! #"%$'&&$+* $'&&+, Micha l Krch tu moga bć jakieś b le d, choć stara lem sie ich uikać. Fukcja wk ladicza Lemat rzeczwist o graicach -tch pote g cia gów szbko zbieżch do Jeśli a = 0, to + a =. Dowód. Poieważ a = 0, wie c istieje liczba aturala 0 taka, że jeżeli > 0, to a <. Wted rówież a = a <. Wobec tego dla każdej liczb aturalej > 0 zachodza ierówości: a > >, a > oraz a <, co + a + a usprawiedliwia dwukrote stosowaie ierówości Beroulli ego w wierszu poiżej + a + a = a + a Cztelik zwróci uwage a to, że dzie ki wborowi 0 a + a stosowaie ierówości Beroulli ego prowadzi do wrażeń dodatich, wie c przejście do ich odwrotości jest usprawiedliwioe stosowaliśm ierówość Beroulli ego do miaowika! Teza lematu wika z twierdzeia o trzech cia gach, bowiem + a = = a. Lemat zosta l udowodio. + a Lemat o mootoiczości cia gu Jeśli > 0, to a + > a, czli cia g + + jest rosa c od pewego mometu. Dowód. Z ierówości > wika od razu ierówość + >. Z pierwszej z ich wioskujem, że + > 0, a z drugiej że + + > 0. Nierówość a < a + rówoważa jest ierówości + < + +, a ta z kolei ierówości ate puja cej: + + + + + > + =. Skorzstam teraz z ierówości Beroulli ego, b udowodić, że ostatia ierówość zachodzi dla >. Mam + + + + + + = + + + + + = + = +. Dla jasości ależ jeszcze zauważć, że liczba + +, pe lia ca role a w ierówości Beroulli ego, jest wie ksza od jest to oczwiste w przpadku 0, bo w tm przpadku jest oa ieujema, zaś dla > 0 jej wartość bezwzgle da, czli + + jest miejsza od + <. Dowód lematu zosta l zakończo.
Uwaga. Wkazaliśm, że od mometu, w którm wrażeie + staje sie dodatie, cia g zacza rosa ć w przpadku = 0 jest sta l. W przpadku > 0 jest rosa c, gd < 0, to może sie zdarzć, że pocza tkowe wraz zmieiaja zak, wie c o mootoiczości ie może bć awet mow. Jeśli jedak wszstkie wraz cia gu sa dodatie, to jest iemaleja c. Dodajm jeszcze, że w przpadku > 0, wraz cia gu sa dodatie, zaś w przpadku < 0 sa oe dodatie dla parzstego a dla ieparzstego o ile >. Wkażem, że cia g + jest ograiczo z gór w przpadku dowolej liczb rzeczwistej. Dla ujemch tak jest, bo od pewego miejsca dla >, wraz cia gu sa dodatie i miejsze od. Wobec tego w tm przpadku cia g te jest zbież do graic zajduja cej sie w przedziale otwarto domkie tm 0, ] liczba 0 ie jest graica tego cia gu, bo od pewego miejsca ma o wraz dodatie i jest rosa c. Jeśli > > 0, to + = +. Miaowik, +, ma graice skończoa i dodatia a moc tego, co wkazaliśm wcześiej, liczik ma graice a moc lematu o graicach tch pote g cia gów szbko zbieżch do, bo cia g + = ma graice a moc twierdzeia o graic ilorazu cia gów zbieżch. Wkazaliśm wie c, że dla każdej liczb rzeczwistej cia g i dodatia. Defiicja ajważiejszej fukcji wk ladiczej Podstawowe w lasości fukcji ep +. ep + = ep ep dla dowolch liczb rzeczwistch,. = 0. Wobec tego ma graice skończoa e := ep := +. Jeśli <, to ep < ep dla dowolch liczb rzeczwistch,. 3. ep + dla dowolej liczb rzeczwistej. Dowód. Wiem, że dla każdej par liczb rzeczwistch, liczba ep + jest dodatia, moża wie c przez te liczbe dzielić. Mam ep ep ep + = + + + + Ostatia rówość wika z lematu i z tego, że udowodioa. = + + + = + + = 0. Pierwsza w lasość jest W lasość trzecia wika z tego, że dla > zachodzi ierówość >, zatem a moc ierówości Beroulli ego możem apisać + + = +. Skoro pocza wsz od
