1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1"

Transkrypt

1 WYKŁAD ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając się na intuicji podać, że ZBIÓR jest kolekcją obiektów posiadających pewną określoną cechę. Podanie tej cechy musi być jasne, aby móc ocenić, czy dany obiekt należy do zbioru. Tego typu intuicyjne rozumienie zbioru może czasem prowadzić do sprzeczności, stąd też nie można tego traktować jako definicji. ZBIORY będziemy zwykle oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, a OBIEKTY małymi a, b, c,.x, y, z. OBIEKT, który należy do zbioru nazywamy ELEMENTEM ZBIORU i oznaczamy, zaś OBIEKT, który nie należy do zbioru, czyli nie jest jego elementem oznaczamy. Poszczególne zbiory mogą być zapisywane na wiele sposobów. Niektóre szczególnie często występujące zbiory mają własne nazwy i oznaczenia (symbole): N = 0,1,2,3,4,5,6,. - zbiór LICZB NATURALNYCH, P = 1,2,3,4,5,6,7.. - zbiór LICZB CAŁKOWITYCH DODATNICH, Z = 3, 2, 3,0,1,2,3.. - zbiór LICZB CAŁKOWITYCH, Q = 0 - zbiór LICZB WYMIERNYCH, R = : Q.. 2, 3, 2,,.. ó LICZB RZECZYWISTYCH. Zbiory mogą być skończone o skończonej liczbie elementów, oraz nieskończone. Zbiór, który nie zawiera żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem. Zbiory można określać (definiować) przez : a) wyliczanie jego elementów, np. X = 2, 4, 6, 8,10 = 10, 8, 6, 4, 2 = 2, 8, 2, 6, 2, 4, 6, 10, 2 (przy czym zmiana kolejności elementów, bądź ich wielokrotne powtarzanie nie zmienia zbioru) b) podanie cech wyróżniających jego elementy, np. Y =zbiór liczb całkowitych, dodatnich, parzystych, nie większych niż 10, c) podanie definicji określania kolejnych wyrazów, np. Z = x: x N x = 2i i N i 5, 1.1. PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. RÓWNOŚĆ ZBIORÓW Dwa zbiory A i B są równe wtedy i tylko wtedy jeśli dla każdego, x należy również do i na odwrót. = x A x B oraz x B x A, A = 1,2,3,4,5, B = 5,4,3,2,1, C = x N 0 < < 6, D = 1,1,1,2,2,3,4,4,5 A = B = C = D

2 X = x N x < 0, Y = x R x = x + 1, Z = x x jest pierwiastkiem rzeczywistym równania x + x + 1 = 0, X = Y = Z. 2 Dla dowolnych zbiorów X, Y, Z jeśli X = Y i Y = Z to X = Z. W dalszej części zajęć, wypisując elementy zbioru A = x, x, x,.. x będziemy milcząco zakładać, że są one różne. Wtedy LICZBĘ ELEMENTÓW zbioru A nazywać będziemy MOCĄ ZBIORU i oznaczać : lub lub,,, =. = 0, 1,2,3,4,5 = 5. ZAWIERANIE SIĘ ZBIORÓW. Powiemy, że zbiór X jest zawarty w zbiorze Y ( lub, że zbiór Y zawiera zbiór X ), jeśli każdy element zbioru X należy również do zbioru Y : wttw i mówimy, że X jest podzbiorem zbioru Y, lub Y jest nadzbiorem zbioru X, oraz, że jeśli to stąd wynika, że lub = Użyte powyżej symbole : - to relacja zawierania ( inkluzja ), zaś - to zawieranie się właściwe, czyli jeśli, to mówimy, że jest właściwym podzbiorem. = to, to, P N ale też P N, N Z ale też P Z, Q R ale też Q R. RELACJE MIĘDZY ZBIORAMI. Możliwe są cztery przypadki zachowania się zbiorów A i B : 1. zbiory A i B są rozłączne, czyli nie mają wspólnych elementów, 2. zbiór A zawiera się w zbiorze B, czyli, 3. zbiór B zawiera się w zbiorze A, czyli, 4. zbiory się przecinają, czyli istnieją takie elementy, które należą do obu zbiorów, ale też istnieją takie, które należą do jednego z nich. Wszystkie powyżej opisane przypadki przedstawia poniższy rysunek 1. 1) 2) 3) 4) Rysunek 1. Relacje między zbiorami.

