METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania

Podobne dokumenty
Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7

Optymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego

Zadanie laboratoryjne "Wybrane zagadnienia badań operacyjnych"

Zagadnienie transportowe i zagadnienie przydziału

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11)

Zbudować model matematyczny do poniższych zagadnień (ułożyć program matematyczny ).

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

Ekonometria Programowanie Liniowe. Robert Pietrzykowski

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

Badania operacyjne. Lista zadań projektowych nr 2

Zagadnienia programowania liniowego dotyczą modelowania i optymalizacji wielu problemów decyzyjnych, na przykład:

Metody Ilościowe w Socjologii

ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

1-2. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik

Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

Pyt.1. Podać warunki jakie musi spełniać model matematyczny dla możliwości rozwiązywania metodami programowania liniowego.

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe

Zad.1. Microsoft Excel - Raport wyników Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?

Rozwiązywanie programów matematycznych

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne

Statystyka. Zadanie 1.

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające 2. Najkrótsza droga 3. Zagadnienie maksymalnego przepływu źródłem ujściem

Zagadnienie transportowe

Badania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Modelowanie całkowitoliczbowe

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik

4. PROGRAMOWANIE LINIOWE

Lista 1 PL metoda geometryczna

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)

Zagadnienie diety Marta prowadzi hodowlę zwierząt. Minimalne dzienne zapotrzebowanie hodowli na mikroelementy M1, M2 i M3 wynosi 300, 800 i 700

Elementy programowania liniowego

c j x x

Iwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie. Katedra Badań Operacyjnych UŁ

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe

Halabarda A Halabarda B Zapas [t] Stal Drewno

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

Definicja problemu programowania matematycznego

Problem zarządzania produkcją i zapasami

Halabarda A Halabarda B Zapas [t] Stal Drewno

Analiza danych przy uz yciu Solvera

BADANIA OPERACYJNE ANALITYKA GOSPODARCZA

łączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.)

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Rozdział 8 PROGRAMOWANIE SIECIOWE

Elementy Modelowania Matematycznego

Przykładowe zadania rozwiązywane na ćwiczeniach

Przed Tobą zestaw zadań konkursowych. Na ich rozwiązanie masz 90 minut. wybieraj tak, aby osiągnąć jak najlepszy wynik. POWODZENIA

Wykład 6. Programowanie liniowe

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODY WIELOKRYTERIALNE

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2

Excel - użycie dodatku Solver

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE

Laboratorium Metod Optymalizacji. Sprawozdanie nr 2

Problem 1 [Sieć telekomunikacyjna routing]

Barbadoska 16 mb 24 mb Afrykańska 16 mb 10 mb

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda

Rozwiązanie problemu transportowego metodą VAM. dr inż. Władysław Wornalkiewicz

Zadanie niezbilansowane. Gliwice 1

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe

Sieć (graf skierowany)

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały)

. c) do jej wykresu należą punkty A ( 3,2 3 3) oraz

Ekonometria. Przepływy międzygałęziowe. Model Leontiefa. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej. Przepływy międzygałęziowe Model Leontiefa

Modelowanie przy uŝyciu arkusza kalkulacyjnego

Wspomaganie Zarządzania Przedsiębiorstwem Laboratorium 02

Transkrypt:

METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania Przedstawione dalej zadania rozwiąż wykorzystując Excel/Solver. Zadania 8 są zadaniami optymalizacji liniowej, zadania 9, dotyczą optymalizacji nieliniowej. Przed przystąpieniem do rozwiązania zapoznaj się z matematycznymi funkcjami Excela: MACIERZ. ILOCZYN, SUMA. ILOCZYNÓW oraz z narzędziem Solver. Informacje uzyskasz korzystając z opcji pomocy. Przykłady przygotowania danych do rozwiązania zadań z wykorzystaniem Solvera zamieszczono w pliku Excela MOO-przykłady.

