Zbiory mocy alef zero
|
|
- Jacek Rybak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Uniwersytet Rzeszowski Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Monika Łokaj Zbiory mocy alef zero Praca licencjacka wykonana w Instytucie Matematyki pod kierunkiem dra Michała Lorensa Praca została przyjęta przez promotora Rzeszów 2006
2 Podziękowania Składam serdeczne podziękowania Panu doktorowi Michałowi Lorensowi za pomoc w powstawaniu niniejszej pracy
3 Spis treści: Wstęp...4 Rozdział 1. Zbiory równoliczne...6 Rozdział 2. Liczby kardynalne zbiorów, moce zbiorów...10 Rozdział 3. Zbiory przeliczalne...14 Rozdział 4. Arytmetyka liczb kardynalnych...16 Literatura
4 Wstęp Teoria mocy, zajmująca się kwestią liczebności zbiorów i porównywaniem ich liczebności, jest jednym z głównych działów teorii mnogości. Stanowiła ona teŝ jeden z najwaŝniejszych tematów rozwaŝań Georga Cantora ( ), który jest twórcą teorii mnogości. Wprowadził on pojęcie mocy zbioru i liczby kardynalnej oraz udowodnił ich podstawowe własności. Szczególne znaczenie miały jego rozwaŝania dotyczące zbiorów nieskończonych oraz badania dotyczące mocy konkretnych zbiorów znanych z praktyki badawczej matematyków, zwłaszcza zbiorów liczb naturalnych, wymiernych i rzeczywistych. Zagadnienia te wiąŝą się z pojęciem nieskończoności, którą w piątym lub szóstym wieku przed naszą erą odkryli Grecy. Było to dla nich pojęcie tak dziwne i sprzeczne z ludzką intuicją, Ŝe skonfundowało filozofów i matematyków, którzy je wprowadzili. Przysposobiło im mnóstwa cierpień i wielu doprowadziło do obłędu. 1 Przez długie wieki pojęcie to sprawiało matematykom wiele kłopotów i było przez nich traktowane jako pojęcie niejasne. Dopiero rozwaŝania Cantora nad nieskończonymi liczbami kardynalnymi utorowały drogę do pełnej akceptacji pojęcia nieskończoności. Celem Cantora było zdefiniowanie liczby kardynalnej zbioru nieskończonego. Początkowo na oznaczenie liczby kardynalnej odpowiadającej zbiorom przeliczalnym uŝywał litery ϖ. Posługiwał się takŝe znanym symbolem, którym zwykle oznaczamy nieskończoność. Wkrótce jednak uznał, Ŝe liczby kardynalne wymagają nowego symbolu. Postanowił więc uŝyć w tym celu pierwszej litery alfabetu hebrajskiego alef,.א Cantor świadomie wybrał wiedząc o roli alefu jako symbolu Boga i nieskończoności. Poza tym z dumą powtarzał,א swoim kolegom, Ŝe specjalnie wybrał właśnie alef na oznaczenie liczb kardynalnych, gdyŝ uwaŝał je za nowy początek w matematyce, początek nowej nieskończoności Aczel A. D., Tajemnica Alefów matematyka, kabała i poszukiwania nieskończoności, Dom wydawniczy REBIS, Poznań 2002, str TamŜe, str
5 MoŜna zadać jeszcze pytanie, czy matematyka nieskończona jest potrzebna i konieczna w matematyce stosowanej. (...) Teoria mnogości jest fundamentalną teorią matematyczną, stanowiącą podstawę dla całej matematyki. (...) W matematyce współczesnej jest wiele działów, które w istotny sposób opierają się na pozaskończonej teorii mnogości. 3 W tej pracy postaram się przybliŝyć czytelnikowi podstawowe definicje i twierdzenia teorii mnogości. Udowodnię, Ŝe zbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych są równoliczne a co z tego wynika są zbiorami mocy alef zero. Przedstawię zbiory przeliczalne i co najwyŝej przeliczalne. W ostatnim rozdziale omówię arytmetykę liczb kardynalnych, zwracając szczególną uwagę na liczbę alef zero. Uwaga. W pracy przyjęłam następujące oznaczenia: N - zbiór liczb naturalnych; 2 N - zbiór liczb naturalnych parzystych; 2 N zbiór liczb naturalnych nieparzystych; Z - zbiór liczb całkowitych; Q - zbiór liczb wymiernych. 3 Murawski R., Filozofia Matematyki Zarys Dziejów, Wyd. naukowe PWN, Warszawa 2001, str