pewego miejsca wszstkie wraz cia gu sa rówe co ajmiej +, to i graica tego cia gu jest wie ksza lub rówa +. Przekoam sie późiej, że ierówość jest ostra dla każdej liczb 0. Wkażem, że prawdziwa jest w lasość druga. Niech <. Na moc już wkazach w lasości mam wted ep = ep ep ep + > ep. Koiec dowodu. Uwaga o jedozaczości fukcji ep. Z w lasości pierwszej wika, że ep = ep ep = ep 0. Gdb dla jakiejkolwiek liczb a IR b lo epa = 0, to musia lob bć też ep = epa ep a = 0, wie c fukcja ep b lab fukcja sta la, wie c ie przs lugiwa lab jej w lasość druga. Wkażem późiej, że w lasości podstawowe fukcji ep przs luja jedie tej fukcji, imi s low moża zdefiiować fukcje ep jako fukcje określoa a zbiorze wszstkich liczb rzeczwistch spe liaja ca trz w lasości podstawowe. W laśie pokazaliśm, że każda taka fukcja musi bć dodatia! Kilka aste pch w lasości fukcji wk ladiczej 4. Jeśli = +, to ep = +. 5. Jeśli =, to ep = 0. 6. Jeśli =, to ep = ep. 7. Jeśli <, to ep. 8. Dla dowolej liczb rzeczwistej > 0 zachodzi ierówość ep ep. 9. Jeśli <, to 0 < ep ep < ep. 0. + = ep.* Dowód. W lasość czwarta wika od razu z ierówości ep + >. Teraz wwioskujem w lasość pia ta. Mam ep0 = ep0 + 0 = ep0 ep0, wie c poieważ ep0 > 0, to ep0 =. Sta d wika, że = ep0 = ep + = ep ep, zatem dla każdej liczb rzeczwistej zachodzi wzór ep = ep. Jeśli wie c =, to = + i wobec tego ep = ep = drugiej ep + =. Jeśli wie c <, to ep = = 0. Na moc w lasości + ep. Wkazaliśm w lasość siódma. Kolej a w lasość dziesia ta. Za lóżm, że >, czli <. Mam ep = ep + oraz ep = ep + = i wobec tego możem apisać ep + ep, a poieważ a moc lematu o pote gach cia gów * Wkażem te w lasości korzstaja c już tlko z trzech w lasości podstawowch i dodatiości fukcji ep, która wwioskowaliśm z w lasości podstawowch w uwadze o jedozaczości fukcji ep, wie c wkazawsz, że w lasość dziesia ta wika z w lasości podstawowch, wkażem zarazem, że defiiuja oe fukcje wk ladicza o podstawie e 3
szbko zbieżch do mam =, wie c w lasość dziesia ta wika teraz z twierdze- ia o trzech cia gach. Teraz wkażem prawdziwość w lasości ósmej dla > 0. Mam ep = ep = ep = ep ep + ep + + ep + ep ep ep ep ep Korzstaliśm kilkakrotie po drodze z tego, że jeśli u < v, to epu < epv. Nadesz la kolej a w lasość dziewia ta. Niech <. Mam wted 0 < ep ep = ep ep ep ep = ep. Zosta la do dowodu w lasość siódma. Niech = IR. Cia g zbież musi bć ograiczo, wie c istieje liczba M IR, taka że, M dla każdego. Na moc w lasości dziewia tej mam 0 ep ep epma, epm. Pozostaje zasto- sować twierdzeie o trzech cia gach. Otrzmujem ep ep = 0, a to ozacza, że ep = ep. Podaliśm dowod wszstkich wmieioch w lasości. Twierdzeie o istieiu logartmu aturalego Dla każdej dodatiej liczb rzeczwistej istieje dok ladie jeda liczba rzeczwista, dla której mam miejsce rówość = ep. Dowód. Niech E = {t IR: ept }. Wkażem, że zbiór E jest iepust i ograiczo z gór. Mam ep + = + <, zatem E, jeśli t, to zachodza ierówości ept ep + >, zatem