Zad.. W fabryce wytwarza się produkty I i II. Wytworzenie jednostki produktu I wymaga zużycia 8 jednostek surowca A i jednostek surowca B. Wyprodukowanie zaś jednostki produktu II jednostek surowca A i jednostek surowca B. Dostawy surowców w każdym dniu wynoszą odpowiednio jednostek surowca A i jednostek surowca B. Zysk ze sprzedaży jednostki produktu I wynosi 9 zł, produktu II 8 zł. Zakładając, że cała dzienna produkcja zostanie sprzedana, wyznacz jej wysokość w odniesieniu do każdego produktu, by otrzymać maksymalny zysk. Sformułuj też i rozwiąż zadanie dualne. Zad.. Dyrekcja przedsiębiorstwa rozważa podjęcie produkcji trzech nowych wyrobów W, W, W. O ewentualnym ograniczeniu produkcji tych wyrobów stanowią zasoby dwóch surowców S i S. Miesięczne limity surowców wynoszą: S kg, S 8 kg. Normy zużycia surowców przy produkcji poszczególnych wyrobów podano w tab.. Zysk osiągany na jednostce wyrobu W wynosi zł, W zł, W zł. Które z wyrobów i w jakiej ilości powinno produkować przedsiębiorstwo, by osiągnąć maksymalny zysk, nie przekraczając zużycia surowców S i S? Tab.. Zużycie surowców (kg /jedn.) Surowce W W W S S Zad.. Dwa gatunki węgla: A i B zawierają zanieczyszczenia fosforem i popiołem. W pewnym procesie przemysłowym potrzeba co najmniej 9 t paliwa zawierającego nie więcej niż.% fosforu i nie więcej niż % popiołu. Procent zanieczyszczeń i ceny zakupu poszczególnych gatunków węgla podano w tab.. Jak zmieszać wymienione dwa gatunki węgla, aby uzyskać paliwo o możliwie najniższym koszcie, spełniające wyżej wymienione wymagania. Czy skład paliwa należy zmienić, gdy cena gatunku B wzrośnie do zł /t? Tab.. Procentowe zanieczyszczenie Cena w zł /t Węgiel fosforem popiołem A. B. 8 Zad.. Trzy magazyny: M, M, M zaopatrują w paliwo czterech odbiorców: O, O, O, O. Jednostkowe koszty transportu w zł/t, oferowane miesięczne wielkości dostaw A i (w tonach) oraz miesięczne zapotrzebowanie odbiorców B j (w tonach) podano w tab.. Należy

opracować plan przewozu paliwa z magazynów do odbiorców, minimalizujący całkowity koszt transportu. Tab.. Magazyn Odbiorca A i O O O O M 7 M 8 7 M 7 8 8 B j Jak wyglądałoby rozwiązanie zadania, gdyby miesięczna wielkość dostaw magazynu M wynosiła t, zamiast 7 t, zakładając zerowe koszty magazynowania? Czy zmieni się drugie rozwiązanie, gdy koszty magazynowania wyniosą: w M - zł /t, w M zł /t, w M zł /t? Zad.. Na trzech typach krosien można produkować pięć rodzajów tkanin. Wydajność krosien w m/h przy produkcji poszczególnych tkanin oraz dopuszczalne czasy pracy krosien podano w tab.. Należy rozdzielić produkcję tkanin między poszczególne typy krosien tak, aby wyprodukować co najmniej m tkaniny, m tkaniny, 8 m tkaniny, m tkaniny i 7 m tkaniny, minimalizując łączny czas pracy krosien. Tab.. Krosno Wydajność w m/h przy produkcji tkaniny Dopuszczalny czas pracy w h A 8 B 7 7 8 8 C 8 9 9 7 Zad.. Rozwiąż zad.. zakładając, że wysokości dziennej produkcji produktu I i produktu II są liczbami całkowitymi. Zad. 7. Tartak otrzymał zamówienie na wykonanie co najmniej kompletów belek. Każdy komplet składa się z 7 belek o dł..7 m oraz belek o dł.. m. W jaki sposób powinno być zrealizowane zamówienie, by odpad powstały w procesie cięcia dłużyc o dł.. m był minimalny? Ile wyniesie wielkość odpadu przy optymalnym cięciu? Wskazówka: Rozpocznij od ustalenia sposobów cięcia dłużyc.

