MECHANIKA PŁYNÓW ZBIÓR ZADAŃ

Anrej Racńki MECHANIKA PŁYNÓW ZBIÓR ZADAŃ Politecnika Łóka wreień 07

W oracowaniu najują ię aania włane a także aania oręcników oublikowanc re Z. Orecowkiego, M. Mitoka ora E. Burkę i T. Nałęca Uwaga: gwiaką ą onacone aania la iłośników kolikowanc aganień. Si roiałów. WŁAŚCIWOŚCI PŁYNÓW. 6. CIŚNIENIE HYDROSTATYCZNE, NACZYNIA POŁĄCZONE. 9. PARCIE HYDROSTATYCZNE. KINEMATYKA PŁYNÓW...... 5 5. DYNAMIKA PŁYNÓW DOSKONAŁYCH... 7 6. REAKCJA STRUGI..... 6 7. DYNAMIKA PŁYNÓW LEPKICH.. 7 Główne onacenia A - ole owiercni [ ] - śrenica raulicna [] G - ciężar [N] g - rśieenie iekie, 9,8 / - aa [kg] - aowe natężenie rełwu [kg/] - ciśnienie (ogólnie) [Pa], [Pa], [bar] at - ciśnienie atofercne [Pa], [Pa], [bar] n - naciśnienie [Pa], [kpa], [MPa] P - iła arcia [N] T - teeratura bewglęna [K]; ca roceu [] - rękość liniowa [/] V - objętość [ ] V - objętościowe natężenie rełwu [ /] α - wółcnnik rękości [ ] β - wółcnnik kontrakcji [ ] ζ - wółcnnik ooru iejcowego (trat iejcowej) [ ] λ - wółcnnik ooru liniowego (trat liniowej) [ ] ν - wółcnnik lekości kineatcnej [ /] ρ - gętość łnu [kg/ ] ω - rękość kątowa [ra/] Δ - rrot (owolnej wielkości) Δ - trata wokości ciśnienia [] Δ - trata ciśnienia [Pa]

Inforacje oocnice Tablica 0.. Wółcnnik lekości kineatcnej ν owietra i wo w ależności o teeratur (la owietra r ciśnieniu = 0,5 kpa) t [ºC] owietre ν [ /] woa 0, 0-6,79 0-6 0,9 0-6, 0-6 0 5, 0-6,0 0-6 0 6,0 0-6 0,80 0-6 0 6,9 0-6 0,658 0-6 50 8, 0-6 0,560 0-6 60 8,9 0-6 0,78 0-6 80 0,9 0-6 0,66 0-6 00, 0-6 0,95 0-6 00 5 0-6 0,60 0-6 Tablica 0.. Ciśnienie ar wonej naconej w ależności o teeratur t [ºC] [Pa] t [ºC] [Pa] 0 588 55 570 785 60 997 5 87 65 5007 0 6 70 56 5 706 75 8550 0 80 756 5 68 85 57800 0 6 90 7008 5 569 85 85 0 775 00 0 5 958 0 65 50 7 0 9856 Re R. 0.. Wółcnnik ooru liniowego λ wg Nikuraego

Tablica 0.. Mouł rełwu K w trefie kwaratowej ależności trat ciśnienia o rękości rełwu. Paraetr rewou: śrenica, croowatość (wokość nierówności) k. [] K [ /] k=0,05 k=0,0 k=0,0 k=0,50 k=,0 k=,0 50 65 80 00 5 50 75 00 50 00 00 500 600 800 000,88 0 -,760 0 -,75 0-8,56 0 -,55 0 -,5 0 -,667 0-5,9 0-9,80 0 -,9,9 5,60 9,09 9,0,89,7 0 -,5 0 -,7 0-7.85 0 -,09 0 -,7 0 -,98 0 -,87 0-8,66 0 -,88,97 5,50 8,5 7,9,79,5 0 -,08 0 -,99 0-7,9 0 -,9 0 -,088 0 -,0 0 -, 0-7,97 0 -,85,75,880 7,85 6,6 9,70 9,99 0 -,00 0 -,9 0-6,6 0 -, 0 -,87 0 -,775 0 -,97 0-7,07 0 -,8,5,90 7,079 5,0 6,9 8,8 0 -,785 0 -, 0-5,65 0 -,05 0 -,665 0 -,507 0 -,57 0-6,5 0 -,05,,00 6,95,8,8 7,65 0 -,559 0 -,75 0 -,99 0-9,09 0 -,8 0 -,9 0 -,98 0-5,798 0-9,7 0 -,0,650 5,9,6,7 Tablica 0.. Wartości wółcnnika ζ la wbranc oorów iejcowc

5 Wartości wółcnnika ζ la wbranc oorów iejcowc c.

6. WŁAŚCIWOŚCI PŁYNÓW Za.. Oblicć ciężar becki naełnionej oleje o gętości ρ = 0,88 0 kg/, wieąc że aa becki wnoi b = 0 kg, a jej ojeność V jet równa 00 litrów. Rowiąanie: Na ciężar becki naełnionej oleje kłaa ię ciężar becki i ciężar oleju. Ciężar każego ciała jet ilocne jego a i lokalnego natężenia ola grawitacjnego. W warunkac iekic natężenie ola grawitacjnego (rieenie iekie g) jet równe ok. 9,8 /. Ciężar becki wnoi więc: Gb g g 0kg 9,8 96,N Ciężar oleju oblic oobnie na otawie jego a. Maa oleju jet ilocne jego objętości i gętości (gętość to aa jenotki objętości). Mui r t aiętać o rerowaaniu obliceń w ójnc jenotkac ukłau SI. ol V ol 00litrów 0, V 0, Zate ciężar becki naełnionej oleje wnoi: ol kg 0,88 88kg Gol ol g 88kg 9,8 86,N G G b G ol 96, 86, 059,5N Za.. Becka ełna oleju waż, kn, ojeność becki V wnoi 0 litrów, a aa utej becki b wnoi 0 kg. Oblicć gętość i ciężar właściw oleju awartego w becce. Oowieź: ρ=90 kg/, γ=9 N/ Za.. W teroetre rtęciow objętość rtęci wnoi 0, c, aś śrenica wewnętrna rurki = 0,5. O ile onieie ię oio rtęci w rurce, jeśli teeratura onieie ię o 0 K? Wółcnnik roeralności objętościowej rtęci wnoi β t = 8, 0-5 /K. Rowiąanie: Wółcnnik roeralności objętościowej jet określon natęującą ależnością: t T V V Prektałcenie tej ależności uożliwi określenie rrotu objętości: V T V 8, 0 t 5 K 0K 0,c 8, 0 Ponieienie oiou rtęci oowiaa rrotowi wokości łuka rtęci. Prrot ten wnac na otawie rrotu objętości ΔV i ola rekroju łuka A. Pre okonanie obliceń ui 5 c

7 ugonić jenotki. Ponieważ śrenica rurki jet wrażona w ilietrac, relic rrot objętości też na ilietr. Pole rekroju łuka rtęci wnoi: V 8, 0 5 c 8, 0 A Zate rrot wokości łuka rtęci: (0,5 ),77 0 V 8, 0 A,77 0 0, Za.. Śrenica wewnętrna rurki teroetru wnoi 0,, a ocątkowa objętość rtęci wnoiła 0, c. Jak uż natąił wrot teeratur, jeśli oio rtęci w teroetre oniół ię o 0? Wółcnnik roeralności objętościowej rtęci wnoi β t = 8, 0-5 /K. Oowieź: ΔT=,5 K Za..5 Siłownik raulicn o śrenic tłoka D = 80 i koku tłoka = 500 jet całkowicie wełnion oleje. Ile wnieie reunięcie tłoka, jeśli na tłocko bęie iałać iła ewnętrna F = 0 kn? Wółcnnik ściśliwości oleju β wnoi 56 0-5 /N. Rowiąanie: Wółcnnik ściśliwości, gonie efinicją, jet określon ależnością: V V Prektałcenie tej ależności uożliwi oblicenie niejenia objętości oleju ΔV, a w natętwie określenie reunięcia tłoka. Najierw jenak wnac więkenie ciśnienia w iłowniku, wwołane iałanie ił F. Objętość wewnętrna iłownika: F A F D 0000 N (80 ) Ziana objętości o włwe ian ciśnienia: V A 5,97MPa V V A Preunięcie tłoka oowiaające tej ianie objętości: Po otawieniac oblica reunięcie tłoka: V A 5,97MPa 500 56 0 5 MPa,67

