Wersja wstępna 22 listopada 2017

Notati do wyładu Algebra liniowa (urs zaawansowany) Instytut Matematyi Uniwersytetu Jagiellońsiego zimowy 2017/2018 Sławomir Cyn e-mail: slawomir.cyn@uj.edu.pl

ROZDZIAŁ I Podstawowe strutury algebraiczne 1. Strutury algebraiczne Definicja I.1. Działaniem wewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie h : A A A iloczynu artezjańsiego A A w zbiór A, czyli odwzorowanie przyporządowujące parze elementów zbioru A element tego zbioru. Poniższa tabela zawiera przyłady działań znanych z arytmetyi N N + Z Q Q + Q R R + R x + y + + + + + + + x y + + + x y + + + + + + + + + x/y + + + + x y + + + + Definicja I.2. Działanie wewnętrzne h : A A A nazywamy przemiennym, jeżeli dla dowolnych elementów a, b A mamy h(a, b) = h(b, a). Działanie h nazywamy łącznym, jeżeli dla dowolnych elementów a, b, c A mamy h(a, h(b, c) = h(h(a, b), c). Element o A nazywamy elementem neutralnym działania h, jeżeli dla dowolnego a A zachodzi h(e, a) = h(a, e) = a. Element a A nazywamy elementem odwrotnym do a ze względu na działanie h z elementem neutralnym o, jeżeli h(a, a ) = h(a, a) = o. 1

2 1. Strutury algebraiczne Uwaga. Zwyle działanie oznaczamy symbolem mnożenia (zapis multipliatywny), i wtedy element neutralny oznaczamy przez 1, a element odwrotny przez a 1, jeżeli działanie jest przemienne, to często (dla podreślenia) używa sie znau dodwania (zapis addydtwny), wtedy element neutralny oznacza się przez 0, a element odwrotny (przeciwny), przez a. Łączność działania oznacza, że wyni mnożenia trzech elementów nie zależy od olejności w jaiej wyonujemy mnożenie (olejność działań) natomiast przemienność oznacza, że wyni nie zależy od olejności czynniów. Jeśli działanie jest łączne to dla dowolnych elementów a 1,..., a n A mamy dobrze oreślony iloczyn a 1 a n, przyjmując więc a 1 = = a n = a otrzymujemy (dobrze oreśloną) potęgę a n = a } {{ a }. n razy Lemat I.1. (a) Dla dowolnego działania istnieje co najwyżej jeden element neutralny. (b) Jeżeli działanie h jest łączne to dowolny element a A ma co najwyżej jeden element odwrotny. (c) Jeżeli a 1 jest elementem odwrotnym do a, a jest elementem odwrotnym do a 1. (d) Jeżeli działanie jest łączne to iloczyn dowolnych dwóch elementów odwracalnych a, b jest odwracalny oraz (ab) 1 = b 1 a 1. Dowód. (a) Załóżmy, że e 1 i e 2 są elementami neutralnymi, wtedy e 1 = e 1 e 2 = e 2. (b) Załóżmy, że a i a są elementami odwrotnymi do a. Wtedy (c) Oczywiste. a = a e = a (aa ) = (a a)a = a. (d) Musimy poazać, że (ab)(b 1 a 1 ) = (b 1 a 1 )(ab) = e. Na mocy łącznosści drugiej równości dowodzimy identycznie. (ab)(b 1 a 1 ) = a(bb 1 )a 1 = (ae)a 1 = aa 1 = e, Przyład I.2. Niech X będzie dowolnym zbiorem, przyładem działania lącznego w zbiorze A = X X = Func(X, X) = {f : X X} jest operacja sładania odwzorowań. Jeżeli X jest zbiorem z dodatową struturą, to zamiast zbioru eszystich odwzorowań możemy wziąć podzbiór złożony z odwzorowań zachowujących tę struturę. Przyłady, izometrie podzbioru płaszczyzny. Przyładami naturalnego działania, tóre nie jest łączne są potęgowanie, iloczyn wwetorowy w R 3. Przyładami działań, tóre są łączne i przemienne są iloczyn i suma mnogościowa oraz różnica symetryczna (ćwiczenia). Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa

Rozdział I. Podstawowe strutury algebraiczne 3 Definicja I.3. Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie g : F A A iloczynu artezjańsiego F A w zbiór A, elementy zbioru F nazywamy operatorami. Przyład I.3. Przyładem działania zewnętrznego jest mnożenie wetora przez salar, inny przyład to mnożenie funcji o wartościach rzeczywistych zadanych na danym zbiorze X przez liczby rzeczywiste R Func(X, R) (r, f) r f Func(X, R). Definicja I.4. Działanie zewnętrzne g : F A A nazywamy rozdzielnym względem działania wewnętrznego h : A A A jeżeli dla dowolnych elementów a, b A i dowolnego p F mamy g(p, (h(a, b)) = h(g(p, a), g(p, b)) Działanie zewnętrzne g : F A A nazywamy łącznym względem lącznego działania wewnętrznego h : F F F jeżeli dla dowolnych elementów p, q F i dowolnego a A mamy g(h(p, q), a) = g(p, g(q, a)). Działanie zewnętrzne g 1 : F 1 A A i g 2 : F 2 A A nazywamy przemiennymi, jeżeli dla dowolnych p F 1, q F 2, a A mamy g 1 (p, g 2 (q, a)) = g 2 (q, g 1 (p, a)). 1.1. Grupy, pierścienie i ciała. Definicja I.5. Grupą nazywamy zbiór (niepusty) z działaniem łącznym tai, że istnieje element neutralny działania dowolny element posiada element odwrotny. Jeżeli działanie jest ponadto przemienne, to grupę nazywamy grupą przemienną (abelową). Czyli grupa to para (G, ), gdzie G jest (niepustym) zbiorem : G G G działaniem wewnętrznym taim, że dla dowolnych elementów a, b, c G zachodzi a(bc) = (ab)c, istnieje (jedyny) element e G tai, że dla dowolnego g G zachodzi eg = ge = g, dla dowolnego elementu a G istnieje a 1 G tai, że aa 1 = a 1 a = e. Grupa G jest grupą abelową jeśli ponadto dla dowolnych a, b G zachoszi ab = ba. Definicja I.6. Pierścieniem nazywamy uład (R, +, ) złożony ze zbioru R i dwóch działań wewnetrznych w R (zwanych dodawaniem i mnożeniem) spełniający następujące waruni (R, +) jest grupą abelową (element neutralny oznaczamy 0), x(yz) = (xy)z dla dowolnych x, y, z R, Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017

