Obciążenie ciągłe równoierne ecanika teoretyczna Wykład nr Wyznaczanie reakcji. eki rzegubowe. ay. Siły wewnętrzne. Obciążenie ciągłe trójkątne iara wyadkowej obciążenia rozłożonego iniowo równa jest ou figury oisującej obciążenie i owinna zostać rzyłożona w środku ciężkości tej figury. Obciążenie ciągłe dowone W () W W W ( ) ( ) W Obciążenie ciągłe oente rzegub ołączenie eeentów rętowyc w taki sosób, że ogą się one swobodnie obracać (nie owstaje oent ogący rzeciwdziałać obrotowi). Uzyskuje się dodatkowy unkt, w który oent wewnętrzny jest równy zero. oent w rzegubie od sił zewnętrznyc znajdującyc się o jednej ze stron rzegubu równy jest. 6 odział ray w rzegubie odatkowe równanie da rzegubu zwarte równanie 7 abo 8
9 eki rzegubowe rozkład na beki roste eki roste równania równowagi, eakcje beki rzegubowe () ozwiązanie odstawienie danyc eakcje beki rzegubowe () Wyadkowa obciążenia trójkątnego ½ 6 Sua oentów wzgęde rzegubu ( ) ½( ) ½( )
ozwiązanie odstawienie danyc 8 8 9 9 9 8 9 9 eki rzegubowe () 7,,, 8 8 8,, 9 9 9 9 (,), eki roste równania równowagi 8 Sąsiadujące rzeguby F F F 9 9 niewiadoyc 9 równań F F eakcje beki rzegubowe () cos F sin F 6 sin 7 F, sin ozwiązanie F F Sąsiadujące rzeguby łatwość rozwiązania ównania wzgęde sąsiadującyc rzegubów eiej zaisać z tej saej strony. cos F sin F 6 sin 7 F, sin Zasady isania dodatkowyc równań da rzegubów () 6, 8, 7, 7 F 8, 987 odatkowe równanie wzgęde rzegubu usi wykorzystywać własność rzegubu, tj. że oent w rzegubie równy jest, a więc dodatkowe równanie nie oże być zwykłą suą oentów wzgęde rzegubu, a usi być suą oentów od sił z jednej strony rzegubu.
Zasady isania dodatkowyc równań da rzegubów () Każdy rzegub usi zostać wykorzystany co najniej jeden raz. Jeżei ccey zaisać równanie da rzegubu z drugiej strony, to zastęuje ono jedno z równań odstawowyc (suę oentów wzgęde dowonego unktu). 6 Inne rodzaje obciążeń Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż ręta. Obciążenie ionowe na ręcie ukośny intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości ręta. 7 eakcje raa trójrzegubowa () 8 eakcje raa trójrzegubowa () 9 eakcje raa rzegubowa () eakcje raa rzegubowa () cos sin cos aa nawowa aa nawowa równania równowagi, G, F F G
aa ze ściągie reakcje odorowe ( niewiadoe) Siły w ściągu cztery dodatkowe równania aa ze ściągie 7 niewiadoyc rzeguby wieokrotne rzeguby, w któryc łączą się ze sobą więcej niż dwa ręty ze swobodą obrotu wzgęde ozostałyc rętów. ozwaają na zaisanie więcej niż jednego dodatkowego równania równowagi. rzeguby ojedyncze rzeguby, w któryc jeden ręt łączy się z drugi ze swobodą obrotu. ozwaa na zaisanie jednego dodatkowego równania (suy oentów wzgęde rzegubu od sił na jednej części konstrukcji oddzieonej rzegube). aa z rzegube dwukrotny 6 Stoień statycznej wyznaczaności Stoień zewnętrznej statycznej wyznaczaności n eka nrgrs; aa nrogrs; Kratownica nrrs ub nw. Oznaczenia r iczba reakcji; g iczba rzegubów ojedynczyc; o iczba ó zakniętyc; rs iczba równań statyki; iczba rętów; 7 Stoień statycznej wyznaczaności Okreśenie stonia statycznej wyznaczaności odnośnie do reakcji Układ jest statycznie wyznaczany, jeżei wsółczynnik n ; Układ jest statycznie niewyznaczany, jeżei wsółczynnik n> ; Układ jest geoetrycznie zienny, jeżei wsółczynnik n<. 8 w iczba węzłów. 9