8 Za..6 Siłownik raulicn o śrenic tłoka D = 80 i koku tłoka = 0,5 jet całkowicie wełnion oleje. Oblicć wółcnnik ściśliwości oleju β, wieąc że o obciążeniu tłoka iłą F = 5 kn auważono reunięcie tłoka o. Oowieź: β =5,7 0 - /N Za..7 Ile wo należ ooować o ełnego, akniętego i okonale twnego biornika o ojeności 0,5, ażeb wrot ciśnienia wniół Δ = 000 kpa? Wółcnnik ściśliwości wo β wnoi,7 0 - /MN. Rowiąanie: Znów korta e woru na wółcnnik ściśliwości: V V którego o oowieni rektałceniu oblic niejenie objętości wo, wiąane e wrote ciśnienia Δ. V V Po wrażeniu Δ i β w jenotkac otawowc: Oblica niejenie objętości; V 0 000 kpa 0 Pa 0,7 0 6 6,7 0 MN N 0,5,7 0 0 6 0 N N,5 0 N Ponieważ akłaan rrot ciśnienia wnika ooowania wo o twnego biornika, to ilość ooowanej wo ui koenować niejenie objętości wo ierwotnie awartej w biorniku: V o V,5 0 0,5 Za..8 Zaknięte nacnie awiera 00 l wo. Jaki wrot ciśnienia wtąi w t nacniu, jeśli oouje ię 50 g wo? Wółcnnik ściśliwości wo β wnoi,7 0 - /N. Oowieź: Δ=,6 MPa

9. CIŚNIENIE HYDROSTATYCZNE, NACZYNIA POŁĄCZONE Za.. Do enurki o oanc wiarac nalano wo o / jej ojeności. Oblicć ciśnienie rotatcne, ciśnienie abolutne i naciśnienie na nie enurki. Na owiercnią wo anuje ciśnienie atofercne, tego nia równe 05 Pa. Rowiąanie: Ciśnienie rotatcne w owoln unkcie o owiercnią ciec ależ tlko o agłębienia tego unktu oniżej lutra ciec. Potrebna jet więc oległość o lutra wo o na. Nieależnie o ojeności enurki, jeśli ole jej oioego rekroju jet nieienne, to wełnienie jej w ¾ ojeności jet równonacne t, że woa ajuje ¾ wokości enurki. Wnika tego, że wokość łua wo H wnoi (¾ 00 ) = 5 = 0,5. Tak więc ciśnienie rotatcne na nie wnoi: g H 000 9,8 0,5 07 Pa Ciśnienie abolutne w każ unkcie objętości ciec jet uą ciśnienia rotatcnego w t unkcie i ciśnienia na owiercni wobonej ciec 0. W roatrwan waku wartość 0 wnoi 05 Pa, tn. 0500 Pa. Zate ciśnienie abolutne na nie wnoi: 0 at 07 0500 0707 Naciśnienie to różnica ię ciśnienie abolutn a ciśnienie atofercn. Ponieważ w roatrwan waku na owiercnią wo anuje ciśnienie atofercne, to naciśnienie na nie nacnia jet równe: n at Pa 07 Pa 0 at Uogólniając to rowiąanie ożna unać, że naciśnienie w owoln unkcie wewnątr ciec, na którą anuje ciśnienie atofercne, jet równe ciśnieniu rotatcneu. at at Za.. Manoetr aintalowan na butli gaowej wkauje naciśnienie 5 kpa r ciśnieniu atofercn wnoąc 050 Pa. Jaką wartość naciśnienia okaże ten anoetr o aku ciśnienia atofercnego o 960 Pa r tej aej teerature? Oowieź: n = kpa Za.. W retawion biorniku najuje ię woa, a na nią owietre o ciśnieniu 0 = 80 kpa. Aktualne ciśnienie atofercne wnoi 980 Pa. Oblicć ciśnienie abolutne w unktac A, B i C. Stwierić,

0 c w tc unktac wtęuje naciśnienie c ociśnienie i oblicć je. Pretawić na wkreie rebieg ian ciśnienia w biorniku w funkcji wółręnej ionowej. Wiar: H =,5, A = 0,5, B =,5. Rowiąanie: Na wtęie warto auważć, że ciśnienie na owiercnią wo jet nieje o atofercnego, cli wtęuje ta ociśnienie. Bęie to iało włw na ciśnienie w woie. Ciśnienie abolutne w owoln unkcie objętości ciec oblica weług ależności: 0 g Zatouje ten wór kolejno la unktów A, B i C: A B g 0 g 0 C 0 A B 80000 000 9,8 0,5 8905 Pa 8,9 kpa 80000 000 9,8,5 975 Pa 9,7 kpa gh 80000 000 9,8,5 055 Pa 0,5 kpa Łatwo auważć, że w unktac A i B ciśnienie abolutne jet nieje o atofercnego, wnoącego 980 Pa = 98000 Pa, ate wtęuje ta ociśnienie. Oblic je: A B at at A B 98000 8905 095 Pa, kpa 98000 975 85 Pa, kpa W unkcie C ciśnienie abolutne jet więke o atofercnego, więc wtęuje ta naciśnienie. Wnoi ono: nc C at 055 98000 655 Pa 6,5 kpa Poniżej jet retawion wkre ian ciśnienia w funkcji wółręnej ionowej. Uwaga: w nacniac i biornikac awierającc ga oija ię różnice ciśnienia w a gaie, wwołane różnicą wokości ołożenia roatrwanc unktów, gż ą to różnice nikoe (w łuie owietra o ciśnieniu atofercn jet to ok. Pa na etr różnic oioów).

Za.. W retawion biorniku najuje ię woa, a na nią owietre. Jak uże ciśnienie abolutne i naciśnienie wtęuje na owiercnią wo, g wiocn na runku anoetr okauje wartość naciśnienia 5 kpa? Wokół biornika anuje ciśnienie atofercne, wnoące tego nia 05 Pa. Wiar: D =, W =,, H =,5, =,. Rowiąanie: Manoetr okauje wartość naciśnienia ( n) ona aktualn ciśnienie otocenia (w t waku at). Oblic więc najierw, jakie ciśnienie abolutne wtęuje w woie na oioie anoetru. at n 0500 5000 6500 Pa To ao ciśnienie ożna wraić jako uę ciśnienia abolutnego na lutre wo 0 i ciśnienia rotatcnego na oioie anoetru: 0 g(h ) Zate ciśnienie abolutne na lutre wo wnoi: 0 g(h ) 6500 000 9,8,5 785 Pa Naciśnienie na lutre wo oblic w onieieniu o ciśnienia atofercnego. n0 0 at 785 0500 085 Pa Uwaga: to ao naciśnienie n0 ożna oblicć jako różnicę ię naciśnienie n wkawan re anoetr a ciśnienie rotatcn na oioie anoetru: n0 g(h ) 5000 000 9,8 n,5 085 Pa Wnioek: naciśnienie w owoln unkcie objętości ciec jet uą ciśnienia rotatcnego w t unkcie i naciśnienia na owiercnią ciec. Warto jenoceśnie auważć, że wiar biornika (D i W) nie oegrał żanej roli w t rowiąaniu. Za..5 Mię ściankai nacnia Dewara (terou) ciśnienie abolutne wnoi 6 kpa. Ile wnoi ta ociśnienie, jeśli aktualne ciśnienie atofercne wnoi 05 Pa? Oowieź: = 96500 Pa = 96,5 kpa Za..6 Baen kąielow a głębokość 0 c. Wnacć naciśnienie na głębokości 0,5 i na nie baenu. Oowieź: n.0,5 = 905 Pa, n.n = 56 Pa.

Za..7 W retawion biorniku wartwa wo a wokość w =,5. Na woą twierono naciśnienie 0n = 0, bara. Aktualne ciśnienie atofercne wnoi 00 Pa. Wnacć ciśnienie abolutne, ciśnienie rotatcne i naciśnienie w najniż unkcie objętości ciec. Oowieź: = 665 Pa, = 5 Pa, n = 65 Pa, Za..8 Do nacnia w ktałcie owróconego tożka o wokości = nalano wo o ołow jego ojeności. Oblicć ciśnienie rotatcne w najniż unkcie wnętra nacnia. Rowiąanie: Ciśnienie rotatcne w określon iejcu nacnia ależ tlko o ołożenia lutra ciec ona t iejce. Mui wiec oblicć, jakie ołożenie lutra oowiaa ołowie objętości nacnia. Wrowaź onacenia jak na runku oocnic. Pojeność nacnia jet równa objętości tożka o roieniu otaw R i wokości H: V R Objętość wo ięgającej o oiou onaconego : V r Jeśli woa ajuje ołowę ojeności nacnia, to: H H tg tg V V

tg H tg H H 0,797 Znając wokość oblic ciśnienie rotatcne na nie nacnia. g 000 9,8 7786 Pa Za..9 Rurka o oiaru rieenia (akceleroetr) otała utawiona na ojeźie. Ile wnoi cwilowe rieenie ojau, jeśli oio eników ciec ą takie, jak na runku? Jakie najwięke rieenie oże bć ierone t rrąe be utrat ciec? Rowiąanie: Na runku jet oana inforacja o ołożeniu eników wo w obwóc gałęiac rurki. Łącąc te eniki wólną ukośną łacną, otra łacnę owiercni wobonej (uwiocnioną na runku oocnic). Jeśli wrai równanie owiercni wobonej w ależności o rśieenia ojau, to bęie ogli oblicć to rśieenie. Równanie owiercni wobonej otra rektałcając otawowe równanie tatki ciec w otaci różnickowej: (X Y Z) Prjij ukła wółręnc tak, jak na runku oocnic: Określ tera jenotkowe ił aowe. Powżenie oiou ciec w lewej gałęi rurki wkauje na to, że rśieenie jet kierowane w rawo. Wobec tego jenotkowa iła aowa w kierunku oi jet kierowana w lewo (reciwnie o wrotu rśieenia). Co o wartości bewglęnej jet ona równa rśieeniu. X a Oś jet kierowana rotoale o łacn runku. W t kierunku nie a żanego rśieenia, więc jenotkowa iła aowa Y jet erowa.