3 3 TWIERDZENIE: Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące relacje :,, jeśli i to. PRZEDZIAŁY. Na szczególną uwagę zasługują pewne podzbiory zbioru liczb rzeczywistych zwane przedziałami. I tak : - PRZEDZIAŁ DOMKNIĘTY o końcach a, b to zbiór liczb rzeczywistych, nie większych od b i nie mniejszych od a, czyli, =, = R - PRZEDZIAŁ OTWARTY o końcach a, b to zbiór liczb rzeczywistych, większych od a i mniejszych od b, czyli, = R < <, - PRZEDZIAŁ PRAWOSTRONNIE DOMKNIĘTY o końcach a, b to zbiór liczb rzeczywistych, większych od a i nie większych od b, czyli, ] =, = R <, - PRZEDZIAŁ LEWOSTRONNIE DOMKNIĘTY o końcach a, b to zbiór liczb rzeczywistych, nie mniejszych od a i mniejszych od b, czyli [, =, = R < DZIAŁANIA NA ZBIORACH. Związki pomiędzy zbiorami wygodnie jest przedstawiać na rysunku, jako część płaszczyzny. Rysunki takie noszą nazwę diagramów Venna. SUMA ZBIORÓW ( ) - jest to zbiór, którego elementami są wszystkie elementy należące do zbioru lub do zbioru : = =. Wszystkie możliwe przypadki sumy różnych zbiorów przedstawiają diagramy Venna na rysunku 2. 1) 2) 3) = = = = Rysunek 2. Suma zbiorów A i B. TWIERDZENIE : Dla dowolnych zbiorów,, zachodzą następujące równości : =, B = B, =, =, = - prawo przemienności, = - prawo łączności. = 0, 1, 2, 3, 5, 7 i = 0, 2, 4, 6, 7 to = 0, 1,2,3,4, 5, 6, 7

4 = x x = 2k k N = 0, 2, 4, 6, 8,, oraz = x x = 2k + 1 k N = 1, 3, 5, 7, 9,., to = N. 4 Jeśli : to oraz to = ILOCZYN ( PRZECIĘCIE SIĘ ) ZBIORÓW ( ) - jest to zbiór, którego elementami są wszystkie elementy należące równocześnie do zbioru i do zbioru : = Wszystkie możliwe przypadki iloczynu różnych zbiorów przedstawiają diagramy Venna na rysunku 3. 1) 2) 3) = = = = Rysunek 3. Iloczyn zbiorów A i B. TWIERDZENIE : Iloczyn zbiorów podobnie jak suma jest operacją łączną i przemienną, a ponadto zachodzi prawo rozdzielności sumy względem iloczynu. A zatem dla dowolnych zbiorów, i można zapisać : = - prawo łączności, = - prawo przemienności, = - prawo rozdzielności. Powyższe prawa są analogiczne jak przy działaniach na liczbach. Dla zbiorów możemy zapisać dodatkowo prawa, które nie mają odpowiednika dla liczb : =, =, =, dodatkowo jeśli : i to, - A B to A =. = : N czyli = 0, 1, 2, 3, 4, 5 oraz = 2, 4, 6, 8, 10 to = 2, 4. RÓŻNICA ZBIORÓW - jest to zbiór, którego elementami są elementy zbioru, które jednocześnie nie należą do zbioru : =. Wszystkie możliwe przypadki różnicy zbiorów przedstawiają diagramy Venna na rysunku 4.

5 1) 2) 3) 5 = = = = Rysunek 4. Diagramy Venna dla różnych przypadków różnicy zbiorów. Bardzo często rozważane zbiory są podzbiorami jakiegoś większego zbioru. Zbiór taki nazywać będziemy przestrzenią lub uniwersum. UZUPEŁNIENIEM (DOPEŁNIENIEM) zbioru A do przestrzeni U nazywamy taki zbiór, którego elementami są elementy, które należą do przestrzeni U, ale jednocześnie nie należą do zbioru A. = = : Diagramy Venna dla dopełnień dwóch zbiorów, ich sumy i iloczynu przedstawia rysunek 5. Rysunek 5. Diagramy Venna dla dopełnień dwóch zbiorów, oraz dopełnień ich sumy i iloczynu. jeśli = x = 2i i N i = N to = N = x = 2i + 1 i N jeśli = R i = R to = R =, 0, = 0, 1, 2, 19, 20 i = x x cakowity podzielnik liczby 60 i x < 15 czyli = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12 to = 0,7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 11.