6 Rozdział 1. Zbiory równoliczne Zastanówmy się, jak stwierdzić, czy dane zbiory skończone A, B mają tę samą liczbę elementów. MoŜna po prostu policzyć elementy obu zbiorów i uzyskane liczby porównać. Metoda ta nie jest jednak zbyt praktyczna, jeśli zbiory są bardzo liczne lub gdy nie umiemy rachować. MoŜna więc zrobić inaczej: wybrać jeden z elementów zbioru A i połączyć go w parę z jednym z elementów zbioru B, później zestawić następną parę i kontynuować to postępowanie do czasu, aŝ wyczerpią się elementy któregoś ze zbiorów. Jeśli na przykład szybciej wyczerpią się elementy zbioru A, to zbiór B ma więcej elementów niŝ zbiór A, jeśli natomiast kaŝdemu elementowi ze zbioru A przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru B to zbiory te będą miały tyle samo elementów. Ta metoda stanowi podstawę określenia pojęcia równoliczności zbiorów. Definicja 1.1. Zbiorami równolicznymi (lub równej mocy) nazywamy dwa zbiory X i Y, gdy istnieje przekształcenie róŝnowartościowe zbioru X na Y ([3], str. 52). JeŜeli zbiory X i Y są równoliczne to piszemy wtedy X ~ Y. Zatem mamy: X ~ Y 1 1 f [ f : X Y ]. na Przykład 1.1. Rysunek 1.1. Funkcja ustalająca równoliczność zbioru prostokątów i kół
7 Rysunek 1.1. przedstawia prosty przykład zbiorów równolicznych. Zbiory prostokątów i kół mają tyle samo elementów, co łatwo sprawdzić, bo są skończone. Funkcja zaznaczona na rysunku strzałkami jest jednym z moŝliwych odwzorowań wzajemnie jednoznacznych jednego zbioru na drugi. Jeśli zbiór X jest zbiorem skończonym: X={a 1, a 2,..., a n }, gdzie n N, to zbiór Y jest równoliczny ze zbiorem X wtedy i tylko wtedy, gdy ma tę samą liczbę n elementów. Pojęcie równoliczności zbiorów skończonych pokrywa się więc z elementarnym pojęciem równej liczby elementów tych zbiorów ([3], str. 52). Przykład 1.2. a) Zbiory liczb naturalnych i liczb parzystych są równoliczne. Liczby naturalne Liczby parzyste Zbiory liczb naturalnych i liczb parzystych są nieskończone. Oczywiście zbiór liczb parzystych jest właściwym podzbiorem zbioru liczb naturalnych N. Mimo to, funkcja f ( n) = 2n, dla kaŝdej liczby naturalnej n, jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb parzystych, co teraz udowodnię. Dowód. I. RóŜnowartościowość. Weźmy dowolne liczby naturalne x i y oraz załóŝmy, Ŝe f ( x) = f ( y). Wówczas f ( x) = 2x i f ( y) = 2y. Skoro załoŝyliśmy, Ŝe f ( x) = f ( y), to 2 x = 2y, a stąd x = y, co dowodzi tego, Ŝe funkcja f jest róŝnowartościowa