t / E, a to ozacza, że liczba jest ograiczeiem górm zbioru E, ie twierdzim, że ajmiejszm! Niech = sup E. Wkażem, że = ep. Jeśli tak ie jest, to zachodzi jeda z dwu możliwości: < ep lub > ep. Za lóżm, że < ep. Za lóżm teraz, że τ < ep. Wted ep τ ep τ ep ep =, a to ozacza, że wbrew za lożeiu ie jest ajmiejszm ograiczeiem górm zbioru E liczba ep < też jest ograiczeiem górm i to zapewe ie ajmiejszm. Wobec tego przjmijm, że > ep. Niech 0 < τ < ep. Prawdziwa wobec tego jest ierówość ep + τ = ep epτ < ep τ < ep =. Wkazaliśm wie c, że ep w tm przpadku liczba ie jest ograiczeiem górm zbioru E i w te sposób wkluczliśm obie ierówości. Wobec tego = ep. Jeśli t <, to ept < ep =, jeśli t >, to ept > ep =. Wobec tego dla t mam ept ep =, co dowodzi, że liczba jest jeda o ża daej w lasości. Twierdzeie zosta lo udowodioe. Defiicja logartmu aturalego Logartmem aturalm liczb dodatiej azwam taka liczbe rzeczwista, że = ep. Piszem = l. 4
W lasościom fukcji wk ladiczej odpowiadaja w lasości logartmu. W lasości logartmu aturalego a. l = l + l dla dowolch liczb rzeczwistch,. b. Jeśli 0 < <, to l < l dla dowolch liczb rzeczwistch,. c. Jeśli <, to l +. + d. Jeśli = + i dla każdego liczba jest dodatia, to l = +. e. Jeśli = 0 i dla każdego liczba jest dodatia, to l =. f. Jeśli = > 0 i dla każdego zachodzi > 0, to l = l. Dowód. W lasość a: epl = a moc defiicji logartmu. ep l + l = epl epl =, co kończ dowód w lasości a. Teraz w lasość b. Jeśli 0 < < i l l, to = epl epl =, co przecz za lożeiu o liczbach i. Z tej w lasości wika, że jeśli 0 < +, to poieważ + ep, wie c l + lep =. Aalogiczie jeśli <, to = lep l = l +. Przjmijm wie c =. Wted = +. Waruek > = + rówoważ jest temu, że 0 < = +, czli temu, że >. Kończ to dowód w lasości c. Jeśli = + i M IR, to d.d.d. zachodzi ierówość > epm, co ozacza, że l > lepm = M. Wobec tego l = +, mam wie c dowód w lasości d. Jeśli teraz = 0 i wszstkie wraz cia gu sa dodatie, to l = l =, bo = +. Do udowodieia pozosta la już tlko w lasość f. Wika oa z w lasości c, twierdzeia o trzech cia gach, tego, że l l = l = l + i tego, że = 0. Możem teraz podać defiicje pote gi o dowolm wk ladiku a i dowolej dodatiej podstawie, miaowicie: a = epa l. Z udowodioch w lasości fukcji wk ladiczej i logartmu aturalego wikaja latwo w lasości pote g o dodatiej podstawie zae ze szkó l średich i podstawowch. Studeci zechca sie zastaowić ad tm, które z ich pozostaja w moc dla pote gi o wk ladiku postaci p q w przpadku p, q Z, prz czm liczba q jest ieparzsta. Przjmujem też, że 0 = 0 dla > 0, ie określam smbolu 0 w przpadku 0. Pote ga o wk ladiku ca lkowitm dodatim określoa jest w przpadku dowolej podstaw stadardowo. Teraz zajmiem sie wk ladikami zespolomi. Be dziem przjmować zawsze, że, IR, z = + i i oczwiście i =. Przpomiam, że z = + = + /. Mam wted z z = z z oraz z + z = z + z. Lemat zespolo o graicach -tch pote g cia gów szbko zbieżch do Jeśli z = 0, to + z =. Dowód. Wkażem, że zachodzi ierówość + z + z korzstaja c z dwumiau Newtoa i ierówości trójka ta. Zachodza wzor: 5
