5. Równanie Bernoulliego dla przepływu płynów rzeczywistych

Transkrypt

1 5. Równanie Bernoulliego dla przepływu płynów rzeczywitych Protota równania Bernoulliego prawia że toowane jet ono również dla przepływu płynu lepkiego, io że w ty przypadku wzytkie przeiany energii ą nieodwracalne. W przepływie iędzy przekrojai - i - płyn lepki traci energię na kutek tarcia wewnętrznego jak i tarcia o ściankę kanału, tak więc całkowita energia przepływającego płynu w przekroju - jet więkza od całkowitej energii w przekroju - i relację poiędzy całkowityi energiai w ty przypadku ożna zapiać: p p z > z g g Jeżeli w powyżzej zależności znak ">" zatąpiy przez " wówcza dla zachowania równości energii wytępującej po obu tronach równania konieczne jet zwiękzenie prawej trony o energię traconą wkutek lepkości płynu, w wyniku czego otrzyay równanie Bernoulliego dla płynu lepkiego: p p z z htr g g Człon h tr oznacza wyokość trat energii poiędzy rozpatrywanyi przekrojai, które ą uą trat tarcia na długości rurociągu i wzytkich trat iejcowych na pozczególnych eleentach rurociągu: L htr λ ξ d g g gdzie: λ - wpółczynnik trat tarcia λ f(re, prędkości, chropowatości), ξ - wpółczynnik trat lokalnych ξ f(rodzaju przezkody, prędkości). 70

2 PRZYKŁADOWE ZADANIA Zadanie 5. (poz. bibl. [], zad. 6.., tr. ) Przez przewód z pozioy kolane przepływa woda. Zierzona różnica pozioów wody w rurkach piezoetrycznych przed i za kolane wynoiła h 0 H O. Średnica przewodu d 0, truień objętości przepływu Q.5 d /. Obliczyć wartość wpółczynnika traty lokalnej kolana. h 0 H O d 0 Q.5 d / ξ p z g g p z h tr - przekrój, w który wpływa czynnik do kolana - przekrój, w który wypływa czynnik z kolana z z 0 π d Q Q. π d Z równania Bernoulliego po uprozczeniu otrzyujey tratę ciśnienia, powodowaną zianą kztałtu geoetrycznego kolana: p p h htr 0.0 którą ożey wyrazić wzore: h tr g htr ξ ξ g. Otrzyujey: ξ Zadanie 5. (poz. bibl. [], zad. 6.., tr. ) W pozioy przewodzie o średnicy d 5 zierzono ciśnienie w dwóch przekrojach odległych o L 8. Na podtawie różnicy wyokości ciśnień, która wynoiła h 770 H O, obliczyć wpółczynnik trat tarcia λ, jeśli prędkość wody w przewodzie.5 /. d 5 L 8 h 770 H O.5 / λ 7

3 0 p0 p z0 z htr g g 0 z 0 z 0 Z równania Bernoulliego po uprozczeniu otrzyujey różnicę ciśnień, określającą tratę ciśnienia na długości przewodu: którą ożey wyrazić wzore: h p p ρ g h ρ g ρ g 0 tr 0.77 L g htr d htr λ λ 0. 0 d g L 8.5 Otrzyujey: λ 0.0 Zadanie 5. (poz. bibl. [], zad. 6.., tr. ) Przewode o średnicy d c i długości L przepływa woda z lewego zbiornika do prawego na kutek różnicy pozioów cieczy w zbiornikach. Jaka oże być akyalna wyokość H ax, aby w przewodzie był przepływ lainarny? względnić tylko traty tarcia. d c H ax L Dla uprozczenia poijay energię kinetyczną przepływającego płynu w przewodzie i zakładay, że rozporządzalna wyokość H zotaje w całości zużyta na pokonanie traty tarcia w przewodzie: L htr H λ d g W przepływie lainarny wpółczynnik trat tarcia określay zależnością: 6 λ, Re wtedy: L H Re d g W ty przypadku H ax odpowiada prędkości ax dla której liczba Re ax wynieie Re 00: H ax d ax Reax 00 ν 7 L ν Re ax ( ) g d Po podtawieniu otrzyujey: H ax