8 II. Na. Weźmy dowolną liczbę naturalną parzystą y. Szukamy liczby naturalnej x takiej, Ŝeby y f ( x) = y. Mamy zatem, Ŝe 2 x = y, x = N. Zatem pokazaliśmy, Ŝe dla kaŝdej liczby 2 naturalnej parzystej istnieje liczna naturalna x, taka, Ŝe y = f (x) Na podstawie I i II funkcja f jest bijekcją więc ustala równoliczność tych zbiorów. b) Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb nieparzystych są równoliczne. Funkcja f ( n) = 2n + 1, dla n N {0}, jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb nieparzystych. Funkcja ta ustala więc równoliczność tych zbiorów. Przykład 1.3. Zbiory liczb naturalnych i liczb całkowitych są równoliczne. Liczby naturalne Liczby całkowite Funkcja: f (x) = 1 1 x x 2 dla dla x 2N + 1 x 2N jest bijekcją odwzorowującą zbiór liczb całkowitych na zbiór liczb naturalnych. Dowód. I. RóŜnowartościowość. Niech x 1, x 2 N. ZałóŜmy, Ŝe x 1 x 2 i przypuśćmy, Ŝe f x1 ) = f ( x ). RozwaŜmy trzy przypadki: ( 2-8 -
9 (i) x 1 =2n+1, x 2 =2m+1, dla n, m N {0}. Z załoŝenia mamy, Ŝe x 1 x 2, stąd 2n+1 2m+1, czyli 2n 2m, a zatem n m. Z określenia funkcji mamy, 1 1 Ŝe f x ) =- (2n+1)+ 2 2 ( oraz f x ) =- (2m+1)+. Z załoŝenia mamy 2 2 ( f x1 ) = f ( x ), zatem - (2n+1)+ =- (2m+1)+, czyli 2n+1=2m+1, ( 2 a z tego, Ŝe n=m a to jest sprzeczne z załoŝeniem. (ii) x 1 =2n+1, x 2 =2m, dla n N {0}, m N. Z określenia funkcji mamy, Ŝe 1 1 f ( x 1 ) =- (2n+1)+ oraz f ( x 2 ) = 1 2m. Z załoŝenia f ( x ) ( ) 1 = f x2, czyli (2n+1)+ = 2m. Z tego 2n-1+1=2m, stąd 2n=2m, a zatem n= -m a to oznacza, Ŝe n i m nie są jednocześnie liczbami naturalnymi więc dochodzimy do sprzeczności. (iii) x 1 =2n, x 2 =2m, dla n, m N. Z załoŝenia mamy, Ŝe x 1 x 2, stąd 2n 2m, a z tego n m. Z określenia funkcji mamy, Ŝe f ( x 1 ) = 1 2n oraz f ( x ) 2 = 1 2m. 2 2 Z załoŝenia mamy f ( x1 ) = f ( x2 ), czyli 1 2n 1 = 2 m. a z tego, Ŝe n=m a to 2 2 jest sprzeczne z załoŝeniem. Na podstawie (i)-(iii) funkcja f jest róŝnowartościowa. II. Na. 1 1 (i) 0 Z. Szukam x N, takiego, Ŝeby f (x) =0. Niech f (x) =- x+, wtedy x+ =0, a stąd x=1. Wskazałam x=1 N taki, Ŝe f (x) =
10 (ii) Niech b Z, b>0. Szukam x N takiego, Ŝeby f (x) =b. Niech x=2n, n N. 1 1 f (x) = x, wtedy x=b, a stąd x=2b N. 2 2 f ( 2b) = 1 2b =b. 2 (iii) Niech b Z, b<0. Szukam x N takiego, Ŝeby f (x) =b. Niech x=2n+1, n N. 1 1 f ( 2n + 1) = (2n+1)+ =- 2n - + =-n, wtedy -n=b, a stąd n=-b. Zatem x=-2b+1 jest szukanym x N f ( 2b + 1) = - (-2b+1)+ =b- + =b Na mocy (i)-(iii) funkcja f jest na. Na podstawie I i II funkcja f jest bijeckją zbioru Z na zbiór N, a to dowodzi tego, Ŝe te zbiory są równoliczne
11 Rozdział 2. Liczby kardynalne zbiorów, moce zbiorów Twierdzenie 2.1. Relacja równoliczności jest relacją równowaŝności. Twierdzenie to pozwala rozklasyfikować zbiory ze względu na ich moc. Prowadzi to do przeniesienia na zbiory nieskończone elementarnego pojęcia liczebności zbioru. 4 Mianowicie mamy następującą definicję: Definicja 2.1. KaŜdemu zbiorowi X jest przyporządkowana liczba kardynalna, czyli jego moc, którą oznaczamy symbolem X, w taki sposób, Ŝe ta sama liczba kardynalna przyporządkowana jest dwóm róŝnym zbiorom wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory te są równoliczne ([3], str. 52). Czyli A = B wtedy i tylko wtedy, gdy A ~ B. Mocą zbioru pustego jest liczba zero, mocą niepustego zbioru n - elementowego jest liczba naturalna n większa od zera ([2], str. 237). Symbol X został wprowadzony przez Cantora. Podwójna kreska nad symbolem zbioru miała w intencji Cantora oznaczać, Ŝe do pojęcia mocy zbioru dochodzi się dokonując abstrakcji od jakości elementów zbioru i od ich uporządkowania. Moc zbioru jest tą własnością, która nie ulegnie zmianie, jeśli elementy zbioru X zastąpi się wzajemnie jednoznacznie przez elementy innego zbioru, a takŝe, gdy zmieni się uporządkowanie elementów zbioru X ([2], str. 236). Oprócz oznaczenia X w literaturze znajdziemy równieŝ card(x). Symbol ten pochodzi od angielskiego słowa cardinality- liczba kardynalna, moc ([6], str. 121). 4 Moszner Z., Elementy teorii mnogości i topologii, Wyd. Naukowe WyŜszej Szkoły Pedagogicznej w Krakowie, Kraków 1968, str