Sosób odarcia a statyczna wyznaczaność Nie zawsze stoień statycznej wyznaczaności n gwarantuje statyczną wyznaczaność. Niewłaściwe rozieszczenie odór oże owodować, że układ będzie geoetrycznie zienny (n. reakcje równoegłe łaszczyzna rzesuwu) ub cwiowo geoetrycznie zienny (reakcje rzecinające się w jedny unkcie Układy geoetrycznie zienne (rzykłady) () Niedostateczna iczba odór. eka na trzec odorac rzesuwnyc. Trzy nieodarte rzeguby obok siebie. cwiowy środek obrotu). Układy geoetrycznie zienne (rzykłady) () Siły wewnętrzne () eka z nieodarty rzęsłe rzegubowy. Trzy reakcje kratownicy rzecinające się w jedny unkcie. ay bryłę aterianą obciążoną układe sił (siły zewnętrzne, reakcje), będącyc w równowadze. ozetniey yśowo tę bryłę na dwie części rzekroje. Siły wewnętrzne () by fragent bryły był w równowadze usiy zastąić wzajene oddziaływanie fragentów brył rzez rzyłożenie w sosób ciągły do łaszczyzny układu sił. Siły wewnętrzne () Siły te ożna zastąić rzez ic wyadkowe W i, rzyłożone w dowony unkcie rzekroju. W rzyadku naszyc rozważań unkte ty będzie środek rzekroju. W W 6 Siły rzekrojowe Wyadkową siłę W i oent ożna wyrazić rzez ic składowe W N T y T z y z W. T y T z y N z Nazwy sił rzekrojowyc Wiekości te nazwano N siła odłużna (norane) wywołuje rozciąganie ub ściskanie; Ty, Tz (ub Qy, Qz) siły orzeczne (tnące) wywołują ścinanie; oent skręcający wywołuje skręcanie; y, z oenty zginające wywołują zginanie. 7 8
rzykład Siły wewnętrzne w układac łaskic definicje () Siła norana (osiowa, odłużna) wzajene oddziaływanie części konstrukcji rzeciwdziałające ic rzesunięciu się wzdłuż osi ręta w rozważany unkcie. N N T T N N T 9 T N cos Siły wewnętrzne w układac łaskic definicje () Siła orzeczna (tnąca) wzajene oddziaływanie części konstrukcji rzeciwdziałające ic rzesunięciu się orzecznie do osi ręta w rozważany unkcie. Siły wewnętrzne w układac łaskic definicje () oent zginający wzajene oddziaływanie części konstrukcji rzeciwdziałające ic wzajeneu obrotowi w rozważany unkcie. N N T T N N T T sin T sin Siły wewnętrzne konwencja znaków Siły wewnętrzne wykresy () Siła norana rozciągająca ręt jest dodatnia. Siła orzeczna owodowana rzez obciążenie działające o ewej stronie rzekroju do góry ub o rawej stronie do dołu jest dodatnia. oent rozciągający włókna done jest dodatni. N T T N Kreskowanie (rzędne wykresu) naeży zaznaczać rostoade do osi ręta. zędne dodatnie wykresów sił noranyc i tnącyc odkłada się zazwyczaj u góry. Wykresy sił odłużnyc i orzecznyc rysujey ze znakie. sody (włókna done) Siły wewnętrzne wykresy () Wykresy oentów nie uszą być znakowane, ae naeży zwracać uwagę, aby rzędne oentu odkładać o stronie włókien rozciąganyc. zędne dodatnie wykresu oentów zginającyc odkłada się u dołu (oent dodatni, gdy rozciągane są włókna done). Wykres oentu wskazuje jak odkształci się ręt i gdzie, w oszczegónyc eeentac, włókna są rozciągane. Wykresy sił wewnętrznyc sin cos sin N T [ ] 6