+ z = + z + z + + z + z z + z + + z + z = + z. Poieważ za lożliśm, że z = 0, wie c z = 0 i wobec tego, że zachodzi ierówość + z + z, a to ostatie wrażeie ma graice 0 prz, a moc rzeczwistego lematu o pote gach cia gów szbko zbieżch do, wie c lemat zespolo wika atchmiast z twierdzeia o trzech cia gach. Teraz czeka as dowód istieia graic + z. Musi o sie różić od dowodu w przpadku rzeczwistm, bo o żadej mootoiczości tm razem mówić ie możem, bo to poje cie ie stosuje sie do liczb ierzeczwistch. Zamiast iego wkorzstam twierdzeie Cauch ego, wg. którego cia g liczbow spe liaja c waruek Cauch ego ma graice skończoa. Lemat o zbieżości cia gu + z Cia g + z spe lia waruek Cauch ego, wie c jest zbież. Dowód. Zauważm ajpierw, że jeśli > m k 0, to m.wika to atch- k k!, wobec tego miast z tego, że m k m k = mm...m k+ m k k! = m m k m k k <... k m zaste puja c w tm wzorze m przez > m zwie kszam miaowiki zachowuja c licziki bez zmia, co oczwiście powoduje wzrost możoch u lamków. Mam zatem + z + z m m = = + z + z + + z + z + m z m + m z m + + m z m m m + z m m [ ] + [ m [ m] z + m ] m z + + [ m m ] m m m z m + m + m+ z m+ + + m m+ z + z = + z + z m. Poieważ cia g + z jest zbież liczba z jest rzeczwista!, wie c spe lia o waruek Cauch ego, wobec tego rówież cia g + z spe lia waruek Cauch ego wkazaliśm bowiem, że odleg lości mie dz wrazami tego ostatiego ie przekraczaja odleg lości odpowiedich wrazów cia gu + z. Lemat zosta l dowiedzio. Defiicja fukcji wk ladiczej o wk ladiku zespolom i podstawie e e z := epz := + z. Podstawowe w lasości fukcji zespoloej ep c. Dla dowolch liczb zespoloch z, w zachodzi rówość epz + w = epz epw. c. Dla dowolego cia gu z liczb zespoloch różch od 0 zbieżego do 0 zachodzi rówość epz =. z Dowód. W lasość c wika z lematu zespoloego o graicach tch pote g cia gów szbko zbieżch do w dok ladie taki sam sposób jak w przpadku rzeczwistm. Dla dowodu w lasości 6
c skorzstam z w lasości rzeczwistej fukcji ep i wkazaej w dowodzie lematu o zbieżości cia gu + z ierówości w przpadku > m = zak ladaja c, że z < : + z + z + z + z ep z + z z + z = z z Mam wie c + z z + z z. Sta d przechodza c do graic prz + otrzmujem w przpadku 0 < z < ierówość epz + z wika od razu: epz epz + z = z z z z. Twierdzeie o jedozaczości fukcji zespoloej ep Jeśli fukcja f: C C spe lia waruki c dla dowolch liczb zespoloch z, w zachodzi rówość fz + w = fzfw, z, z której w lasość c z c dla dowolego cia gu z liczb zespoloch różch od 0 zbieżego do 0 zachodzi rówość fz =, z to dla każdej liczb zespoloej z zachodzi rówość fz = epz = + z. Dowód. Niech w = f z z. Z za lożeia wika, że w =. Zachodzi rówież wzór = + z w f z + z w i wobec w lasości c mam fz = f z = + z w. Mam wobec tego, bo w z + z 0. Sta d wika, że + z = + w z + z + z fz = z + z w + w = + z Kilka aste pch w lasości fukcji zespoloej ep c3. epz = epz dla każdej liczb zespoloej z. c4. Jeśli IR, to epi = ep i. c5. Jeśli IR, to epi =. c6. epz = eprez ep z dla każdej liczb zespoloej z. c7. Jeśli IR, to epi Dowód. Mam epz = epz = epz, czli fz = epz. + z = + z = + z = epz. W- kazaliśm c3. Z tej w lasości c4 wika przez podstawieie, a aste pa w lasość wika sta d, że epi = epi epi = epi ep i = epi + i = ep0 =. Naste pa w lasość wika z poprzediej, c i tego, że Rez z. Wkażem c7. Mam epi = epi ep i + ep i + + ep i + epi ep i + ep i + + ep i + = epi = = iepi W ostatim przejściu graiczm skorzstaliśm oczwiście z w lasości c. W te sposób zakończ- 7 i
liśm dowód. Defiicja fukcji sius i kosius si z = i epiz ep iz, cos z = epiz + ep iz dla każdej liczb zespoloej z. Wzór Eulera e iz = epiz = cos z + i si z dla każdego z C. Wzór te jest atchmiastowa kosekwecja defiicji siusa i kosiusa. Z tego, że epi = ep i w lasość c4 wika, że jeśli jest liczba rzeczwista, to cos i si też sa liczbami rzeczwistmi. Podstawowe w lasości fukcji trgoometrczch t. cos z + si z = dla każdej liczb zespoloej z. t. cosz + w = cos z cos w si z si w dla dowolch z, w C. t3. siz + w = si z cos w + cos z si w dla dowolch z, w C. si z t4. = dla każdego cia gu z liczb zespoloch różch od 0 zbieżego do 0. z Pierwsze trz w lasości sprawdzam korzstaja c bezpośredio z defiicji. Sprawdzeie ostatiej przeprowadzim dla przk ladu: = epiz iz + si z z epiz ep iz = = iz ep iz iz = + =. Moża wkazać, że w lasości t t4 defiiuja pare fukcji z lożoa z kosiusa i siusa. Kilka aste pch w lasości siusa i kosiusa t5. cos z = cos z, si z = si z dla każdej liczb zespoloej z. t6. si z ± si w = si z±w cos z w, cos z + cos w = cos z+w cos z w, cos z cos w = si z+w si z w dla dowolch z, w C. t7. si si, cos cos dla dowolch liczb rzeczwistch,. t8. Istieje liczba dodatia ε taka, że jeśli 0 < < ε, to si > 0 oraz cos > 0. t9. Istieje liczba dodatia π taka, że cos π = 0 i jeśli 0 < < π, to si > 0 oraz cos > 0. t0. si π =, a przedziale 0, π fukcja sius jest dodatia, fukcja kosius jest a przedziale [0, π] maleja ca, cos π =, si π = 0, a przedziale [0, π ] fukcja sius jest rosa ca, a przedziale [ π, 3π ] fukcja sius maleje, si 3π =, cos 3π = 0, a przedziale [ 3π, π] fukcja sius rośie, si π = 0, cos π =, a przedziale [π, π] fukcja kosius rośie, t. Dla każdej liczb zespoloej z zachodza rówości cos z + π = cos z oraz siz +π = si z. t. Dla każdej par liczb rzeczwistch, takiej, że + =, istieje dok ladie jeda liczba rzeczwista t [0, π, taka że = cos t i jedocześie = si t. Dowód. W lasość t5 to atchmiastowa kosekwecja defiicji siusa i kosiusa, w lasość t6 moża wwioskować z defiicji obliczeia sa bardzo proste lub z w lasości t i t3 dok ladie tak, jak to czia autorz podre czików szkolch. W lasość t7 wwioskujem z ierówości wkazaej wcześiej: epi dla IR c7. Mam bowiem si si epi epi = epi epi i = epi. 8
Dowód drugiej ierówości jest aalogicz. Wkażem w lasość t8. Zauważm, że istieje IN, > 0, takie że jeśli 0 < < si, to >. Gdb b lo iaczej, to istia lb cia g, taki że 0 < < i jedocześie si si, wbrew temu, że =. Wobec tego jeśli 0 < <, to si > > 0. Jase jest, że cos 0 =. Wobec tego z w lasości 7 wika, że jeśli <, to cos = cos cos 0 <, zatem cos > = 0. Wstarcz wie c przja ć, że ε = dla tak dużego, że z ierówości 0 < < wika ierówość si > 0. Udowodiliśm wie c w lasość ósma. Wkażem teraz, że dla pewej liczb dodatiej p zachodzi rówość cos p = 0. Niech α be dzie liczba dodatia taka, że cos α > 0 i si α > 0. Poieważ cos α + si α =, wie c 0 < cos α < i wobec tego 0 < cos α <. Niech a 0 = cos α i iech a = cos α. Mam wie c a + = cos α = cos α si α = cos α = a. Wobec tego a + a = a a = a a +. Jeśli wraz cia gu a sa dodatie, to cia g te jest ierosa c a 0, wie c ma graice g. Mam wie c g = a = a + = a = g, a sta d wika, że g = lub g =. Pierwsza możliwość jest wkluczoa, bo > a 0 a a..., zatem > a 0 g. Druga też, bo graica cia gu liczb ieujemch musi bć ieujema. Ozacza to, że wbrew uczioemu za lożeiu, w cia gu a musza wsta pić wraz iedodatie. Albo wste puje liczba 0 albo istieje taka liczba aturala, że a < 0. W obu przpadkach zbiór P = {t > 0: cos s > 0 dla 0 s t} jest ograiczo z gór. Niech p ozacza jego kres gór. Oczwiście p, bo dla 0 < t < zachodzi ierówość cos t > 0. Jeżeli cos p > 0, to dla 0 < t p < cos p zachodzi ierówość cos p cos t cos t cos p t p < cos p, zatem 0 < cos t, wobec tego kres gór zbioru P ie może bć miejsz iż p + cos p. Za lóżm teraz, że cos p < 0. Niech 0 < p t < cos p. Mam wie c cos t cos p cos t cos p t p < cos p, zatem cos t < 0. Ozacza to, że w tm przpadku sup P p+cos p < p. Pozostaje trzecia możliwość cos p = 0. Wkazaliśm wie c istieie dodatiej liczb p, dla której cos p = 0 i to takiej, że jeśli 0 < t < p, to cos t > 0. Niech ε ozacza liczbe dodatia, taka że jeśli 0 < t < ε, to cos t > 0 i si t > 0. Jeśli 0 < t < ε, to si t = si t cos t > 0. Jeśli wie c ε p, to dla 0 < α < ε zachodza obie ierówości si α > 0 i cos α > 0. Stosuja c poowie to samo rozumowaie stwierdzam, że a przedziale 0, 4ε fukcja sius przjmuje jedie dodatie wartości, zatem jeśli 4ε p, to rówież a przedziale 0, 4ε obie fukcje sius i kosius sa dodatie i moża zów powtórzć te sam argumet. Imi s low jeśli dla 0 < t < ε mam si t > 0 i cos t > 0, to a przedziale 0, + ε fukcja sius jest dodatia. Poieważ ε =, wie c istieje liczba aturala taka, że ε p < + ε. Ozacza to, że a przedziale 0, p obie fukcje sius i kosius sa dodatie. Wobec tego możem przja ć, że π = p. Mam cos π = cos π si π = 0 =, oczwiście si π = cos π = oraz si π = si π 4 cos π 4 > 0, zatem si π =. Sta d wika, że si π = si π cos π = 0. Dalej cos 3π = cos π + π = cos π cos π si π si π = 0 oraz si 3π = si π + π = si π cos π + cos π si π = i wreszcie cos π = cos π si π = i 9
si π = si π cos π = 0. W te sposób obliczliśm wartości fukcji sius i kosius w puktach 0, π, π, 3π i π. Jeśli 0 < π, to 0 < π i 0 < + π, zatem zachodzi ierówość cos cos = si si + < 0, a to ozacza, że fukcja kosius maleje a przedziale [0, π]. Wobec tego jest oa ujema a przedziale π, π]. Jeśli wie c 0 < π, to si si = si cos + > 0, a zatem fukcja sius jest rosa ca a przedziale [0, π ], π podobie, jeśli < π, to 0 < < π i π < + < π, zatem si si = = si cos + < 0, zatem a przedziale [ π, π] fukcja sius maleje. Zachowaie sie obu fukcji kosius i sius a przedziale [π, π] moża bez trudu zbadać stosuja c oczwiste wzor cos + π = cos cos π si si π = cos oraz si + π = si cos π + cos si π = si. To kończ sprawdzeie prawdziwości w lasości dziesia tej. W lasość jedeasta wika atchmiast z wzorów cos + π = cos oraz si + π = si, które już uzskaliśm. