Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność zbiorów X i Y. Istnienie bijekcji oznacza możliwość połączenia w pary elementów zbioru X z elementami zbioru Y. Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów. Wniosek: Żaden podzbiór właściwy zbioru skończonego X nie jest równoliczny z X. Def. 2. (Dedekind XIX wiek) Mówimy, że zbiór jest nieskończony, jeśli jest równoliczny z pewnym swoim podzbiorem właściwym. Uwaga 2. Jeśli A - zbiór nieskończony i A B, to B też nieskończony. Przykłady: N ~ 2N; π π (, ) ~ R; 2 2 (0, 1) ~ (0, 1]; X, 2 X ~ {0, 1} X. Własności równoliczności Tw. 1. Dla dowolnych zbiorów X, Y, Z zachodzą własności: (1) X ~ X; (2) X ~ Y Y ~ X; (3) X ~ Y Y ~ Z X ~ Z. Twierdzenie powyższe pozwala dokonać klasyfikacji zbiorów za pomocą pojęcia równoliczności i uogólnić na zbiory nieskończone pojęcie liczebności zbioru.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 2 Każdemu zbiorowi X przyporządkowuje się pewien obiekt zwany liczbą kardynalną lub mocą zbioru (oznaczany X lub X ) w taki sposób, że dwóm zbiorom przyporządkowana jest ta sama liczba kardynalna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory te są równoliczne ( X = Y X ~ Y). Tw. 2. Dla dowolnych zbiorów A, B, C, D prawdziwe są zdania: (1) (A ~ B) (C ~ D) A C ~ B D; (2) (A ~ B) (C ~ D) (A C = = B D) A C ~ B D; (3) A ~ B 2 A ~ 2 B. Zbiory przeliczalne Def. 3. Mówimy, że nieskończony zbiór X jest przeliczalny, jeśli X ~ N. Zbiór nazywamy co najwyżej przeliczalnym, jeśli jest skończony lub przeliczalny. Moc zbioru przeliczalnego oznaczamy - 0 - alef zero ( - pierwsza litera alfabetu hebrajskiego). Uwaga 3. Zbiór jest przeliczalny jego elementy można ustawić w ciąg nieskończony, w którym żaden element nie powtarza się. Uwaga 4. Suma zbioru skończonego i przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym. Uwaga 5. Podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Stw. 1. Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Wniosek: Skończona suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Przykład: Zbiór Z jest przeliczalny, gdyż Z = N {0} {-n: n N}. Stw.2. Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Przykład: Zbiór Q jest przeliczalny. Wniosek: Iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 3 Stw. 3. Przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym, czyli n N An ~ N U An ~ N. n N Przykład 1. Zbiór wszystkich ciągów skończonych o wyrazach wymiernych jest zbiorem przeliczalnym. Przykład 2. Zbiór Q[x] wszystkich wielomianów o współczynnikach wymiernych jest przeliczalny. Przykład 3. Zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest przeliczalny. (Liczby algebraiczne to pierwiastki wielomianów o współczynnikach wymiernych) Zbiory nieprzeliczalne Def. 4. Zbiór nieskończony nazywamy nieprzeliczalnym, jeśli nie jest on zbiorem przeliczalnym. Uwaga: Zbiór A jest nieprzeliczalny nie można wszystkich elementów A ustawić w ciąg, to znaczy żaden nieskończony ciąg elementów zbioru A nie zawiera wszystkich jego elementów (znajdzie się a 0 A, który nie jest elementem tego ciągu). Przykład: Zbiór liczb rzeczywistych z przedziału (0, 1) jest nieprzeliczalny. Stw. 4. Zachodzą następujące fakty: Jeżeli A zbiór nieprzeliczalny i A B, to B nieprzeliczalny; Jeżeli A nieprzeliczalny i A ~ B, to B nieprzeliczalny; Jeżeli A ~ N oraz A B i B nieprzeliczalny, to B\A nieprzeliczalny. Wnioski: 1) Zbiór R jest nieprzeliczalny; 2) Każdy przedział zawarty w R jest nieprzeliczalny; 3) Zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny; 4) Zbiór liczb przestępnych jest nieprzeliczalny (liczby przestępne stanowią dopełnienie zbioru liczb algebraicznych w R).
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 4 Uwaga: Moc zbioru R nazywamy continuum i oznaczamy gotycką literą c. Zachodzi c 0, ponieważ R L N. Porównywanie mocy zbiorów nierówności dla liczb kardynalnych Niech X, Y zbiory, X = n, Y = m. Def. 5. Liczba kardynalna n jest nie większa od liczby kardynalnej m (n m), gdy zbiór X jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru Y. Gdy n m i n m, to mówimy że n jest mniejsze niż m (n < m). Wniosek 1. Jeśli X Y, to X Y. Wniosek 2. 0 c i 0 c, więc 0 < c (bo N R). Tw. 3. Dla dowolnych niepustych zbiorów A i B następujące warunki są równoważne: (1) A B ; (2) istnieje funkcja różnowartościowa f : A B ; (3) istnieje funkcja na g : B A. Stw. 5. A = c i B = 0 i B A, to A\B = c. Tw. 4. Dla dowolnych liczb kardynalnych n, m, p zachodzą własności: (1) n n; (2) n m i m p, to n p; (3) n m i m n, to n = m. Uwaga: Własność (3) znana jest jako Tw. Cantora Bernsteina, równoważne sformułowanie: A B C i A = C, to A = B = C. Twierdzenie to pozwala znacznie uprościć dowody równoliczności zbiorów. Tw. 5. Jeśli m, n dowolne liczby kardynalne, to n m lub m n, czyli dowolne dwie liczby kardynalne są porównywalne (dowód z wykorzystaniem pewnika wyboru).