unkty carakterystyczne, rzekroje Ze wzgędu na konieczność odyfikacji równań sił wewnętrznyc w bekac i raac końce rętów, unkty rzyłożenia sił czynnyc siła skuiona, oent skuiony, oczątek ub koniec obciążenia ciągłego; biernyc unkty odorowe; w raac dodatkowo węzły (ołączenia rętów o różnej krzywiźnie). rzegub rzegub jest jedynie unkte kontrony (oent równy jest ). Nie owoduje on konieczności wrowadzenia dodatkowego rzekroju. 7 8 Siła skuiona oent skuiony N T [ ] N N Obciążenie ciągłe równoierne 8 Obciążenie ciągłe oente T T 9 N T T N T T T [ ] 8 N T N 6 N T [ ] N N T T Obciążenie ciągłe iniowo zienne 6 6 N ( ) T ( ) 6 N T 6 T T ( ) [ ] 6 6 6 Warunki różniczkowe () Zaeżności różniczkowe iędzy, T, N i z(), (), (). by wyznaczyć te zaeżności rozważyy bekę swobodnie odartą, obciążoną obciążeniai ciągłyi i ciągły oente na fragencie beki. 6 6 T [ ] 6 6
Warunki różniczkowe () Z tej beki wycinay fragent rzedstawiony na rysunku. Warunki różniczkowe () o odrzuceniu wiekości ałej w orównaniu z ozostałyi z (), otrzyujey dn ( ) dt z ( ) d Z owyższyc równań wynika, że d dt z ( ) Zaeżności iędzy a, Ta oraz () 6 T ( ) Jeżei w rzedziae nie a obciążenia ciągłego orzecznego i nie wystęuje obciążenie ciągłe oente to wykres oentu jest inią rostą nacyoną do ręta. d T ( ) [ ] Zaeżności iędzy 67 ( ) 69 Warunki różniczkowe () Sua rzutów wszystkic sił na oś ozioą N ( ) ( N dn ) Sua rzutów wszystkic sił na oś ionową z Z T z ( ) ( T dt ) Sua oentów wszystkic sił wzgęde unktu O o T ( ) z ( ) ( d ) Zaeżności iędzy a, Ta oraz () Jeżei w rzedziae nie a obciążenia ciągłego orzecznego to wykres sił tnącyc jest stały, równoegły do osi ręta. T Zaeżności iędzy a, Ta oraz () dt ( ) 66 ( ) const T Jeżei w rzedziae działa stałe obciążenie ciągłe to wykres sił tnącyc jest nacyony do ręta, rzędne aeją wraz ze wzroste. T Zaeżności iędzy dt T 68 7 a, Ta oraz () Jeżei w rzedziae działa stałe obciążenie ciągłe i nie a obciążenia ciągłego oente, to wykres oentów zginającyc jest araboą (krzywą drugiego stonia). 7 a, Ta oraz () Jeżei w rzedziae zeruje się równanie siły tnącej to wykres oentów osiąga ekstreu w ty unkcie. 8 T [ ] 7
Zaeżności iędzy a, Ta oraz (6) Jeżei obciążenie ciągłe jest skierowane do dołu, to wyukłość wykresu jest skierowana w dół i odwrotnie. 8 [ ] Zaeżności iędzy a, Ta oraz (8) d ( ) d ( ) Jeżei w rzedziae działa obciążenie ciągłe iniowe to wykres oentów zginającyc jest krzywą trzeciego stonia. 7 Zaeżności iędzy a, Ta oraz (7) Jeżei w rzedziae działa obciążenie ciągłe iniowo zienne i nie a obciążenia ciągłego oente to wykres sił orzecznyc jest araboą. W unkcie, gdzie obciążenie ciągłe się zeruje araboa jest styczna do osi do ręta. 6 ( ) T Zaeżności iędzy a, Ta oraz (9) T ( ) Jeżei równanie sił tnącyc zeruje się w rzedziae, to wykres oentów osiąga ekstreu w ty unkcie. 7 6 T [ ] 7 76 Zaeżności iędzy a, Ta oraz () Jeżei obciążenie ciągłe jest skierowane do dołu, to wyukłość wykresu jest skierowana w dół i odwrotnie. ( ) Zaeżności iędzy d d [ ] 6 77 a, Ta oraz () ( ) ( ) Zaeżności iędzy a, Ta oraz () Jeżei na ręcie wystęuje siła skuiona, to na wykresie sił orzecznyc wystąi skok o tą wartość, a na wykresie oentów zginającyc wystąi załaanie wykresu. T [ ] Zaeżności iędzy a, Ta oraz i () 78 Jeżei na ręcie wystęuje oent skuiony, to na wykresie oentów zginającyc wystąi skok o wartość tego oentu. [ ] 79 Jeżei w rzedziae działa obciążenie ciągłe oente to wykres oentów zginającyc jest iniowy (iniowo zienny ub w szczegóny rzyadku stały, gdy T). d T ( ) [ ] 8
Zaeżności iędzy a, Ta oraz () Obciążenie Wykres T Wykres rak obc. ciągłego stały rosta Obc. ciągłe stałe rosta araboa o Obc. ciągłe trójkątne araboa o krzywa o Siła skuiona skok załaanie oent skuiony skok Obc. ciągłe oente rosta 8