6 PRODUKT ( ILOCZYN ) KARTEZJAŃSKI ZBIORÓW. Dane są dwa zbiory i. Dla każdego elementu zbioru i każdego elementu zbioru, tworzymy uporządkowaną parę a,. Element jest pierwszym elementem uporządkowanej pary ( poprzednikiem), zaś element jest drugim elementem uporządkowanej pary (następnikiem). ILOCZYNEM ( PRODUKTEM ) KARTEZJAŃSKIM zbiorów i nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych par (, ) : =, Jeśli zbiory są równe, czyli = to = =. Z definicji wynika, że jeśli jeden ze zbiorów lub B jest zbiorem pustym to iloczyn kartezjański tych zbiorów jest też zbiorem pustym: =. Z definicji wynika również, że jeśli to. - cała płaszczyzna ( Euklidesowa ) jest zbiorem uporządkowanych par,, gdzie R i y R. Zatem płaszczyzna rzeczywista jest iloczynem kartezjańskim R R = R. - jeśli = 1, 2 i = a, b, c to = 1, a, 1, b, 1, c, 2, a, 2, b, 2, c = a, 1, a, 2, b, 1, b, 2, c, 1, c, 2. TWIERDZENIE Dla dowolnych zbiorów, i zachodzą następujące związki : - =, - =, - =. ZADANIA : 1.) Określ zbiory A, B oraz uniwersum U, a następnie sumę, iloczyn, różnicę zbiorów A i B, a następnie ich dopełnienia i iloczyn dopełnień, jeśli : = x: x N x = 2n + 1 n N n 5, B = y y Z y jest podzielne przez 3 y 10, U = n n N n < 12. Rozwiązanie : = x: x N x = 2n + 1 n N n 5 = 1, 3, 5, 7, 9, 11, B = y y Z y jest podzielne przez 3 y 10 = 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9, U = n n N n < 12 = = 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. = 9, 6, 3, 0, 1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, = 3, 9, = 1, 5, 7, 11, = 9, 6, 3, 0, 6, A = 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 2, 4, 6, 8, 10, = 11, 10, 8, 7, 5, 4, 2, 1, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, = 11, 10, 8, 7, 5, 4, 2, 1, 2, 4, 8, 10.

7 2.) Zapisz za pomocą nierówności następujące przedziały : < 5, 6 ) x 5 x < 6,, 2 < 3, ) < 2 3, ( 2, 2 > ( 5, 8 > > 2 2 ( > 5 8). 7 3.) Określ zbiory będące sumą, iloczynem, różnicą zbiorów A i B, a następnie ich dopełnienia i iloczyn dopełnień, jeśli : A = x: x R x x , = 3 < 2, = < 10. Rozwiązanie : x x = x: x R x x = Δ = = 49 Δ = 7 =< 4, 3 >, x = = 3 x = = 4 = 3 < 2 = 1, 5, = < 10 = ( 10, 10 ), = ( 4, 5 ), = ( 1, 3 >, =< 4, 1 >, = ( 3, 5 ), A = 10, 4 ( 3, 10 ), = ( 10, 1 > < 5, 10 ), = 10, 4 < 5, 10) PODSTWOWE WŁASNOŚCI ZBIORU LICZB NATURALNYCH. Zbiór liczb naturalnych to zbiór N = 0, 1, 2, 3.4, 5,..., w którym można wydzielić podzbiór liczb pierwszych i podzbiór liczb złożonych. LICZBY PIERWSZE to takie liczby naturalne, które siebie i jedynki nie mają żadnych podzielników - 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,... LICZBY ZŁOŻONE to takie liczby naturalne, które można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych, np. 4 = 2 2 = 2, 6 = 2 3, 360 = = 2 3 5, itd. Aby przedstawić liczbę złożoną w postaci iloczynu liczb pierwszych, należy określić te liczby. Operację tą nazywa się rozkładem na czynniki, który może wyglądać następująco : - rozkład liczby 1224 : zatem można zapisać 1224 =

8 - rozkład liczby 216 : zatem można zapisać 216 = 2 3. Z pojęciem liczb złożonych związane są dwa inne pojęcia. Są to najmniejsza wspólna wielokrotność oraz największy wspólny podzielnik. NAJWIĘKSZY WSPÓLNY PODZIELNIK NWP dwóch liczb to liczba powstała z pomnożenia wspólnych czynników występujących w rozkładach tych liczb. Na przykład 1224, 216 = 2 3 = 72. Największy wspólny podzielnik wykorzystuje się na przykład przy skracaniu ułamków. NAJMNIEJSZA WSPÓLNA WIELOKROTNOŚĆ NWW dwóch liczb to liczba powstała z pomnożenia jednej z nich przez czynniki występujące w rozkładzie drugiej, które nie występują w rozkładzie pierwszej. Na przykład NWW1224, 216 = = 3672 lub = Najmniejszą wspólną wielokrotność wykorzystuje się na przykład do rozszerzania ułamków przy wykonywaniu działań na ułamkach PODSTWOWE DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH. POTĘGĄ liczby rzeczywistej, różnej od zera, nazywamy liczbę : = =. dla n 0 i n 1. ó POTĘGĘ o wykładniku 0 (zero) określamy następująco : = 1 gdzie a 0. POTĘGĘ o wykładniku ujemnym określamy : = = gdzie 0. PIERWIASTKIEM ARYTMETYCZNYM n tego stopnia, 0, 1, z nieujemnej liczby nazywamy taką nieujemną liczbę b, że =, zatem ś 0 = = 0. POTĘGĘ o wykładniku, gdzie 0, 1 określamy następująco : = 0. POTĘGĘ o wykładniku wymiernym, określamy następująco : = ( ) = jeśli 0 0, 1 m N = = jeśli > 0 0, 1 m N ) (.

9 TWIERDZENIE : PODSTAWOWE WZORY DZIAŁAŃ NA POTĘGACH I PIERWIASTKACH : Jeśli m i n są dowolnymi liczbami całkowitymi, oraz a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi różnymi od zera, to ; 1.) = - iloczyn potęg o jednakowych podstawach jest równy potędze o tej samej podstawie i wykładniku równym sumie wykładników potęg będących czynnikami tego iloczynu. 2.) = = - iloraz potęg o jednakowych podstawach jest równy potędze o tej samej podstawie i wykładniku równym różnicy wykładników potęg dzielnej i dzielnika. 3.) = - potęga potęgi o podstawie jest równa potędze o tej samej podstawie i wykładniku będącym iloczynem wykładników. 4.) = - iloczyn potęg o jednakowych wykładnikach jest równy potędze o tym samym wykładniku i podstawie, która jest iloczynem podstaw potęg będących czynnikami tego iloczynu. 5.) = - iloraz potęg o jednakowych wykładnikach jest równy potędze o tym samym wykładniku i podstawie, która jest ilorazem podstaw potęg będących czynnikami tego iloczynu. - dodatkowo, jeśli założymy, że > 0 to: 6.) = - pierwiastek z iloczynu liczb jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb. 7.) = - pierwiastek z ilorazu liczb jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb. 8.) = - pierwiastek stopnia z pierwiastka stopnia jest równy pierwiastkowi stopnia. 9.) = - potęga pierwiastka jest równa pierwiastkowi potęgi. - w szczególności =. 9 ZADANIA : 1. Oblicz : = =, = 4 = 8, = 1,. = 0.25, = 2 3 = = 24 3, = = 1,. = = =,. =. = = 2 = 16, = 0.5 = 0.5 = 4, 125 = 5 = 125.

10 2. Doprowadź do najprostszej postaci następujące wyrażenia : + + = = = 14 2, = = = 3, = = = =. 10 WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA Jest to grupa wzorów mających wiele zastosowań w matematyce. Pozwalają na przykład szybciej wykonywać działania na pewnych wyrażeniach algebraicznych. Inne zastosowanie tych wzorów to ich wykorzystanie do rozkładania wyrażeń algebraicznych na czynniki czy też usuwania niewymierności z mianownika. 1.) + = + 2 +, 2.) = 2 +, 3.) = +, 4.) + = , 5.) = 3 + 3, 6.) = + +, 7.) + = + + ZADANIA : 1.) Oblicz wartość wyrażenia : = = = 30 2 = = 896, = = = = 1225, = + = , = + = 5 2 = 3, = = , = = , 2.) Usuń niewymierność z mianownika : = = = 2 5 2, = = = , = = = , = = = PROCENTY 1 procent ( 1% ) danej wielkości, to setna część tej wielkości. p procent liczby a to. 20% liczby 5000 to = 5000 = = 1000, 20% liczby x stanowi Oblicz liczbę x : 20% = x = 1200 =. = 6000.