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 5 Tw. 6. (Cantora) Dla dowolnego zbioru X prawdziwa jest nierówność: X < 2 X. Wniosek 1. Istnieje nieskończenie wiele liczb kardynalnych większych od 0. 0 = N < 2 N 2 < 2 N <. Wniosek 2. Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów. Przykład: Zbiór wszystkich funkcji f : R {0,1 } ma moc większą niż c. Działania na liczbach kardynalnych 1. Dodawanie: Niech n = X, m = Y i X Y =, wtedy n+m := X Y. Działanie to jest poprawnie określone, gdyż prawdziwe jest następujące twierdzenie: Tw. 7. Jeśli X 1 = X i Y 1 = Y i X Y = i X 1 Y 1 =, to X Y = X 1 Y 1. Przykład: 0 + 0 = 0, 0 + n = 0 dla dowolnego n naturalnego. Własności dodawania liczb kardynalnych (1) n + m = m + n (przemienność) (2) m + (n + k) = (m + n) + k (łączność) (3) m n to m + k n + k (monotoniczność) (4) jeśli n 0 lub m 0, to m + n = max{m, n}. Wniosek: n + c = 0 + c = c + c = c. ( n dowolna liczba naturalna) 2. Mnożenie: Niech n = X, m = Y, wtedy n m := X Y. Działanie to jest poprawnie określone, gdyż prawdziwe jest następujące twierdzenie: Tw. 8. Jeśli X 1 ~ X i Y 1 ~ Y, to X Y ~ X 1 Y 1.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 6 Własności mnożenia liczb kardynalnych (1) n m = m n (przemienność) (2) m (n k) = (m n) k (łączność) (3) m (n + k) = m n + m k (rozdzielność mnożenia względem dodawania) (3) jeśli n liczba naturalna, to n m = m + m + + m (n składników) (5) jeśli n 0 lub m 0, to m n = max{m, n}. Wniosek: 0 n = 0 0 = 0, 0 c = c c = c. Przykład: Kwadrat [0, 1] [0, 1] jest zbiorem mocy c. Wniosek: R 2 = c. Przykład: Wykazać, że zbiór wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach ze zbioru {0, 1} jest równoliczny z przedziałem [0, 1]. Wniosek: {0, 1} N = 2 N = c = R. 3. Potęgowanie liczb kardynalnych: Niech n = X, m = Y, wtedy m n = Y X Działanie to jest poprawnie określone, gdyż prawdziwe jest następujące twierdzenie: Tw. 9. Jeśli X 1 ~ X i Y 1 ~ Y, to Y X X ~ Y 1 1. Własności potęgowania liczb kardynalnych (1) m n+k = m n m k (2) (m n) k = m k n k (3) (m n ) k = m n k.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 7 Uwaga: Jeśli m, n, k liczby kardynalne, to zachodzą następujące nierówności: 1. m n m + k n + k; 2. m n m k n k; 3. m n m k n k ; 4. m n k m k n. Przykład: N N ~ R, zbiór wszystkich ciągów o wyrazach naturalnych jest mocy c. Hipoteza continuum Czy istnieje zbiór nieprzeliczalny mocy mniejszej niż continuum? Gdyby taki zbiór nie istniał, to każdy podzbiór zbioru R byłby co najwyżej przeliczalny albo miał moc continuum. Hipotezę, że tak właśnie jest, czyli, że każdy nieprzeliczalny podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma moc continuum sformułował Georg Cantor i nazwał ją hipotezą continuum. m Card 0 < m < c. Nie udało się tej hipotezy udowodnić ani obalić. Wykazano, że na gruncie powszechnie przyjętej formalizacji matematyki, nie da się odpowiedzieć na postawione powyżej pytanie. Hierarchia alefów Tw. 10. Dla każdej liczby kardynalnej k istnieje najmniejsza liczba kardynalna od niej większa (czyli następna ozn. k + ). 0 najmniejsza nieskończona liczba kardynalna; 1 = + 0 - następna liczba po 0 ; + 2 = 1 i t. d. 1 - to najmniejsza nieprzeliczalna liczba kardynalna. Hipoteza continuum: 1 = c.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 8 Uogólniona hipoteza continuum Generalna hipoteza continuum GCH, to przypuszczenie, że dla każdej liczby kardynalnej nieskończonej k zachodzi równość: 2 k = k +. ZFC powszechnie uznany system aksjomatów Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru. W 1938 r. Austriacki matematyk Kurt Gödel udowodnił, że opierając się na systemie aksjomatów teorii mnogości, hipotezy continuum obalić się nie da, czyli, że założenie prawdziwości tej hipotezy oraz GCH nie prowadzi do sprzeczności z aksjomatami ZFC. Oznacza to, że GCH jest niesprzeczna z aksjomatami ZFC. W 1963 r. amerykański matematyk Paul Cohen uzasadnił, że gdy bazujemy na aksjomatach ZFC, nie można udowodnić hipotezy continuum (dokładnie, że negacja hipotezy continuum jest niesprzeczna z aksjomatami ZFC). Razem z twierdzeniem Gödla oznacza to, że hipoteza continuum jest niezależna od aksjomatów ZFC.