W kierunku ionow wtęuje jenotkowa iła aowa wnikająca grawitacji. Jet ona wrócona w ół, cli reciwnie o oi. Równanie tatki o otawieniac: Całkując to równanie otra: Z g a g a g C Stałą całkowania C określi na otawie warunku bregowego: w unkcie o wółręnc =0, =0 (cli na owiercni wobonej), gie ciśnienie jet równe ciśnieniu atofercneu. at 0 0 C, cli C at Tak więc ciśnienie w ciec jet wrażone natęującą ależnością w funkcji wółręnc : at a g Powiercnia wobona jet owiercnią łożoną tc unktów (i tlko tc), w którc ciśnienie jet równe atofercneu. Wtarc więc rrównać owże wrażenie o at, żeb otrać równanie owiercni wobonej. at at a g a g 0 Prśieenie "a" jet araetre tego równania. Wartość tego araetru ożna wnacć na otawie jakiegokolwiek unktu na owiercni wobonej, wjątkie unktu o wółręnej =0. Wgon unkte jet unkt najując ię na owiercni ciec w rawej gałęi rurki, o wółręnc: = L = 00, = - = -6. a g g 9,8 L 6 00 0,85 Prejź tera o robleu najwiękego rśieenia, które oże bć ierone. Utrata ciec groi wówca, g ciec w lewej gałęi rurki oiągnie oio wlotu, cli onieie ię o wiar e. Naturalnie jenoceśnie o tle ao oanie oio ciec w rawej gałęi rurki. W tej tuacji różnica oioów ię rawą a lewą gałęią wnieie: a Zate najwięke ieralne rśieenie wnoi: a a g a e 6 5 g L a 5 9,8,7 00 Za..0 Poca rieania ojau woa w biorniku utawion na t ojeźie acowuje ię tak, jak to retawiono na runku. Określić kierunek i wrot rucu ojau ora cwilowe rieenie.

5 Oowieź: a =,96 / ; ruc w lewo. Za.. Tr otwarte nacnia ołącone u ołu otał utawione w łacźnie ołużnej ojau. Wokość łuów wo w berucu jet wiocna na runku. Jakie bęą śrenie wokości łuów wo w nacniac A, B i C, jeśli oja bęie nabierał rękości w rawo rieenie /? Jakie błb te wokości, gb woę atąiono rtęcią? Oowieź: A =, B = 60, C = 09. Za..* Clinrcne nacnie awierające olej o gętości 880 kg/ obraca ię wokół ionowej oi rękością n = 0 obr/in. Oblicć naciśnienie w śroku na (w unkcie S) i na obreżu na (w unkcie B), wieąc że r oanej rękości głębokość w śroku łua ciec wnoi 00. Rowiąanie: Rokła ciśnień wewnątr ciec jet określon re otawowe równanie tatki ciec w otaci różnickowej W onieieniu o ciec awartej w wirując clinre atouje to równanie wrażone we wółręnc clinrcnc. (R r Z)

6 gie r jet kierunkie roieniow, υ - kierunkie obwoow, onaca oś kierowaną o gór, R jet kłaową jenotkowej ił aowej w kierunku roieniow, Θ jet kłaową jenotkowej ił aowej w kierunku obwoow, aś Z jet kłaową jenotkowej ił aowej w kierunku ionow. Prjij ocątek ukłau wółręnc w śroku na biornika (co już onacono na runku). Proieniowa kłaowa jenotkowej ił aowej jet równa rieeniu ośrokoweu, ale jej wrot jet reciwn o wrotu tego rśieenia, cli gon kierunkie oi r. R r W kierunku obwoow nie wtęuje żane rśieenie, więc Θ = 0. W kierunku ionow wtęuje jenotkowa iła aowa wnikająca grawitacji. Jet ona wrócona w ół, cli reciwnie o oi. Równanie tatki o otawieniac: Z g Całkując to równanie otra: r r g r g C (a) Stałą całkowania C określi na otawie warunku bregowego: w unkcie (0,0) o wółręnc r=0, υ=0 =0 (cli w śroku na), gie ciśnienie jet równe uie ciśnienia atofercnego i ciśnienia rotatcnego wwołanego łue wo o wokości 00 = 0, : g Wkortuje równanie (a) la unktu (0,0): at g0, 0, g ( 0,0) at at at 0, g 0 0 C, cli C at 0, g Tak więc ciśnienie w ciec jet wrażone natęującą ależnością w funkcji wółręnc r i : r g at 0, g at r g ( 0,), aś naciśnienie aie oowienio wore: Może tera o kolei oblicć: n at r g ( 0,), - naciśnienie w śroku na, tn. w unkcie S (gie r=0, =0): nc 0 g (0 0,) 880 9,8 0, 590 Pa - naciśnienie na obreżu na, na rkła w unkcie B (r=0,5, =0): nb r n g (0 0,) r 0 g (0 0,) n 07 Pa 880 0 0,5 0 880 9,8 (0 0,)

7 Za..* Clinrcne nacnie o oanej śrenic, ełne wo, wrawiono w ruc obrotow wokół oi ionowej rękością n = 90 obr/in. Cęść wo wlała ię. Jak głęboki jet lej utworon re owiercnię wo? Wkaówka: Wgone bęie uiecenie ocątku ukłau wółręnc w śroku owiercni wobonej (lutra ciec). Oowieź: = 5 Za..* Zaknięte clinrcne nacnie o wokości bło naełnione o ołow woą (jak na runku a ). Pona woą najowało ię owietre o ciśnieniu atofercn at. Po ołonięciu ałego otworu w nie nacnia cęść wo włnęła (r. b ). O ile oał oio wo w nacniu? Założć, że rorężanie owietra bło iotericne, cli ilocn ciśnienia i objętości bł tał. Ciśnienie atofercne wnoi 0, kpa. Rowiąanie: Wciekanie wo nacnia utało wte, kie natąiła równowaga ciśnień obu tron otworu (tn. gór i ołu). Stan ten oże aiać równanie: g (a) at gie jet nienan ciśnienie na lutre wo, aitniał o utaniu wcieku. Jet to równanie wiea niewiaoi: i. Poana inforacja o tałości ilocnu ciśnienia i objętości owietra jet otawą o forułowania rugiego równania: at V V ; V to objętość owietra re wciekie, aś V o utaniu wcieku. Jeśli ole oioego rekroju nacnia onac re A, to bęie ogli aiać: A A ; at

8 ate Potawiając równanie (b) o (a) otra: a o wnożeniu obwóc tron re (+): at g at (b) g at at g ) ( ) 0 Jet to równanie kwaratowe e wglęu na. Rowiąując to równanie otra wa ierwiatki: = -0,5 ora = 0,0. Tlko ten rugi ierwiatek równania jet enown, a ate już wie, że obniżenie oiou ciec wnoi =. at at Za..5 W reroct nacniu utanowiono (etoą olewania i rewracania) takie oio luter wo, jak na runku. Lewa cęść nacnia jet otwarta o atofer, w której aktualnie anuje ciśnienie 990 Pa. Jak uże ciśnienie 0 anuje na lutre wo w rawej cęści nacnia? C wtęuje ta naciśnienie, c ociśnienie? Rowiąanie: W nacniu t oże wiieć wa nacnia ołącone. Potawion roble rowiąże ore ułożenie równania ciśnień na jakiś wóln oioie. Niec to bęie oio lutra wo w lewej cęści nacnia. Ponieważ w tej cęści nacnie jet otwarte o atofer, to na oioie lutra anuje ta ciśnienie atofercne at = 990 Pa = 99000 Pa. W rawej cęści nacnia na t a oioie ciśnienie jet uą nienanego ciśnienia 0 i ciśnienia rotatcnego wwołanego re wartwę ciec o wokości (H-). Na otawie rawa nacń ołąconc wie, że ciśnienia na t a oioie w tej aej ciec ą jenakowe, więc oże naiać: Z tego równania wnika: 0 at 0 g g H H 0 at 99000 000 9,8 0,7 0, 96057 Pa Otrana wartość jet nieja o ciśnienia atofercnego, ate anuje ta ociśnienie o wartości: 0 at 0 99000 96057 9 Pa

