Matematyczne Metody Fizyki II

Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 1 / 16

Literatura Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, 2008. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, AGH, 2004. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki. Rozwiązane problemy. A. Lenda, B. Spisak, AGH, 2006. Complex Variables with Applications, S. Ponnusamy, H. Silverman, Birkhauser, 2006. Mathematical Methods for Physics and Engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge, 2006. Advanced Engineering Mathemathics, A. Jeffrey, Academic Press, 2001. Mathematical Methods for Physicists: A Comprehensive Guide, G.B. Arfken, H.J. Weber, F.E. Harris, Academic Press, 2012. Advanced Modern Engineering Mathematics, G. James, Pearson, 2011. Physical Mathematics, K. Cahill, Cambridge, 2013. Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields, S. Hassani, Springer, 2008. Fundamentals of Differential Equations, R.K. Nagle, E.B. Saff, A.D. Snider, Pearson, 2011. http://home.agh.edu.pl/mariuszp M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 2 / 16

Funkcja zmiennej zespolonej Definicja: z = x + iy nazywamy zmienną zespoloną gdy jej części rzeczywista oraz urojona są zmiennymi rzeczywistymi. Definicja: Funkcją zmiennej zespolonej nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb zespolonych i o wartościach z tego zbioru: f(z) u(x, y) + iv(x, y) Definicja: Mówimy, że lim f(z) = w 0 jeśli dla każdej z z 0 dodatniej liczby ɛ istnieje taka dodatnie liczba δ, że z0 z f(z) w 0 < ɛ gdy 0 < z z 0 < δ O x y v w ε w0 O u Uwaga: Jeśli granica funkcji f(z) istnieje w z 0, to jest ona jednoznaczna. Twierdzenie: Niech f(z) będzie funkcją zespoloną natomiast z 0 = x 0 + iy 0 oraz w 0 = u 0 + iv 0, wtedy: lim f(z) = w 0 lim u(x, y) = u 0 oraz lim v(x, y) = v 0 z z 0 (x,y) (x 0,y 0) (x,y) (x 0,y 0) Twierdzenie: Niech lim z z 0 f 1 (z) = w 1 oraz lim z z 0 f 2 (z) = w 2, wtedy lim f 1(z) + f 2(z) = w 1+w 2, z z 0 lim f 1(z)f 2(z) = w 1w 2, z z 0 f 1(z) lim z z 0 f = w1, gdy w 2 0 2(z) w 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 3 / 16

Granica funkcji zmiennej zespolonej w nieskończoności Definicja: Rzutem stereograficznym nazywamy odwzorowanie płaszczyzny zespolonej na sferę Riemana o jednostkowym promieniu. Płaszczyzna zespolona leży w płaszczyźnie równikowej sfery, a środek sfery pokrywa się z początkiem układu. W szczególności wszystkie punkty leżące na zewnątrz okręgu z > 1/ε odpowiadają punktom na sferze leżącym w pobliżu bieguna północnego, N. Zbiór z > 1/ε nazywamy otoczeniem nieskończoności. Jeśli więc z 0 lub w 0 w definicji granicy lim f(z) = w 0 zastąpimy punktem w z z 0 nieskończoności, to odpowienie otoczenia punktów z 0 i/lub w 0 należy zastąpić otoczeniami nieskończoności. Twierdzenie: Niech f(z) będzie funkcją zespoloną, a z 0 i w 0 punktami na płaszczyznach zespolonych, odpowiednio, z i w, wtedy: 1 lim f(z) = lim z z 0 z z 0 f(z) = 0 Dowód: Punkt w = f(z) leży w otoczeniu tzn. w = f(z) > 1/ε zawsze gdy punkt z leży w otoczeniu z 0, 0 < z z 0 < δ, co można inaczej zapisać 1 f(z) 0 < ε zawsze gdy 0 < z z0 < δ M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 4 / 16 O N P z

Ciągłość funkcji zespolonej Twierdzenie cd: Niech f(z) będzie funkcją zespoloną, a z 0 i w 0 punktami na płaszczyznach zespolonych, odpowiednio, z i w, wtedy: lim f(z) = w 0 lim z lim f(z) = lim z z 0 Dowody przebiegają analogicznie jak wyżej. f(1/z) = w 0 z 0 1 f(1/z) = 0 Definicja: Funkcja f(z) jest ciągła w punkcie z 0 gdy lim z z 0 f(z) = f(z 0 ), tzn. gdy dla każdej dodatniej liczby ε istnieje taka dodatnia liczba δ, że f(z) f(z 0 ) < ε zawsze gdy z z 0 < δ Funkcja zespolona jest ciągła w obszarze R jeśli jest ciągła w każdym punkcie należącym do R. Twierdzenie: Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. D: g[f(z)] g[f(z 0 )] < ε gdy f(z) f(z 0 ) < γ gdy z z 0 < δ Twierdzenie: Jeśli funkcja f(z) jest ciągła i niezerowa w punkcie z 0, wtedy f(z) 0 w pewnym otoczeniu tego punktu. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 5 / 16

Pochodna funkcji zmiennej zespolonej Pochodna funkcji zespolonej ( z = z z 0 ): df dz lim F z 0 z = lim F (z + z) F (z) z 0 z Przykład: Oblicz, korzystając z definicji, pochodną funkcji: F (x + x, y + y) F (x, y) = lim x 0 x + i y y 0 f(z) = z 2 df dz = lim (z + z) 2 z 2 = lim (2z + z) = 2z z 0 z z 0 f(z) = z f z = (z + z) z = ( z) z z Jeśli granica istnieje, to powinna być niezależna od sposobu w jaki z dąży do zera. W szczególności jeśli dążymy do 0 wzdłuż osi x lub y wtedy: ( x, 0) 0 ( z) = ( x + i0) = x i0 = x + i0 = z (0, y) 0 ( z) = (0 + i y) = 0 i y = (0 + i y) = z A więc granica, a w konsekwencji pochodna funkcji f(z) = z, nie istnieje. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 6 / 16

Warunki Cauchy-Riemanna Niech F (z) u(x, y) + iv(x, y). Aby pochodna df/dz była jednoznaczna, granica musi być niezależna od sposobu w jaki z dąży do zera, czyli granice [ ] F (x + x, y + y) F (x, y) lim lim = F x 0 y 0 x + i y = u + i v lim y 0 [ lim x 0 F (x + x, y + y) F (x, y) x + i y ] = i F = v i u muszą istnieć i być sobie równe. Warunek Cauchy-Riemanna (istnienia pochodnej funkcji F (z)): F = i F co można zapisać za pomocą funkcji u(x, y) i v(x, y) w postaci: u + i v = i u + v u = v oraz Przykład: Warunki CR dla funkcji f(z) = z 2 = x 2 y 2 + i2xy u = v u x = 2x = v y, u y = 2y = v x f (z) = 2x + i2y = 2(x + iy) = 2z Przykład: Pochodna funkcji f(z) = z 2 = x 2 + y 2 + i0: CR: u x = 2x = 0 = v y, u y = 2y = 0 = v x A więc pochodna funkcji f(z) = z 2 istnieje tylko w punkcie z 0 = (0, 0). M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 7 / 16

Warunki CR we współrzędnych biegunowych Znane relacje: x = r cos θ, y = r sin θ, r = x 2 + y 2, tg θ = y x Obliczamy pochodne cząstkowe: F (r, θ) = F r r + F θ θ oraz Warunki Cauchy-Riemanna przyjmują postać: F (r, θ) = F r r + F θ θ F r = i1 F r θ, lub u r = 1 v v oraz r θ r = 1 u r θ Jeśli F (z) spełnia warunki CR w pewnym obszarze zawierającym punkt z, to jej pochodna może być wyrażona przez df dz = F = u + i v lub We współrzędnych biegunowych dostajemy: df dz = F F = cos θ r 1 F sin θ r θ lub za pomocą funkcji u(x, y) i v(x, y): [ ] df u dz = e iθ r + i v = ie iθ 1 r r df dz = i F = i u + v F = e iθ r = 1 F ie iθ r θ [ ] u θ + i v θ M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 8 / 16