12 Definicja Moc zbioru liczb naturalnych to א 0, co zapisujemy symbolicznie: N = א 0. Na podstawie definicji 2.1. definicję tę moŝna sformułować następująco: Definicja Niech A będzie dowolnym zbiorem. A = א 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A ~ N ([2], str. 238). Symbol א 0 oznacza więc moc kaŝdego zbioru, który jest równoliczny ze zborem liczb naturalnych. Z definicji 1.1. i definicji 2.1. wynika: Twierdzenie A = א 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg nieskończony o wyrazach nie powtarzających się, którego zbiór wyrazów równa się A ([2], str. 238). Twierdzenie formułuje się nieraz następująco: Twierdzenie A = א 0 wtedy i tylko wtedy, gdy elementy zbioru A moŝna ustawić w ciąg nieskończony o wyrazach nie powtarzających się. Przykład 2.1. Zbiory liczb parzystych, nieparzystych i całkowitych są mocy א 0. Fakt ten wynika z twierdzenia 2.2 i przykładów podanych w rozdziale 1 (Przykład 1.2a, 1.2b, 1.3). Przykład 2.2. Zbiór Q liczb wymiernych jest mocy א 0. Przypomnijmy, Ŝe liczba w jest wymierna, jeśli w= n m dla pewnej liczby całkowitej m i dla pewnej liczby naturalnej n. Najpierw udowodnię, Ŝe zbiór wszystkich liczb wymiernych
13 dodatnich jest mocy א 0. Zapiszmy wszystkie liczby wymierne dodatnie w tablicy według zasady: w pierwszym wierszu umieszczamy w porządku malejącym liczby wymierne o liczniku 1, w drugim- kolejne liczby wymierne o liczniku 2 itd. (Tablica 2.1.). Tablica 2.1. Wyliczanie liczb wymiernych dodatnich rozpoczynamy od 1 1 i posuwamy się zgodnie z kierunkiem strzałek opuszczając wyliczone juŝ wcześniej liczby (zaznaczone w przekreślonych kółkach). Mamy więc: ,,,,,,,,,,, W ten sposób uwzględnimy wszystkie liczby wymierne dodatnie, a kaŝdą z nich policzymy dokładnie raz. MoŜna więc wszystkie liczby wymierne dodatnie ustawić w nieskończony ciąg o wyrazach nie powtarzających się. Oznaczamy przez w 1, w 2, w 3,... wszystkie liczby wymierne dodatnie. Aby teraz otrzymać ciąg składający się z wszystkich liczb wymiernych, wystarczy wziąć ciąg następujący: 0 w 1 -w 1 w 2 -w 2 w 3 -w 3,... W ten sposób pokazaliśmy, Ŝe wszystkie liczby wymierne moŝna ustawić w ciąg nieskończony o wyrazach nie powtarzających się więc na podstawie twierdzenia 2.2. zbiór liczb wymiernych jest mocy א
14 Rozdział 3. Zbiory przeliczalne Definicja 3.1. Zbiory mocy א 0 nazywamy przeliczalnymi. Zbiory przeliczalne lub skończone nazywamy co najwyŝej przeliczalnymi ([4], str. 65). Uwaga 3.1. Zbiór co najwyŝej przeliczalny charakteryzuje się tym, Ŝe jest pusty lub jego elementy moŝna ułoŝyć w ciąg (skończony lub nie), a zbiór przeliczalny tym, Ŝe jego elementy moŝna ustawić w ciąg o nieskończenie wielu wyrazach róŝnych ([4], str. 65). Wynika stąd następujące twierdzenie: Twierdzenie 3.1. Suma A B zbiorów przeliczalnych A i B jest zbiorem przeliczalnym ([2], str.239). Dowód. Jeśli jeden ze zbiorów jest pusty, twierdzenie wynika ze wzoru A φ =A. Jeśli zbiory A i B są niepustymi zbiorami przeliczalnymi