9 Za..6 W retawion nacniu jet awart olej o gętości 800 kg/. Na owiercni lutra oleju anuje ciśnienie atofercne równe 0 Pa. Oblicć ciśnienie w unkcie C. Różnica wokości f wnoi 600. Oowieź: C = 9659 Pa. Za..7* Keon (otwart biornik owrócon o gór ne) o owiercni rekroju oioego A = 8 i wokości =,5 rlega o owiercni wo. Manoetr inforuje, że ciśnienie wewnątr keonu jet równe ciśnieniu atofercneu. Jakie bęie ciśnienie abolutne owietra wewnątr keonu o ouceniu go na no, jeśli głębokość wo H wnoi = 0? Jaka objętość wo włnie o keonu? Prjąć wartość ciśnienia atofercnego = 0, MPa. Oowieź: = 80 kpa; V =,9. Za..8 W retawion biorniku gau anuje naciśnienie n = 0 kpa. Jakiej różnic oioów r należ ię oiewać na anoetre rtęciow? Gętość rtęci wnoi 550 kg/. Uwaga: Poca wlewania rtęci o anoetru biornik bł otwart.

0 Rowiąanie: Z uwagi oanej w treści aania wnika, że różnica oioów rtęci w anoetre wnoi ero wte, g ciśnienie w biorniku jet równe atofercneu. Naciśnienie w biorniku wwoła rełw rtęci o ewnętrnej (rawej) gałęi anoetru, cli gonie runkie. Nai równanie ciśnień na oioie niżego eniku rtęci. Ciśnienie abolutne w lewej gałęi anoetru jet równe uie ciśnienia atofercnego i naciśnienia w biorniku: at n Ciśnienie abolutne na t a oioie w rawej gałęi jet uą ciśnienia atofercnego i ciśnienia rotatcnego łua rtęci o gętości ρ r i wokości r. g r Prrównuje ciśnienia na jenakowc oioac: cego otruje: at at r g r n 0000 Pa g 550 kg / 9,8 / r r n at r 0,5 50 Za..9 Ile wnoi ciśnienie abolutne i ociśnienie w gaie wełniając retawioną w rekroju rurę, jeśli anoetr won wkauje różnicę oioów 9? Ciśnienie atofercne = 0, kpa. Uwaga: Poca alewania anoetru ciśnienie w rure bło równe ciśnieniu atofercneu. Oowieź: = 99, kpa; =,9 kpa. Za..0 Jeno trec nacń ołąconc jet aknięte o gór, r c jet o niego rłącon rewó owietrn. Jakie różnice oioów wo owtaną w nacniac, jeśli rewó bęie ailan rężon owietre o naciśnieniu kpa? Wiar nacń ą oane w ilietrac.

Oowieź: B - A = 0 ; C - A = 0. Za.. Do trec ołąconc otwartc nacń o śrenicac = 0, = 50 i = 60, awierającc ciec o gętości 900 kg/, wunięto celne tłoki o różnc aac. Znan jet tlko ciężar tłoka ; wnoi on 0 N. Tłoki utawił ię na różnc oioac. Różnice oioów wnoą: = 70, = 70. Oblicć a wtkic tłoków. Poinąć tarcie tłoków o ścianki nacń. Rowiąanie: Ciężar tłoka najie równania ciśnień naianego la nacń i na oioie w, aiętając, że tłok nacika na ciec iłą równą jego ciężarowi. A G g A G Po otawieniu: A i A otra: g G G Maa tłoka wnoi: g G g G kg 0,07 (0,05 ) 0,7 kg 900 0,06 0,05 9,8 N 0 Analogicnie określi ciężar tłoka równania ciśnień naianego la nacń i na oioie.

A G g A G Po otawieniu: A i A otra: g G G Maa tłoka wnoi więc: g G g G kg 0,0 (0,0 ) 0,07 kg 900 0,05 0,0 kg 0,07 Treba jece określić aę tłoka : kg,0 9,8 N 0 g G Za.. Do jenego wóc otwartc nacń ołąconc awierającc woę nalano ciec X o nienanej gętości. Pocególne owiercnie granicne utuował ię tak, jak to wiać na runku. Wnacć gętość ciec X. Oowieź: ρ = 750 kg/ Za.. Do jenego wóc otwartc nacń ołąconc awierającc woę nalano ciec X o nienanej gętości. Ciec ta warła woę o rugiego nacnia. Oblicć gętość ciec X, wieąc że ocególne owiercnie granicne utuował ię tak, jak to wiać na runku.

Oowieź: ρ = 000 kg/ Za.. W raie raulicnej niej cliner a śrenicę = 50, a więk D = 900. Jaką iłę F D należ rłożć o więkego tłoka, żeb równoważć iłę F = 50 N iałającą na niej tłok? Poinąć ił aowe. Oowieź: F D = 9 kn Za..5* Oblicć, jaką iłę R ożna wwołać w retawionej raie ecanicno-raulicnej a oocą ił F = 5 N, g wiar wnoą: a = 600, b = 50, = 0, D = 80. Poinąć ciężar eleentów. Oowieź: R = kn

. PARCIE HYDROSTATYCZNE Za.. Do tub o śrenic 60 rklejono enko r ciśnieniu atofercn wnoąc 995 bar. Oblicć iłę, jaka uiłuje wcnąć to enko, g tubę uieści ię w różni acowanie tej aej teeratur. Rowiąanie: W warunkac ocątkowc (w trakcie rklejania) na enko iałają ił arcia wóc tron (o wewnątr i ewnątr tub) i naturalnie ię równoważą. Po renieieniu tub o różni nika iła arcia o ewnątr, natoiat nieieniona ootaje (r acowaniu tałej teeratur) iła arcia o wewnątr. Ta ootająca iła uiłuje wcnąć enko. Oblic ją jako ilocn owiercni enka i ciśnienia anującego w tubie, acowanego warunków ocątkowc: D 60 0,6 at = 995 bar = 0,995 bara = 99500 Pa Za.. P A P (0,6) at D at 99500 Pa 000 N Do tub o śrenic 0 rklejono obwa enka r ciśnieniu atofercn wnoąc 000 Pa. Jaka iła iała na enka, jeśli ciśnienie na ewnątr tub anie o 0,0 MPa be ian teeratur? Oowieź: P=078 N Za.. Jak uża i jak wrócona iła ewnętrna F jet otrebna, żeb utrać retawioną clinrcną beckę o ciężare G = 000 N w ięciu kolejnc ołożeniac wkaanc na runku? Rowiąać kortając ależności ciśnienia o głębokości anurenia. Rowiąanie: Weług ierwej aa tatki, la aewnienia ocnku ciała, ił iałające na to ciało uą ię równoważć. W każ retawionc raków iła ewnętrna ui równoważć wakową ił iałającc e tron naturalnego otocenia becki. Te naturalne ił, to ił aowe ora ił owiercniowe.

5 W każ ołożeniu na beckę iała iła aowa (ciężar) ora ił owiercniowe. Sił owiercniowe równoważą ię w kierunku oio, ale nie uą ię równoważć w kierunku ionow. To właśnie aganienie treba oać analiie. W ierw ołożeniu na górnej i olnej owiercni becki ciśnienia ą jenakowe (równe ciśnieniu atofercneu), więc i ił owiercniowe ą jenakowe. Wobec tego iła ewnętrna F ui równoważć tlko ciężar becki G, ate owinna iałać w górę i ieć wartość: F G 000N W rugi ołożeniu olna owiercnia becki jet anurona na głębokość = 0,5. W taki raku iała na nią iła arcia rotatcnego: P ga Pole olnej i górnej owiercni becki jet takie ao i wnoi: Zate wartość ił arcia: Zewnętrna iła F owinna wnoić: A 0,7 0,85 kg P 000 9,8 0,5 0,85 888 N F G P 000 N 888 N N ( ) Ponieważ ciężar becki reważa na iłą arcia iałającą w górę, to iła F ui też iałać w górę. W treci ołożeniu olna owiercnia becki jet anurona na głębokość = =, natoiat górna owiercnia becki nie jet anurona. W taki raku na beckę iała o ołu iła arcia rotatcnego o wartości: kg P g A 000 9,8 0,85 777 N ( Siła ta iała w górę, natoiat w ół iała ciężar becki G równ 000N. Wobec tego la acowania równowagi otrebna jet iałająca w ół iła o wartości: F P G 777 N 000 N 777 N ( ) ) W cwart ołożeniu górna owiercnia becki jet anurona na głębokość = 0,5, aś olna owiercnia jet anurona na głębokość =,5. W taki raku na górną owiercnię becki iała kierowana w ół iła arcia rotatcnego o wartości: kg P g A 000 9,8 0,5 0,85 888 N ( Natoiat na olną owiercnię becki iała kierowana w górę iła arcia o wartości: kg P g A 000 9,8,5 0,85 5665 N ( ) Wobec tego la acowania równowagi otrebna jet iałająca w ół iła o wartości: F P P G 5665 N 888 N 000 N 777 N ( ) )

