλ+ c : λ 1+λ b /, λ 1 λ c / λ 1 < λ < λ 1 +λ < λ 1 λ > ( bc) Dl & ( + 5 ( + ( bu( λ 1 +λ 5 /1< zwsze λ 1 λ /1> > Odp. [ bc]: 5 / > < 5/ Odpowiedź zd 1b [1 ]: > 5/ < 5/ > ListZd.doc 3
Zd.1c. (Ukłd stbilny, bez oscylcji) Ukłd musi spełnić wrunek: i Re(λ 1, ) < 1 () 5 / (b) 5+ 5 λ 1) < (1 b) > (c) 5 5 Re( λ ) < (1 c) zwsze Rozwiąznie tkie jk Zd.1b/p. Odpowiedź zd 1c: < 5/ II. Rozwiąznie n podstwie włsności równni oscylcyjnego & ( + 5 ( + ( bu( 1 Jeśli > Jeśli < & ( + ω ( + ω (, ω > & ( + ω ( ω (, ω > gdzie: gdzie: ω ω > (z def.) ω ω > (z def.) ω 5 5 /( ) ω 5 5 /( ) 3 Jeśli, to pierwistkiλ 1 i λ 5 (człon inercyjno-cłkujący) ukłd n grnicy stbilności Zd.1. (Odpowiedź bez oscylcji) Ukłd musi spełnić wrunek: 1 ) równnie oscylcyjne i 1, lub ) równnie komplementrne do oscylcyjnego, lub 3 ) 1 () (b) > 1 5/( ) 1 5 / 5 / Odp.1 [ (b c) ]: > 1 () (c) 5 / < 5/ < 3 Odp. : < Odp.3 : > 1 5 /( ) 1 5 / nigdy bo ω > Odpowiedź zd 1 [1 3 ]: < 5/ < 5/ Zd.1b. (Ukłd stbilny) Ukłd musi spełnić wrunek: równnie oscylcyjne i > 1 () (b) > > 5 /( ) > zwsze bo ω > Odpowiedź zd 1b: > Zd.1c. (Ukłd stbilny, bez oscylcji) Ukłd musi spełnić wrunek: równnie oscylcyjne i 1 1 () > (b) 1 5/( ) 1 Odpowiedź zd 1c: < 5/ 5 / 5 / ListZd.doc
Rozwiąznie zdnie przykłd : & ( + ( IA. Rozwiąznie n podstwie wyznczonych pierwistków & ( + ( λ + λ+ 6 ± 6 ± 6 16 ( 6), λ 1,, Dl mmy równnie pierwszego rzędu: &( z jednym biegunem λ 1 6 /. Zd.1. (Odpowiedź bez oscylcji) 1 Jeśli, to ukłd musi spełnić wrunek: i ( 6 ) / 3 Dl ukłd również reguje bez oscylcji Odpowiedź zd.1 [1 ]: ( / 3 ) / 3 Zd.1b. (Ukłd stbilny) Jeśli, to ukłd musi spełnić wrunek: Re(λ 1, ) <. Rozwżmy dw przypdki gdy : 1 ( < ) lub ( ). W rozwiązniu nleży również uwzględnić przypdek 3 dl. 1 () <, ( 6 ) < > / 3 (b) Re( λ1) Re( λ ) < zwsze (bo > / 3) Odp.1 [ b]: > / 3 (), / 3, (b) + 6 λ 1) < ( b) zwsze (c) 6 Re( λ ) < ( c) > ( b) Re( λ 1 ) < ( c) Re( λ ) < + 6 < gdy > gdy > 6 < + 6 < 6 < ( ) 6 < 6 > zwsze 6 < 6 < > ( zwsze) gdy < gdy < + 6 > 6 > 6 > 6 < nigdy 6 > ( ) 6 > 6 > < ( zwsze) Odp. [ b c]: ( / 3 ) > < /3 ListZd.doc 5
Alterntywny sposób rozwiązni : (), / 3, + 6 (b) λ 1) < ( bc) > (c) 6 Re( λ ) < Wzory Viete dl λ + bλ+ c : λ 1+λ b /, λ 1 λ c / λ 1 < λ < λ 1 +λ < λ 1 λ > ( bc) Dl & ( + ( λ 1 + λ / < > λ 1 λ 6 / > > Odp. [ bc]: ( / 3 ) > < /3 3 () (b) λ 1 6 / < Odp.3 : zwsze Odpowiedź zd 1b [1 3 ]: > / 3 < /3 Zd.1c. (Ukłd stbilny, bez oscylcji) Jeśli, to ukłd musi spełnić wrunek: i Re(λ 1, ) < (Przypdek 1 ). W rozwiązniu nleży również uwzględnić przypdek dl. 1 (), / 3, (b) + 6 λ 1) < ( b) zwsze (c) 6 Re( λ ) < ( c) > Rozwiąznie tkie jk Zd.1b/p. () (b) λ 1 6 / < zwsze Odp. : Odpowiedź zd 1c [1 ]: < /3 /3 ListZd.doc 6
IB. Rozwiąznie n podstwie wyznczonych pierwistków & ( + ( / 6 u( & ( + ( + ( λ 6 + + λ 6 ± 16 6 6, λ 1, ±, Dl mmy równnie pierwszego rzędu: &( z jednym biegunem λ 1 6 /. Zd.1. (Odpowiedź bez oscylcji) 1 Jeśli, to ukłd musi spełnić wrunek: i 6 ( 6) / 3 Dl ukłd również reguje bez oscylcji Odpowiedź zd.1 [1 ]: ( / 3 ) / 3 Zd.1b. (Ukłd stbilny) Jeśli, to ukłd musi spełnić wrunek: Re(λ 1, ) <. Rozwżmy dw przypdki gdy : 1 ( < ) lub ( ). W rozwiązniu nleży również uwzględnić przypdek 3 dl. 1 <, 6 () ( 6 ) < (b) Re( λ1) Re( λ ) < Odp.1 [ b]: > / 3 zwsze (bo > / 3) (), / 3, (b) 6 ( b) > λ 1) + < (c) 6 Re( λ ) < ( c) zwsze ( b) Re( λ 1 ) < ( c) Re( λ ) < + 6 < 6 < 6 6 < > gdy > zwsze jeśli > 6 < ( ) 6 < 6 < > ( zwsze) 6 > zwsze > / 3 ListZd.doc 7