11 ODSETKI BANKOWE K - kapitał początkowy, p - oprocentowanie w skali roku, r - liczba okresów kapitalizacji w ciągu roku, l - liczba lat oszczędzania, n - łączna liczba okresów kapitalizacji, Końcowa kwota po l latach, czyli po n okresach kapitalizacji, z uwzględnieniem podatku dochodowego przedstawia się następująco: 11 = +.. ZADANIA : 1 Cenę pewnego towaru p0większono o 20%, a po pewnym czasie powiększono jeszcze o 20%. O ile procent zwiększyła się cena towaru po obu podwyżkach? x - cena pierwotna - cena po pierwszej podwyżce = = cena po drugiej podwyżce = = 1.2 = = 1.44 = 144%, a zatem cena końcowa jest o 44% większa od ceny początkowej. 2 Cena pewnego towaru wraz z 22% podatkiem VAT wynosi 732 zł. Podatek VAT obniżono do 7%. Jaka będzie nowa cena towaru? - cena początkowa = 732 ł - wartość towaru, czyli cena bez podatku VAT x, = + = + 0,22 = 1,22 = - nowa cena z 7% podatkiem VAT = = 1.07 = = 642 ł. = = 600 ł,.. 3 Pan Tokarczyk postanowił wpłacić do banku swoje oszczędności w wysokości zł. D którego banku powinien wpłacić pieniądze aby po 5 latach mieć większe odsetki, jeśli : - bank A oferuje oprocentowanie w wysokości 8.5% i kapitalizuje odsetki co kwartał, - bank B oferuje oprocentowanie w wysokości 9% i kapitalizuje odsetki 1 raz w roku. BANK A = 8.5%, = 5 ę, = 4 ó ą, = = 20 łą ó, = = = ł,

12 BANK B = 9%, = 5 ę, = 1 ó ą, = = 5 łą ó, 12 = = = ł, łżć ęś, ż. 4 Pan Kamiński został zatrudniony na umowę o dzieło, w celu wykonania pewnej pracy twórczej. Pracodawca zaproponował panu Kamińskiemu za wykonanie pracy zapłatę w wysokości zł. Koszty uzyskania przychodu przy tego typu pracy wynoszą 50% przychodu. Pozostałe 50% przychodu stanowi dochód wykonawcy, od którego należ odprowadzić podatek 18%. Jaką kwotę otrzyma pan Kamiński? - przychód pana Kamińskiego 25000zł, - koszty uzyskania przychodu = ł, - dochód pana Kamińskiego = ł, - podatek dochodowy = 2250 ł, - kwota do wypłaty = ł, ń łę ś ł. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA Wartością bezwzględną liczby rzeczywistej nazywamy liczbę, jeśli jest ona nieujemna, albo liczbę ą, jeśli jest ujemna : = ś 0 ś < 0 3 = 3 bo 3 0, 3 = 3 bo 3 < 0, WŁASNOŚCI WARTOŚCI BEZWZGLĘDNEJ 1. =, 2. =, 3. =, , 5. =.

13 INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA WARTOŚCI BEZWZGLĘDNEJ Dane są dwa punkty na osi liczbowej. Jeden o współrzędnej 0, a drugi o współrzędnej a. Wtedy jest odległością tych punktów, czyli =. Jednak istnieje inny punkt na osi liczbowej o współrzędnej, którego odległość od punktu 0 jest również, czyli =. Powyższa interpretacja posłuży do rozwiązywania prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną. 13 = = = =, 1. = 5 = 5 = 5, 2. = 0 = 0, 3. = 3, = = 1 = = 5 3 = 5 = = 0 = 5, 3. 2 = 3, 4. 4 = 2 4 = 2 = 2 = 2 = = +, 2 = 3 = = 5, = 2 4 = = 2. = 6 < < < < >,, 1. < 5 < 5 > 5 5, 5, 2. < 0, 3. < 3,,, ,7, 2. 0 = 0, 3. 3,

14 > > > > <,,, > 1 > 1 < 1, 1 1,, > 0 2. > 0 0, > 0 < 0, 0, 0 0,, 3. > 3,,,, , 11 11,, 2. 0, 3. 3, < < < + < < + >, < 5 3 < 5 < < 0, 3. 2 < 3, 4. 4 = 2 4 < 2 < 2 > 2 3 < < 5 > 2 4 < < 2 < 6 2, 8, 2,6.