6 W iąt ołożeniu górna owiercnia becki jet anurona na głębokość =, aś olna owiercnia jet anurona na głębokość =. W taki raku na górną owiercnię becki iała kierowana w ół iła arcia rotatcnego o wartości: kg P g A 000 9,8 0,85 777 N ( ) Natoiat na olną owiercnię becki iała kierowana w górę iła arcia o wartości: P g kg A 000 9,8 0,85 755 N ( Wobec tego la acowania równowagi otrebna jet iałająca w ół iła o wartości: F P P G 755 N 777 N 000 N 777 N ( ) Łatwo w t iejcu auważć, że wakowa iła arcia iałającego na anuroną beckę nie ależ o głębokości anurenia i wnoi: P w P P g ( kg ) A g A 000 9,8 0,85 ) 777 N ( ) co jet gone rawe Arcieea (na anurone ciało iała kierowana ku góre iła woru równa ciężarowi ciec wartej re to ciało). Za.. Sklankę ełną wo rkrto celnie kartką i otrożnie owrócono o gór ne. Dlacego woa nie wlewa ię e klanki? Wnacć iłę, jaka ocika kartkę o klanki. Poinąć aę kartki. Prjąć wartość ciśnienia atofercnego = 0, MPa. Oowieź: F = 85 N N = 8 N. Za..5 Na runku jet retawion biornik włae rkrt okrwą. Jaka owinna bć aa okrw, żeb woa nie wcnęła jej, gb aoniano okręcić śrub ją ocujące? Oowieź: co najniej = 8 kg.

7 Za..6 Clinrcn biornik jet celnie ołącon ionową rurą. Ciężar olnej okrw biornika (ennic D) wnoi 00 N. Oblicć iłę obciążającą śrub ennic w wóc wakac: ) o biornika nalano 8 litrów wo; ) o biornika nalano 9 litrów wo. Rowiąanie: Najierw baaj, jaką ojeność a clinrcn biornik. Dięki teu bęie ogli ocenić, jakie nacenie a to, c nalano 8, c 9 litrów wo. Objętość biornika: D V 0,6 0,7 0,08066 8,066 [litrów] Wiać, że jeśli nalano 8 litrów wo, to biornik nie jet całkowicie wełnion, aś jeśli nalano 9 litrów, to biornik jet reełnion i cęść wo ieści ię w rure wlewowej. Siła F obciążająca śrub ennic jet uą ciężaru ennic G i arcia rotatcnego na ennicę: F G Ciśnienie rotatcne na oioie ennic jet równe ρ g, gie jet wokością wartw wo. Jeśli wlano 8 litrów wo, to wartwa wo a ktałt walca o olu otaw A i wokości. Ilocn tc wóc wielkości jet objętością wartw wo, co owala naiać: F G A A G g A G g V (Jak wiać, w t raku nie jet koniecne oblicenie wokości wartw wo) kg F 00 N 000 9,8 0,08066 87 N W raku, kie wlano 9 litrów wo i woa cęściowo ootaje w rure wlewowej, itotna jet wokość łua wo najującej ię w tej rure. Oblic: Objętość wo w rure: r V 0,09 0,08066 9, 0 Wokość łua wo w rure ależ o ola rekroju orecnego rur A r: Vr A V r 9, 0 (0,05) r r 5,85 Stwiera, że wiar r jet niej niż wokość rur, więc ożna o alc obliceń rjąć wokość łua wo w rure równą r. Zate łącna wokość łua wo na ennicą: r 0,7 5,85 5,55

8 Ciśnienie rotatcne na oioie ennic: kg g 000 9,8 5,55 55 Siła F obciążająca śrub ennic, gonie wceśniej naian wore: Pa F G (0,6) A 00 N 55 Pa 550 Łatwo auważć, jak użą ianę obciążenia ennic F wwołała różnica litra wo. N Za..7 W retawion biorniku jet groaona woa, a na nią jet rężon ga. Ile wnoi naciśnienie gau na owiercnią wo, g na anoetre rtęciow jet wiocna różnica oioów = 0? Gętość rtęci ρ r wnoi 550 kg/. (Uwaga: Poca wlewania rtęci o anoetru biornik bł otwart). Jaka uża iła arcia iała na każą okrw? Śrenica kutecna ucelek okrw wnoi 600. Inne wiar: D =, H =,, = 0,5. Rowiąanie: Najierw ajie ię ciśnienie w gaie. Z uwagi oanej w treści aania wnika, że różnica oioów rtęci w anoetre wnoi ero wte, g ciśnienie na owiercnią wo jet równe atofercneu. Prełw rtęci o ewnętrnej rurki anoetru świac o itnieniu naciśnienia w gaie. Nai równanie ciśnień na oioie niżego eniku rtęci. Ciśnienie abolutne w lewej gałęi anoetru wnoi: at n ( n = ukane naciśnienie w biorniku) Ciśnienie abolutne na t a oioie w rawej gałęi jet uą ciśnienia atofercnego i ciśnienia rotatcnego łua rtęci o gętości ρ r i wokości = 0,. g Prrównuje ciśnienia na jenakowc oioac: cego otruje: at at g n at r kg r g 550 9,8 0, 9 Pa, kpa n r

9 Siła arcia iałająca na okrwę jet (jak awe w raku owiercni łakiej) ilocne ciśnienia wtęującego w śroku ciężkości okrw i ola owiercni, na którą iała to ciśnienie. Roważając ciśnienie iałające na górną okrwę biornika ui auważć, że: ) W całej retreni wełnionej gae wtęuje raktcnie to ao ciśnienie, bo gętość gaów jet baro ała i ian wokości ołożenia roatrwanego unktu wewnątr retreni ajętej re ga ają oijaln włw na ciśnienie. ) Abolutne ciśnienie o wewnętrnej tronie okrw kłaa ię ciśnienia atofercnego i naciśnienia gau, natoiat o ewnętrnej tronie okrw wtęuje ciśnienie atofercne. Wnika tego, że ta cęść ił arcia, która wnika ciśnienia atofercnego, oże bć oinięta w roważaniac, bo wtęuje ona o obwóc tronac okrw w równc wartościac i w efekcie ię noi. Zate iła arcia iałająca na górną okrwę ui bć oblicona jako ilocn naciśnienia wtęującego w gaie i ola owiercni okrw, na którą iała to naciśnienie. Jet to ole owiercni kołowej, ograniconej ucelką o śrenic kutecnej = 0,6. P G n A n (0,6) 9 Pa 758 N W śroku ciężkości bocnej okrw biornika ciśnienie abolutne iałające o tron wo jet uą abolutnego ciśnienia na owiercni wobonej i ciśnienia rotatcnego wwołanego re wartwę wo obecnej na śrokie ciężkości okrw. Abolutne ciśnienie na owiercni wobonej wo jet równonacne abolutn ciśnienie w gaie i wnoi at + n. Śroek ciężkości okrw najuje ię na głębokości określonej różnicą wiarów H i S. Onac ją literą K ; K = H S. Ciśnienie rotatcne na oioie śroka ciężkości okrw bocnej wnoi ρ g K, gie ρ jet gętością wo. Zate ciśnienie abolutne w śroku ciężkości bocnej okrw biornika wnoi: ac g K at n Jenoceśnie o ewnętrnej tronie okrw bocnej ciśnienie abolutn jet ciśnienie atofercne at. Jet ocwite, że iła arcia na okrwę bocną P B bęie wnikała różnic ciśnień abolutnc o wewnętrnej o ewnętrnej tronie: ac at at n gk at n gk Jak wiać, ciśnienia atofercne obwóc tron okrw noą ię, tak jak w orenic aaniac. Siła arcia na okrwę bocną bęie oblicona jako ilocn różnic ciśnień Δ i ola owiercni, na którą iała ta różnica ciśnień. Jet to też ole owiercni kołowej, ograniconej ucelką o śrenic kutecnej = 0,6. P B P B A g K A g H S n kg 9 Pa 000 9,8 (, 0,5) n (0,6) 5977 N Warto auważć, że śrenica biornika D (cli jego całkowita wokość) nie a nacenia w tc obliceniac.