to w myśl uwagi 3.1 elementy zbioru A moŝna ustawić w ciąg nieskończony a 1, a 2,..., a n,..., elementy zbioru B- w ciąg b 1, b 2,..., b n,... Tworzymy ciąg a 1, b 1, a 2, b 2,..., a n, b n,..., który jest przeliczalny a jego wyrazy stanowią zbiór A B. Twierdzenie 3.2. Iloczyn kartezjański dwóch (lub ogólniej: skończonej liczby) zbiorów przeliczalnych jest przeliczalny ([3], str. 54). Dowód. Udowodnię, Ŝe zbiór par <m, n>, gdzie n i m są to liczby naturalne, jest przeliczalny. NaleŜy więc elementy tego zbioru ustawić w ciąg. W tym celu przyjmujemy następująca regułę: z dwóch par <m, n> i <m, n > tę uwaŝamy za wcześniejszą, która ma sumę elementów mniejszą; jeśli zaś m+n=m +n, to wcześniejsza jest para o mniejszym poprzedniku. A zatem ciąg ten przedstawia się następująco:
15 <1,1>, <1,2>, <2,1>, <1,3>, <2,2>, <3,1>,<1,4>,... Stąd juŝ moŝemy wywnioskować, Ŝe mając dwa dowolne ciągi nieskończone a 1, a 2,..., a m,... b 1, b 2,..., b n,... moŝna ustawić w ciąg nieskończony wszystkich par <a m, b n >. Twierdzenie to moŝemy udowodnić wykorzystując metodę przekątniową. KaŜdą z par <m,n> moŝemy ustawić w tabeli traktując m jako licznik a n jako mianownik. Wtedy pokazalibyśmy, Ŝe iloczyn kartezjański dwóch zbiorów jest mocy א 0, a na podstawie definicji 3.3. będziemy mieli, Ŝe będzie on przeliczalny
16 Rozdział 4. Arytmetyka licz kardynalnych Zdefiniujemy dodawanie, mnoŝenie i potęgowanie liczb kardynalnych. Dla oznaczenia tych działań zachowujemy oznaczenia i terminologię arytmetyki liczb zwykłych. Definicja 4.1. Dla dowolnych zbiorów X i Y a) X Y = φ ( X +Y = X Y ), b) X Y = X Y, c) Y X X =( Y ). Sumą mocy zbiorów rozłącznych jest więc moc sumy tych zbiorów, iloczynem moc iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów. Potęga, której podstawą jest moc zbioru Y, wykładnikiem moc zbioru X jest równa mocy zbioru wszystkich odwzorowań zbioru X w zbiór Y ([7], str. 182). Przykład 4.1. Zbiory {1,2,3} i {4,5,6,7} są oczywiście rozłączne. Sumą tych zbiorów jest zbiór {1,2,3,4,5,6,7}. Prawdziwe są wzory : { 1,2,3} =3, { 4,5,6,7} =4, { 1,2,3,4,5,6,7 } =7. W myśl definicji 4.1.a mamy, Ŝe 3+4=7 Przykład ten wskazuje, Ŝe dodawanie liczb naturalnych jest szczególnym przypadkiem dodawania liczb kardynalnych. ZałoŜenie, Ŝe X Y=φ jest istotne, na co wskazuje następujący przykład: Przykład 4.2. Prawdziwy jest wzór { 1,2,3} = { 3,4,5} =3. Mocą sumy zbiorów {1,2,3} i {3,4,5} jest jednak 5 a nie
17 Przykład 4.3. Dane są zbiory {1,2} i {1,2,3}. Iloczynem kartezjańskim tych zbiorów jest zbiór par uporządkowanych: {<1,1>, <1,2>, <1,3>, <2,1>, <2,2>, <2,3>}. Ponadto { 1,2, } =2 oraz { 1,2,3} =3. W myśl definicji 4.1.b iloczynem mocy zbiorów {1,2} i {1,2,3} jest moc zbioru {<1,1>, <1,2>, <1,3>, <2,1>, <2,2>, <2,3>}, czyli 2 3=6. Widzimy, Ŝe równieŝ mnoŝenie liczb naturalnych jest szczególnym przypadkiem mnoŝenia liczb kardynalnych. Przykład 4.4. Niech X={1,2,3} i Y={1,2}. Jeśli funkcja f Y X, to ciąg f (1), f (2), f (3) jest równy jednemu z następujących ośmiu ciągów: 1,1,1; 1,1,2; 1,2,1; 1,2,2; 2,1,1; 2,1,2; 2,2,1; 2,2,2. W myśl definicji 4.1.c Y X =2 3 =8. Przykład ten wskazuje, Ŝe potęgowanie liczb naturalnych jest szczególnym przypadkiem potęgowania liczb kardynalnych. Z dotychczasowych rozwaŝań wynika, Ŝe arytmetyka liczb naturalnych jest częścią arytmetyki liczb kardynalnych. Pojęcia arytmetyki liczb naturalnych mogą być zdefiniowane za pomocą pojęć teorii mnogości. PoniewaŜ pojęcia arytmetyki liczb całkowitych, naturalnych i rzeczywistych mogą być zdefiniowane za pomocą pojęć arytmetyki liczb naturalnych, której twierdzenia mogą teŝ stanowić podstawę dowodów twierdzeń arytmetyki kaŝdego z wymienionych rodzajów liczb, znaczenie teorii mnogości dla całej matematyki jest wiodące ([7], str. 183)