4 Zadanie 5. (poz. bibl. [], zad. 6..5, tr. ) Hartowniczy piec jet opalany oleje opałowy, zużycie którego wynoi & 00 kg/h. Gętość oraz kineatyczny wpółczynnik lepkości oleju wynozą odpowiednio: ρ r 880 kg/ i ν 0.5 c /. Określić ciśnienie oleju w przewodzie przed rozpylacze, jeśli zbiornik z oleje opałowy znajduje ię na wyokości H 8 nad oią rozpylacza. Długość przewodu L 0, średnica d 5. & 00 kg/h 0.08 kg/ ρ 880 kg/ ν 0.5 c / / H 8 L 0 d 5 Struień objętości wypływającej ropy: p Prędkość średnia: &.08 5 Q ρ 880 Liczba Reynolda: Q S Q π d d Re ν Liczba Re wkazuje na przepływ lainarny. Stratę ciśnienia na wkutek tarcia na długości L obliczay z prawa Hagena-Poieuille a: π p d Q 8 µ L 8 Q µ L p 6509 Pa π d gdzie dynaiczny wpółczynnik lepkości µ ν ρ Wyokość ciśnienia przed rozpylacze: p 6509 H o H łupa oleju opałowego kg 7

5 Zadanie 5.5 (poz. bibl. [], zad. 6..9, tr. 5) Do otwartego zbiornika wypełnionego wodą podłączony jet przewód o średnicy d 50 i długości L 5. Obliczyć prędkość wypływu wody z przewodu, jeśli H 5. względnić traty lokalne i tarcia, przyjąć: ξ 0.5 (trata na wypływie ze zbiornika), ξ (trata na zaworze), λ 0.0. d 50 L 5 H 5 ξ 0.5, ξ λ 0.0 Równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i -: 0 g p0 z 0 g p z h tr zakładając: 0 0, p 0 p p a, z 0 H h tr λ L d g ξ g ξ g Podtawiając powyżze zależności do równania Bernoulliego, ożey określić wartość prędkości w przekroju wylotowy g H ξ λ L / d ( 5 / 0.05 ) ξ.8 Zadanie 5.6 (poz. bibl. [], zad. 6.., tr. 5) Woda znajdująca ię w górny zaknięty zbiorniku pod ciśnienie p n 0000 N/ przepływa do dolnego, otwartego zbiornika. Określić truień objętości wody, jeśli H 0, H, H, średnica przewodu d 00, średnica odtojnika D 00, wpółczynnik traty lokalnej zaworu ξ 5, proień kolan R 00. Straty tarcia w rurociągu poinąć. Wpółczynniki trat iejcowych wynozą: ξ 0.5, ξ 0.9 dla R/d, ξ [-(f/f)] [ (/)] 0.56, ξ 0.7 dla f/f /, ξ 6. p n 0000 N/ H 0, H, H Q 7