0 Za..8 W retawion biorniku jet ga rężon o naciśnienia bar r ciśnieniu atofercn wnoąc 990 Pa. Oblicć ciśnienie abolutne w biorniku ora arcie na okrwę biornika. Oowieź: = 99 kpa, P = 56,5 kn Za..9 Pionowa ściana tanowi regroę ię woa biornikai wo. Wnacć arcie wakowe iałające na jeen etr ługości ścian ora oent rewracając ścianę. Rowiąanie: Siłę arcia rotatcnego, iałającą na owolną anuroną owiercnię łaką (ionową, oioą lub też nacloną), ożna oblicć re onożenie wartości ciśnienia rotatcnego wtęującego w śroku ciężkości tej owiercni re ole tej owiercni. Treba r t aiętać, że w owż forułowaniu coi o owiercnię recwitego kontaktu ciecą. Kie oblica iłę arcia na ścianę cęściowo wtającą ona owiercnię ciec, to o obliceń wkortuje tlko tę cęść ścian, która najuje ię oniżej oiou lutra ciec, cli cęść anuroną. Ściana wiocna na runku jet oblana woą tlko w cęści wokości, i to cęści różnej lewej i rawej tron. Oblic najierw wartość i ołożenie wektora arcia iałającego lewej tron. Ciśnienie rotatcne na oioie śroka ciężkości oblanej cęści ścian o lewej tronie: g Siła arcia na ścianie o ługości L (rotoałej o łacn runku): P A ( L) g Siła arcia iałająca na jeen etr ługości ścian (arcie jenotkowe): P g 000 9,8 L 5 N

Wektor arcia najuje ię na oioie śroka ciężkości rokłau ciśnienia rotatcnego, cli na / wokości anuronej cęści ścian. Dla lewej tron jet to oio określon wółręną Oblic tera analogicne araetr la rawej tron ścian. Ciśnienie rotatcne na oioie śroka ciężkości oblanej cęści ścian o rawej tronie: g Potęując oobnie jak orenio, określa iłę arcia iałającą na jeen etr ługości ścian (arcie jenotkowe): P, g 000 9,8 L Wektor arcia najuje ię na oioie określon wółręną 0, 706 N Na oocnic runku ą retawione rokła ciśnienia rotatcnego i wektor arcia iałającego obu tron ścian. Wakowe arcie jenotkowe jet różnicą arć jenotkowc iałającc obu tron. P P P N N 5 706 L L L 708 Moent rewracając ścianę (też onieion o jenotki ługości ścian) określi jako różnicę oentów wwołanc re wektor arć iałającc obu tron ścian wglęe jej otaw. M L P P L L N N 5 706 0, N 0 (N) Za..0 Jak uża iła arcia rotatcnego iała na wiocną ścianę biornika woą? Narować rokła jenotkowc ił arcia włuż wokości ścian. Długość ścian wnoi 6. Oowieź: P = 770 N

Za.. Na runku jet retawion w wóc rutac otwart biornik woą. Wiar liniowe ą oane w ilietrac. Oblicć arcie rotatcne na ocloną ścianę biornika. Oowieź: P =,69 kn Za.. Na runku jet retawion w wóc rutac otwart biornik woą. Wiar liniowe ą oane w ilietrac. Oblicć arcie rotatcne na okrwę włau najującego ię u ołu biornika. Oowieź: P =,99 kn Za.. Na runku jet retawion w wóc rutac otwart biornik woą. Wiar liniowe ą oane w ilietrac. Oblicć arcie rotatcne na okrwę włau najującego ię u ołu biornika. Oowieź: P = 9,75 kn Za..* Jena e ścian otwartego biornika wo jet aokrąglona clinrcnie, a jej roień r =. Oblicć arcie na tę ścianę i kąt naclenia wektora arcia o oiou, wieąc że głębokość wo jet równa r.

Oowieź: P = 60 N; α = 57,5 Za..5 Do wiocnego otwartego clinrcnego nacnia (wiar oane w ilietrac) wlano 00 wo. Srawić, c woa wełniła nacnie. Oblicć iłę arcia rotatcnego iałającego na okrwkę P rklejoną w śroku na. Oowieź: P = 5 N Za..6* Cliner o śrenic D = 0,6 jet naełnion woą. Jak uża iła F owinna iałać na tłok, żeb woa w otwart rewoie P najowała ię na granic relewania? Oowieź: F in= 8 N Za..7* Otwarte nacnie w ktałcie owróconego otrołua rawiłowego o oanc wiarac otało naełnione woą. Oblicć arcie rotatcne iałające na jeną ścianę nacnia. Oowieź: P = 0 N Za..8* Do otwartego nacnia w ktałcie klina o wóc ścianac ionowc, o otawie kwaratowej i wokości równej, nalano wo o ołow ojeności. Oblicć arcie rotatcne na każej ścianie nacnia.

Oowieź: P = (kolejno) 7 N, 578 N, 7 N, 578 N Za..9 Do otwartego tożkowego biornika o oanc wiarac nalano wo o oiou. Oblicć iłę F, jaka obciąża śrub kołniera K, rtrujące łtę enną. Ciężar tej łt wnoi 00 N. Oowieź: F = 6 N Za..0* Zaknięt biornik walcowo-tożkow jet wełnion woą. Jak uże ił obciążają śrub kołnier K i K, g anoetr M nie wkauje naciśnienia, a jak uże wówca, g anoetr wkauje 0, MPa naciśnienia? Ciężar tożkowej cęści biornika wnoi 000 N, aś ciężar olnej okrw króćce włwow = 000 N. Oowieź: Jeśli n = 0: F K =, kn; F K = 8,6 kn Jeśli n = 0, MPa: F K = 59,7 kn; F K = 06 kn

5. KINEMATYKA PŁYNÓW Za.. Eleent łnu reiecają ię o okręgu, którego roień jet aceion w ocątku ukłau wółręnc - i a wiar. Ruc obwa ię w kierunku oatni (reciwn o rucu wkaówek egara), a rękość obwoowa eleentu jet równa. Naiać wrażenia określające kłaowe rękości w funkcji wółręnc i. Rowiąanie: Na otawie inforacji oanc w treści aania oże narować okrąg i na ni wektor rękości eleentów łnu (wektor uieca w owoln unkcie). Rutując wektor na kierunki ukłau wółręnc otruje kłaowe rękości : in co Jak łatwo auważć, ożna wraić funkcje kąta α w ależności o wółręnc unktu rłożenia wektora : r r Jeśli o wrażeń tc otawi wiaoe wartości i r, to otra: Ruc obwa ię o okręgu, cli jet ruce łaki. Prękość w kierunku jet wiec równa eru. Zate otatecnie oże naiać: 0 Za..* Prełw jet określon re natęujące utalone kłaowe rękości: =, = 0, = -,5. Określić równanie linii rąu la eleentu łnu, któr w ewnej cwili recoi re unkt (0, 9, 0). Wnacć też ołożenie tego eleentu o caie Δt =. Rowiąanie: Donując kłaowi rękości, oże określić równanie linii rąu roocnając o różnickowego równania linii rąu: Wiaoo, że rękość w kierunku jet równa ero (ruc jet łaki), toteż ui ogranicć równanie różnickowe o wóc kłaowc: i :

6 Potawi tera wartości kłaowc rękości: albo inacej: Po całkowaniu otruje:,5 5 5 Stałą całkowania wnac na otawie inforacji o wółręnc unktu, re któr reeł eleent łnu (0,0,0). 5 C C 5 0 0 C, tą C=0 Otatecnie równanie linii rąu w łacźnie - a otać: W kierunku nie wtęuje ruc ( = 0), więc wółręna linii rąu jet nieienna: 5 6 9

7 Drugi aganienie jet naleienie ołożenia (,, ) określonego eleentu łnu o określon caie. Poocne bęie w t celu wrażenie efiniujące eleentarne reunięcie, n. w kierunku : t t Całkując to równanie otra wartość reunięcia : t Stała całkowania oże bć określona warunku, że w cwili t=0 wółręna ołożenia bła równa ero. 0 0 C, t C tą C 0 Po caie t = [ekun] wółręna wnoi: 8 Wółręną o t a caie wnac równania linii rąu: Wółręna jet nieienna i wnoi 9. 5 6 Poukiwane wółręne wnoą (8, 9, -0). 5 6 8 0 Za.. Określić roinę linii rąu, wieąc że rełw jet oian natęując utalon ole rękości: = -, =, = 0 Rowiąanie: Roocna o różnickowego równania linii rąu: Wobec faktu, że =0, ootawia tlko wa eleent równania i otawia ane wrażenia. ; ; 0 Całkując otatnie równanie otra: C ; cont. Roonaje w t równaniu równanie okręgu. Linie rąu tanowią więc roinę okręgów o śroku ołożon w ocątku ukłau wółręnc -. Zwrot obiegu o tc okręgac oże bć naleion na otawie n. anego wrażenia = -. Wnika niego, że la oatnic wartości kłaowa jet wrócona w lewo, cli ruc jet reciwn o rucu wkaówek egara. Za..* Wnacć linię rąu la eleentu łnu, któr orua ię ruce oian w aaniu, a w cwili t = 0 najował ię w unkcie (, 0, 0). Zaiać wółręne tego unktu w owolnej cwili t. Rowiąanie: W aaniu. określiliś roinę linii rąu w otaci roin okręgów o równaniu:

8 Wieąc, że ewien eleent łnu recoił w cwili t = 0 re unkt (, 0, 0), oże recować okrąg, o jaki węruje ten eleent. Znajź tałą C: C 0 C ; tą C Równanie okręgu: Zaianie ołożenia unktu w owolnej cwili jet ożliwe o całkowaniu wrażenia oiującego eleentarne reunięcie. t t Poługując ię naleion równanie okręgu aie, że: Roielając ienne otra: W wniku całkowania bęie: Wie, że w cwili t=0 bło =, więc: t t arc in t C arc in 0 C, tą arc in t in t co (t) Zależność wółręnej o cau: co (t) C arc in Zależność wółręnej o cau określi na otawie równania okręgu. co (t) co (t) in(t) Wie, że =0, więc wółręna nie ależ o cau: Po całkowaniu t 0 t 0 C'

9 Wiaoo, że w cwili t=0 (jak też w każej innej cwili) bło =0, więc C =0 0 Poukiwane wrażenia ają otacie: co (t), in(t ), 0 Za..5 Określić roinę linii rąu, wieąc że rełw jet oian natęując utalon ole rękości: = 6, = -6, = 0. Oowieź: roina okręgów o równaniu + = cont., ruc w kierunku ujen. Za..6* Wnacć linię rąu la eleentu łnu, któr orua ię ruce oian w aaniu 5, a w ewnej cwili najował ię w unkcie (,, 0). Oblicć rękość liniową i kątową eleentów na tej linii. Oowieź: okrąg + = 5, = 0; = 0; ω = 6 ra/ Za..7* Prełw jet określon natęując ole rękości: = π, = -π, =. Określić linię rąu. Rowiąanie: Skłaowe rękości i ą wajenie rężone e wółręni i, natoiat rękość w kierunku jet tała. Roważ wiec najierw ruc w łacźnie -, iąc oowienią cęść różnickowego równania linii rąu. ; ; 0 Po całkowaniu otruje: Dieląc obie tron równania re π/ otra: C' Łatwo tego równania wwniokować, że w łacźnie - ruc obwa ię o okręgac, którc śroek leż w ocątku ukłau wółręnc. Ponieważ rękość jet tała, to ruc w kierunku jet ruce jenotajn. Położenie w kierunku wrai oługując ię równanie: a o całkowaniu: C t t t cont Łącąc otrane wrażenia twiera, że oian ruc jet kobinacją rucu o okręgu w łacźnie - i rucu rotoliniowego w kierunku, cli jet ruce o liniac śrubowc.

0 Za..8* Ile wnoi rękość kątowa rełwu oianego w aaniu 7 w rucie na łacnę -? Jakie bęą w cwili t = ½ wółręne eleentu łnu, któr w cwili t = 0 najował ię w unkcie (0,, 0)? Rowiąanie: Prękość kątowa oże bć oblicona na otawie rękości liniowej w rucu o okręgu. Prękość liniową oblic u jej kłaowc: r Prękość kątowa: r Wółręne unktu, w któr najie ię eleent łnu o określon caie, oblica oługując ię całkowanie eleentarnc reunięć w caie t. Weź o uwagę kierunek. t t Ze wglęu na óźnieje całkowanie, obre błob obć ię iennej. Poługując ię naleion równanie okręgu aie, że: r Roielając ienne otra: Całkuje tera to równanie. Wie, że w cwili t=0 bło =0, =, więc: r r arc in r t t t C - roień okręgu, o któr reieca ię eleent w łacźnie -: r 0 - tała całkowania wnika warunku arc in 0 0 C, tą C 0 arc in r in( t) r r in( t) Tera już oże wnacć wółręną ołożenia eleentu łnu o caie t=/ Wółręną najie równania okręgu r in( t) in r Wółręną określi na roe całkowania eleentarnc reunięć w kierunku. t 0

t t t C' Ponieważ w cwili t=0 bło =0, więc C =0, a w konekwencji: Dla cwili t=/ otruje: Poukiwane wółręne wnoą (, 0, ). t Za..9 Prełw jet określon natęując ole rękości: =, = -, = 0. Określić linię rąu la eleentu łnu, któr w ewnej cwili najował ię w unkcie (0,, 0) Oowieź: elia o ółoiac: a =, b =, ołożona w ocątku ukłau wółręnc -. Za..0* Prełw jet określon natęując ole rękości: = 0, =, = -. Określić linię rąu la eleentu łnu, któr w ewnej cwili najował ię w unkcie (0,, ). Oowieź: ierbola o równaniu = ; eleent bliża ię atotcnie o oi. Za.. Poa naełnia wiocn biornik woą. Pojeność biornika wnoi 500. Prękość rełwu w rewoie tłocn PT wnoi /. Wewnętrna śrenica tego rewou jet równa 8. Jak ługo trwa naełnianie biornika o tanu utego? Rowiąanie: Zgonie efinicją, objętościowe natężenie rełwu jet tounkie rrotu objętości ciec (w nacniu) o cau, w jaki ten rrot natąił. W waku naełniania o tanu utego ożna wraić objętościowe natężenie rełwu jako ilora ojeności nacnia i cau jego naełniania t: V V t Tak więc ca naełniania biornika wnika ilorau ojeności biornika V i objętościowego natężenia ołwu V. Wiaoa jet ojeność biornika, ale natężenia rełwu nie na. Treba je oblicć na otawie rękości rełwu w rewoie tłocn i ola rekroju tego rewou, r c ui aiętać o aiie w jenotkac ukłau SI (wiar liniowe w etrac). V A Ca naełniania biornika wnieie: V 0,5 t V 5,089 0 0,08 98 6 5,089 0 in.

Za.. Nacnie o ojeności 60 naełnia ię woą w ciągu inut. Wnacć objętościowe i aowe natężenie włwu wo rewou ailającego. Wnacć też śrenią rękość rełwu wo re ten rewó, wieąc że jego śrenica wewnętrna wnoi 0. Oowieź: V = 5 0 - /, = 0,5 kg/, =,59 /. Za.. Maowe natężenie ołwu wo wlewki W o nacnia wnoi 0, kg/. Śrenica relotu w wlewce =. Śrenica otworu w nacniu D = 6. W caie oberwacji nie auważono ian oiou wo w nacniu. Oblicć objętościowe natężenie włwu wo nacnia, rękość włwu nacnia i rękość rucu wo w wlewce. Rowiąanie: To, że oio wo w nacniu nie ienia ię, jet owoe na to, że aowe natężenie rełwu w wlewce jet takie ao, jak w otwore w nacniu. Ponieważ roatrwan łne jet woa, cli ciec raktcnie nieściśliwa, ożna unać, że również objętościowe natężenia rełwu w wlewce i w otwore ą takie ae. Oblic to objętościowe natężenie rełwu, rjując gętość wo równą 000 kg/ : V 0, 000 0 Prękość włwu wo nacnia ożna oblicć na otawie objętościowego natężenia rełwu i ola rekroju otworu. Mui aiętać r t o wrażeniu śrenic D w etrac. V A V D 0 0,06 D D 0,97 Prękość ołwu wo wlewki oblic oobnie, tą tlko różnicą, że ore ię na śrenic relotu wlewki. V A V 0 0,0 0,88 Za.. W rure o wewnętrnej śrenic 80 woa łnie e śrenią rękością = /. Jaka jet rękość na ocinku wężon o śrenic 0? Ile wnoi objętościowe natężenie rełwu?

