Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn MacierzAmamwierszyinkolumn.Paręliczbm,nnazywamywymiaremmacierzy.Jeżelimnto mamy macierz kwadratową. 1.1. Specjalne macierze kwadratowe 1.1.1. macierz symetryczna To macierz kwadratowa, którj wyrazy są umieszczone symetrycznie względem głównej przekątnej, tzn. linii,naktórejznajdująsięwyrazya 11,a 22,a 33...a nn isąsobierówne.np: 1.1.2. macierz diagonalna X 10 1 2 3 1 20 4 5 2 4 30 6 3 5 6 40 Wszystkie elementy poza elemetami leżącymi na przekątej głównej są równe zero, np: 1.1.3. macierz jednostkowa stopnia n B 1 0 2 0 3 0 40 Tp macierz diagonalna, na której przekątnej głównej znajdują się same jedynki: dla n4: 1 0 0 1 I 1 0 0 1 1.1.4. macierz wierszowa Składa się z jedego wiersza: D 11 12 23 42 1
1.1.5. macierz kolumnowa Składa się z jedej kolumny: E 11 12 23 42 2. Działania na macierzach 2.1. Równość macierzy DwiemacierzeAa ik ibb ik sąrównetylkowtedy,gdymajątesamewymiaryidlakażdejpary wskaźnikówiorazkzachodzirównośća ik b ik.innymisłowy:tylkomacierze identyczneuważasię zarównepisząc:ab. 2.2. Suma i różnica macierzy JeślimacierzeAa ik ibb ik majątesamewymiary,tosumąmacierzyaibnazywamy macierz C,którejelementyc ik sąsumąelementówotychsamychwskaźnikach: c ik a ik +b ik Na przykład: 10 2 3 20 4 5 + 1 3 0 5 2 1 9 5 3 25 6 4 RóżnicąmacierzyAiBnazywamymacierz D,którejelementyd ik sąróżnicąelementówotychsamych wskaźnikach: d ik a ik b ik Na przykład: 10 2 3 20 4 5 1 3 0 5 2 1 11 1 3 15 2 6 2.3. Mnożenie macierzy 2.3.1. Mnożenie macierzy przez stałą KażdywyrazmacierzyAmnożymyprzezstałąαtj:αAαa ik.dlaα5iponiższejmacierzybędziemy mieli: 10 2 3 50 10 15 α 20 4 5 100 20 25 2.3.2. Mnożenie dwóch macierzy IloczynmacierzyAowymiarzeminorazmacierzy Bowymiarzem1in1jestwykonalnytylko wtedy, gdy ilość elementów w wierszach macierzy A jest równa ilości elementów w macierzy B. Czyli wynik mnożenia, macierz C jest rozmiaru emphm i n1. Elementy macierzy C oblicza się z zależności: c ik a i1 b 1k +a i2 b 2k +a i3 b 3k +...+a in b nk Zatemwyrazc ik powstajeprzezpomnożenieprzezsiebiekolejnychelementówa is wierszaimacierzya przezkolejnewyrazyb sk kolumnykmacierzyb Najprostrzy przypadek otrzymujemy mnożąc macierz wierszową A przez macierz kolumnową B: 2
a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n Wynikiem mnożenia jest macierz o jednym wyrazie(mn1 1) Bardziej złożony przykład: a11 a 12 b11 b 12 b 13 a11 b 11 +a 12 b 21 a 11 b 12 +a 12 b 22 a 11 b 13 +a 12 b 23 a 21 a 22 b 21 b 22 b 23 a 21 b 11 +a 22 b 21 a 21 b 12 +a 22 b 22 a 21 b 13 +a 22 b 23 2.4. Własności działań na macierzach Z definicji dodawania macierzy wynika, że działanie to jest łączne i przemienne, tzn: A+BB+A (A+B)+CA+(B+C) Pomijając banalny przypadek, kiedy macierze są jednoelementowe, mnożenie macierzy nie jest przemienne, tzn: A B B A Dla przykładu weźmy: Mamy Czyli A A B 1 0 0 1 B B A 0 1 1 0 A B B A 3. Wyznaczniki Z pojęciem macierzy kwadratowej związane jest pojęcie wyznacznika macierzy. Wyznacznikiem macierzy A(determinantem macierzy A) nazywamy liczbę zapisaną w następujący sposób: a 11 a 12 a 1n a WdetA 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 3.1. Wyznaczanie wartości wyznacznika 2x2 a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21 3.2. Wyznaczanie wartości wyznacznika 3x3(Schemat Sarrusa) Aby wyznaczyć wartość wyznacznika W o rozmiarze 3x3 W a 31 a 32 a 33 można posłużyć się nastąpującym algorytmem: 3
1. Dopisujemy do wyznacznika pierwszy i drugi wiersz(na dole) 2. Wykonujemy obliczenia wg wzoru: a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 +a 21 a 32 a 13 +a 31 a 12 a 23 a 13 a 22 a 31 a 23 a 32 a 11 a 33 a 12 a 21 3.3. Wyznaczanie wartości wyznacznika metodą rozwinięcia Laplace a 4. Zastosowanie macierzy i wyznaczników do rozwiązywania układów równań liniowych 4.1. Metoda Cramera Rozważmy układ równań liniowych o dwóch niewiadomych x i y: a 11 x+a 12 yb 1 a 21 x+a 22 yb 2 w zapisie macierzowym układ można przedstawić jako: a11 a 12 x a 21 a 22 y b1 b 2 bądź w skrócie: AXB Stosując tzw. metodę Cramera, wyznaczamy wartości wyznaczników: a W 11 a 12 b W a 21 a 22 x 1 a 12 a W b 2 a 22 y 11 b 1 a 21 b 2 gdziewyznacznikwtowyznacznikmacierzywspółczynników,w x towyznacznikmacierzy,wktórejkolumnęwspółczynnikówprzyzmiennejxzastąpionokolumnąwyrazówwolnych,w y towyznacznikmacierzy, w której kolumnę wyrazów przy zmiennej y zastąpiono kolumną wyrazów wolnych. Niewiadome można wyznaczyć z następujących zależności: 4.2. Metoda macierzy odwrotnej x W x W yw y W Przyzałożeniu,żemacierzAjestnieosobliwa,tzn.detA 0możnawyznaczyćmacierzodwrotnąA 1 do danej macierzy A. Macierz odwrotna, to taka macierz, dla której spełniona jest zależność: A A 1 I czyli w wyniku otrzymujemy macierz jednostkową. MacierzodwrotnąA 1 wyznaczasięzwzoru: W równaniu powyższym, macierz A 1 1 deta A 11 A 12 A n1 A 21 A 22 A n2 A n1 A n2 A nn 4
A 11 A 12 A n1 A 21 A 22 A n2 A n1 A n2 A nn to macierz tzw. dopełnień algebraicznych. JeżelimacierzAjestnieosobliwa,toistniejemacierzodwrotnaA 1.Mnożąclewostronnieobiestrony macierzowegoukładurównańprzeza 1 otrzymujemyrównanie: A 1 (AX)A 1 B korzystajączłącznościmnożeniamacierzyorazztego,żea 1 AIiztego,żeIXXmożnawynik zapisać w postaci: XA 1 B 5