Joanna Karłowska-Pik Procesy Poissona w geometrii stochastycznej

Joanna Karłowska-Pik Procesy Poissona w geometrii stochastycznej Wykład dla stypendystów Krajowego Funduszu na Rzecz Dzieci, Toruń, 1-3 grudnia 2006 roku 1. Przestrzeń probabilistyczna Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (Ω, F, P ). Ω to przestrzeń zdarzeń elementarnych, czyli zbiór możliwych wyników badanego doświadczenia losowego; zakładamy, że jest to zbiór niepusty. Przykłady: dla rzutu monetą Ω = {O, R}, gdzie O oznacza orła, a R reszkę, dla rzutu kostką Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, dla rzutu dwiema kostkami Ω = {(ω 1, ω 2 ); ω 1, ω 2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}}, dla spóźnienia się ucznia na 45-minutową lekcję Ω = [0, 45], dla rzutu lotką do tarczy o promieniu 30 cm Ω = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 900}. F to pewna rodzina zdarzeń, czyli podzbiorów przestrzeni Ω, o której zakładamy, że tworzy σ-algebrę, czyli spełnia warunki: i Ω należą do F, jeśli A jest zdarzeniem (czyli A należy do F), to jego dopełnienie A także jest zdarzeniem (czyli A należy do F), jeśli A 1, A 2,... F, to także A 1 A 2... F. Warunki te gwarantują, że jeśli A i B są zdarzeniami, to zdarzeniami będą też nie zaszło zdarzenie A (A ), zaszły jednocześnie A i B (A B), zaszło przynajmniej jedno ze zdarzeń A, B (A B), zaszło zdarzenie A, a nie zaszło B (A\B). Z drugiej strony warunki te pozwalają pozbyć się pewnych niedobrych zbiorów, dla których byłby kłopot z określeniem prawdopodobieństwa (patrz J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, str. 228-230). Uwaga: Najczęściej przyjmuje się, że jeśli Ω jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, to F jest po prostu rodziną wszystkich podzbiorów przestrzeni Ω. Jeśli Ω = R lub Ω = R 2, to F = B(R) lub F = B(R 2 ), czyli jest tzw. σ-algebrą zbiorów borelowskich. Na R zbiory borelowskie to wszystkie odcinki i zbiory z nich powstałe poprzez przeliczalne stosowanie działań takich jak suma, przekrój, różnica i dopełnienie. Na R 2 to wszystkie zbiory otwarte i zbiory z nich utworzone poprzez przeliczalne stosowanie wspomnianych działań. 1

P jest prawdopodobieństwem, czyli funkcją, która zdarzeniom z σ-algebry F przyporządkowuje pewne liczby rzeczywiste, które będziemy rozumieć jako szanse zajścia poszczególnych zdarzeń. P spełnia warunki: P ( ) = 0, P (Ω) = 1, dla każdego A F mamy 0 P (A) 1, jeśli A 1, A 2,... są zdarzeniami rozłącznymi, to P (A 1 A 2...) = P (A 1 ) P (A 2 )... Prawdopodobieństwo jest szczególnym przykładem miary. Mierzy częstości pojawiania się pewnych zdarzeń. Przykłady: dla rzutu monetą P ({O}) = P ({R}) = 1/2, dla rzutu kostką P ({3, 6}) = 1/3, dla rzutu dwiema kostkami P ({(ω 1, ω 2 ); ω 1 = ω 2 }) = 6/36, dla rzutu lotką w tarczę o promieniu 30 cm P ({(x, y); x 2 + y 2 10}) nie jest jednoznacznie określone, tzn. dla początkującego gracza prawdopodobieństwo trafienia w każdy punkt tarczy jest jednakowe, więc P ({(x, y); x 2 + y 2 10}) = π102 π30 2 = 1 9, ale rzuty dobrego gracza są już bardziej skoncentrowane wokół środka, a rzadziej trafiają blisko brzegu, tak więc to prawdopodobieństwo będzie zależało od pewnej funkcji trafień. 2. Zmienne losowe Często nie interesuje nas wynik doświadczenia losowego jako taki, ale pewna charakterystyka liczbowa z nim związana. Przykłady: a) wygrana w rzucie monetą, jeśli wiemy, że za orła dostajemy 2 zł, a za reszkę 1 zł, b) liczba oczek w rzucie kostką, c) suma oczek lub większy z dwóch wyników w rzucie dwiema kostkami, d) odległość od środka tarczy punktu, w który trafiliśmy rzucając lotką. 2

Przyporządkowujemy więc zdarzeniom elementarnym ω pewne wartości liczbowe, otrzymując funkcję X : Ω R. Będziemy pytać o szanse przyjęcia przez taką funkcję pewnego wyniku, czyli dobrze by było, gdyby zbiór {ω; a X(ω) b} był zdarzeniem. Definicja: Zmienną losową nazywamy funkcję X : Ω R taką, że dla każdych a, b R X 1 (ω) = {ω; a X(ω) b} F. (O takiej funkcji mówimy, że jest mierzalna). Uwaga: Zgodnie z treścią poprzedniej uwagi na przestrzeni Ω skończonej lub przeliczalnej wszystkie funkcje X : Ω R są zmiennymi losowymi. Przykłady: 2, jeśli ω = O a) X(ω) = 1, jeśli ω = R, b) X(ω) = ω, c) X((ω 1, ω 2 )) = ω 1 + ω 2 lub X((ω 1, ω 2 )) = max{ω 1, ω 2 }, d) X((ω 1, ω 2 )) = ω 2 1 + ω 2 2. Przykład: Niech Ω = {O, R}. Rozważmy zmienne losowe X i Y : Wtedy 0, jeśli ω = R X(ω) = 1, jeśli ω = O, Y (ω) = 0, jeśli ω = O 1, jeśli ω = R. k 0 1 P (X(ω) = k) 1/2 1/2 k 0 1 P (Y (ω) = k) 1/2 1/2 Mówimy, że zmienne X i Y mają taki sam rozkład, czyli przyjmują takie same wartości z takimi samymi prawdopodobieństwami. Rozważając zmienne losowe zwracamy uwagę nie na wzór, ale na wartości, jakie może przyjmować zmienna losowa i prawdopodobieństwa, z którymi wartości te są przyjmowane. W związku z tym często nie pisze się X(ω) tylko X. 3

Dwa podstawowe typy zmiennych losowych: zmienne o rozkładach dyskretnych przyjmują skończenie lub przeliczalnie wiele wartości, ich rozkład zadaje się podając jakie wartości są przyjmowane i z jakimi prawdopodobieństwami, zmienne o rozkładach (absolutnie) ciągłych przyjmują wartości z pewnego przedziału, ich rozkład opisuje pewna funkcja zwana gęstością. 3. Rozkład Bernoulliego (dwumianowy) Rozważamy schemat n prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p, czyli powtarzamy w sposób niezależny n razy doświadczenie losowe, w wyniku którego otrzymujemy dwa możliwe wyniki: 1 (sukces) i 0 (porażka), przy czym prawdopodobieństwo otrzymania sukcesu jest równe p, a porażki 1 p. Definiujemy zmienną losową X jako liczbę sukcesów w tym schemacie. Tak więc X może przyjąć jedną z wartości k = 0, 1, 2,..., n. Jakie jest prawdopodobieństwo, że X = k? k sukcesów na n miejscach można rozmieścić na ( ) n k sposobów. Każde rozmieszczenie to konkretny ciąg o prawdopodobieństwie p k (1 p) n k, tak więc P (X = k) = ( ) n p k (1 p) n k, k = 0, 1, 2,..., n. k Przykład: Rzucamy 3 razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy 0, 1, 2, 3 szóstki? Mamy tu schemat 3 prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p = 1 6. 4

4. Rozkład Poissona ( ) (1 ( ) 3 5 3 P (X = 0) = = 1 0 6)0 53 6 6 = 125 3 216, ( ) (1 ( ) 3 5 2 P (X = 1) = = 3 1 6)1 52 6 6 = 75 3 216, ( ) (1 ( ) 3 5 1 P (X = 2) = = 3 2 6)2 51 6 6 = 15 3 216, ( ) (1 ( ) 3 5 0 P (X = 3) = = 1 3 6)3 50 6 6 = 1 3 216. Definicja: Liczba e jest definiowana jako granica ciągu ( 1 + 1 n) n, tzn. ( 1 + 1 1) 1 = 2, ( 1 + 1 ) 2 = 9 ( 2 4, 1 + 1 ) 3 = 64 (1 3 27,..., + 1 ) n,... e. n Inaczej Ogólnie e = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! +... e x = x0 0! + x1 1! + x2 2! + x3 3! + x4 4! +... + xn n! +... Liczba e jest niewymierna i w przybliżeniu jest równa 2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035... Definicja: Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli przyjmuje wartości z prawdopodobieństwami k = 0, 1, 2,... λ λk P (X = k) = e k!. Definicja: Dla rozkładów dyskretnych wartość oczekiwaną (średnią) EX zmiennej X definiujemy jako EX = k k P (X = k). 5

Wniosek: Wartość oczekiwana dla rozkładu Poissona jest równa λ. EX = k=0 λ λk k e k! = λ λ0 λ1 λ2 λ3 λ4 = 0 e + 1 e λ + 2 e λ + 3 e λ + 4 e λ 0! 1! 2! 3! 4! +... = = e λ (0 + λ1 0! + λ2 1! + λ3 2! + λ4 3! +...) = = λe λ ( λ0 0! + λ1 1! + λ2 2! + λ3 3! +...) = = λe λ e λ = λ. 5. Rozkład Bernoulliego a rozkład Poissona Jeśli n jest duże, to obliczenie prawdopodobieństwa osiągnięcia k sukcesów w n próbach Bernoulliego ( ) n P (X = k) = p k (1 p) n k k jest kłopotliwe. Dlatego przydatne jest twierdzenie, które mówi, że rozkład Bernoulliego może być przybliżony rozkładem Poissona. Twierdzenie Poissona: Jeśli n, p n 0 i np n λ > 0, to ( ) n p k k n(1 p n ) n k λk e λ n k!. Można pokazać, że ( ) n p k (1 p) n k λ λk e k k! λ2 n. 6

Przykład: W tabeli przedstawiono prawdopodobieństwa uzyskania k =, 0, 1,..., 10 sukcesów w n próbach Bernoulliego z takim prawdopodobieństwem, żeby np = 2, oraz prawdopodobieństwa otrzymane dla rozkładu Poissona z parametrem λ = 2. n = 10 n = 20 n = 50 n = 100 n = 200 k p = 0, 2 p = 0, 1 p = 0, 04 p = 0, 02 p = 0, 01 λ = 2 0 0,1074 0,1216 0,1299 0,1326 0,1340 0,1353 1 0,2684 0,2702 0,2706 0,2707 0,2707 0,2707 2 0,3020 0,2852 0,2762 0,2734 0,2720 0,2707 3 0,2013 0,1901 0,1842 0,1823 0,1814 0,1804 4 0,0881 0,0898 0,0902 0,0902 0,0902 0,0902 5 0,0264 0,0319 0,0346 0,0353 0,0357 0,0361 6 0,0055 0,0089 0,0108 0,0114 0,0117 0,0120 7 0,0008 0,0020 0,0028 0,0031 0,0033 0,0034 8 0,0001 0,0004 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 9 0,0000 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 Uwaga: Zaleca się stosowanie przybliżenia Poissona przy założeniu, że spełnione są warunki p 0, 1, np(1 p) 9. Przykład: Prawdopodobieństwo trafienia szóstki w Toto-Lotku jest równe 1 ( 49 6 ) = 1 13 983 816 7 10 8. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie będzie w ogóle szóstek lub, że będzie tylko jedna, jeśli grający wypełniają kupony losowo i niezależnie od siebie, a kuponów jest 10 mln? Mamy n = 10 mln, p = 1/13 983 816. Stąd np 0, 7151 i np(1 p) < 9. Rozkład Bernoulliego 10 mln prób z prawdopodobieństwem sukcesu p = 1/13 983 816 można przybliżyć rozkładem Poissona z parametrem λ = np 0, 7151. Stąd prawdopodobieństwo, że nie będzie w ogóle szóstek jest równe 0,4891, a że będzie dokładnie jedna to 0,3498. Błąd przybliżenia nie przekracza λ 2 /n 5 10 8. Uwaga: Rozkład Poissona nazywa się rozkładem zdarzeń rzadkich. Mogą to być pożary, wypadki, główne nagrody w grach losowych itp. Przykład: Dane Władysława Bortkiewicza (Ladislaus von Bortkiewicz (1863-1931)) Statystyki zgonów na skutek kopnięcia przez konia w 10 korpusach armii pruskiej w latach 1875-1894 obejmują 191 korpuso-lat. W tym czasie zdarzyły się 122 wypadki, czyli średnio 122/191 = 0, 6387 wypadku w każdym korpusie rocznie. Można się zatem spodziewać, że liczba wypadków w korpusie w ciągu roku będzie zmienną X o rozkładzie Poissona z parametrem λ = 0, 6387. Możemy porównać przewidywania teoretyczne ze stanem faktycznym. 7