15 + +, +, = 5, 3. 2 < 3, ,2, > > > + > > + <, +, > 2 5 > 2 > > 0 5, 3. 2 > 3, 5 > > 2 < 3, 3 7,,. + +, +, , , , 1 3,, RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ. 1. Rozwiąż równanie : + + = - określamy miejsca zerowe wartości bezwzględnych, czyli + 2 = 0 = 2, oraz = 0. - dokonujemy podziału zbioru liczb rzeczywistych na przedziały, których granicami są powyższe miejsca zerowe: 1 -, 2,

16 2-2, 0, 3-0, rozwiązujemy równanie w wyżej określonych przedziałach, wykorzystując własności wartości bezwzględnej: 1, = + 2 =, stąd : + 2 = 8 2 = 8 2 = 10 / 2 = 5 otrzymany wynik jest rozwiązaniem równania, bo należy do analizowanego przedziału. 2 2, = + 2 =, stąd : + 2 = otrzymaliśmy sprzeczność, stąd. 3 0, ) + 2 = + 2 =, stąd : = 8 2 = 6 = otrzymany wynik jest rozwiązaniem równania, bo należy do analizowanego przedziału. 2. Rozwiąż nierówność : określamy miejsca zerowe wartości bezwzględnych, czyli = 0 = 2, oraz 3 = 0 = 3 - dokonujemy podziału zbioru liczb rzeczywistych na przedziały, których granicami są powyższe miejsca zerowe: 1 -, 2, 2-2, 3, 3-3,. - rozwiązujemy równanie w wyżej określonych przedziałach, wykorzystując własności wartości bezwzględnej: 1, = + 2 =, stąd : / 2, - porównując otrzymany wynik z założonym przedziałem, czyli określając część wspólną obu przedziałów otrzymujemy wynik,

17 2 2, = = 3, stąd : prawda 2, , + 2 = = 3, stąd : , - porównując otrzymany wynik z założonym przedziałem, czyli określając część wspólną obu przedziałów otrzymujemy wynik, dokonując złożenia wyników uzyskanych dla analizowanych zbiorów otrzymujemy sumaryczne rozwiązanie :,

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Wymagania dla klasy siódmej. Treści na 2 na 3 na 4 na 5 na 6 Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: DZIAŁ 1. LICZBY

Wymagania dla klasy siódmej. Treści na 2 na 3 na 4 na 5 na 6 Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: DZIAŁ 1. LICZBY Wymagania dla klasy siódmej Treści na 2 na 3 na 4 na 5 na 6 Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: Uczeń: DZIAŁ 1. LICZBY Rzymski sposób zapisu liczb Liczby pierwsze i złożone. Dzielenie z resztą Rozwinięcia dziesiętne

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7

Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 1 Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane

Bardziej szczegółowo

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 3 czerwca 017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Strona 1 z 8 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk

WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie

Bardziej szczegółowo

Algebra zbiorów. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Algebra zbiorów. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Algebra zbiorów Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria mnogości Teoria mnogości jest działem matematyki zajmującym się

Bardziej szczegółowo

konieczne (ocena dopuszczająca) Temat podstawowe (ocena dostateczna) dopełniające (ocena bardzo dobra) rozszerzające (ocena dobra)

konieczne (ocena dopuszczająca) Temat podstawowe (ocena dostateczna) dopełniające (ocena bardzo dobra) rozszerzające (ocena dobra) Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane

Bardziej szczegółowo

rozszerzające (ocena dobra) podstawowe (ocena dostateczna)

rozszerzające (ocena dobra) podstawowe (ocena dostateczna) Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I liceum ogólnokształcącego

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I liceum ogólnokształcącego Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I liceum ogólnokształcącego Temat (rozumiany jako lekcja) Lekcja organizacyjna I. Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział

Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział Wymagania programowe kl. VII Dział Liczby rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w systemie rzymskim w zakresie do

Bardziej szczegółowo

konieczne (ocena dopuszczająca) Temat rozszerzające (ocena dobra)

konieczne (ocena dopuszczająca) Temat rozszerzające (ocena dobra) Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej ROZDZIAŁ I LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7

Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane

Bardziej szczegółowo

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady : WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych

Bardziej szczegółowo

Lista działów i tematów

Lista działów i tematów Lista działów i tematów Szkoła podstawowa. Klasa 4 Liczby i działania Rachunki pamięciowe - dodawanie i odejmowanie O ile więcej, o ile mniej Rachunki pamięciowe - mnożenie i dzielenie Mnożenie i dzielenie