Zad. 8. Do wyprodukowania drążków o trzech długościach:. m,. m,. m, których ilości powinny odpowiadać proporcjom :: przeznacza się prętów o długości m. Należy określić program cięcia prętów zapewniający maksymalną liczbę kompletów drążków. Wskazówka: Rozpocznij od ustalenia sposobów cięcia. Zad. 9. Do pojemników o objętości cm należy zapakować rodzaje przedmiotów o objętościach, odpowiednio. cm, cm, cm, 8 cm w ilościach, odpowiednio:,,, sztuk. Ustalone przez producenta pięć sposobów pakowania określa macierz A=[a ij ], w której a ij oznacza liczbę sztuk i tego przedmiotu, zapakowanych do jednego pojemnika według j tego sposobu ( i =,...,, j =,...,) A = Ile pojemników należy zapakować każdym ze sposobów, by łączna ich liczba była jak najmniejsza? Zad.. Dane są cztery typy przedmiotów. Każdy typ jest scharakteryzowany przez ciężar i wartość jednej sztuki o następujących danych liczbowych (ciężar, wartość): (, ), (, ), (, ), (, 8). Należy wybrać liczbę sztuk poszczególnych typów tak, by łączny ciężar nie przekraczał a łączna wartość była maksymalna. Zad.. Mamy cztery maszyny i czterech obsługujących je robotników. Wydajność każdego robotnika na poszczególnych maszynach, mierzona liczbą detali, które ten robotnik może wykonać na danej maszynie w ciągu godziny przedstawiono w tab.. Należy ustalić taki przydział robotników do maszyn, aby łączna wydajność całego zespołu była maksymalna. Tab.. W ij R R R R M 7 8 M 9 8 M 9 7 M 7 9 W ij wydajność robotnika R j na maszynie M i

Zad.. Chcemy wykonać niezależnych i niepodzielnych zadań na trzech równoległych procesorach w minimalnym czasie. Czasy wykonania poszczególnych zadań są identyczne dla każdego procesora i wynoszą kolejno:,,,, sekundy. Rozwiązując odpowiedni problem programowania binarnego zaproponuj uszeregowanie zadań. Sporządź diagram Gantta. Czy otrzymane rozwiązanie jest jednoznaczne? Zad.. Rozwiąż zad.. dla zadań i procesorów przyjmując czasy wykonania zadań, kolejno: 7,,,,, sekundy. Zad.. Chcemy wykonać niezależnych, ale podzielnych zadań na procesorach w minimalnym czasie. Czasy wykonania poszczególnych zadań są jednakowe dla każdego procesora i wynoszą, kolejno:,,,, sekundy. Korzystając z rozwiązania odpowiedniego problemu programowania liniowego oraz algorytmu McNaughtona przedstaw uszeregowanie zadań na wykresie Gantta. Jak wyglądałby wykres dla zadań niepodzielnych? Zad.. Wyznacz najkrótszą drogę z Warszawy do Sofii na podstawie danych z tab.., przedstawiających odległości między miastami pośrednimi. Podróżować można jedynie od miasta w pierwszej kolumnie do miasta z tego samego wiersza drugiej kolumny. Narysuj odpowiedni graf skierowany, ponumeruj jego węzły, zapisz zadanie jako problem binarnej optymalizacji liniowej i rozwiąż je w Excelu. Tab.. Początek odcinka drogi Warszawa Warszawa Warszawa Katowice Katowice Zakopane Lwów Wiedeń Zagrzeb Bukareszt Koniec odcinka drogi Katowice Zakopane Lwów Wiedeń Bukareszt Zagrzeb Zagrzeb Bukareszt Sofia Sofia Sofia Odległość w km 7 8 8 77 78

Zad.. Rozwiąż zadanie znalezienia najkrótszej drogi z węzła do węzła w sieci scharakteryzowanej w tab. 7. Podobnie jak w zad.. można poruszać się od węzła z kolumny pierwszej do odpowiedniego węzła z kolumny drugiej. W trzeciej kolumnie podano koszty przejścia. Narysuj graf, zapisz problem binarnej optymalizacji liniowej i rozwiąż go w Excelu. Tab. 7. początkowy końcowy Koszt w zł 8 9 8 7 99 89 Zastanów się, czy przedstawione zadanie może stanowić interpretację następującego zagadnienia decyzyjnego. Firma poszukuje sposobu dzierżawienia systemu komputerowego, biorąc pod uwagę okres najbliższych sześciu lat i założenie, że cały system musi być wymieniony po upływie każdego roku lub po każdych dwóch latach pracy. W uzyskanej ofercie dzierżawy podano, że: (i) koszt nowego systemu na początku działalności wynosi zł i wzrasta z roku na rok o 8% (np. koszt nowego systemu na początku trzeciego roku działalności wynosi (ii).8 = 8 zł), wartość systemu zwracanego po jednym roku wynosi %, po dwóch latach % jego wartości początkowej (tzn. np., że wymiana na początku drugiego roku systemu zainstalowanego w roku pierwszym kosztuje. = zł). Należy rozstrzygnąć, w jakich latach wymieniać system, aby koszt dzierżawy w okresie najbliższych sześciu lat był minimalny (pośrednie dane liczbowe zaokrąglamy każdorazowo do najbliższej wartości całkowitej). Zad. 7. Dana jest sieć scharakteryzowana w tab. 8, w której zestawiono numery węzłów początkowych, numery węzłów końcowych, przepustowości łuków oraz jednostkowe koszty przepływu. Sporządź odpowiedni rysunek, oraz zapisz matematycznie i rozwiąż w Excelu: (a) zadanie maksymalnego przepływu, (b) zadanie najtańszego przepływu. W każdym przypadku wyznacz optymalne przepływy przez poszczególne gałęzie. Jako źródło przyjmij węzeł, jako ujście węzeł.

Tab. 8. początkowy końcowy Przepustowość Cena jednostkowa 8 8 8 Zad. 8. Wyznacz maksymalny przepływ i odpowiadające mu przepływy przez gałęzie sieci scharakteryzowanej w tab. 9. Źródłem jest węzeł, ujściem węzeł. Tab. 9. początkowy końcowy Przepustowość 7 8 8 Zad. 9. Popyt na pewne dobro w kolejnych latach scharakteryzowano w tab.. Tab.. rok t 7 8 9 popyt p 8 8 8 99 9 98 78 Metodą najmniejszych kwadratów znajdź parametry następujących modeli a) p = αt + β b) p = αt + βt + γ c) p = αt β Który z modeli najlepiej odpowiada danym z tabeli? Zadanie rozwiąż korzystając z opcji Excela wstaw linię trendu. 7

Zad.. J(x) = (x x ) + (-x ) (i) Wykreśl warstwice funkcji J dla J = c, przyjmując c =, c =. + Skorzystaj z zależności x = x -. [c-(-x ) ] ½, tablicując x dla x = -., -., -....,.,.. (ii) Startując z punktu x = -.9, x =. rozwiąż zadanie minimalizacji J(x) bez ograniczeń. Zbadaj, jak odbywały się poszukiwania, notując wartości rozwiązań w kolejnych iteracjach. Przyjmij zbieżność. oraz.. Uwaga: Rozwiązanie optymalne: x = x =., J =. (iii) Zadanie (ii) rozwiąż przyjmując dodatkowe ograniczenie x + x. Uwaga: Rozwiązanie optymalne x =.97, x =.88. Wyznacz je startując z różnych wartości początkowych x, x. 8