4 2. Liczby zespolone x(y + z) = xy + xz dla dowolnych x, y, z R, (x + y)z = xz + yz dla dowolnych x, y, z R. Pierścień (R, +, ) nazywamy pierścieniem całowitym jeżeli mnożenie jest przemienne, istnieje element neutralny mnożenia (zwany jedyną) tai, że 1 0, zachodzi impliacja xy = 0 = x = 0 lub y = 0. Lemat I.4. Jeżeli R jest pierścieniem, to 0x = x0 = 0, ( x)y = x( y) = (xy). ( x)( y) = (xy). Definicja I.7. Pierścień całowity R nazywamy ciałem jeżeli zbiór R \ {0} jest grupą abelową. Przyład I.5. Następujące zbiory (z naturalnymi) działaniami są pierścieniami Z, Z n, 2Z, Z[X], Q[X], R[X], C[X]. Z[ 2] = {a + b 2, a, b Z} Z[i] = {a + bi, a, b Z} Następujące zbiory sa z naturalnymi działaniami ciałem R, C, Q, Z p (p liczba pierwsza), Q[ 2] = {a + b 2, a, b Q} Q[ 3 2] = {a + b 3 2 + c 3 4, a, b, c Q} Q[ 2, 3] = {a + b 2 + c 3 + d 6, a, b, c, d Q} 2. Liczby zespolone W zbiorze liczb rzeczywistych nie można rozwiązać równań wadratowych z ujemnym wyróżniiem. Problem ten stał się szczególnie dotliwy po odryciu przez Tartaglię w 1535 rou wzorów Cardano na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia. Tzw. przypade nieprzywiedlny (casus irreducibilis) czyli przypade rozwiązania równania stopnia 3 mającego trzy pierwiasti rzeczywiste (a więc np. gdybyśmy chcieli rozwiązać stosując wzory Cardano równanie x 3 x = 0, x = 1, 0, 1) wymaga rozwiązania równania wadratowego o ujemnym wyróżniu. Aby temu zaradzić wprowadzono liczby zespolone przez dołączenie tzw. jednosti urojonej (i 2 = 1, potocznie pierwiaste wadratowy z 1), pierwszy systematyczny wyłąd liczb zespolonych podał Raphaelo Bombelli w tratacie L Algebra (1557-60), a więc w czasie gdy liczby ujemne nie były jeszcze powszechnie aceptowane przez matematyów. Definicja I.8. Zbiór liczb zespolonych C to zbiór par liczb rzeczywistych R 2 z następującymi działaniami + : ((a, b), (c, d)) (a + c, b + d) : ((a, b), (c, d)) (ab cd, ad + bc) Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa

Rozdział I. Podstawowe strutury algebraiczne 5 Propozycja I.6. Zbiór liczb zespolonych z wyżej oreślonymi działaniami jest ciałem. Dowód. Ćwiczenia. Propozycja I.7. Odwzorowanie j : R a (a, 0) C jest iniecją taą, że j(a + b) = j(a) + j(b) oraz j(ab) = j(a)j(b). Korzystając z powyższej iniecji będziemy utożsamiać zbiór liczb rzeczywistych z podzbiorem zbioru liczb zespolonych (zamiast (a, 0) będziemy pisać a). Liczbę zespoloną (0, 1) nazywamy jednostą urojoną (łac. imaginarius) i oznaczamy i, spełnia ona warune i 2 = 1. Propozycja I.8. Dla dowolnej liczby zespolonej (a, b) C mamy (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi. Definicja I.9. Częścią rzeczywistą (łac. pars realis) liczby zespolonej z = (a, b) nazywamy liczbę rzeczywistą Re z := a. Częścią urojoną (łac. pars imaginaria) liczby zespolonej z = (a, b) nazywamy liczbę rzeczywistą Im z := b. Definicja I.10. Liczbą sprzężoną do liczby zespolonej z = (a, b) nazywamy liczbę z := (a, b). Modułem liczby zespolonej z nazywamy liczbę rzeczywistą z = a 2 + b 2 Propozycja I.9. (1) z z = a 2 + b 2 = z 2, dla z = a + bi C, (2) z 1 + z 2 = z 1 + z 2, (3) z 1 z 2 = z 1 z 2, (4) z 1 z 2 = z 1 z 2, (5) z 1 + z 2 z 1 + z 2, (6) z 1 z 2 z 1 z 2, (7) 1 z = 1 z 2 z. Dowód. Ćwiczenia. Jeśli z C\{0}, to a+bi := z z spełnia warune a2 +b 2 = 1, a zatem istnieje φ R t.że a = cos φ, b = sin φ. Mamy więc z = z (cos φ + i sin φ). Liczba φ jest wyznaczona z doładnością do wielorotności 2π. Definicja I.11. Dowolną liczbę rzeczywistą φ taą, że z = z (cos φ + i sin φ) nazywamy argumentem z. Zbiór argumentów liczby z oznaczamy przez arg(z). Argumentem głównym liczby z C \ {0} nazywamy jedyną liczbę rzeczywistą Arg(z) [0, 2π) arg(z). Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017

6 2. Liczby zespolone Propozycja I.10 (Wzór de Moivre a). Dla dowolnych liczb zespolonych w, z C zachodzi arg(wz) = arg(w) arg(z). Jeżeli z = z (cos φ + i sin φ), w = w (cos ψ + i sin ψ) to zw = z w (cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ)). Wniose I.11. Dla dowolnej liczby zespolonej z = z (cos φ + i sin φ) oraz dowolnej liczby całowitej n Z mamy z n = z n (cos nφ + i sin nφ). Wniose I.12. Dla dowolnej liczby zespolonej z = z (cos φ + i sin φ) 0 i dowolnej liczby całowitej n 1 istnieje doładnie n różnych rozwiązań równania w n = z danych wzorem w = n ( z cos φ + 2π + i sin φ + 2π ). n n Twierdzenie I.13 (Zasadnicze twierdzenie algebry). Wielomian f C[X] dodatniego stopnia posiada pierwiaste zespolony. Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa

Definicja II.1. Uładem równań liniowych nad pierścieniem przemiennym R nazywamy dowolny uład postaci (1) ROZDZIAŁ II Ułady równań liniowych, macierze 1. Ułady równań gdzie a ij, b i R, i = 1,..., m, j = 1,..., n. a 1,1 X 1 + a 1,2 X 2 + +a 1n X n =b 1 a 2,1 X 1 + a 2,2 X 2 + +a 2n X n =b 2............................... a m,1 X 1 +a m,2 X 2 + +a mn X n =b m Element (w 1,..., w n ) R n nazywamy rozwiązaniem uładu (1) jeśli po wstawieniu w i w miejsce zmiennej X i otrzymamy prawdziwe równości (w R), tzn. jeśli a 1,1 w 1 + a 1,2 w 2 + +a 1n w n =b 1 a 2,1 w 1 + a 2,2 w 2 + +a 2n w n =b 2 (2).............................. a m,1 w 1 +a m,2 w 2 + +a mn w n =b m Uład (1) nazywamy jednorodnym gdy b = (b 1,..., b m ) = 0, to znaczy gdy jest postaci a 1,1 X 1 + a 1,2 X 2 + +a 1n X n =0 a 2,1 X 1 + a 2,2 X 2 + +a 2n X n =0............................... a m,1 X 1 +a m,2 X 2 + +a mn X n =0 oraz niejednorodnym w przeciwnym przypadu. Elementy a ij nazywamy współczynniami, a uład (b 1,..., b m ) prawą stroną równania. Liczby n i m nazywamy odpowiednio liczbą niewiadomych i równań uładu. Propozycja II.1. (1) Jeśli (w 1,..., w m), (w 1,..., w m) są rozwiązaniami uładu jednorodnego, to (w 1 + w 1,..., w m + w m), również jest jego rozwiązaniem, (2) Jeśli (w 1,..., w m ) jest rozwiązaniem uładu jednorodnego, r R jest elementem pierścienia współczynniów, to (rw 1,..., rw m ) również jest jego rozwiązaniem. Dowód. Jeśli (w 1,..., w m), (w 1,..., w m) są rozwiązaniami uładu jednorodnego (II.1) to a ij w j = 0 oraz a ij w j = 0, dla i = 1,..., m. 7

