Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Zbiory

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Zbiory"

Dariusz Nowicki
7 lat temu
Przeglądów:

1 Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Zbiory Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój

2 Definicja zbioru Zbiór to kolekcja niepowtarzających się obiektów, bez wyróżnionej kolejności, nazywanych elementami zbioru. Zbiory oznaczamy dużymi literami, a ich elementy- małymi. Fakt,żeobiektanależydozbioruAzapisujemyjakoa A. Fakt,żeobiektanienależydozbioruAzapisujemyjakoa/ A. 2/21

3 Szczególne zbiory Zbiór, do którego nie należy żaden element nazywamy zbiorem pustymioznaczamy lub. Przestrzeń to zbiór, który zawiera wszystkie interesujące nas elementy z pewnej dziedziny. Przestrzeń oznaczamy symbolem Ω. 3/21

4 Określanie zbioru Wymieniamy wszystkie elementy zbioru: A={1,2,3},B={kwas,zasada,ester} Podajemy własności, które spełniają wszystkie elementy zbioru: A={x:xmod2=0},B={x:x 2 <4} 4/21

5 Dodawanie zbiorów NiechbędądanedwadowolnezbioryAorazB.SumąA B zbiorów A i B nazywamy zbiór, do którego należy każdy element zbioruaikażdyelementzbiorub. JeżeliA={1,2,3}iB={4,5},to A B={1,2,3,4,5}. JeżeliA={1,2,3,4,5}iB={1,2,3,4,5},to A B={1,2,3,4,5}. JeżeliA={1,2,3}iB={2,3,4,5},to A B={1,2,3,4,5}. 5/21

6 Różnica zbiorów NiechbędądanedwadowolnezbioryAorazB.RóżnicąA B zbiorów A i B nazywamy zbiór, do którego należy każdy element zbioru A, który nie jest elementem zbioru B. JeżeliA={1,2,3}iB={4,5},to A B={1,2,3}. JeżeliA={1,2,3,4,5}iB={1,2,3,4,5},to A B=. JeżeliA={1,2,3}iB={2,3,4,5},to A B={1}. 6/21

7 Iloczyn zbiorów NiechbędądanedwadowolnezbioryAorazB.IloczynemA B zbiorów A i B nazywamy zbiór, do którego należy każdy element zbioru A, który jest elementem zbioru B. Iloczyn zbiorów, to ich część wspólna. JeżeliA={1,2,3}iB={4,5},to A B=. JeżeliA={1,2,3,4,5}iB={1,2,3,4,5},to A B={1,2,3,4,5}. JeżeliA={1,2,3}iB={2,3,4,5},to A B={2,3}. 7/21

8 Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów Iloczyn kartezjański zbiorów A i B to zbiór wszystkich takich par uporządkowanych(a,b),żea Aib B. Przykład: A={1,2,3} B={y,z} A B={(1,y),(1,z),(2,y),(2,z),(3,y),(3,z)}. 8/21

9 Dopełnienie zbioru NiechbędądanedwadowolnezbioryΩorazA.DopełnieniemA zbioruanazywamyróżnicęω A. JeżeliΩ={1,2,3,4,5,6}iA={1,2},to A ={3,4,5,6}. JeżeliΩ={1,2,3,4,5,6}iB={1,3,5},to B ={2,4,6}. 9/21

10 Podzbiory NiechbędądanedwadowolnezbioryAorazB.ZbiórAjest podzbiorem zbioru B, jeżeli każdy element zbioru A jest jednocześnie elementem zbioru B. Fakt, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B zapisujemy A B. JeżeliA={1,2,3}iB={4,5},toAniejestpodzbioremB. JeżeliA={1,2,3,4,5}iB={1,2,3,4,5},toA B. JeżeliA={1,2,3}iB={2,3,4,5},toAniejestpodzbioremB. 10/21

11 Moc zbioru jest miarą liczby elementów w zbiorze. W przypadku zbiorów skończonych, moc zbioru jest równa liczbie jego elementów. Nieformalnie, im większa moc zbioru tym większy jest zbiór. Moc zbioru A oznaczamy A. 11/21

12 Przykłady ZbiórliczbnaturalnychN={0,1,2,...}. ZbiórliczbcałkowitychZ={..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}. ZbiórliczbwymiernychQ={ m n takich,żemin Zorazn 0}. Zbiór liczb rzeczywistych R. 12/21

13 Dodawanie i odejmowanie Dodawanie oznaczamy symbolem +. Własności dodawania: Przemienność: a+b=b+a. Dodawanie 0: a+0=0+a=a. Odejmowanie oznaczamy symbolem. Własności odejmowania: a 0=a. 0 a= a. 13/21

14 Mnożenie Mnożenie oznaczamy symbolem. Właściwości mnożenia: Przemienność: a b=b a. Rozdzielność względem dodawania: a (b+c)=a b+a c. Mnożenieprzez0i1: a 0=0. a 1=a. 14/21

15 Dzielenie Dzielenie oznaczamy symbolem:. Właściwości dzielenia: Nie dzielimy przez 0. Dzielenie liczby a przez 1: a:1=a. Dzielenie liczby a przez a: a:a=1. 15/21

16 Ułamki Ułamkiemnazywamydowolnewyrażeniepostaci a b,przyczym b 0. Dowolnąliczbęcałkowitąkmożemyprzedstawićjakoułamek k 1. Ułamki należą do zbioru liczb wymiernych i do zbioru liczb rzeczywistych. 16/21

17 Działania na ułamkach Weźmypoduwagędwaułamki a b oraz c d istałąk 0. Dodawanie ułamków: a b +c d = ad+bc bd. Odejmowanie ułamków: a b c d = ad bc bd. Mnożenie ułamków: a b c d = ac bd. Dzielenie ułamków: a b : c d = b d a c = ad bc. Mnożenie ułamka przez liczbę: k a b = k 1 a b = ka 1b = ka b. 17/21

18 Potęgowanie Niecha R,m N,m>0: a m =a a... a }{{}. mrazy a m = 1 a. m am= 1 m a. Właściwości potęgowania(a, m, n R): a 0 =1. a 1 =a. a m an =a m+n. a m :a n =a m n. (a m ) n =a m n. 18/21

19 Logarytm Niecha>0,b>0icbędąliczbamirzeczywistymi. Logarytmem przy podstawie a z liczby b nazywamy taką liczbę c, żepodstawaapodniesionadopotęgicdajeliczbęb: log a b=cwtedyitylkowtedy,gdya c =b. Właściwości logarytmu: log a 1=0. log a a=1. log a (b c)=log a b+log a c. log a b c =log ab log a c. log a b c =c log a b. log a b= 1 log b a. log b c log b a =log ac 19/21

20 Kolejność wykonywania działań Najpierw wykonujemy działania w nawiasach. Logarytm i potęgowanie. Mnożenie i dzielenie. Dodawanie i odejmowanie. Działania równorzędne wykonujemy od lewej do prawej. 20/21

21 Dziękuję za uwagę Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel Pokój /21

Podobne dokumenty

1 Działania na zbiorach

M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej