Elementy analizy wektorowej

Elementy analizy wektorowej Całki powierzchniowe wykład z MATEMATKI Automatyka i robotyka studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2009/2010 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka 1 Płaty powierzchniowe Niech R 2 będzie obszarem na płaszczyźnie. Funkcją wektorową dwóch zmiennych w przestrzeni nazywamy odwzorowanie r: R 3. Funkcję taką będziemy zapisywali w postaci r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v)], gdzie(u,v). v v R 2 r Z r(u, v) R 3 u u X Mówimy, że funkcja wektorowa r jest różnowartościowa na obszarze, gdy (u 1,v 1 ) (u 2,v 2 ) r(u 1,v 1 ) r(u 2,v 2 ), dla dowolnych(u 1,v 1 ),(u 2,v 2 ). Jeżeli funkcjex,y,z są ciągłe na obszarze, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest ciągła na obszarze. Jeżeli funkcje x, y, z mają ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest różniczkowalna w sposób ciągły na obszarze. Niechbędzie prostokątem domkniętym oraz niech funkcja wektorowa r: R 3, r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v)] będzie ciągła i różnowartościowa na prostokącie. Płatem prostym powierzchniowym nazywamy zbiór wartości funkcji wektorowej r ={ r(u,v): (u,v) }. 1

Zbiór w przestrzeni, taki że każdy jego punkt ma otoczenie domknięte, które jest płatem prostym, nazywamy płatem powierzchniowym. Z Z X Zbiór jest płatem powierzchniowym X Zbiór nie jest płatem powierzchniowym Płat powierzchniowy={ r(u,v):(u,v) }, gdzie jest obszarem domkniętym z brzegiem kawałkami gładkim, a funkcja wektorowa r(u, v) =[x(u, v), y(u, v), z(u, v)] jest różnowartościowa i różniczkowalna w sposób ciągły na obszarze, nazywamy płatem gładkim, gdy na obszarze spełniony jest warunek r u r v 0, [ ] [ ] gdzie r u = u, u, z u oraz r v = v, v, z v. Płat, który można podzielić na skończoną liczbę płatów kawałkami gładkich, nazywamy płatem kawałkami gładkim. Z Z X Płat powierzchniowy gładki X Płat powierzchniowy kawałkami gładki Twierdzenie 1.1 (równania parametryczne ważniejszych płatów powierzchniowych). 1. Płaszczyzna przechodząca przez punkt(x 0,y 0,z 0 ) i rozpięta na wektorach a = [x 1,y 1,z 1 ], b = [x 2,y 2,z 2 ] ma przedstawienie parametryczne x=x 0 +x 1 u+x 2 v : y=y 0 +y 1 u+y 2 v, gdzieu R,v R. z=z 0 +z 1 u+z 2 v 2. fera o środku(0,0,0) i promieniurma przedstawienie parametryczne x=r cosu cosv : y=r sinu cosv, gdzieu 0,2π,v π 2,π. 2 z=r sinv 2

3. Powierzchnia stożka określona równaniem z=k x 2 +y 2,gdziex 2 +y 2 r 2 ma przedstawienie parametryczne x=v cosu : y=v sinu z=k v, gdzieu 0,2π,v 0,r. 4. Powierzchnia paraboloidy obrotowej określona równaniem ( z=k x 2 +y 2), gdziex 2 +y 2 r 2 ma przedstawienie parametryczne x=v cosu : y=v sinu z=k v 2, gdzieu 0,2π,v 0,r. 5. Powierzchnia walcowa określona równaniem x 2 +y 2 =r 2, gdzie0zh ma przedstawienie parametryczne x=r cosu : y=r sinu z=v, gdzieu 0,2π,v 0,H. Twierdzenie 1.2 (o postaci płatów powierzchniowych). Płatami powierzchniowymi są wykresy funkcji ciągłych postaci: 1.: z=f(x,y), (x,y) 1, gdzie 1 jest obszarem na płaszczyźniex ; 2.: x=g(y,z), (y,z) 2, gdzie 2 jest obszarem na płaszczyźniez; 3.: y=h(x,z) (x,z) 3, gdzie 3 jest obszarem na płaszczyźniexz. Jeżeli funkcje f, g, h mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na odpowiednich obszarach, to płaty powierzchniowe są gładkie. Niech={ r(u,v): (u,v) } będzie gładkim płatem powierzchniowym. Wtedy pole tego płata wyraża się wzorem: = r u r v dudv. Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjiz=f(x,y), gdzie(x,y), to jego pole wyraża się wzorem: ( ) f 2 ( ) f 2 = 1+ + dxdy. 3

Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjix=g(y,z), gdzie(y,z), to jego pole wyraża się wzorem: ( ) g 2 ( ) g 2 = 1+ + dydz. z Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjiy=h(x,z), gdzie(x,z), to jego pole wyraża się wzorem: ( ) h 2 ( ) h 2 = 1+ + dxdz. z 2 Całki powierzchniowe niezorientowane Rozważmy gładki płat powierzchniowy={ r(u,v): (u,v) }, gdziejest domkniętym obszarem regularnym na płaszczyźnie. r Z v u znaczenia w definicji całki powierzchniowej niezorientowanej: P={ 1, 2,..., n }, podział obszaruna obszary regularne k (o rozłącznych wnętrzach), gdzie1kn; d k śednica obszaru k, t.j kres górny odległości punktów zbioru k, gdzie1kn; δ(p)= max 1kn d k - średnica podziałup; Ξ={(u 1,v 1 ),(u 2,v 2 ),...,(u n,v n )}, gdzie(u k,v k ) k dla1kn zbiór punktów pośrednich podziałup k część płata odpowiadająca obszarowi k w podanej wyżej parametryzacji; k pole płata k, gdzie1kn; (x k,y k,z k ) punkt płata k odpowiadający punktowi(u k,v k ) k w podanej parametryzacji, gdzie1kn. efinicja 2.1 (całka powierzchniowa niezorientowana). Niech funkcjaf będzie ograniczona na gładkim płacie. Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcjif po płaciedefiniujemy wzorem n f(x,y,z)d def = lim f(x k,yk,z k) k, δ(p) 0 k=1 o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje i nie zależy od sposobu podziałup obszaruani od sposobu wyboru punktów pośrednichξ. X 4

Uwaga 1. Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie oznaczamy też symbolem: fd. efinicja 2.2 (całka powierzchniowa niezorientowana po płacie kawałkami gładkim). Niechbędzie płatem złożonym z płatów gładkich 1, 2,... m oraz niechf będzie funkcją ograniczoną na płacie. Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcjif po płacie definiujemy wzorem: fd def = fd+ fd+...+ fd, 1 2 m o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją. Twierdzenie 2.3 (liniowość całki powierzchniowej niezorientowanej). Jeżeli funkcjef ig są całkowalne na kawałkami gładkim płacie, to (f+g)d= fd+ gd i (c f)d=c fd, gdziec R. 2.1 Zamiana całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną Twierdzenie 2.4 (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną). Jeżeli funkcjaf jest ciągła na płacie gładkim={ r(u,v): (u,v) }, gdzie obszar R 2 jest regularny, to f(x,y,z)d= f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) r u r v dudv. UWAGA: Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjiz=g(x,y), gdzie(x,y) oraz funkcjagjest ciągła na, to wzór na zamianę całek ma postać: f(x,y,z)d= f(x,y,g(x,y)) 1+ ( ) g 2 + ( ) g 2 dxdy. Jeżeli płat gładkijest wykresem funkcjix=ĝ(y,z), gdzie(y,z) oraz funkcjaĝjest ciągła na, to wzór na zamianę całek ma postać: f(x,y,z)d= f(ĝ(y,z),y,z) 1+ ( ) ĝ 2 + ( ) ĝ 2 dydz. z Jeżeli płat gładkijest wykresem funkcjiy=h(x,z), gdzie(x,z) oraz funkcjahjest ciągła na, to wzór na zamianę całek ma postać: f(x,y,z)d= f(x,h(x,z),z) 1+ ( ) h 2 + ( ) h 2 dxdz. z 5

3 Zastosowania całek powierzchniowych niezorientowanych Pole płata Pole kawałkami gładkiego płata wyraża się wzorem: = d. Masa płata Masa płata materialnegoo gęstości powierzchniowej masy wyraża się wzorem: M= (x, y, z)d. Momenty statyczne Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych płata materialnego o gęstości powierzchniowej masy wyrażają się wzorami: M xy = z (x,y,z)d, M xz = y (x,y,z)d, M yz = x (x,y,z)d. Współrzędne środka masy Współrzędne środka masy płata materialnego o gęstości powierzchniowej masy wyrażają się wzorami: Momenty bezwładności x C = M yz M, y C= M xz M, z C= M xy M. Momenty bezwładności względem osi X,, Z płata materialnego o gęstości powierzchniowej masy wyrażają się wzorami: I x = (y 2 +z 2 ) (x,y,z)d, I y = (x 2 +z 2 ) (x,y,z)d, I z = (x 2 +y 2 ) (x,y,z)d. Moment bezwładności względem punktu (0, 0, 0) płata materialnego o gęstości powierzchniowej masy wyraża się wzorem: I = (x 2 +y 2 +z 2 ) (x,y,z)d. 6

4 Całki powierzchniowe zorientowane Płat powierzchniowy dwustronny, na którym wyróżniono dwie strony: ujemną i dodatnią nazywamy płatem zorientowanym. Powiemy wówczas, że płat został zorientowany od strony nazywanej ujemną do strony nazywanej dodatnią. Zorientowanie płata powoduje ustalenie pewnego kierunku normalnej (od ujemnej do dodatniej strony płata) w każdym jego punkcie. Jeżeli oznacza płat zorientowany, to oznacza płat różniący się od tylko zorientowaniem (orientacją). Płaty i są przeciwnie zorientowane. la płatów, które są wykresami funkcji postaciz=f(x,y),x=g(y,z),y=h(x,z) za stronę dodatnią przyjmujemy zwykle górną część takiego płata. Niech płat gładki ma przedstawienie parametryczne = { r(u,v) def } =[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]: (u,v). Wtedy wersor normalny n płata w punkcie(x 0,y 0,z 0 ) tego płata, odpowiadającym punktowi(u 0,v 0 ) obszaru, wyraża się wzorem: n=± r u r v r u r v gdzie wektory r u, r v są obliczone w punkcie(u 0,v 0 ). Znak "±" ustala się na podstawie orientacji płata. Przymujemy, że wersor normalny płata zorientowanego jest skierowany od jego strony ujemnej do dodatniej. UWAGA: Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcji z = f(x, y), gdzie(x, y), to wersor normalny n tego płata w punkcie(x 0,y 0,z 0 ), gdziez 0 =f(x 0,y 0 ) wyraża się wzorem: n= 1+ f ( f ) 2+ ( f ), 2 1+ f ( f, ) 2+ ( f ), 2 1+ ( f 1 ) 2+ ( f ) 2. Wersor normalny n można przedstawić w postaci n=[cosα,cosβ,cosγ], gdzieα,β,γ oznaczają kąty między tym wersorem, a dodatnimi częściami odpowiednio osix,,z. Z n Z 7 n=[cosα,cosβ,cosγ] X X 7

efinicja 4.1 (całka powierzchniowa zorientowana). NiechF=[P,Q,R] będzie polem wektorowym na płacie gładkim zorientowanym. Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowegof po płaciedefiniujemy wzorem P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy def = ( F(x,y,z) n(x,y,z) ) d= = (P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ)d, gdzie n(x,y,z)=[cosα,cosβ,cosγ] oznacza wersor normalny płata zorientowanegowystawiony w punkcie(x, y, z) tego płata. UWAGA: W zapisie wektorowym powyższa definicja przyjmuje postać: F( r) d def ( ) = F( r) n( r) d, gdzied def =[dydz, dzdx, dxdy]. Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowegof po płacie oznaczamy też krótko: Pdydz+Qdzdx+Rdxdy, a w notacji wektorowej F d 2 6 F(x,y) X Z F(x,y) X efinicja 4.2 (całka powierzchniowa po płacie kawałkami gładkim). Niech będzie kawałkami gładkim płatem powierzchniowym zorientowanym, utworzonym z płatów gładkich 1, 2,..., m, o orientacjach pokrywających się z orientacją płata. NiechF będzie polem wektorowym na płacie. Całkę powierzchniową z pola wektorowegof po płaciedefiniujemy wzorem: F d def = o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją. F d + F d +...+ F d, 1 2 m UWAGA: Jeżeli jest płatem zorientowanym zamkniętym, to wtedy piszemy: w miejsce. Twierdzenie 4.3 (liniowość całki powierzchniowej zorientowanej). Jeżeli istnieją całki powierzchniowe zorientowane z pól wektorowychf ig po kawałkami gładkim płacie powierzchniowym zorientowanym, to Ponadto ( F+ G ) d = F d + G d i F d = gdzie jest płatem o orientacji przeciwnej do płata. ( ) c F d=c F d, F d, gdziec R. 8

4.1 Zamiana całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójną Twierdzenie 4.4 (o zamianie całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójną). Jeżeli pole wektorowef=[p,q,r] jest ciągłe na gładkim i zorientowanym płacie { = r(u,v) def } =[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]: (u,v), gdziejest obszarem regularnym na płaszczyźnie, to P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy= =± [ P(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) u z u znak ±" ustala się na podstawie orientacji płata. v z v UWAGA: W zapisie wektorowym wzór ma postać: F( r) d =± F( r(u,v)) +Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) +R(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ( ) r u r v dudv z z u v u v ] u v u v dudv. Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjiz=f(x,y), gdzie(x,y), oraz pole wektorowef jest ciągłe na, to P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy= [ ( P(x,y,f(x,y)) f ) ( +Q(x,y,f(x,y)) f ) ] +R(x,y,f(x,y)) dxdy. Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjix=g(y,z), gdzie(x,y), oraz pole wektorowef jest ciągłe na, to P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy= [ ( P(g(y,z),y,z)+Q(g(y,z),y,z)) g ) ( +R(g(y,z),y,z) g z )] dydz. Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcjiy=h(x,z), gdzie(x,y), oraz pole wektorowef jest ciągłe na, to P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy= [ ( P(x,h(x,z),z) h ) ( +Q(x,h(x,z),z))+R(x,h(x,z),z) h z )] dxdz. efinicja 4.5 (strumień pola wektorowegof przez powierzchnię zorientowaną). trumień pola wektorowegof przez powierzchnię zorientowaną(ze strony ujemnej na dodatnią, to jest w kierunku wersora n) określamy wzorem: Φ def = F d. 9

5 Elementy analizy wektorowej Jeżeli każdemu punktowi M pewnego obszaru przyporządkowana jest określona wartość pewnej skalarnej wielkości fizyczneju=u(m), to mówimy, że w tym obszarze określone jest pole skalarne. Zbiór punktów płaszczyzny, w których funkcja pola przybiera jednakowe wartości nazywamy liniami równych wartości (poziomicami albo izoliniami) płaskiego pola skalarnego. Zbiór punktów przestrzeni, w których funkcja pola przybiera jednakowe wartości nazywamy powierzchnią równych wartości (warstwicą) przestrzennego pola skalarnego. Jeżeli każdemu punktowim pewnego obszaru przyporządkowany jest pewien wektor F(M), to mówimy, że w tym obszarze określone jest pole wektorowe. Linia pola wektorowego jest to krzywa, która w każdym swoim punkcie jest styczna do wektora odpowiadającego temu punktowi. F M efinicja 5.1 (operator Hamiltona - nabla). perator Hamiltona (nabla) określany jest wzorem: def = i + j + k z. efinicja 5.2 (gradient funkcji). Niech funkcjaf ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarzev R 3. Gradient funkcjif określony jest wzorem: [ ] gradf def f = f=, f, f z Twierdzenie 5.3 (własności gradientu). Niech funkcje wektorowe f i g mają gradienty na obszarze V R 3. Wtedy: 1.grad(f+g)=gradf+gradg, 2.grad(af)=agradf, gdziea R, 3.grad(f g)=g gradf+f gradg ) 4.grad( f g = g gradf f gradg g 2 5.gradh(f)=h (f) gradf 6.f const gradf 0 7. df d v =(gradf) v, gdzie v jest wersorem. 10

efinicja 5.4 (pole wektorowe potencjalne). Pole wektorowe F nazywamy potencjalnym na obszarzev R, jeżeli istnieje funkcjau:v R, taka że F=gradu. Funkcjęunazywamy potencjałem pola wektorowego F. Powierzchnią równopotencjalną nazywamy zbiór wszystkich punktów, dla których potencjał pola u(x, y, z) ma stałą wielkość. efinicja 5.5 (rotacja (wirowość) pola wektorowego). Niech F=[P,Q,R] będzie różniczkowalnym polem wektorowym określonym na obszarzev R 3. Rotację (wirowość) pola wektorowego F określamy wzorem: rot F def = F= i j k z P Q R Pole wektorowe o tej własności, że w każdym jego punkcie rotacja jest równa 0 nazywamy polem potencjalnym albo bezwirowym. Twierdzenie 5.6 (własności rotacji). Niech funkcjaf ma gradient na obszarzev R 3 oraz niech pola wektorowe F i G będą różniczkowalne na tym obszarze. Wtedy: 1.rot( F+ G)=rot F+rot G, 2.rot(a F)=arot F, gdziea R, 3.rot(f F)=(gradf) F+f rot F. Ponadto dla funkcjiudwukrotnie różniczkowalnej w sposób ciągły nav mamy 4.rot(gradu)= 0. efinicja 5.7 (dywergencja (rozbieżność) pola wektorowego). Niech F=[P,Q,R] będzie polem wektorowym różniczkowalnym w sposób ciągły na obszarzev R 3. ywergencję (rozbieżność) pola wektorowego F określamy wzorem: div F def = F= P + Q + R z. Twierdzenie 5.8 (własności dywergencji). Niech funkcjaf oraz pola wektorowe F i G będą różniczkowalne sposób ciągły na obszarzev R 3. Wtedy: 1.div( F+ G)=div F+div G, 2.div(a F)=adiv F, gdziea R, 3.div(f F)=(gradf) F+f div F, 4.div( F G)= G rot F F rot G. Ponadto jeżeli pole wektorowef dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły nav, to ( 5.div rotf ) =0. 11

Jeżelidiv F(M 0 )>0, to punktm 0 nazywamy źródłem, a jeżelidiv F(M 0 )<0, to punktm 0 nazywamy upustem (ujściem lub ściekiem). W przypadku gdydiv F(M 0 )>0, to w dowolnym nieskończenie małym obszarze otaczającym punktm 0 ciecz jest wytwarzana, a w przypadku gdydiv F(M 0 )<0 ciecz znika. Wartość bezwzględna dywergencji charakteryzuje natężenie źródła lub upustu. Pole wektorowe, w którego każdym punkcie dywergencja jest równa zeru nazywamy polem solenoidalnym (lub bezźródłowym). u=gradu, F=div F, F=rot F. perator ymbol efinicja Argument Wynik gradient grad u u skalar wektor dywergencja divf F wektor skalar rotacja rotf F wektor wektor ( F ) =divrotf=0 ( u)=rotgradu=0 2 u= ( u)=divgradu= u, gdzie operator Laplace a ( 2 = ) u(x,y,z)= 2 u u u 2+ 2 2+ 2 z 2 12

6 Twierdzenia Gaussa-strogradskiego oraz tokesa Jeżeli jest powierzchnią zamkniętą, to całkę po zewnętrznej stronie powierzchni będziemyoznaczali symbolem, zaś całkę po wewnętrznej stronie powierzchnibędziemy oznaczali symbolem. + Twierdzenie 6.1 (wzór Gaussa-strogradskiego). Jeżeli to jest zorientowanym kawałkami gładkim płatem zamkniętym, który jest brzegiem obszaru domkniętegov R 3, pole wektorowe F=[P,Q,R] jest różniczkowalne sposób ciągły na obszarzev, F d = divfdv. + V Po rozwinięciu powyższa równość (tzn. wzór Gaussa-strogradskiego) przyjmuje postać: Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= + V ( ) P + Q + R dxdydz. z Z F V 3 X Twierdzenie 6.2 (wzór tokesa). Jeżeli jest zorientowanym kawałkami gładkim płatem, którego brzegljest łukiem kawałkami gładkim skierowanym zgodnie z orientacją płata, pole wektorowe F=(P,Q,R) jest różniczkowalne sposób ciągły na płacie (łącznie z brzegieml), to L L F d r= ( rotf ) d. Po rozwinięciu powyższa równość (tzn. wzór tokesa) przyjmuje postać: ( ) ( ) ( ) R P Q Pdx+Qdy+Rdz= Q dydz+ z z R dzdx+ P X Z 3 2 L F 3 dxdy. 13

Uwaga 2. Wzór Greena jest szczególnym przypadkiem wzoru tokesa. Rzeczywiście, przyjmując, że X jest płatem zorientowanym o brzeguloraz, że pole wektorowe F określone na tym płacie ma postać F=[P,Q,0], przy czym funkcjep iqzależą tylko od zmiennychxiyotrzymamy: L P(x,y)dx+Q(x,y)dy= ( ) Q P dxdy. 7 Zastosowania całek powierzchniowych zorientowanych bjętość obszaruv bjętość obszaru V ograniczonego płatem zamkniętym zorientowanym na zewnątrz wyraża się wzorami: V = 1 xdydz+ydzdx+zdxdy= zdxdy= xdydz= ydzdx 3 + + + + trumień pola wektorowego Ilość cieczy przepływającej w jednostce czasu przez płat zorientowany (ze strony ujemnej na dodatnią) wyraża się wzorem: Φ= v(x,y,x) d, (1) gdzie v(x, y, z) oznacza prędkość cieczy w punkcie(x, y, z) tego płata. Jeżeli jest powierzchnią zamkniętą, ograniczającą pewien obszar V, a całka (1) jest brana po zewnętrznej stronie powierzchni, to wielkość Φ nazywamy strumieniem wektora v od wewnątrz powierzchni (tj. w kierunku normalnej zewnętrznej do tej powierzchni). Całka + v(x,y,x) d jest równa różnicy między ilością cieczy jaka wypłynęła z obszaru V w jednostce czasu a ilością cieczy, jaka w tej samej jednostce czasu wpłynęła do obszaruv. Zgodnie ze wzorem tokesa cyrkulacja pola wektorowego i jego rotacja są związane zależnością ( F d r= rotf ) d L oznaczającą, że cyrkulacja wektora po konturze zamkniętym L jest równa strumieniowi rotacji tego wektora przez powierzchnię, ograniczoną tym konturem. 14