8 2. Macierze Dodając powyższe dwie równości stronami i orzystając z rodzielności mnożenia względem dodawania otrzymujemy a ij (w j + w j ) = (a ij w j + a ij w j ) = a ij w j + a ij w j = 0, dla i = 1,..., m. Podobnie jeśli (w 1,..., w m ) jest rozwiązaniem uładu (II.1), to a ij w j = 0 dla i = 1,..., m. Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania oraz łączności i przemienności mnożenia otrzymujemy dla dowolnego elementu r R r a ij w j = r(a ij w j ) = (ra ij )w j = (a ij r)w j = a ij (rw j ) = 0 dla i = 1,..., m. Definicja II.2. Uładem liniowym jednorodnym sojarzonym z uładem (1) nazywamy uład jednorodny o tych samych współczynniach a ij ale prawej stronie równej 0, to znaczy postaci (II.1). Propozycja II.2. Niech v = v 1,..., v m R n będzie rozwiązanie uładu niejednorodnego (1). Wtedy w R n jest rozwiązaniem uładu (1) wtedy i tylo wtedy gdy w v := (w 1 v 1,..., w n v n ) jest rozwiązaniem stowarzyszonego uładu jednorodnego. Dowód. Jeśli v jest rozwiązaniem uładu niejednorodnego (1), to a ij v j = b i dla więc dla dowolnego w = (w 1,..., w n ) M n mamy a ij w j = a ij (w j v j ) + i = 1,..., m a ij v j = a ij (w j v j ) + b. Uwaga. Uwaga, łatwo zauważyć, że elementów b 1,..., b m, w 1,..., w n nie musimy mnożyć między sobą. A zatem równanie o współczynniach w pierścieniu R możemy rozwiązywać w zbiorze M, tórego elemeny możemy dodawać do siebie i mnożyć przez elementy pierścienia, czyli tzw. module nad pierścieniem R. Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa

Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze 9 2. Macierze Definicja II.3. Macierzą nad zbiorem X wymiaru m n nazywamy dowolną funcję {1,..., m} {1,..., n} X. Macierz wymiaru m 1 nazywamy wetorem, natomiast macierz wymiaru 1 n nazywamy owetorem. Zwyle macierz zapisujemy jao tablicę a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n (3) A =...... a m1 a m2... a mn Tai zapis uzasadnia następującą definicję Definicja II.4. j tą olumną macierzy (3) nazywamy wetor A j := owetor A i := (a i,1, a i,2,..., a i,n ). Wyraz (i, j) macierzy A oznaczamy symbolem A j i. a 1,j a 2,j... a m,j natomiast i tym wierszem Od tej pory będziemy rozpatrywać wyłącznie macierze nad pierścieniem przemiennym R, zbiór macierzy m n nad pierścieniem R oznaczamy symbolem R m n lub Mat m n (R). Definicja II.5. Jeżeli A = (a ij )...n i=1...m, B = (b ij)...n i=1...m Mat m n(r) są macierzami m n o wspólczynniach w pierścieniu R, to sumą macierzy A i B nazywamy macierz A + B = (a ij + b ij )...n i=1...m. Jeżeli A = (a ij )...m i=1...l Mat l m (R), B = (b j ) =1...n...m Mat m n(r) są macierzami o wspólczynniach w pierścieniu R, to iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz AB = (c ij )...n i=1... Mat l n, gdzie c i = m a il b l. l=1 Jeżeli A = (a ij )...n i=1...m Mat m n(r) natomiast r R jest elemenetem pierścienia, to iloczynem macierzy A przez salar r nazywamy macierz ra = (ra ij )...n i=1...m........... b 1...... i a i1 a i2... a im...... b 2...... =......................... b m....... i... c i..... Propozycja II.3. Jeżeli A Mat l (R), B Mat l m (R), C Mat m n (R) to (AB)C = A(BC). Jeżeli A Mat m (R), B Mat m (R), C Mat m n (R) to (A + B)C = AC + BC. Jeżeli A Mat m (R), B Mat m n (R), C Mat m n (R) to A(B + C) = AB + AC. Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017

10 2. Macierze Niech N(i) := max{j : a i, = 0 dla = 1,..., j 1} będzie liczbą o jeden więszą od liczby początowych zer w wierszu A i. To znaczy w szczególności N(i) = 1 wtedy i tylo wtedy gdy wiersz A i nie zawiera zer oraz N(i) = n + 1 wtedy i tylo wtedy gdy wiersz A i słada się z samych zer. Jeżeli A i 0 to a i,n(i) jest pierwszym niezerowym wyrazem wiersza A i zwanym wyrazem wiodącym. Definicja II.6. Mówimy, że macierz A jest zreduowana (ma postać schodową) jeżeli dla i < m zachodzi N(i) n N(i) < N(i + 1) oraz N(i) = n + 1 N(i + 1) = n + 1. Macierz jest zreduowana jeśli pod początowymi zerami oraz wyrazem wiodącym wiersza niezerowego znajdują się wyłącznie zera, natomiast pod wierszem zerowym znajdują się wyłącznie wiersze zerowe. 0... 0 a 1,N(1)..................... 0... 0 0... 0 a 2,N(2)............ 0... 0 0... 0 0... 0 a 3,N(3)... Propozycja II.4. Dowolną macierz nad pierścieniem całowitym możemy sprowadzić do postaci zreduowanej przez wyonanie sończonej liczby następujących operacji elementarnych (1) dodanie do pewnego wiersza macierzy innego wiersza pomnożonego przez element pierścienia, (2) zamiana miejscami dwóch wierszy macierzy, (3) pomnożenie wiersza macierzy przez niezerowy element pierścienia Dowolną macierz nad ciałem możemy sprowadzić do postaci zreduowanej przez wyonanie sończonej liczby operacji (1) (2). Dowód. Inducja na liczbę wierszy macierz m. Jeśli m = 1 lub A jest macierzą zerową, to macierz ma postać zreduowaną. Załóżmy, więc, że m 2 oraz, że A 0. Niech A j0 będzie pierwszą niezerową olumną A. Istnieje więc i 0 = 1,..., m taie, że a i0,j 0 0. Jeśli a 1jo = 0, to zamieniamy wiersz pierwszy z wierszem i 0. Możemy więc przyjąć, że a 1j0 0 jest wyrazem wiodącym wiersza pierwszego, w szczególności N(1) = j 0. Niech 2 i m, mnożymy wiersz i ty przez tai niezerowy element d i R, że f i a 1,j0 = d i a i,j0 dla pewnego f i, dla dowolnego pierścienia R możemy wziąć d i = a 1,j0, f i = a i,j0, natomiast gdy R jest ciałem: d i = 1, f i = a i,j0 (a 1,j0 ) 1. Następnie od wiersza i odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez f i. Otrzymujemy macierz w tórej a i,j0 = 0 dla j = 2,..., m. Stosując do macierzy powstałej przez pominięcie pierwszego wiersza operacje (1) (3), otrzymujemy macierz w postaci zreduowanej. Ale wtedy cała macierz również ma postać zreduowaną. Operacja (3) jest wyonywana wyłącznie gdy d i 1, przypadu gdy R jest ciałem możemy jej więc uninąć. Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa

Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze 11 Uwaga. (1) W opisanej wyżej procedurze od danego wiersza odejmujemy wyłącznie wiersze o numerze wyższym. (2) Jeśli olejno wyonamy następujące operacje: do wiersza p dodamy wiersz q, następnie od wiersza q odejmiemy wiersz p następnie do wiersza p dodamy wiersz q, to łącznie wiersz p zastąpimy wierszem q, a wiersz q wierszem przeciwnym do wiersza p. Zatem w opisanym dowodzie operację (2) możemy zastąpić trzema operacjami (1), ale wtedy pierwszy punt uwagi przestanie być prawdziwy. (3) Jeśli R = Z lub R = K[X], gdzie K jest ciałem, to dowolną macierz nad R można sprowadzić do postaci zreduowanej przy pomocy operacji (1) (2) (orzystamy przy tym z algorytmu Eulidesa). Definicja II.7. Macierz nazywamy całowicie zreduowaną, jeśli dla dowolnego niezerowego wiersza, jego wyraz wiodący jest jedynym niezerowym wyrazem swojej olumny. To znaczy, jeśli N(i) n to a,n(i) = 0 dla = 1,..., m, i. Propozycja II.5. Dowolną macierz nad pierścieniem całowitym możemy sprowadzić do postaci całowicie zreduowanej przez wyonanie sończonej liczby operacji elementarnych (1) (3). Dowolną macierz nad ciałem możemy sprowadzić do postaci całowicie zreduowanej przez wyonanie sończonej liczby operacji (1) (2). Dowód. Wystarczy dowieść dla macierzy zreduowanej. Załóżmy, że i 0 jest pierwszym wierszem taim, że jego wyraz wiodący nie jest jedynym elementem niezerowym w swojej olumnie. Ponieważ macierz jest zreduowana, więc wszystie wyrazy niezerowe leąą powyżej wyrazu wiodącego. Dla dowolnego < i 0 istnieją elementy d, f R, d 0 taie, że d a,n(i0) = f a i0,n(i 0) (jeśli element a i0,n(i 0) posiada odwrotny w R, np. R jest ciałem, to można przyjąć d = 1). Przemnażamy wiersz ty powyżej wiersza i 0 przez d. Następnie odejmując od wiersza tego wiersz i 0 pomnożony przez f uzysamy macierz, w tórej wyraz wiodący wierszy o numerach 1,..., i 0 jest jedynym niezerowym wyrazem w swojej olumnie. Powtarzając postępowanie dla olejnych wierszy, dowodzimy propozycji. Definicja II.8. Postacią zreduowaną (całowicie zreduowaną) macierzy nazywamy dowolną macierz zreduowaną otrzymaną z danej macierzy przez sończoną liczbę operacji (1) (3). Propozycja II.6. Dowolne dwie macierze zreduowane otrzymane z danej macierzy nad pierścieniem całowitym przez sończoną liczbę operacji (1) (3) mają taą samą liczbę wierszy niezerowych. Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017

12 3. Eliminacja Gaussa Dowód. Dowód przeprowadzimy nad ciałem, można poazać (i będzie to na wyładzie z algebry), że podobnie ja pierścień liczb całowitych zawiera się w ciele funcji wymiernych ta samo dowolny pierścień całowity zawiera się w w swoim ciele ułamów, a zatem propozycja jest prawdziwa dla dowolnego pierścienia całowitego. Zauważmy, że ażda z operacji (1) (3) jest odwracalna, przy czym odwrotna do niej operacja jest tego samego typu. Niech A będzie dowolną macierzą, A 1 i A 2 jej postaciami zreduowanymi, za pomocą sończonej liczby operacji elementarnych z macierzy A i możemy otrzymać macierz całowicie zreduowaną B i o tej samej liczbie wierszy niezerowych. A zatem wystarczy wyazać, że B 1 i B 2 mają tyle samo wierszy niezerowych. Na mocy wcześniejszej uwagi macierz B 2 można uzysać z macierzy B 1 przy pomocy sończonej liczby operacji elementarnych. Poażemy, że dowolny wiersz macierzy otrzymanej z B 1 przy pomocy sończonej liczby operacji elementarnych jest postaci a 1 w 1 + + a w, gdzie w i są wierszami macierzy B 1. Rozumując przy pomocy inducji ze względu na liczbę operacji wystarczy zauważyć, że jeśli wiersze pewnej macierzy spełniają powyższy warune, to wiersze macierzy powstałej z niej przez operację elementarną również. Rozpatrujemy oljno wszystie trzy typy operacji elementarnych i widzimy, że za ażdym razem jest to oczywiste. Niech w 1,..., w będą olejnymi niezerowymi wierszami macierzy B 1, wtedy wyraz wiodący wiersza postaci a 1 w 1 + + a w znajduje się w tej samej olumnie co wyraz wiodący wiersza 0 := min{i = 1,..., : a i 0} (i jest równy wyrazowi wiodącemu wiersza 0 pomnożonemu przez a 0 ). Zatem wyrazy wiodące wierszy macierzy B 2 znajdują się w tych samych olumnach co wyrazy wiodące macierzy B 1, czyli liczba wierszy niezerowych macierzy B 2 jest niewięsza od liczby wierszy niezerowych macierzy B 1. Przez symetrię otrzymujemy nierówność przeciwną. Uwaga. Nieiedy w definicji postaci zreduowanej (całowicie zreduowanej) żądamy dodatowo aby wyrazy wiodące wszystich wierszy macierzy były równe jeden. Przy taiej definicji dana macierz ma doładnie jedną postać całowicie zreduowaną (ćw.). Definicja II.9. Rzędem macierzy A nad pierścieniem całowitym nazywamy liczbę ran(a) wierszy niezerowych dowolnej postaci zreduowanej macierzy A. Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa

Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze 13 3. Eliminacja Gaussa Definicja II.10. Macierzą główną uładu równań liniowych a 1,1 X 1 + a 1,2 X 2 + +a 1n X n =b 1 a 2,1 X 1 + a 2,2 X 2 + +a 2n X n =b 2............................... a m,1 X 1 +a m,2 X 2 + +a mn X n =b m nazywamy macierz a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =...... a m1 a m2... a mn natomiast macierzą uzupełnioną a 11 a 12... a 1n b 1 A u a 21 a 22... a 2n b 2 := (A b) =........... a m1 a m2... a mn b m Definicja II.11. Dwa ułady równań liniowych nazywamy równoważnymi gdy mają te same zbiory rozwiązań. Lemat II.7. Jeżeli w uładzie równań liniowych wyonamy jedną z operacji (1) dodanie do jednego z równań innego równania przemnożonego przez stałą, (2) zamiana miejscami dwóch równań, (3) pomnożenie jednego z równań przez niezerowy element pierścienia, (4) usunięcie równania zerowego, to otrzymamy równoważny uład równań. Operacje (1), (2), (3) odpowiadają operacjom (1), (2) i (3) na macierzy uzupełnionej. Dla uładu równań (1) oreślamy ciąg liczb naturalnych N(i) := min{ : a i 0}, jeśli a i = 0 dla = 1,..., n to przyjmujemy N(i) = n + 1. Definicja II.12. Mówimy, że uład równań nie zawierający równania zerowego (1) ma postać zreduowaną jeśli ciąg N(i) jest ściśle rosnący. Zmienną X N(i) nazywamy zmienną wiodącą, a współczynni a i,n(i) nazywamy współczynniiem wiodącym i tego równania. Uład jest zreduowany jeśli jego macierz uzupełniona jest zreduowana, czyli jeśli olejne równania mają coraz więcej zer na początu. Uład zreduowany wygląda następująco a 1,N(1) X N(1) +... a 1,N(2) X N(2) +... a 1,N(3) X N(3) +... = b 1 a 2,N(2) X N(2) +... a 2,N(3) X N(3) +... = b 2 a 3,N(3) X N(3) +... = b 3.. Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017

14 4. Wyznaczni Definicja II.13. Uład w postaci zreduowanej ma postać całowicie zreduowaną, jeśli ponadto a,n(i) 0 dla i. Uład całowicie zreduowany wygląda następująco a 1,N(1) X N(1) +... +... +... = b 1 a 2,N(2) X N(2) +... a 2,N(3) X N(3) +... = b 2 a 3,N(3) X N(3) +... = b 3.. Propozycja II.8 (Eliminacja Gaussa). Dowolny uład równań liniowych nad pierścieniem całowitym można przy pomocy operacji (1) (3) przeształcić w uład całowicie zreduowany. Dowolny uład równań liniowych nad ciałem można przy pomocy operacji (1) (2) przeształcić w uład silnie zreduowany. Propozycja II.9. Jeśli uład równań (1) nad ciałem F nie zawiera równania sprzecznego ani zerowego i jest w postaci zreduowanej, to dowolne rozwiązanie w F n uładu jest postaci 1 w N(m) = b m a m, w w N(m 1) = b m 1 w N(m 2) = b m 2 w N(1) = b(1) a m,n(m) 1 a m 1,N(m 1) 1 a m 2,N(m 2) 1 a m 2,N(m 2) =N(m)+1 N(m 1)+1 n N(m) N(m 2)+1 n N(m 1),N(m) N(1)+1 n N(1),N(2),...,N(m) a m, w a m, w gdzie w i, i {1, 2..., n} \ {N(1), N(2),..., N(m)} są dowolnymi parametrami. Wniose II.10 (Twierdzenie Kronecera Capellego). Uład równań liniowych nad ciałem ma rozwiązanie wtedy i tylo wtedy gdy ran(a) = ran(a u ). Jeśli uład równań liniowych ma rozwiązanie, to rozwiązania tego uładu wyrażają się przy pomocy n ran(a) parametrów. Historia: Metoda ta pojawiła się po raz pierwszy w rozdziale VIII Macierze wadratowe siążi Jiuzhang suanshu (Dziewięć rozdziałów sztui matematyi). W Europie metoda ta została opisana w 1670 przez Newtona (opubliowana w 1707 rou). Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa

Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze 15 4. Wyznaczni ( Niech Σ n oznacza ) grupę permutacji zbioru n elementowego, permutację σ Σ n zapisujemy w postaci 1 2... n, gdzie a a 1 a 2... a i = σ(i). n Zbiór permutacji ze sładaniem jao mnożeniem (στ)(i) = σ(τ(i)), στ Σ n, i {1... n}, jest grupą. Definicja II.14. Permutację nazywamy transpozycją jeśli zamienia miejscami dwa elementy i, j (i j) oraz pozostawia niezmienione pozostałe (oznaczamy ją jao (i, j)), to znaczy jest to permutacja τ taa, że τ(i) = j, τ(j) = ( i, τ() = dla ) {1... n} \ {i, j}. 1 2... n Jeśli σ = jest dowolną permutacją, τ = (i, j), i < j jest transpozycją, to στ = ( a 1 a 2... a n ) 1 2... i... j... n a 1 a 2... a j... a i... a n Lemat II.11. Każdą permutację σ Σ n można przedstawić jao złożenie transpozycji. Kazdą transpozycję możemy przedstawić jao złożenie nieparzystej liczby transpozycji wyrazów olejnych. Dowód. Dowód przez inducję ze względu na n. Dla n = 1 lemat jest spełniony trywialnie (ażda permutacja jest iloczynem zero transpozycji, w grupie Σ 1 nie ma trnspozycji). Niech σ Σ n, n 2, będzie dowolna permutacją. Jeżeli σ(n) = n, to zacieśnienie (w dziedzinie i obrazie) permutacji σ do zbioru {1,..., n 1} zadaje permutacje σ Σ n 1. Na mocy założenia inducyjnego istnieją transpozycje τ 1,..., τ Σ n 1 taie, że σ = τ 1 τ. Oczywiście ażda transpozycja τ l dwóch elementów zbioru {1,..., n 1} zadaje transpozycję τ l (tych samych) elementów zbioru {1,..., n} oraz σ = τ 1 τ. Jeśli σ(n) n, to istnieje < n taie, że σ() = n. Oznaczmy przez τ := (, n) transpozycję elementóœ i n. Wtedy σ 1 := στ Σ n jest permutacją taą, że σ 1 (n) = σ(τ(n)) = σ() = n, na mocy pierwszej części dowodu istnieje transpozycje τ 1,..., τ Σ n taie, że στ = σ 1 = τ 1 τ, a stąd τ 1 τ τ = σττ = σ, co ończy dowód pierwszej części lematu. Niech (i, j) Σ n będzie transpozycją, i < j. Ponieważ przez inducję ze względu na j i, że (i, j) = (i, i + 1)(i + 1, i + 2)... (j 2, j 1)(j 1, j)(j 2, j 1)... (i + 1, i + ( 2)(i, i + 1). Dla j = i + 1 teza jest trywialna, jeśli j > i + 1 to orzystając z założenia inducyjnego (i, i + 1) (i + 1, i + 2)... (j 2, j 1)(j ) 1, j)(j 2, j 1)... (i + 1, i + 2) (i, i + 1) = (i, i + 1)(i + 1, j)(i, i + 1) = (i, j). Definicja II.15. Nieporządiem ( w ciągu ) (a 1,..., a n ) nazywamy dowolną parę 1 i < j n taą, że 1 2... n a i > a j. Permutację σ = nazywamy parzystą (odp. nieparzystą) jeśli nieporządów a 1 a 2... a n w { ciągu (a 1,..., a n ) jest parzysta (odp. nieparzysta). Zna permutacji σ Σ n definiujemy jao sgn(σ) = 1, gdy σ jest parzysta 1, gdy σ jest nieparzysta. Lemat II.12. Jeśli σ jest dowolną permutacją natomiast τ transpozycją, to sgn(στ) = sgn(σ). Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017

16 4. Wyznaczni Dowód. Jeśli τ = (i, i + 1) jest transpozycją wyrazów sąsiednich, to ciąg wartości permutacji στ powstaje przez zamianę olejnych wyrazów a i i a i+1, więc liczba nieporządów wzrasta lub maleje o 1, zatem sgn(στ) = sgn(σ). Jeśli τ jest dowolną transpozycją, to τ = τ 1... τ 2+1 jest iloczynem nieparzystej liczby transpozycji wyrazów sąsiednich. Zatem sgn(στ) = ( 1) 2+1 sgn(σ) = sgn(σ). Wniose II.13. Permutacja jest parzysta (odp. nieparzysta) jeśli ażdy jej rozład na iloczyn transpozycji ma parzystą (odp. nieparzystą) liczbę czynniów. Dla dowolnych permutacji σ 1, σ 2 Σ n mamy sgn(σ 1 σ 2 ) = sgn(σ 1 ) sgn(σ 2 ). Definicja II.16. Wyznaczniiem stopnia n nazywamy następujący wielomian n 2 zmiennych o współczynniach całowitych det n (X ij ) i,...,n = det(x ij ) i,...,n := σ Σ n sgn(σ) n X iσ(i) Z[X 11,..., X 1,n, X 2,1..., X n,n ]. Przyład II.14. Mamy grupy permutacji (permutacje parzyste sa podreślone) det 1 = X 1,1 det 2 = X 1,1 X 2,2 X 1,2 X 2,1 Σ 1 = (1) Σ 2 = {(1), (12)} i=1 Σ 3 = {(1), (123), (132), (12), (13), (23)} det 3 = X 1,1 X 2,2 X 3,3 + X 1,2 X 2,3 X 3,1 + X 1,3 X 2,1 X 3,2 X 1,2 X 2,1 X 3,3 X 1,3 X 2,2 X 3,1 X 1,1 X 2,3 X 3,2 Metoda Sarrusa: X 11 X 12 X 13 X 21 X 22 X 23 X 31 X 32 X 33 X 11 X 12 X 13 X 21 X 23 Wygodnie jest zapisywać zmienne X ij jao macierz X = (X ij ) i,,...,n, oznaczamy również X j = ( ) Xi,1... x i,n. Będziemy więc używać następujących zapisów więc również X 1 X 2 X =. = (X1, X 2,..., X n ) X n X 1 X 2 det(x) = det. = det(x1, X 2,..., X n ). X n X 1,j... X n,j, X i = Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa

Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze 17 X 1 X 2 Ze względu na oszczędność miejsca zamiast det. będziemy pisać det(x 1,..., X n ), pozwoli nam to X n tratować wyznaczni jao funcję olumn oraz funcję wierszy (n argumentową). Dla dowolnych I, J {1,..., n} niech X I,J := (X i,j ) i I,j J. Jeśli I = {i 1, i 2,..., i }, J = {j 1, j 2,..., j l } gdzie 1 i 1 < i 2 < < i n, 1 j 1 < j 2 < < j l n to I :=, J := l oraz X i1,j 1 X i1,j 2... X i1,j l X I,J =........... X i,j 1 X i,j 2... X i,j l Oznaczmy przez X i,j macierz (n 1) (n 1) powstałą przez sreślenie w macierzy X i tego wiersza i j ej olumny. Propozycja II.15 (Rozwinięcie Laplace a). Dla dowolnego i 0 = 1,..., n Dla dowolnego j 0 = 1,..., n det n (X) = det n (X) = ( 1) i0+j X i0,j det n 1 (X i0,j ). ( 1) i+j0 X i,j0 det n 1 (X i,j0 ). i=1 Dowód. Niech σ Σ n będzie dowolną permutacją i niech j 0 := σ(i 0 ). Wtedy zacieśnienie (w dziedzinie ( i obrazie) σ {1,..., n}\{i 0 } : {1,..., n}\{i 0 } ) {1,..., n}\{j ( 0 } zadaje permutację σ Σ n 1. Jeżeli σ = 1... i0 1 i 0 i 0 + 1... n 1... to σ σ(1)... σ(i 0 1) j 0 σ(i 0 + 1)... σ(n) i0 1 i = 0 + 1... n { σ(1)... σ(i 0 1) σ(i 0 )... σ(n 1) σ(i), gdy σ(i) < j 0 gdzie σ(i) =. Zatem liczba nieporządów w σ jest równa liczbie nieporządów σ(i) 1, gdy σ(i) > j 0 w σ plus liczba elementów więszych od j 0 na pierwszych i 0 1 pozycjach plus liczba elementów mniejszych od j 0 na ostatnich n i 0 pozycjach. Jeśli na pierwszych i 0 1 pozycjach jest elementów więszych od j 0 to jest i 0 1 elementów mniejszych od j 0, a zatem na ostatnich n i 0 pozycjach jest j 0 1 (i 0 1) = j 0 i 0 + elementów więszych od j 0. Stąd sgn(σ) = sgn(σ )( 1) (j0 i0+2) = sgn(σ) = sgn(σ )( 1) (i0+j0). Ponieważ wybierając wszystie j 0 {1,..., n} oraz wszystie σ Σ n 1 otrzymamy wszystie σ Σ n otrzymujemy dowód. Wniose II.16. Dla dowolnego = 1,..., n 1 i dowolnego I {1,..., n}, I = mamy det n (X) = J {1,...,n} J = Dowód. Inducja ze względu na, ćwiczenie. ( 1) i1+ +i +j 1+ +j det(x I,J ) det(x Ic,J c) ), Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017

18 4. Wyznaczni Wniose II.17. Jeśli X = (X ij ) 1 i,j n, Y = (Y 1,..., Y n ) są zmiennymi, = 1,..., n to X 1 X n X 1...... X 1 X 1 det X + Y = det(x) + det Y. X +1 X +1...... Podobnie jeśli X = (X ij ) 1 i,j n, Y =... są zmiennymi, = 1,..., n to Y 1 Y n X n det(x 1,..., X + Y,..., X }{{} n ) = det(x). Wniose II.18. Jeśli X = (X ij ) 1 i,j n, Z są zmiennymi, = 1,..., n to det(x 1,..., Z X }{{ },..., X n) = Z det(x). det(x 1,..., } Z {{ X },..., Xn ) = Z det(x). Propozycja II.19. Dla dowolnej permutacji τ Σ n mamy det(x τ(i),j ) = det(x i,τ(j) ) = sgn(τ) det(x). Dowód. Mamy det(x τ(i),j ) = σ Σ n sgn(σ) n i=1 X τ(i)σ(i) = σ Σ n sgn(σ) n i=1 X iστ 1 (i) = σ Σ n sgn(στ) n i=1 X iσ(i) = sgn(τ) σ Σ n sgn(σ) n i=1 X iσ(i) = sgn(τ) det(x). Drugą równość dowodzi się podobnie. Propozycja II.20. Dla dowolnych 1, l n, l mamy det(x 1,..., }{{} X,..., }{{} X,..., X n ) = 0 det(x 1,..., X }{{},..., X }{{},..., X n ) = 0. Dowód. Stosując do powyższych macierzy propozycję z τ = (, l) otrzymujemy det(...) = det(...). Wniose II.21. Jeśli X = (X ij ) 1 i,j n, Z są zmiennymi, to dla dowolnego, l = 1,..., n, l mamy det(x 1,..., X n ) = det(x 1,..., X + ZX }{{} l,..., X n ) det(x 1,..., X n ) = det(x 1,..., X + ZX }{{} l,..., X n ) Dowód. Stosując powyższe propozycje mamy det(x 1,..., X + ZX l, X +1,..., X n ) = det(x 1,..., X,..., X n )+det(x 1,..., ZX l,..., X n ) = det(x)+z det(x 1,..., X l,..., X n ) = det(x)+0 = det(x). Drugiej równości dowodzimy identycznie. l l Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa

Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze 19 Oznaczamy 1 n macierz (n n) 1 0... 0 1 = 0 1... 0 0 0... 1 Wtedy 1 = diag(1,..., 1), gdzie diag(a }{{} 1,..., a n ) oznacza macierz, tóra na głównej przeątnej ma wyrazy n razy a 1,..., a n, a poza nią same zera. Propozycja II.22. Jeśli (X 1,..., X n ) są zmiennymi, to det n (diag(x 1,..., X n )) = X 1 X n. Dowód. Dowód inducyjny ze względu na n. Dla n = 1, równość jest oczywista. Korzystając z rozwinięcia Laplace a (względem ostatniej olumny) det n+1 (diag(x 1,..., X n+1 )) = det n (diag(x 1,..., X n ))X n+1 = X 1... X n X n+1. Twierdzenie II.23. Wyznaczni det n (X) jest jedynym wielomianem W Z[X] spełniającym waruni (1) W (X σ(1),..., X σ(n) ) = sgn(σ)w (X) dla dowolnej permutacji σ Σ n, (2) W (X 1,..., ZX }{{,..., X } n ) = ZW (X), dla dowolnego 1 n, (3) W (X 1,..., X + ZX }{{} l,..., X n ) = W (X), dla dowolnego 1, l n, l, (4) W (1) = 1. Dowód. Wyznaczni det n spełnia waruni (1) (4). Przypuśćmy, że wielomian W spełnia waruni (1) (4) Korzystając z operacji elementarnych możemy doprowadzić macierz X do postaci ściśle zreduowanej A = (a ij ) 1 i,j n. Ponieważ w tracie reducji musieliśmy mnożyć wiersze macierzy przez wielomiany niezerowe, to istnieje niezerowy wielomian Q Z[(X ij ) 1 i,j n ] tai, że Q det n (X) = det n (A) oraz Q W (X) = W (a ij ). Gdyby macierz A zawierała wiersz zerowy, to na mocy (2) otrzymalibyśmy, że det(x) = 0 co jest sprzeczne z (4). Ponieważ macierz A jest wadratowa, ściśle zreduowana i nie zawiera wiersza zerowego, więc jest macierzą przeątniową A = diag(p 1,..., P n ). Na mocy (4) mamy więc Q det(x) = det(p 1,..., P n ) = P 1... P n oraz QW (X) = W (P 1,..., P n ) = P 1... P n, a ponieważ Q jest wielomianem niezerowym, więc W = det n. Wniose II.24. Jeśli wielomian W R[(X ij ) 1 i,j n ], gdzie R jest pierścieniem całowitym, spełnia waruni (1) (3) powyższego twierdzenia, to W (X) = det(x)w (1). Wtedy Propozycja II.25 (Twierdzenie Cauchy ego). Niech X = (X ij ) 1 i,j n, Y = (Y ij ) 1 i,j n będą zmiennymi. det n (XY ) = det n (X) det n (Y ). Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017

20 4. Wyznaczni Dowód. Rozważmy wielomian W (X) := det(xy ) jao wielomian zmiennych X. Ponieważ operacje elementarne na wierszach macierzy X odpowiadają tym samym operacjom elementarnym na wierszach macierzy XY więc W spełnia waruni (1) (3) powyższego twierdzenia. A zatem W (X) = det(x)w (1) = det(x) det(y ). Definicja II.17. Macierzą transponowaną macierzy A = (a ij ) 1 i m wymiaru m n nazywamy macierz 1 j n A T = (a ji ) 1 i n wymiaru n m. 1 j m Jeśli to Macierz transponowana powstaje przez zamianę wierszy na olumny i na odwrót, a zatem (A T ) T = A. Propozycja II.26. a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =...... a m1 a m2... a mn a 11 a 21... a m1 A T a 12 a 22... a m2 =...... a 1n a 2n... a mn det n (X) = det n (X T ). Dowód. det n (X T ) = σ Σ n sgn(σ) n i=1 X σ(i),i = σ Σ n sgn(σ) n i=1 X i,σ 1 (i) = σ Σ n sgn(σ 1 ) n i=1 X i,σ 1 (i) = σ Σ n sgn(σ) n i=1 X i,σ(i) = det n (X). Twierdzenie II.27. Wyznaczni det n (X) jest jedynym wielomianem W Z[X] spełniającym waruni (1) W (X σ(1),..., X σ(n) ) = sgn(σ)w (X) dla dowolnej permutacji σ Σ n, (2) W (X 1,..., } ZX {{ },..., X n ) = ZW (X), dla dowolnego 1 n, (3) W (X 1,..., X + ZX }{{} l,..., X n ) = ZW (X), dla dowolnego 1, l n, l, (4) W (1) = 1. Dowód. Ponieważ det(x) = det(x T ) więc wyznaczni spełnia waruni (1) (4), na odwrót, jeśli W spełnia waruni (1) (4), to W 1 (X) := W (X T ) spełnia waruni (1) (4) poprzedniego twierdzenia, czyli W (X T ) = det(x). Stąd W (X) = det(x T ) = det(x). Definicja II.18. Niech X := (X i,j ) 1 i,j n będą zmiennymi. Macierz adj(x) = (( 1) i+j det(x j,i ) 1 i,j n nazywamy macierzą dołączoną. Propozycja II.28. X adj(x) = adj(x)x = det(x)1. Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa

Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze 21 Dowód. Niech C := X adj(x), C = (c i,j ) 1 i,j n. Mamy c i,j = n =1 ( 1)i+ X i, det(x j, ), jest to rozwinięcie Laplace a względem wiersza j tego wyznacznia macierzy X z wierszem j tym zastąpionym wierszem i tym. Dla i = j otrzymujemy wyznaczni macierzy X, natomiast dla i j, wyznaczni macierzy mającej dwa równe wiersze, czyli 0. Zatem c i,j = det(x)δ i,j. Dowód drugiej części jest analogiczny, ale orzysta z rozwinięcia Laplace a względem olumny. Historia: Wyznacznii użyto po raz pierwszy w rozdziale VIII Macierze wadratowe siążi Jiuzhang suanshu (Dziewięć rozdziałów sztui matematyi). W Europie wyznacznii stopnia 2 stosował Cardano, a wyższego Leibniz. Gauss użył słowa wyznaczni, natomiast Cauchy użył go na oznaczenie wyznacznia ja go dziś rozumiemy. 5. Wyznczani macierzy Definicja II.19. Wyznaczniiem macierzy wadratowej A = (a ij ) 1 i,j n nad pierścieniem przemiennym nazywamy liczbę det A = det n (a ij ) = σ Σ n sgn(σ) n i=1 a iσ(i). Wyznaczni macierzy posiada wszystie własności wyazane w poprzedniej secji, w szczególności Lemat II.29 (Rozwinięcie Laplace a). Dla dowolnego i 0 = 1,..., n det(a) = ( 1) i0+j a i0,j det(a i0,j ). Dla dowolnego j 0 = 1,..., n det(a) = ( 1) i+j0 a i,j0 det(a i,j0 ). i=1 Twierdzenie II.30. Niech R będzie pierścieniem przemiennymy z jedyną. Wtedy wyznaczni det jest jedyną funcją F : R n2 R n2 taą, że (1) Dla dowolnych v 1,..., v n R n, σ Σ n zachodzi F (v σ(1),..., v σ(n) ) = sgn(σ)f (v 1,..., v n ), (2) Dla dowolnych v 1,..., v n R n, a R1 n zachodzi F (v 1,..., }{{} av,..., v n ) = af (v 1,..., v n ), (3) Dla dowolnych v 1,..., v n, w R n, 1 n zachodzi F (v 1,..., v + aw,..., v }{{} n = F (v 1,..., v n ), (4) F (1) = 1. Wniose II.31. Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez zamianę miejscami dwóch wierszy (dwóch olumn) to det(b) = det(a). Jeśli macierz B powstaje przez pomnożenie jednego wiersza (jednej olumny) macierzy A przez a R to det(b) = a det(a). Jeśli macierz B powstaje z macierzy B przez dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez element pierścienia (dodanie do olumny innej olumny pomnożonej przez element pierścienia) to det(b) = det(a). Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017

22 5. Wyznczani macierzy Propozycja II.32. Niech R będzie pierścieniem przemiennym z jedyną. Dla dowolnych macierzy A, B Mat(m n, R), C Mat(n p, R) mamy (A + B)C = AC + BC. Dla dowolnych macierzy A Mat(m n, R), B, C Mat(n p, R) mamy A(B + C) = AB + AC. Dla dowolnych macierzy A Mat(m n, R), B Mat(n p, R) mamy (AB) T = B T A T. Dla dowolnej macierzy A Mat(m n, R) mamy A1 n = 1 m A = A. Dla dowolnej macierzy A Mat(m n, R) nad piersćieniem przemiennym to adj(a)a = Aadj(A) = diag(det(a),..., det(a) ). }{{} Jeśli R jest pierścieniem przemiennym z jedyną to adj(a) t A = Aadj(A) t = det(a)1 n. Zbiór Mat(n n, R) macierzy wadratowych wymiaru n nad pierścieniem przemiennym R jest R algebrą. Macierz A Mat(n n, R) jest odwracalna wtedy i tylo wtedy gdy det(a) jest elementem odwracalnym pierscienia. Wtedy A 1 = (det A) 1 adj(a). Dowód. Sprawdziwy wyłącznie ostatnią część, jeśli macierz A jest odwracalna to det(a) det(a 1 ) = det(a A 1 ) = det(1) = 1, a stąd det(a) jest elementem odwracalnym pierścienia. Jeśli det(a) jest elementem odwracalnym pierścienia, to det(a) 1 adj(a)a = det(a) 1 det(a)1 = 1. Podobnie sprawdzamy, że A det(a) 1 adj(a) = det(a) 1 A adj(a) = det(a) 1 det(a)1 = 1, czyli det(a) 1 adj(a) jest odwrotnością A. Uwaga. Element pierścienia a przemiennego z jedyną nazywamy odwracalnym jeśli istnieje element a 1 tai, że aa 1 = 1. Zbiór elementów odwracalnych U(R) pierścienia przemiennego z jedyną R jest grupą ze względu na mnożenie. Propozycja II.33. Dla dowolnej podgrupy G grupy U(R) zbiór {A Mat(n n, R) : det(a) G} jest grupą ze względu na mnożenie. W szczególności grupami są GL(n, R) = {A Mat(n n, R) : det(a) U(R)} SL(n, R) = {A Mat(n n, R) : det(a) = 1} n razy Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017 Algebra liniowa

Rozdział II. Ułady równań liniowych, macierze 23 Propozycja II.34. Dla dowolnego pierścienia przemiennego z jedyną i dowolnej macierzy J GL(n, R), zbiór {A Mat(n n, R) : AJA T = J} jest podgrupą GL(n, R). W szczególności dla J = 1 n otrzymujemy grupy O(n, R) := {A : AA T = 1} oraz SO(n, r) := SL(n, R) O(n, R) zwane ( grupą ortogonalną ) i specjalną grupą ortogonalną. 0 1n Dla J = otrzymujemy grupę macierzy sympletycznych. 1 n 0 Gdy R = R jest ciałem liczb rzeczywistych, to wyróżniamy jeszcze grupę GL + (n, R) = {A Mat(n n, R) : det(a) > 0} (grupa orientacji) oraz O + (n, R) = O(n, R) GL + (n, R). Gdy R = C jest ciałem liczb zespolonych, to wyróżniamy grupy U(n, C) := {A Mat(n n, C) : AĀT = 1} oraz SU(n, C) := U(n, C) SL(n, C). Definicja II.20. Macierz wadratową A = (a ij ) 1 i,j n nazywamy trójątną górną (odp. trójątną dolną) jeżeli a ij = 0 dla i > j (odp. i < j). Propozycja II.35. Macierz A jest trójątna górna wtedy i tylo wtedy gdy A t jest trójątna dolna. Iloczyn macierzy trójątnych górnych (odp. trójątnych dolnych) jest macierzą trójątną górną (odp. trójątnych dolną). Dowód. Pierwsza część jest oczywista. Jeśli A = (a ij ) 1 i,j n, B = (b ij ) 1 i,j n są macierzami trójątnymi górnymi, to dla dowolnych 1 j < i n mamy c ij = a ib j. Ale dla dowolnego zachodzi i > lub > j, czyli a i = 0 lub b j = 0. Część trzecia wynia natychmiast z części pierwszej i drugiej. Propozycja II.36. Jeśli A jest macierzą trójątną (dolną lub górną) to det(a) = a 11... a nn jest iloczynem wyrazów na przeątnej. Dowód. Inducja ze względu na n. Jeśli A jest macierzą trójątną górną, to rozwijając względem pierwszej olumny otrzymujemy det(a) = a 11 det(a 11 ), ale A 11 jest macierzą trójątną górną, wieć z założenia inducyjnego det(a 11 ) = a 22... a nn. Alternatywnie, jeśli macierz A jest trójątna górna, to i a i,σ(i) jest niezerowy wyłącznie dla permutacji dla tórych i σ(i), jedyną taą permutacją jest σ(i) = i. Algebra liniowa Wersja wstępna z dnia: 22 listopada 2017