1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1

Transkrypt

1 WYKŁAD ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając się na intuicji podać, że ZBIÓR jest kolekcją obiektów posiadających pewną określoną cechę. Podanie tej cechy musi być jasne, aby móc ocenić, czy dany obiekt należy do zbioru. Tego typu intuicyjne rozumienie zbioru może czasem prowadzić do sprzeczności, stąd też nie można tego traktować jako definicji. ZBIORY będziemy zwykle oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, a OBIEKTY małymi a, b, c,.x, y, z. OBIEKT, który należy do zbioru nazywamy ELEMENTEM ZBIORU i oznaczamy, zaś OBIEKT, który nie należy do zbioru, czyli nie jest jego elementem oznaczamy. Poszczególne zbiory mogą być zapisywane na wiele sposobów. Niektóre szczególnie często występujące zbiory mają własne nazwy i oznaczenia (symbole): N = 0,1,2,3,4,5,6,. - zbiór LICZB NATURALNYCH, P = 1,2,3,4,5,6,7.. - zbiór LICZB CAŁKOWITYCH DODATNICH, Z = 3, 2, 3,0,1,2,3.. - zbiór LICZB CAŁKOWITYCH, Q = 0 - zbiór LICZB WYMIERNYCH, R = : Q.. 2, 3, 2,,.. ó LICZB RZECZYWISTYCH. Zbiory mogą być skończone o skończonej liczbie elementów, oraz nieskończone. Zbiór, który nie zawiera żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem. Zbiory można określać (definiować) przez : a) wyliczanie jego elementów, np. X = 2, 4, 6, 8,10 = 10, 8, 6, 4, 2 = 2, 8, 2, 6, 2, 4, 6, 10, 2 (przy czym zmiana kolejności elementów, bądź ich wielokrotne powtarzanie nie zmienia zbioru) b) podanie cech wyróżniających jego elementy, np. Y =zbiór liczb całkowitych, dodatnich, parzystych, nie większych niż 10, c) podanie definicji określania kolejnych wyrazów, np. Z = x: x N x = 2i i N i 5, 1.1. PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. RÓWNOŚĆ ZBIORÓW Dwa zbiory A i B są równe wtedy i tylko wtedy jeśli dla każdego, x należy również do i na odwrót. = x A x B oraz x B x A, A = 1,2,3,4,5, B = 5,4,3,2,1, C = x N 0 < < 6, D = 1,1,1,2,2,3,4,4,5 A = B = C = D

2 X = x N x < 0, Y = x R x = x + 1, Z = x x jest pierwiastkiem rzeczywistym równania x + x + 1 = 0, X = Y = Z. 2 Dla dowolnych zbiorów X, Y, Z jeśli X = Y i Y = Z to X = Z. W dalszej części zajęć, wypisując elementy zbioru A = x, x, x,.. x będziemy milcząco zakładać, że są one różne. Wtedy LICZBĘ ELEMENTÓW zbioru A nazywać będziemy MOCĄ ZBIORU i oznaczać : lub lub,,, =. = 0, 1,2,3,4,5 = 5. ZAWIERANIE SIĘ ZBIORÓW. Powiemy, że zbiór X jest zawarty w zbiorze Y ( lub, że zbiór Y zawiera zbiór X ), jeśli każdy element zbioru X należy również do zbioru Y : wttw i mówimy, że X jest podzbiorem zbioru Y, lub Y jest nadzbiorem zbioru X, oraz, że jeśli to stąd wynika, że lub = Użyte powyżej symbole : - to relacja zawierania ( inkluzja ), zaś - to zawieranie się właściwe, czyli jeśli, to mówimy, że jest właściwym podzbiorem. = to, to, P N ale też P N, N Z ale też P Z, Q R ale też Q R. RELACJE MIĘDZY ZBIORAMI. Możliwe są cztery przypadki zachowania się zbiorów A i B : 1. zbiory A i B są rozłączne, czyli nie mają wspólnych elementów, 2. zbiór A zawiera się w zbiorze B, czyli, 3. zbiór B zawiera się w zbiorze A, czyli, 4. zbiory się przecinają, czyli istnieją takie elementy, które należą do obu zbiorów, ale też istnieją takie, które należą do jednego z nich. Wszystkie powyżej opisane przypadki przedstawia poniższy rysunek 1. 1) 2) 3) 4) Rysunek 1. Relacje między zbiorami.

3 3 TWIERDZENIE: Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące relacje :,, jeśli i to. PRZEDZIAŁY. Na szczególną uwagę zasługują pewne podzbiory zbioru liczb rzeczywistych zwane przedziałami. I tak : - PRZEDZIAŁ DOMKNIĘTY o końcach a, b to zbiór liczb rzeczywistych, nie większych od b i nie mniejszych od a, czyli, =, = R - PRZEDZIAŁ OTWARTY o końcach a, b to zbiór liczb rzeczywistych, większych od a i mniejszych od b, czyli, = R < <, - PRZEDZIAŁ PRAWOSTRONNIE DOMKNIĘTY o końcach a, b to zbiór liczb rzeczywistych, większych od a i nie większych od b, czyli, ] =, = R <, - PRZEDZIAŁ LEWOSTRONNIE DOMKNIĘTY o końcach a, b to zbiór liczb rzeczywistych, nie mniejszych od a i mniejszych od b, czyli [, =, = R < DZIAŁANIA NA ZBIORACH. Związki pomiędzy zbiorami wygodnie jest przedstawiać na rysunku, jako część płaszczyzny. Rysunki takie noszą nazwę diagramów Venna. SUMA ZBIORÓW ( ) - jest to zbiór, którego elementami są wszystkie elementy należące do zbioru lub do zbioru : = =. Wszystkie możliwe przypadki sumy różnych zbiorów przedstawiają diagramy Venna na rysunku 2. 1) 2) 3) = = = = Rysunek 2. Suma zbiorów A i B. TWIERDZENIE : Dla dowolnych zbiorów,, zachodzą następujące równości : =, B = B, =, =, = - prawo przemienności, = - prawo łączności. = 0, 1, 2, 3, 5, 7 i = 0, 2, 4, 6, 7 to = 0, 1,2,3,4, 5, 6, 7

4 = x x = 2k k N = 0, 2, 4, 6, 8,, oraz = x x = 2k + 1 k N = 1, 3, 5, 7, 9,., to = N. 4 Jeśli : to oraz to = ILOCZYN ( PRZECIĘCIE SIĘ ) ZBIORÓW ( ) - jest to zbiór, którego elementami są wszystkie elementy należące równocześnie do zbioru i do zbioru : = Wszystkie możliwe przypadki iloczynu różnych zbiorów przedstawiają diagramy Venna na rysunku 3. 1) 2) 3) = = = = Rysunek 3. Iloczyn zbiorów A i B. TWIERDZENIE : Iloczyn zbiorów podobnie jak suma jest operacją łączną i przemienną, a ponadto zachodzi prawo rozdzielności sumy względem iloczynu. A zatem dla dowolnych zbiorów, i można zapisać : = - prawo łączności, = - prawo przemienności, = - prawo rozdzielności. Powyższe prawa są analogiczne jak przy działaniach na liczbach. Dla zbiorów możemy zapisać dodatkowo prawa, które nie mają odpowiednika dla liczb : =, =, =, dodatkowo jeśli : i to, - A B to A =. = : N czyli = 0, 1, 2, 3, 4, 5 oraz = 2, 4, 6, 8, 10 to = 2, 4. RÓŻNICA ZBIORÓW - jest to zbiór, którego elementami są elementy zbioru, które jednocześnie nie należą do zbioru : =. Wszystkie możliwe przypadki różnicy zbiorów przedstawiają diagramy Venna na rysunku 4.

5 1) 2) 3) 5 = = = = Rysunek 4. Diagramy Venna dla różnych przypadków różnicy zbiorów. Bardzo często rozważane zbiory są podzbiorami jakiegoś większego zbioru. Zbiór taki nazywać będziemy przestrzenią lub uniwersum. UZUPEŁNIENIEM (DOPEŁNIENIEM) zbioru A do przestrzeni U nazywamy taki zbiór, którego elementami są elementy, które należą do przestrzeni U, ale jednocześnie nie należą do zbioru A. = = : Diagramy Venna dla dopełnień dwóch zbiorów, ich sumy i iloczynu przedstawia rysunek 5. Rysunek 5. Diagramy Venna dla dopełnień dwóch zbiorów, oraz dopełnień ich sumy i iloczynu. jeśli = x = 2i i N i = N to = N = x = 2i + 1 i N jeśli = R i = R to = R =, 0, = 0, 1, 2, 19, 20 i = x x cakowity podzielnik liczby 60 i x < 15 czyli = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12 to = 0,7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 11.

6 PRODUKT ( ILOCZYN ) KARTEZJAŃSKI ZBIORÓW. Dane są dwa zbiory i. Dla każdego elementu zbioru i każdego elementu zbioru, tworzymy uporządkowaną parę a,. Element jest pierwszym elementem uporządkowanej pary ( poprzednikiem), zaś element jest drugim elementem uporządkowanej pary (następnikiem). ILOCZYNEM ( PRODUKTEM ) KARTEZJAŃSKIM zbiorów i nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych par (, ) : =, Jeśli zbiory są równe, czyli = to = =. Z definicji wynika, że jeśli jeden ze zbiorów lub B jest zbiorem pustym to iloczyn kartezjański tych zbiorów jest też zbiorem pustym: =. Z definicji wynika również, że jeśli to. - cała płaszczyzna ( Euklidesowa ) jest zbiorem uporządkowanych par,, gdzie R i y R. Zatem płaszczyzna rzeczywista jest iloczynem kartezjańskim R R = R. - jeśli = 1, 2 i = a, b, c to = 1, a, 1, b, 1, c, 2, a, 2, b, 2, c = a, 1, a, 2, b, 1, b, 2, c, 1, c, 2. TWIERDZENIE Dla dowolnych zbiorów, i zachodzą następujące związki : - =, - =, - =. ZADANIA : 1.) Określ zbiory A, B oraz uniwersum U, a następnie sumę, iloczyn, różnicę zbiorów A i B, a następnie ich dopełnienia i iloczyn dopełnień, jeśli : = x: x N x = 2n + 1 n N n 5, B = y y Z y jest podzielne przez 3 y 10, U = n n N n < 12. Rozwiązanie : = x: x N x = 2n + 1 n N n 5 = 1, 3, 5, 7, 9, 11, B = y y Z y jest podzielne przez 3 y 10 = 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9, U = n n N n < 12 = = 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. = 9, 6, 3, 0, 1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, = 3, 9, = 1, 5, 7, 11, = 9, 6, 3, 0, 6, A = 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 2, 4, 6, 8, 10, = 11, 10, 8, 7, 5, 4, 2, 1, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, = 11, 10, 8, 7, 5, 4, 2, 1, 2, 4, 8, 10.

7 2.) Zapisz za pomocą nierówności następujące przedziały : < 5, 6 ) x 5 x < 6,, 2 < 3, ) < 2 3, ( 2, 2 > ( 5, 8 > > 2 2 ( > 5 8). 7 3.) Określ zbiory będące sumą, iloczynem, różnicą zbiorów A i B, a następnie ich dopełnienia i iloczyn dopełnień, jeśli : A = x: x R x x , = 3 < 2, = < 10. Rozwiązanie : x x = x: x R x x = Δ = = 49 Δ = 7 =< 4, 3 >, x = = 3 x = = 4 = 3 < 2 = 1, 5, = < 10 = ( 10, 10 ), = ( 4, 5 ), = ( 1, 3 >, =< 4, 1 >, = ( 3, 5 ), A = 10, 4 ( 3, 10 ), = ( 10, 1 > < 5, 10 ), = 10, 4 < 5, 10) PODSTWOWE WŁASNOŚCI ZBIORU LICZB NATURALNYCH. Zbiór liczb naturalnych to zbiór N = 0, 1, 2, 3.4, 5,..., w którym można wydzielić podzbiór liczb pierwszych i podzbiór liczb złożonych. LICZBY PIERWSZE to takie liczby naturalne, które siebie i jedynki nie mają żadnych podzielników - 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,... LICZBY ZŁOŻONE to takie liczby naturalne, które można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych, np. 4 = 2 2 = 2, 6 = 2 3, 360 = = 2 3 5, itd. Aby przedstawić liczbę złożoną w postaci iloczynu liczb pierwszych, należy określić te liczby. Operację tą nazywa się rozkładem na czynniki, który może wyglądać następująco : - rozkład liczby 1224 : zatem można zapisać 1224 =

8 - rozkład liczby 216 : zatem można zapisać 216 = 2 3. Z pojęciem liczb złożonych związane są dwa inne pojęcia. Są to najmniejsza wspólna wielokrotność oraz największy wspólny podzielnik. NAJWIĘKSZY WSPÓLNY PODZIELNIK NWP dwóch liczb to liczba powstała z pomnożenia wspólnych czynników występujących w rozkładach tych liczb. Na przykład 1224, 216 = 2 3 = 72. Największy wspólny podzielnik wykorzystuje się na przykład przy skracaniu ułamków. NAJMNIEJSZA WSPÓLNA WIELOKROTNOŚĆ NWW dwóch liczb to liczba powstała z pomnożenia jednej z nich przez czynniki występujące w rozkładzie drugiej, które nie występują w rozkładzie pierwszej. Na przykład NWW1224, 216 = = 3672 lub = Najmniejszą wspólną wielokrotność wykorzystuje się na przykład do rozszerzania ułamków przy wykonywaniu działań na ułamkach PODSTWOWE DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH. POTĘGĄ liczby rzeczywistej, różnej od zera, nazywamy liczbę : = =. dla n 0 i n 1. ó POTĘGĘ o wykładniku 0 (zero) określamy następująco : = 1 gdzie a 0. POTĘGĘ o wykładniku ujemnym określamy : = = gdzie 0. PIERWIASTKIEM ARYTMETYCZNYM n tego stopnia, 0, 1, z nieujemnej liczby nazywamy taką nieujemną liczbę b, że =, zatem ś 0 = = 0. POTĘGĘ o wykładniku, gdzie 0, 1 określamy następująco : = 0. POTĘGĘ o wykładniku wymiernym, określamy następująco : = ( ) = jeśli 0 0, 1 m N = = jeśli > 0 0, 1 m N ) (.

9 TWIERDZENIE : PODSTAWOWE WZORY DZIAŁAŃ NA POTĘGACH I PIERWIASTKACH : Jeśli m i n są dowolnymi liczbami całkowitymi, oraz a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi różnymi od zera, to ; 1.) = - iloczyn potęg o jednakowych podstawach jest równy potędze o tej samej podstawie i wykładniku równym sumie wykładników potęg będących czynnikami tego iloczynu. 2.) = = - iloraz potęg o jednakowych podstawach jest równy potędze o tej samej podstawie i wykładniku równym różnicy wykładników potęg dzielnej i dzielnika. 3.) = - potęga potęgi o podstawie jest równa potędze o tej samej podstawie i wykładniku będącym iloczynem wykładników. 4.) = - iloczyn potęg o jednakowych wykładnikach jest równy potędze o tym samym wykładniku i podstawie, która jest iloczynem podstaw potęg będących czynnikami tego iloczynu. 5.) = - iloraz potęg o jednakowych wykładnikach jest równy potędze o tym samym wykładniku i podstawie, która jest ilorazem podstaw potęg będących czynnikami tego iloczynu. - dodatkowo, jeśli założymy, że > 0 to: 6.) = - pierwiastek z iloczynu liczb jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb. 7.) = - pierwiastek z ilorazu liczb jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb. 8.) = - pierwiastek stopnia z pierwiastka stopnia jest równy pierwiastkowi stopnia. 9.) = - potęga pierwiastka jest równa pierwiastkowi potęgi. - w szczególności =. 9 ZADANIA : 1. Oblicz : = =, = 4 = 8, = 1,. = 0.25, = 2 3 = = 24 3, = = 1,. = = =,. =. = = 2 = 16, = 0.5 = 0.5 = 4, 125 = 5 = 125.

10 2. Doprowadź do najprostszej postaci następujące wyrażenia : + + = = = 14 2, = = = 3, = = = =. 10 WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA Jest to grupa wzorów mających wiele zastosowań w matematyce. Pozwalają na przykład szybciej wykonywać działania na pewnych wyrażeniach algebraicznych. Inne zastosowanie tych wzorów to ich wykorzystanie do rozkładania wyrażeń algebraicznych na czynniki czy też usuwania niewymierności z mianownika. 1.) + = + 2 +, 2.) = 2 +, 3.) = +, 4.) + = , 5.) = 3 + 3, 6.) = + +, 7.) + = + + ZADANIA : 1.) Oblicz wartość wyrażenia : = = = 30 2 = = 896, = = = = 1225, = + = , = + = 5 2 = 3, = = , = = , 2.) Usuń niewymierność z mianownika : = = = 2 5 2, = = = , = = = , = = = PROCENTY 1 procent ( 1% ) danej wielkości, to setna część tej wielkości. p procent liczby a to. 20% liczby 5000 to = 5000 = = 1000, 20% liczby x stanowi Oblicz liczbę x : 20% = x = 1200 =. = 6000.

11 ODSETKI BANKOWE K - kapitał początkowy, p - oprocentowanie w skali roku, r - liczba okresów kapitalizacji w ciągu roku, l - liczba lat oszczędzania, n - łączna liczba okresów kapitalizacji, Końcowa kwota po l latach, czyli po n okresach kapitalizacji, z uwzględnieniem podatku dochodowego przedstawia się następująco: 11 = +.. ZADANIA : 1 Cenę pewnego towaru p0większono o 20%, a po pewnym czasie powiększono jeszcze o 20%. O ile procent zwiększyła się cena towaru po obu podwyżkach? x - cena pierwotna - cena po pierwszej podwyżce = = cena po drugiej podwyżce = = 1.2 = = 1.44 = 144%, a zatem cena końcowa jest o 44% większa od ceny początkowej. 2 Cena pewnego towaru wraz z 22% podatkiem VAT wynosi 732 zł. Podatek VAT obniżono do 7%. Jaka będzie nowa cena towaru? - cena początkowa = 732 ł - wartość towaru, czyli cena bez podatku VAT x, = + = + 0,22 = 1,22 = - nowa cena z 7% podatkiem VAT = = 1.07 = = 642 ł. = = 600 ł,.. 3 Pan Tokarczyk postanowił wpłacić do banku swoje oszczędności w wysokości zł. D którego banku powinien wpłacić pieniądze aby po 5 latach mieć większe odsetki, jeśli : - bank A oferuje oprocentowanie w wysokości 8.5% i kapitalizuje odsetki co kwartał, - bank B oferuje oprocentowanie w wysokości 9% i kapitalizuje odsetki 1 raz w roku. BANK A = 8.5%, = 5 ę, = 4 ó ą, = = 20 łą ó, = = = ł,

12 BANK B = 9%, = 5 ę, = 1 ó ą, = = 5 łą ó, 12 = = = ł, łżć ęś, ż. 4 Pan Kamiński został zatrudniony na umowę o dzieło, w celu wykonania pewnej pracy twórczej. Pracodawca zaproponował panu Kamińskiemu za wykonanie pracy zapłatę w wysokości zł. Koszty uzyskania przychodu przy tego typu pracy wynoszą 50% przychodu. Pozostałe 50% przychodu stanowi dochód wykonawcy, od którego należ odprowadzić podatek 18%. Jaką kwotę otrzyma pan Kamiński? - przychód pana Kamińskiego 25000zł, - koszty uzyskania przychodu = ł, - dochód pana Kamińskiego = ł, - podatek dochodowy = 2250 ł, - kwota do wypłaty = ł, ń łę ś ł. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA Wartością bezwzględną liczby rzeczywistej nazywamy liczbę, jeśli jest ona nieujemna, albo liczbę ą, jeśli jest ujemna : = ś 0 ś < 0 3 = 3 bo 3 0, 3 = 3 bo 3 < 0, WŁASNOŚCI WARTOŚCI BEZWZGLĘDNEJ 1. =, 2. =, 3. =, , 5. =.