Oowieź: =,5 /, V = 5, 0 - / Za..5 Oblicć rękość gau rełwającego re rurociąg, wieąc że rękość jego rełwu re turbinę rełwoiera t wnoi /. Założć nieienną gętość gau. Rowiąanie: Diałanie rełwoiera olega na wkortaniu energii łnącego gau o naęania ałej turbin, oaonej w oowieni koruie. Koru turbin ajuje ewną cęść rekroju kanału, więc ga jet uon o reciśnięcia ię ię korue turbin a korue ewnętrn. To owouje cwilowe więkenie rękości gau. W analiie ian rękości rełwu obowiąuje rawo acowania a. Onaca to, że taka aa jet aa gau rełwającego w caie Δt re rekrój kołow o śrenic D = 98, jak i re rekrój ierścieniow wokół koruu turbin o wiarac D/ = 98/60 (oija r t obecność cienkic łoatek turbin w t olu). ; A t t A t t Pr ałożeniu nieiennej gętości gau urości równanie o otaci: A A t t (Ten ai wraża nieienność objętościowego natężenia rełwu) Z tego równania oblic rękość. D D t t t D 98 60 t D 98 0

Za..6 Kolektor o śrenic D = 00 rjuje woę wóc rewoów o śrenic = 0. Prękość rełwu w rewoie a wnoi /, aś w rewoie b, /. Prewoe c o śrenic c = 50 woa jet obierana w ilości 0,05 /. Oblicć natężenie i rękość rełwu w kolektore w rekrojac i. Założć, że rewo ą wełnione woą w cał rekroju. Rowiąanie: Na runku wii rogałęion ukła rewoów. Zaanice równanie la takiego ukłau tanowi, że ua aowc natężeń ołwu jet równa uie aowc natężeń ołwu. W waku wo (ciec raktcnie nieściśliwa) oże aiat natężeń aowc użć natężeń objętościowc. Jeśli intereuje na natężenie rełwu w rekroju kolektora, to oowienie równanie a otać: b a V V V albo inacej, użcie ilocnów rekrojów i rękości: b a b b a a A A V 0,085, 0, V b a Śrenia rękość rełwu w rekroju :,5 0, 0,085 D V A V Prekrój najuje ię a rogałęienie rewoów, więc rełw w ni bęie niejon o tę ilość wo, która ołnie rewoe c. Może naiać równanie wiążące rełw w rekrojac, i w rewoie c, ale oże również naiać równanie la całego ukłau. Poniżej jet wkortane równanie naiane la całego ukłau: b a c V V V V c b a V V V V c b a c b a V V V 0,05 0,05, 0, V Śrenia rękość w rekroju wnoi: 0,76 0, 0,05 D V A V Za..7

5 Kolektor o śrenic D = 00 obiera owietre ięciu kanałów o śrenic = 50. Prękości rełwu w kanałac wnoą: a= /, b= 6 /. Oblicć natężenie i śrenią rękość rełwu w kolektore w rekrojac 5, akłaając nieienną gętość owietra. Oowieź: V =, V = 95, V = 778, V = 990, V 5 = 0 /; =, = 7, =, =, 5 = 7 /. Za..8 Struień ciec o natężeniu rełwu 80 /in łnąc w kanale o śrenic 80 łąc ię e truienie 70 /in łnąc w kanale o śrenic 60. Ile owinna wnoić śrenica kanału wólnego, jeśli jet wagane utranie w ni rękości nie więkej, niż w którkolwiek tc wóc kanałów? Założć, że rewo ą wełnione woą w cał rekroju. Oowieź: D = 00. Za..9 Wtkie rewo ą wełnione łnącą ciecą. Prękości rełwu w rewoac a i b ą równe /. Z jaką rękością należ orowaać (albo oże orowaać) ciec rewoe e, ab rękość w rewoie c też bła równa /? Wiar ą oane w etrac. Oowieź: e = 0,09 / Za..0* Pojeniki P o ktałcie akniętego clinra ą rełane neuatcnie w rurociągu o śrenic wewnętrnej. Prękość rełwu owietra w rurociągu jet równa 5 /, aś ierona rękość onoenia ojenika u wnoi 0 /. Ile wnoi rękość owietra w celinie ię ojenikie a ścianką rurociągu, licona wglęe ścianki ( ) ora wglęe ojenika ( )? Poinąć ian gętości owietra.

6 Rowiąanie: W uż oaleniu o ojenika rękość rełwu jenolitego truienia owietra w rurociągu wnoi, ale w otoceniu ojenika twiera jenocene wtęowanie wóc truieni owietra: jeen truień oca ojenik, cli reieca ię jego rękością (onac ją u ), aś rugi truień recika ię wokół ojenika rękością bewglęną i wrea go (atr - runek oocnic). Zai równanie ciągłości rełwu ałożenie nieiennej gętości owietra. D D u Z tego równania oże wnacć rękość bewglęną owietra w celinie. D D u 0,0 5 0,08 0,0 0,08 0,8 Prękość owietra w celinie wglęe ojenika wnac jako różnicę rękości. u,8 0,8

7 5. DYNAMIKA PŁYNÓW DOSKONAŁYCH Za. 5. Jak uże naciśnienie owinno anować wewnątr retawionego biornika, ażeb włwało niego 0 gau na ekunę? Prjąć, że gętość gau wnoi 0,8 kg/. Rowiąanie: Energia otencjalna ciśnienia gau awartego w biorniku oże reienić ię w energię kinetcną włwu tego gau. Bilan energii wraża równanie Bernoulliego. Ponieważ aganienie otc ciśnienia, wgoniej bęie atoować tę otać równania, która wraża energię jenotki objętości łnu (ianowaną w akalac). g g Prekrój () obiera ala o wlotu, natoiat rekrój () w iejcu wlotu gau o otocenia. Paraetr, i określi w śroku rekrojów, cli w oi biornika. Potawienia o równania Bernoulliego: śrenia rękość gau w rekroju (): 0 ; ciśnienie abolutne w rekroju (): = at+ n ( n jet oukiwan naciśnienie); wokość utuowania śroków rekroju () i rekroju () jet taka aa; onato należ auważć, że w waku gau nacenie wokości jet nikoe; ciśnienie abolutne a wlote (w rekroju ) = at ; rękość gau w iejcu włwu ( ) ui bć naleiona innego warunku. Po wrowaeniu otawień równanie Bernoulliego rjie natęującą otać: at n n Prękość wlotowa gau ui bć taka, żeb aewnić włw 0 na ekunę. Jet to objętościowe natężenie rełwu. Pr nanej śrenic otworu wlotowego oblica rękość: V V A Zate wagane naciśnienie w biorniku wnoi: at 0,0 / (0,0) 7,96 Za. 5. n 0,8 kg / (7,96 / ) N 5, 5, Pa

8 Oblicć rękość włwu i truień objętości wo włwającej rur re wiocn otwór. W rure anuje naciśnienie równe 0,75 kpa i ałożć, że jet ono nieienne. Oowieź: = 5 /, V = 9 / Za. 5. W wniku aania owietra atofer o rur o śrenic = 00, woa w rurce klanej R ołąconej o otworu w ściance rur onioła ię o wokości = 80. Oblicć objętościowe natężenie rełwu owietra. Prjąć gętość owietra równą, kg/. Poinąć ciężar łuka owietra w rurce. Rowiąanie: Zacowanie ię łuka ciec w rurce klanej wkauje na to, że ciśnienie w rełwając owietru jet nieje, niż ciśnienie atofercne. To niejenie ciśnienia wnika reian ewnej cęści energii ciśnienia w energię kinetcną. Nieienność u energii jet oiana równanie Bernoulliego. g g Prjij rekrój () aleko re wlote o rur awnej, aś rekrój () w t iejcu, gie najuje ię rurka oiarowa (rekroje onacone na runku). Potawienia o równania Bernoulliego: śrenia rękość owietra w rekroju (): 0 ; ciśnienie abolutne w rekroju (): = at wokość utuowania śroków rekroju () i rekroju () jet taka aa; onato należ aiętać, że w waku gau nacenie wokości jet nikoe; ciśnienie abolutne w rekroju () ui bć określone na otawie oberwacji ciec w rurce klanej. Po wrowaeniu otawień równanie Bernoulliego rjie natęującą otać: at, której oże wnacć rękość, g bęie nali różnicę ciśnień: (a) at

9 Zajij ię tera t, co ało w rurce klanej. Dla oiou lutra ciec w nacniu oże naiać równanie równowagi tatcnej, biorąc o uwagę jenej tron ciśnienie na owiercni wobonej ciec, a rugiej tron ciśnienie wewnątr rurki klanej. Gętość wo onaca bole ρ w. cego wnika różnica ciśnień: at g at w g To wrażenie oże otawić o wceśniej ukanej ależności (a) i oblicć rękość. w g w 000 9,8 0,08, 6,7 Donując inforacją o śrenic kanału i akłaając, że oblicona rękość jet jenakowa w cał rekroju, oże oblicć objętościowe natężenie rełwu. V V A 0, 6,7, Za. 5. Oblicć rękość rełwu owietra w oi kanału, wieąc że różnica oioów wo w rurce Pitota wnoi = 5. Prjąć gętość owietra równą, kg/. Porównać wnik ukan r uwglęnieniu ciśnienia tatcnego łuków owietra awartego w rurce wnikie ukan be uwglęnienia tego ciśnienia. Oowieź: =,9 / Za. 5.5 Jakiej różnic oioów wo należ ię oiewać w rurce anoetru, jeśli natężenie rełwu owietra retawioną re wężkę wnoi 0,5 /? Prjąć gętość owietra, kg/. Poinąć ciężar łuków owietra w anoetre. Oowieź: H =