Bardziej szczegółowo

konieczne (ocena dopuszczająca) Temat podstawowe (ocena dostateczna) dopełniające (ocena bardzo dobra) rozszerzające (ocena dobra)

konieczne (ocena dopuszczająca) Temat podstawowe (ocena dostateczna) dopełniające (ocena bardzo dobra) rozszerzające (ocena dobra) Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane

Bardziej szczegółowo

konieczne (ocena dopuszczająca) Temat podstawowe (ocena dostateczna) rozszerzające (ocena dobra) dopełniające (ocena bardzo dobra)

konieczne (ocena dopuszczająca) Temat podstawowe (ocena dostateczna) rozszerzające (ocena dobra) dopełniające (ocena bardzo dobra) Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności te przypisane

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY NAUCZANIA MATEMATYKI W LICEUM PLASTYCZNYM ZAKRES PODSTAWOWY 2017/2018

PLAN WYNIKOWY NAUCZANIA MATEMATYKI W LICEUM PLASTYCZNYM ZAKRES PODSTAWOWY 2017/2018 PLAN WYNIKOWY NAUCZANIA MATEMATYKI W LICEUM PLASTYCZNYM ZAKRES PODSTAWOWY 2017/2018 Wstęp Plan wynikowy kształcenia matematycznego jest opracowany na podstawie programu nauczania matematyki w liceach i

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY PIERWSZEJ

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY PIERWSZEJ MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. LICZBY RZECZYWISTE DLA KLASY PIERWSZEJ 1. Podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 0 nr programu DKOS-5002-7/07 I. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne. 1 Wykonalność

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 1. Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające - dopuszczający;

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne: Matematyka Zasadnicza Szkoła Zawodowa

Wymagania edukacyjne: Matematyka Zasadnicza Szkoła Zawodowa ymagania edukacyjne: Matematyka Zasadnicza Szkoła Zawodowa Oznaczenia: wymagania konieczne (ocena dopuszczająca), wymagania podstawowe (ocena dostateczna), wymagania rozszerzające (ocena dobra) D wymagania

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019 PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019 Przedmiotowy system oceniania jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 10 czerwca 2015 r. w

Bardziej szczegółowo

11. Liczby rzeczywiste

11. Liczby rzeczywiste . Liczby rzeczywiste Zdający: Wymagania, jakie stawia przed Tobą egzamin maturalny z przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych

Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych Wymagania dla kl. 1 Zakres podstawowy Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. LICZBY RZECZYWISTE 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej podaje przykłady

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII Ocena Dopuszczający Osiągnięcia ucznia rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z KLUCZEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY SIÓDMEJ

MATEMATYKA Z KLUCZEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY SIÓDMEJ MATEMATYKA Z KLUCZEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY SIÓDMEJ ocena dopuszczająca (wymagania konieczne), : rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie 3000, porównuje

Bardziej szczegółowo

ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca

ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla klas siódmych ''Matematyka" Szkoła Podstawowa im. Jana Pawła II w Mętowie Rok szkolny 2017/2018 Klasa 7a, 7b Nauczyciel: Małgorzata Łysakowska Ocena

Bardziej szczegółowo

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób: 1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Przedział domknięty Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

LICZBY - Podział liczb

LICZBY - Podział liczb 1 LICZBY - Podział liczb Liczby naturalne (N) to liczby, za pomocą których rachujemy. Podział liczb na diagramie prezentuje się następująco 0, 1, 2, 3, 4, 5,, 99, 100, 101,, 999, 1000, Liczby całkowite

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 1b, 2016/2017r.

Plan wynikowy matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 1b, 2016/2017r. Jolanta Pająk Plan wynikowy matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 1b, 016/017r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Uczeń: Elementy logiki matematycznej rozpoznaje spójniki logiczne, zna wartości logiczne

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I PODSTAWA Z ROZSZERZENIEM (90 godz.)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I PODSTAWA Z ROZSZERZENIEM (90 godz.) WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA I ODSTAWA Z ROZSZERZENIEM (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

Szkoła podstawowa. podstawowe (ocena dostateczna) rozszerzające (ocena dobra) I PÓŁROCZE

Szkoła podstawowa. podstawowe (ocena dostateczna) rozszerzające (ocena dobra) I PÓŁROCZE Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 7 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. Zgodnie z przyjętymi założeniami w programie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne do klasy VII szkoły podstawowej na rok szkolny 2018/2019

Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne do klasy VII szkoły podstawowej na rok szkolny 2018/2019 Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne do klasy VII szkoły podstawowej na rok szkolny 2018/2019 LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE POJĘCIE PIERWOTNE, AKSJOMAT, TWIERDZENIE Pojęcie pierwotne jest to pojęcie, którego nie definiujemy, a mimo to przyjmujemy za oczywiste np.: liczba, punkt,

Bardziej szczegółowo

KLASA I LO Poziom podstawowy (wrzesień)

KLASA I LO Poziom podstawowy (wrzesień) (wrzesień) 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2) oblicza

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy 7 na podstawie planu wynikowego z rozkładem materiału

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy 7 na podstawie planu wynikowego z rozkładem materiału Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy 7 na podstawie planu wynikowego z rozkładem materiału Lp. Temat lekcji Punkty z podstawy programowej z dnia 1 lutego 2017 r. Wymagania podstawowe Wymagania ponadpodstawowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Dział I. LICZBY RZECZYWISTE I DZIALANIA

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem. Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7

Matematyka z kluczem. Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Matematyka z kluczem Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Matematyka z kluczem Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Temat lekcji Punkty z podstawy programowej Lp. Wymagania podstawowe Wymagania

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem. Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7

Matematyka z kluczem. Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Matematyka z kluczem Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Matematyka z kluczem Plan wynikowy z rozkładem materiału Klasa 7 Temat lekcji Punkty z podstawy programowej Lp. Wymagania podstawowe Wymagania

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową * Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne 2. Liczby całkowite. 3. Liczby wymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1 Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1 Liczby rzeczywiste: Uczeń otrzymuje ocenę ( jeśli rozumie i stosuje podpowiedź nauczyciela)oraz

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

Temat (rozumiany jako lekcja) Propozycje środków dydaktycznych. Liczba godzin. Uwagi

Temat (rozumiany jako lekcja) Propozycje środków dydaktycznych. Liczba godzin. Uwagi Roczny plan dydaktyczny z matematyki dla pierwszej klasy szkoły branżowej I stopnia dla uczniów będących absolwentami ośmioletniej szkoły podstawowej, uwzględniający kształcone umiejętności i treści podstawy

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02 Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. Liczby naturalne definicja dzielnika

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej

Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne,

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)

Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h) Matematyka z kluczem Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) I. LICZBY NATURALNE część 1 (23) 1. Jak się uczyć matematyki (1) 2. Oś liczbowa 3. Jak zapisujemy liczby

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony

Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA I 1.Liczby rzeczywiste 1. Podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)

Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h) Matematyka z kluczem Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) I. LICZBY NATURALNE część 1 (23) 1. Jak się uczyć matematyki (1) 2. Oś liczbowa 3. Jak zapisujemy liczby

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa VII

Wymagania edukacyjne matematyka klasa VII Wymagania edukacyjne matematyka klasa VII OCENA DOPUSZCZAJĄCA Dział I Liczby - zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim - rozpoznaje liczby podzielne przez 2, 5, 10, 100, 3, 9, 4 - rozpoznaje,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII SZKOŁY PODSTAWOWEJ Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, jeśli nie opanował wiadomości i umiejętności na ocenę dopuszczającą, nie wykazuje chęci poprawy

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki w klasie VII.

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki w klasie VII. Przedmiotowy system oceniania z matematyki w klasie VII. Ocena roczna Wyróżniono następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA I ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania dopełniające

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin . Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 1. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie pierwszej. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 1. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie pierwszej. Zakres podstawowy Dorota onczek, arolina Wej MATeMAtyka 1 Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie pierwszej Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne, wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające,

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas I ae i I be w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU NR 3 Ekonomik w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas I ae i I be w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU NR 3 Ekonomik w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas I ae i I be w roku szkolnym 018/019 w CKZiU NR Ekonomik w Zielonej Górze I. Pierwiastki (w tym usuwanie niewymierności), potęgi,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Zakres podstawowy klasa 1

Plan wynikowy. Zakres podstawowy klasa 1 lan wynikowy Zakres podstawowy klasa MATeMAtyka. lan wynikowy. Z Oznaczenia: wymagania konieczne, wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające ogrubieniem

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim; zna zasady zapisu liczb w systemie rzymskim; umie zapisać

Bardziej szczegółowo