13 INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA WARTOŚCI BEZWZGLĘDNEJ Dane są dwa punkty na osi liczbowej. Jeden o współrzędnej 0, a drugi o współrzędnej a. Wtedy jest odległością tych punktów, czyli =. Jednak istnieje inny punkt na osi liczbowej o współrzędnej, którego odległość od punktu 0 jest również, czyli =. Powyższa interpretacja posłuży do rozwiązywania prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną. 13 = = = =, 1. = 5 = 5 = 5, 2. = 0 = 0, 3. = 3, = = 1 = = 5 3 = 5 = = 0 = 5, 3. 2 = 3, 4. 4 = 2 4 = 2 = 2 = 2 = = +, 2 = 3 = = 5, = 2 4 = = 2. = 6 < < < < >,, 1. < 5 < 5 > 5 5, 5, 2. < 0, 3. < 3,,, ,7, 2. 0 = 0, 3. 3,

14 > > > > <,,, > 1 > 1 < 1, 1 1,, > 0 2. > 0 0, > 0 < 0, 0, 0 0,, 3. > 3,,,, , 11 11,, 2. 0, 3. 3, < < < + < < + >, < 5 3 < 5 < < 0, 3. 2 < 3, 4. 4 = 2 4 < 2 < 2 > 2 3 < < 5 > 2 4 < < 2 < 6 2, 8, 2,6.

15 + +, +, = 5, 3. 2 < 3, ,2, > > > + > > + <, +, > 2 5 > 2 > > 0 5, 3. 2 > 3, 5 > > 2 < 3, 3 7,,. + +, +, , , , 1 3,, RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ. 1. Rozwiąż równanie : + + = - określamy miejsca zerowe wartości bezwzględnych, czyli + 2 = 0 = 2, oraz = 0. - dokonujemy podziału zbioru liczb rzeczywistych na przedziały, których granicami są powyższe miejsca zerowe: 1 -, 2,

16 2-2, 0, 3-0, rozwiązujemy równanie w wyżej określonych przedziałach, wykorzystując własności wartości bezwzględnej: 1, = + 2 =, stąd : + 2 = 8 2 = 8 2 = 10 / 2 = 5 otrzymany wynik jest rozwiązaniem równania, bo należy do analizowanego przedziału. 2 2, = + 2 =, stąd : + 2 = otrzymaliśmy sprzeczność, stąd. 3 0, ) + 2 = + 2 =, stąd : = 8 2 = 6 = otrzymany wynik jest rozwiązaniem równania, bo należy do analizowanego przedziału. 2. Rozwiąż nierówność : określamy miejsca zerowe wartości bezwzględnych, czyli = 0 = 2, oraz 3 = 0 = 3 - dokonujemy podziału zbioru liczb rzeczywistych na przedziały, których granicami są powyższe miejsca zerowe: 1 -, 2, 2-2, 3, 3-3,. - rozwiązujemy równanie w wyżej określonych przedziałach, wykorzystując własności wartości bezwzględnej: 1, = + 2 =, stąd : / 2, - porównując otrzymany wynik z założonym przedziałem, czyli określając część wspólną obu przedziałów otrzymujemy wynik,

17 2 2, = = 3, stąd : prawda 2, , + 2 = = 3, stąd : , - porównując otrzymany wynik z założonym przedziałem, czyli określając część wspólną obu przedziałów otrzymujemy wynik, dokonując złożenia wyników uzyskanych dla analizowanych zbiorów otrzymujemy sumaryczne rozwiązanie :,