6 d 00, D 00 R 00 ξ 0.5, ξ 0.9, ξ 0.56, ξ 0.7, ξ 5, ξ 6 Obieray przekrój 0-0 na powierzchni zwierciadła w lewy zbiorniku i przekrój - na wylocie z przewodu do prawego zbiornika. Równanie Bernoulliego dla tych przekrojów: 0 pa pn pa (H H ) H H htr g ρ g g ρ g Suaryczna trata energii wyraża ię wzore: htr ξ ξ ξ g g zakładay: 0 0, (d/d) 5 ξ g ξ g g Podtawiając powyżze zależności do równania Bernoulliego, ożey określić wartość prędkości w przekroju -: pn 0000 g ( H H ) ξ ξ ξ ξ5 ξ( d / D) (0./ 0.) Struień objętości natoiat wynoi: Q π d 0.0 Zadanie 5.7 (poz. bibl. [], zad. 6.., tr. 6) Woda przepływa z górnego zbiornika do dolnego przez lewar o średnicy d 50 i całkowitej długości L 0. Określić: truień objętości przepływu oraz podciśnienie w najwyżzej część lewara, jeśli różnica pozioów wody w zbiornikach wynoi H.5. Położenie górnego kolana h.5, wpółczynniki trat tarcia λ 0.0, kolan ξ k 0.9. l. Gętość wody przyjąć ρ 000 kg/. d 50 Q, p a - p L 0, l H.5, h.5 λ 0.0 ξ k 0.9 ρ 000 kg/ Obieray przekrój 0-0 na zwierciadle w lewy zbiorniku i przekrój - na wylocie z przewodu do prawego zbiornika. Równanie Bernoulliego dla tych przekrojów: 75

7 0 g p a H x g p a x h tr L htr λ ξk d g g zakładay: 0 0, x - głębokość zanurzenia wylotu. Podtawiając powyżze zależności do równania Bernoulliego, ożey określić wartość prędkości w przekroju -: Struień objętości wynoi: g H ξ λ( L / d ) ( 0 / 0.05 ) k. d Q π 0.00 Aby obliczyć ciśnienie w najwyżzy punkcie przewodu, obieray przekroje 0-0 i -, dla których zapiujey równanie Bernoulliego: 0 g pa ρ g g p h htr ρ g h tr λ l d g ξ k g 0 0, Po uprozczeniu i przekztałceniu równania Bernoulliego otrzyujey: p a p λ l d g ξ k g Zadanie 5.8 (poz. bibl. [], zad. 6..6, tr. 6) Przez przewód o średnicy d 75 wypływa woda ze zbiornika do atofery (na kutek różnicy pozioów H) w ilości Q 8. d /. Określić różnicę H i iędzy pozioe cieczy w zbiorniku a wylote z przewodu, jeśli długości odcinków wynozą: L, L 6, L 60, L, L 5 70 ; wpółczynnik traty lokalnej zaworu ξ z, wpółczynnik traty lokalnej kolana ξ k 0.9; wpółczynnik traty lokalnej kolana o niejzej krzywiźnie ξ 0.5; wpółczynnik trat tarcia λ h. H O N 000 d 75 Q 8. d / L, L 6, L 60, L, L 5 70 ξ z, ξ k 0.9, ξ 0.5 λ 0.08 H 76

8 kładay równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i -: 0 p0 p H htr, g g gdzie ua trat energii wynoi: Lc htr λ ξ ξk ξ z, d g g g g przy czy całkowita długość rurociągu: L c L L L L L 5. Zakładay że : 0 0, ciśnienia w obu przekrojach kontrolnych ą jednakowe p 0 p p a. Prędkość obliczay natoiat z równania ciągłości: Q π d Podtawiając powyżze zależności do równania Bernoulliego, po przekztałceniach znajdujey wyokość H: Q Lc H ξ ξ k ξ z λ π d g d ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA Zadanie 5.9 (poz. bibl. [], zad. 6..0, tr. 5) Pozioy przewód o średnicy d 50 i długości L l l (l 0, l 0 ) łączy dwa otwarte zbiorniki. W zbiornikach jet woda do wyokości H 6, H. Określić truień objętości wody przepływającej z lewego zbiornika do prawego. względnić traty lokalne i tarcia: ξ 0.5, ξ, ξ, λ 0.0. Odpowiedź: Q 0.09 Zadanie 5.0 (poz. bibl. [], zad. 6.., tr. 6) Określić akyalny truień objętości wody przepływającej przez rurę przelewową, jeśli H 0., H 5, wpółczynnik trat tarcia λ 0.0, średnica przewodu d 00, długość przewodu L 8, ξ k 0.9, ξ 0.5 (H - odległość od oi rury przelewowej do górnej krawędzi zbiornika). Odpowiedź: Q