k P (X = k) n P (X = k) n k 0 0,527955 100,839 100 1 0,337228 64,411 65 2 0,107701 20,571 22 3 0,022931 4,380 3 4 0,003662 0,699 1 5 0,000468 0,089 0 6 0,000050 0,011 0 7 0,000010 0,002 0 1,000000 191 191,000 Przykład: Doświadczenie Rutherforda zliczania rozpadów atomów w n = 2 608 przedziałach czasu, każdy o długości 7,5 sekundy - patrz: W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. I, rozdz. VI.7. Przykład: Pączek zawiera średnio dwa rodzynki. Jaka jest szansa, że zawiera choć jeden? Możemy przyjąć, że liczba rodzynków w pączku ma rozkład Poissona z parametrem λ. Dlaczego? Bo ciasto na pączki miało objętość V i zostało podzielone na pączki o objętości v. Próby Bernoulliego polegają na trafianiu kolejnych rodzynków do konkretnego pączka. Szansa trafienia rodzynka do pączka jest równa p = v/v, a np = 2. Tak więc P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 e 2 = 1 0, 135335 = 0, 864665. Ta sama argumentacja stosuje się do trafień pocisków V2 w Londyn (patrz: Feller), rozkładu gwiazd w przestrzeni, czy rozkładu wypadków w pewnym okresie czasu. Mamy tu do czynienia z losowym rozkładem punktów na płaszczyźnie, w przestrzeni i na odcinku. 6. Miary punktowe Rozważamy cząstki lub obiekty, które pojawiły się w pewnej przestrzeni S (np. pod mikroskopem lub na ekranie). Obserwujemy podzbiór (obszar) D przestrzeni S. Załóżmy, że w wyniku naszego doświadczenia pojawiły się punkty x 1, x 2, x 3,... (skończenie lub przeliczalnie wiele punktów) i nie mamy punktów wielokrotnych. Rozważamy zbiory 8

{x i ; i I}, gdzie I N. Opisu takiego zbioru dokonujemy wyznaczając dla każdego dobrego ( dobry znaczy należący do σ-algebry F, w którą wyposażona jest przestrzeń S) podzbioru B obszaru D liczbę punktów, które znalazły się w zbiorze B: ({x i ; i I} B). Definicja: Miarą Diraca nazywamy funkcję δ x : F [0, + ) taką, że 1, jeśli x A δ x (A) = 0, jeśli x / A. Liczbę punktów x i należących do zbioru B możemy teraz zapisać jako ({x i ; i I} B) = δ xi (B). i I Definicja: Funkcja µ : F [0, + ) { } µ(b) = δ xi (B) i I jest miarą. Nazywamy ją miarą punktową. Uwaga: Wykorzystanie miar punktowych pozwala nam na rozważanie także sytuacji z pojawiającymi się punktami wielokrotnymi. Miara bez punktów wielokrotnych jest nazywana prostą. 7. Procesy punktowe Załóżmy teraz, że liczba i położenie punktów mogą być losowe. Jeśli prawdopodobieństwo, że obiekt znajdzie się w zbiorze D jest małe, to mówimy o zdarzeniach rzadkich. Definicja: Procesem punktowym nazywamy losową miarę punktową N, czyli taką miarę, że dla każdego zbioru B F liczba punktów N(B), które znalazły się w tym zbiorze jest zmienną losową. Uwaga: N(S) jest liczbą wszystkich punktów x i, które pojawiły się na przestrzeni S. Przykład: Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, tzn. dla każdego zbioru B F prawdopodobieństwa P (X i B) są równe. Niech n N n = δ Xi. 9

N n jest procesem punktowym, bo dla każdego B F n N n (B) = δ Xi (B) jest zmienną losową o rozkładzie Bernoulliego (bo zlicza sukcesy polegające na trafieniu w zbiór B w n próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p = P (X i B)). Proces ten nazywamy procesem empirycznym. Przykład: Mieszanym procesem empirycznym nazywamy proces empiryczny z losowym rozmiarem próbki, tzn. proces ζ N n = δ Xi, gdzie ζ jest zmienną losową niezależną od X 1, X 2,..., X n. Definicja: Miarą intensywności procesu punktowego N nazywamy miarę ν, która dla każdego zbioru B F jest równa ν(b) = EN(B), czyli jest średnią (oczekiwaną) liczbą punktów, które znajdą się w zbiorze B. Przykład: Dla procesu empirycznego miara intensywności jest równa n n n ν(b) = EN n (B) = E δ Xi (B) = Eδ Xi (B) = P (X i B) = n P (X 1 B). 8. Proces Poissona ze skończoną miarą intensywności Niech ν będzie miarą skończoną, tzn. ν(s) < +. Definicja: Proces punktowy N jest procesem Poissona, jeśli dla każdego zbioru B F liczba punktów N(B), które znajdą się w zbiorze B ma rozkład Poissona z parametrem λ = ν(b), N(B 1 ), N(B 2 ),..., N(B k ) są niezależnymi zmiennymi losowymi dla każdego naturalnego k i dowolnych parami rozłącznych B 1, B 2,..., B k F. Uwaga: ν jest miarą intensywności procesu Poissona, bo N(B) jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem ν(b), a rozkład ten ma wartość oczekiwaną równą ν(b). Twierdzenie: Niech ν będzie miarą skończoną. Wówczas 10

proces τ N = δ Xi, gdzie τ, X 1, X 2,..., X n są niezależne, τ ma rozkład Poissona z parametrem ν(s), a rozkład losowych punktów X i jest zadany wzorem P (X i B) = ν(b)/ν(s) dla każdego B F, jest procesem Poissona z miarą intensywności ν; procesy Poissona o takiej samej mierze intensywności są równe. Przykład: Rozmieszczenie roślin lub zwierząt na pewnym terenie (J. G. Skellam, Studies in statistical ecology) Rozważmy rozległy otwarty teren jednorodny ze względu na swój charakter, taki jak na przykład błotniste koryto osuszonego płytkiego jeziora i położenie niezależnie rozsianych przez wiatr nasion jednego z gatunków roślin, które kolonizują ten obszar. Liczba nasion, które spadna na metr kwadratowy powierzchni jest zmienna o rozkładzie Poissona, co wynika z faktu, że jest wiele takich nasion, każde z bardzo małym prawdopodobieństwem trafienia w wyznaczony kwadrat. Fakt: Jeśli cząstki są rozmieszczone na płaszczyźnie zgodnie z Procesem Poissona o średniej ν na powierzchni jednostkowej i T jest odległością pomiędzy konkretną cząstką a najbliższym jej sąsiadem, to πt 2 ma rozkład wykładniczy z parametrem nu, czyli P (πt 2 > y) = νe νy dla y > 0. Jeśli cząstki są rozmieszczone w przestrzeni to 4πT 3 ma rozkład wykładniczy z parametrem ν, czyli ( ) 4 3 P 3 πt 3 > y = νe νy dla y > 0. Literatura: J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, E. Parzen, Stochastic Processes, R.-D. Reiss, A Course on Point Processes. 11