18 Twierdzenia, które teraz podamy, nie mają swoich odpowiedników w arytmetyce liczb naturalnych. Są to podstawowe twierdzenia dotyczące zbiorów mocy alef zero; podajemy je bez dowodów. Twierdzenie 4.1. א = א 0. Twierdzenie 4.2. א 0 + n = א 0, dla dowolnej liczby naturalnej n. Twierdzenie 4.3. א 0 + א 0 = א 0. Twierdzenie 4.3. א 0 n= א 0, dla dowolnej liczby naturalnej n. Twierdzenie 4.4. א 0 א 0 = א
19 Literatura [1] Aczel A. D., Tajemnica Alefów. Matematyka, kabała i poszukiwania nieskończoności, Dom wydawniczy REBIS, Poznań [2] Borkowski L., Wprowadzenie do logiki i teorii mnogości, Towarzystwo Naukowe Katolickiego Uniwersytetu Lubelskiego, Lublin [3] Kuratowski K., Wstęp do teorii mnogości i topologii, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa [4] Moszner Z., Elementy teorii mnogości i topologii, Wyd. Naukowe WyŜszej Szkoły Pedagogicznej w Krakowie, Kraków [5] Murawski R., Filozofia Matematyki. Zarys Dziejów, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa [6] Murawski R, Świdrydowicz K., Wstęp do teorii mnogości, Wyd. Naukowe UAM, Poznań [7] Słupecki J., Hałkowska K., Piróg-Rzepecka K., Logika i teoria mnogości, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa
Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoBOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH
BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoMatematyka II - Organizacja zajęć. Egzamin w sesji letniej
Matematyka II - Organizacja zajęć Wykład (45 godz.): 30 godzin - prof. zw. dr hab. inż. Jan Węglarz poniedziałek godz.11.45 15 godzin - środa godz. 13.30 (tygodnie nieparzyste) s. A Egzamin w sesji letniej
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoO liczbach niewymiernych
O liczbach niewymiernych Agnieszka Bier Spotkania z matematyką jakiej nie znacie ;) 8 stycznia 0 Liczby wymierne i niewymierne Definicja Liczbę a nazywamy wymierną, jeżeli istnieją takie liczby całkowite
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 7
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 7 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny: Dr hab. prof.
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 6 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny dr Antoni
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (1)
Wstęp do Matematyki (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (1) Wprowadzenie 1 / 41 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Teoria mnogości Set theory Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień:
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoII Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 8. Arytmetyka
II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki Janusz Czelakowski Wykład 8. Arytmetyka Jak dobrze wiadomo, jednym z kluczowych praw zachodzących w dziedzinie liczb naturalnych jest Zasada Indukcji.