9 Zadanie 5. Do otwartego zbiornika wypełnionego wodą do poziou H 0 podłączony jet przewód o długości L i średnicy d 50. Obliczyć ile wynoi długość przewodu L jeżeli prędkość wypływu wody z przewodu do atofery wynoi /. względnić traty lokalne i tarcia, przyjując: ξ 0.5, ξ, λ 0.0. Ciśnienie powietrza nad lutre wody i w iejcu wypływu wody z przewodu do otoczenia wynoi 760 Hg. Odpowiedź: L 6. Zadanie 5. (poz. bibl. [], zad. 6.., tr. 9) W zaknięty zbiorniku zawierający wodę, nad powierzchnią zwierciadła znajduje ię gaz o ciśnieniu p n 00 kn/. Na tałej głębokości H pod zwierciadłe wody dołączono do zbiornika przewód o długości L 5. Jaka jet średnica przewodu, jeśli truień objętości wypływającej wody wynoi Q 7.6 d /?. Przyjąć wpółczynnik trat tarcia równy λ 0.0. Straty lokalne oraz energię kinetyczną wylotową poinąć jako ałe w tounku do trat tarcia. Odpowiedź: d 0.0. Zadanie 5. (poz. bibl. [], zad. 6.., tr. 9) Woda przepływa z lewego zbiornika do prawego rurą o średnicy d 0 i długości L 50. Nadciśnienie w lewy zbiorniku p n 0 kn/, różnica pozioów cieczy w zbiornikach wynoi H. Jaki jet truień objętości wody Q, jeżeli wpółczynnik trat lokalnych na wejściu wynoi ξ 0.5 a wpółczynnik trat tarcia wynoi λ Odpowiedź: Q /. Zadanie 5. (poz. bibl. [], zad. 6..6, tr. 9) Przez przewód o średnicy d 0 i przy różnicy wyokości H.5 wypływa benzyna ze zbiornika do lejka uiezczonego na beczce. Wyokość lejka h 00, średnica wylotu rurki lejka d 0. Określić, czy przy pełny otwarciu zaworu benzyna będzie wylewać ię z lejka przez jego górną krawędź. Wpółczynnik traty lokalnej zaworu ξ z, kolanka ξ k. Straty tarcia poinąć. Odpowiedź: Q 0.8 d /, Q d /, a więc benzyna nie będzie ię wylewać z lejka. 78

10 Zadanie 5.5 Ze zbiornika z wodą o tały pozioie H.5 wyprowadzony jet pozioo przewód o średnicy D 7.5 c i długości l 5, przez który woda wypływa do atofery. Obliczyć truień objętości przepływu z uwzględnienie trat przepływu. Jak zieni ię truień objętości przepływu gdy przewód zotanie przedłużony do l 5?. Jaki ui być pozio wody w zbiorniku aby przy dłużzy przewodzie utrzyać poprzedni truień objętości przepływu?. W obliczeniach zatoować etodę kolejnych przybliżeń przy założeniu, że błąd względny obliczenia prędkości nie oże przekraczać %. Odpowiedź: Q 7. d /, Q 8. d /, H 5.7. Zadanie 5.6 (poz. bibl. [], zad , tr. ) Woda z górnego zbiornika jet doprowadzana do zbiornika dolnego trzea przewodai o średnicach d 0, d 0, d 60 i długościach l l l 60, przy czy wyokość rozporządzalna H 5. Jaka ui być średnica przewodu zatępczego aby jego truień objętościowy przepływu był równy uie truieni objętościowych wody przepływającej przez pozczególne przewody?. Wartość wpółczynnika trat tarcia λ uzależniona jet od liczby Reynolda Re, natoiat traty iejcowe oraz energię wylotową wody poinąć. Przy obliczaniu prędkości przepływu zatoować etodę kolejnych przybliżeń przy założeniu, że błąd względny obliczenia nie oże przekraczać %. Odpowiedź: d z 65, Q z 8.65 d /. 79