gdy < gdy < 6 6 < nigdy > ( ) 6 > < ( zwsze) Odp. [ b c]: ( / 3 ) > < /3 Alterntywny sposób rozwiązni z zstosowniem wzorów Viete nlogicznie jk IA 3 () (b) λ 1 6 / < Odp.3 : zwsze Odpowiedź zd 1b [1 3 ]: > / 3 < /3 Zd.1c. (Ukłd stbilny, bez oscylcji) Jeśli, to ukłd musi spełnić wrunek: i Re(λ 1, ) < (Przypdek 1 ). W rozwiązniu nleży również uwzględnić przypdek dl. 1 (), / 3, (b) 6 ( b) > λ 1) + < (c) ( c) > (c) 6 Re( λ ) < () (b) λ 1 6 / < Odp. : ( c) > Rozwiąznie tkie jk Zd.1b/p. zwsze Odpowiedź zd 1c [1 ]: < /3 /3 ListZd.doc 8
II. Rozwiąznie n podstwie włsności równni oscylcyjnego & ( + ( / 6 u( & ( + ( + ( 1 Jeśli > Jeśli < & ( + ω ( + ω (, ω > & ( + ω ( ω (, ω > gdzie: gdzie: 6 6 ω ω 6 / > (z def.) ω ω 6 / > (z def.) 1 1 ω 6 / 6 ω 6 / 6 3 Dl mmy równnie pierwszego rzędu: &( z jednym biegunem λ 1 6 /, czyli ukłd stbilny, bez oscylcji. Zd.1. (Odpowiedź bez oscylcji) Ukłd musi spełnić wrunek: 1 ) równnie oscylcyjne i 1, lub ) równnie komplementrne do oscylcyjnego, lub 3 ) 1 () (b) > 1 / 6 1 6 / 3 Odp.1 [ (b c) ]: < /3 1 () (c) < 3 Odp. : < Odp.3 : > 1 / 6 1 nigdy bo ω 6 / > Odpowiedź zd 1: [1 3 ] < /3 < /3 Zd.1b. (Ukłd stbilny) Ukłd musi spełnić wrunek: równnie oscylcyjne i >, lub 3 ) 1 () (b) > > / 6 > zwsze bo ω 6 / > Odpowiedź zd 1b: Zd.1c. (Ukłd stbilny, bez oscylcji) Ukłd musi spełnić wrunek: równnie oscylcyjne i 1 lub 3 ) 1 () > (b) 1 Odpowiedź zd 1c: /3 / 6 1 6 / 3 ListZd.doc 9
Sprwdzenie (część odpowiedzi): Przykłd Zd.1 Zd.1b Zd.1c Zd.1d 1 5/ > < 5/ / 3 / 3 < 3 > i < 5 < 6 zwsze nigdy nigdy zwsze 7 > 8 9 9 i 9 1/ nigdy nigdy 1 zwsze nigdy nigdy Uwgi i podpowiedzi 1) Rozwiązywnie nierówności z pierwistkiem: - wyzncz dziedzinę - wykonj przeksztłceni, tk by po jednej stronie zostł tylko pierwistek - podnieś obustronnie do kwdrtu, pmiętjąc, że: (1) gdy obie strony są dodtnie, znk nierówności jest zchowny, () gdy obie strony są ujemne, znk nierówności zmieni się, (3) gdy jedn stron dodtni drug ujemn, to nierówność będzie lbo zwsze prwdziw, lbo zwsze fłszyw (więc nie m potrzeby podnosić do kwdrtu). () pierwistek kwdrtowy podniesiony do kwdrtu zwsze jest dodtni, np. 16 (nie rozwżmy dwóch wrtości 16 16 ) - wyzncz odpowiedź uwzględnijąc dziedzinę funkcji 5< 5 Dziedzin: 5 5 5 5 > < -5 5 )Jeśli 5, czyli 5, to: + > + > 8 Dziedzin: Dziedzin: + 8> ` < > + > 8 < 1 )Jeśli, czyli, to: < < - () 5< 5 < 5 ( ) 5 (1,) 5< 5 1+ 1 < 5 < 5 Odp. ): < 5 5 < 5 W dziedzinie jest tylko 5 b)jeśli 5 <, czyli > 5, to: 5< 5 (3,) (dodtnie) < (ujemne) Odp.b) nigdy Odp. cłkowit ( b): 5 > ( ) > (1,) > 16 8+ 9+ 18< 3 < < 6 3< < 6 3< (w dziedzinie) Odp.) ( ) Jeśli <, czyli > >, to: (3,) (dodtnie) > (ujemne) Odp.b) zwsze Odp. cłkowit ( b): 3 < > > 3 Odp.cłkowit: < 1 ListZd.doc 1