Bardziej szczegółowo1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1
WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając
Bardziej szczegółowoKierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat)
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoTeoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji
Relacje Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz ajewski Katedra Informatyki Określenie relacji: Określenie relacji Relacja R jest zbiorem par uporządkowanych, czyli podzbiorem iloczynu kartezjańskiego
Bardziej szczegółowoTAJEMNICE NIESKOŃCZONOŚCI
Wydział Matematyki i Informatyki Studenckie Interdyscyplinarne Koło Naukowe Dydaktyki Matematyki 1. Przedstawienie się. 2. Wstęp pytania do publiczności. TAJEMNICE NIESKOŃCZONOŚCI W tej części chcę poznać
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8A/10 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że Zn = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz Zn = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z
Bardziej szczegółowoTemat: Liczby definicje, oznaczenia, własności. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Liczby definicje, oznaczenia, własności A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę A n n a R a j f u r a, M a
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1
Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoInformatyka, I stopień
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Informatyka, I stopień Sylabus modułu: Podstawy logiki i teorii mnogości (LTM200.2) wariantu modułu (opcjonalnie): 1. Informacje ogólne
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowoSYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2020 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoAlgebra zbiorów. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Algebra zbiorów Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria mnogości Teoria mnogości jest działem matematyki zajmującym się
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoSYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2019 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Wstęp do logiki i teorii
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowoLOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE
LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE POJĘCIE PIERWOTNE, AKSJOMAT, TWIERDZENIE Pojęcie pierwotne jest to pojęcie, którego nie definiujemy, a mimo to przyjmujemy za oczywiste np.: liczba, punkt,
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoSystemy liczenia. 333= 3*100+3*10+3*1
Systemy liczenia. System dziesiętny jest systemem pozycyjnym, co oznacza, Ŝe wartość liczby zaleŝy od pozycji na której się ona znajduje np. w liczbie 333 kaŝda cyfra oznacza inną wartość bowiem: 333=
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoMaria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Bardziej szczegółowoRekurencyjna przeliczalność
Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 3. Relacje i funkcje
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 3. Relacje i funkcje 1 Już było... Definicja 2.6. (para uporządkowana) Parą uporządkowaną nazywamy zbiór {{x},
Bardziej szczegółowoZapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.
Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.
Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowoJęzyki i operacje na językach. Teoria automatów i języków formalnych. Definicja języka
Języki i operacje na językach Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Definicja języka Definicja języka Niech Σ będzie alfabetem, Σ* - zbiorem wszystkich łańcuchów
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoPoczątki informatyki teoretycznej. Paweł Cieśla
Początki informatyki teoretycznej Paweł Cieśla Wstęp Przykładowe zastosowanie dzisiejszych komputerów: edytowanie tekstów, dźwięku, grafiki odbiór telewizji gromadzenie informacji komunikacja Komputery
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoWŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH
Dorota Sasiuk WŁASNOŚCI FUNKCJI MONOTONICZNYCH WSTĘP... WIADOMOŚCI WSTĘPNE... 3. DEFINICJA FUNKCJI:... 3. DZIAŁANIA ARYTMETYCZNE NA FUNKCJACH:... 3.3 ZŁOŻENIE FUNKCJI:... 3.4 FUNKCJA ODWROTNA:... 4.5 FUNKCJA
Bardziej szczegółowoHotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie
Bardziej szczegółowoCiekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 3
1/9 Małgorzata Rucińska-Wrzesińska Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 3 Zadanie 1 Zapisz pięć liczb całkowitych co najmniej trzycyfrowych oraz liczby do nich przeciwne. Następnie uszereguj
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowoParadoksy log o i g czne czn i inne 4 marca 2010
Paradoksy logiczne i inne 4 marca 2010 Paradoks Twierdzenie niezgodne z powszechnie przyjętym mniemaniem, rozumowanie, którego elementy są pozornie oczywiste, ale wskutek zawartego w nim błędu logicznego
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/10 indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Informacje
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
Bardziej szczegółowoWykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Bardziej szczegółowoZbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R.
Zbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R. Liczby naturalne - to liczby całkowite, dodatnie: 1,2,3,4,5,6,... Czasami
Bardziej szczegółowo