Warunki C-R we współrzędnych biegunowych Przykład: Rozważmy funkcję f(z) = 1 z = 1 r e iθ = 1 (cos θ i sin θ), z 0 r Warunki Cauchy-Riemanna są spełnione: ru r = cos θ = v θ oraz u θ = sin θ = rv r r r Pochodna funkcji f(z) dla z 0 jest równa: ( f iθ f (z) = e r = e iθ cos θ r 2 + i sin θ r 2 ) iθ e iθ = e r 2 = 1 (re iθ ) 2 = 1 z 2 Uwaga: Relacje C-R stanowią warunek konieczny istnienia pochodnej funkcji. Twierdzenie (warunenk wystarczający istnienia pochodnej): Niech funkcja f(z) = u + iv będzie zdefiniowana w pewnym otoczeniu ε punktu z 0 = x 0 + iy 0 oraz niech w tym otoczeniu istnieją pochodne funkcji u i v spęłniające warunki C-R i będące ciągłe w z 0. Wówczas istnieje pochodna funkcji f (z 0 ). Dowód: ( u df = + i v ) ( u = + i v ( u dx + + i v ) (dx + idy) = ) ( u dy = ( u + i v + i v ) dz ) ( dx + v ) + i u dy M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 9 / 16

Postać zespolona warunków C-R Przykład: Pochodna funkcji f(z) = { (z ) 2 /z dla z 0 0 dla z = 0 w z 0 = (0, 0) f(z) = x3 3xy 2 + i y3 3x 2 y x 2 + y 2 x 2 + y 2 Warunki C-R w z = (0, 0) są spełnione u x = 1 = v y, u y = 2 = v y. Granice f z w punkcie z 0 = (0, 0) wzdłuż osi układu są obie równe 1. Ale granica dla ( x, y) (0, 0) wzdłuż prostej y = x wynosi -1. Postać zespolona warunków Cauchy-Riemanna: Dla dowolnego z mamy: x = 1 2 (z + z ) oraz y = 1 2i (z z ) F Stąd wynika, że: z = F z + F z = 1 ( ) F 2 + i F Dla dowolnej funkcji f(z) = u(x, y) + iv(x, y) której części rzeczywista i urojona spełniaja warunki C-R otrzymujemy: f z = 1 2 [u x + iv x + i(u y + iv y )] = 1 2 [(u x v y ) + i(v x + u y )] = 0 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 10 / 16

Widać, że z n jest funkcją analityczną dla n 0. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 11 / 16 Funkcje analityczne Definicja: Funkcję F (z) nazywamy analityczną w punkcie z 0 jeśli F (z) oraz wszystkie jej pochodne spełniają warunki Cauchy-Riemanna w pewnym otoczeniu punktu z 0. Przykład: F (z) = e z = e x e iy = e x (cos y + i sin y) Funkcja e z spełnia warunki C-R: F = ( e x e iy) = e x e iy = e z =... = i F a więc d dz ez = e z i widać, że e z jest funkcją analityczną. Przykład: F (z) = z n = r n e inθ = r n [cos (nθ) + i sin (nθ)] Funkcja F (z) spełnia warunki C-R dla n 0: u(r, θ) = r n cos (nθ) u r = nrn 1 cos (nθ) = 1 v r θ v(r, θ) = r n sin (nθ) v r = nrn 1 sin (nθ) = 1 u r θ a więc d [ dz zn = e iθ r (rn cos (nθ)) + i ] r (rn sin (nθ)) = nz n 1

Funkcje analityczne Definicja: Funkcję F (z) która jest analityczna dla wszystkich skończonych wartości zmiennej z nazywamy funkcją całkowitą. Uwaga: Pochodną funkcji F (z) w punkcie z 0, która jest analityczna w pewnym obszarze zawierającym ten punkt, obliczamy analogicznie jak pochodną funkcji zmiennej rzeczywistej. Uzasadnienie: jeśli F (z) jest analityczna z to spełnione są relacje: F = df dz oraz F = idf dz Różniczka F (z) jest efektywnie różniczką funkcji pojedynczej zmiennej: df = F F df df dx + dy = (dx + idy) = dz dz dz Przykład: Funkcja F (z) = z 3/2 = (x + iy) 3/2 nie jest analityczna w z = 0. Warunki C-R są spełnione dla F (z), bo F = 3 2 (x + iy)1/2 = i F Stosując warunki C-R do df/dz otrzymujemy wyrażenie [ 3 2 (x + iy)1/2 ] = 3 1 2 2 (x + iy) 1/2 = i [ 3 2 (x + iy)1/2 ] które nie jest określone dla z = 0, więc funkcja z 3/2 nie jest analityczna w z = 0. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 12 / 16

Równanie Laplace a dla funkcji analitycznych Jeśli F (z) jest analityczna w obszarze R zawierającym punkt z, czyli spełnione są warunki C-R: u = v u oraz = v to wówczas: 2 u 2 + 2 u 2 = 2 v 2 v = 0 2 u = 0 2 v 2 + 2 v 2 = 2 u 2 u = 0 2 v = 0 czyli funkcje u(x, y) oraz v(x, y) spełniają równanie Laplace a w obszarze R. Taką parę funkcji nazywamy funkcjami harmonicznymi. Jeśli funkcja f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ) jest analityczna w pewnym obszarze D nie zawierającym początku układu, to funkcje u oraz v spełniają równanie Laplace a we współrzędnych biegunowych: ( 2 2 u(r, θ) r 2 + 1 r r + 1 2 r 2 θ 2 ) u(r, θ) = 0 oraz 2 v(r, θ) = 0 Jeśli tylko część u(x, y) lub v(x, y) funkcji analitycznej F (z) jest znana, to warunki C-R można wykorzystać do znalezienia nieznanej części: v Np. gdy znane jest u(x, y) wtedy: = u u v(x, y) = dy + A(x) M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 13 / 16

Znajdowanie funkcji analitycznych v = u da dx = u [ ] 2 u u 2 dy A(x) = 2 + u dy dx+c 2 v(x, y) = [ u u 2 ] dy + u 2 dy dx + C Przykład: Znajdź funkcję analityczną, której część rzeczywista u(x, y) = x 2 y 2 [ u 2 ] A(x) = dy + u 2 dy dx = [2x 2 y + 23 ] y3 dx Ponieważ A(x) zależy bezpośrednio także od y, więc oznacza to, że nie istnieje funkcja analityczna, której część rzeczywista ma postać u(x, y) = x 2 y 2. Przykład: Znajdź funkcję analityczną w której u(x, y) = sin x cosh y [ u 2 ] Ponieważ A(x) = + u 2 dy dx = 0 więc v(x, y) = cos x sinh y + C i ostatecznie znajdujemy funkcję F (z) która jest analityczna: F (z) = sin x cosh y + i cos x sinh y + C = sinh z + C M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 14 / 16

Całkowanie funkcji analitycznych Rozważmy całkę funkcji F (z) wzdłuż pewnego konturu C na płaszczyźnie zespolonej: F (z)dz C C 1 z 1 z 2 C 2 Istnieje nieskończenie wiele dróg całkowania pomiędzy zadanymi punktami z 1 i z 2. W ogólności wynik całki zależy od drogi całkowania. W przypadku gdy wartość całki jednak nie zależy od drogi całkowania, wtedy: z2 z2 z2 z1 F (z)dz F (z)dz = 0 F (z)dz + F (z)dz = 0 z 1, C 1 z 1, C 2 z 1, C 1 z 2, C 2 Jeśli więc wartość całki nie zależy od drogi całkowania, wtedy: F (z)dz = 0 Jakie warunki musi spełniać funkcja F (z) w obszarze ograniczonym konturem C aby spełniony był powyższy warunek? Aby znaleźć odpowiedź, skorzystamy z twierdzenia Greena: ( H (Gdx + Hdy) = G ) dxdy C R C M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 15 / 16

Całkowanie funkcji analitycznych F (z)dz = (udx vdy) + i (vdx + udy) = 0 C C C ( (udx vdy) = v C R u ) dxdy = 0 v = u ( u (vdx + udy) = C R v ) dxdy = 0 u = v A więc całka po konturze zamkniętym z funkcji analitycznej w obszarze objętym konturem, jest równa zero. Przykład: Oblicz całkę I a = I b = I c = 1 0 1 0 1 0 x 2 dx + 1+i 0 1 (iy) 2 idy + 0 1 z 2 dz = 1 3 z3 1+i 0 = 1 (1 + i)3 3 (1 + iy) 2 idy = 1 (1 + i)3 3 0 (x + i) 2 dx = 1 (1 + i)3 3 (1 + i) 2 x 2 (1 + i)dx = 1 (1 + i)3 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 16 / 16 1+ i 1+ i 1+ i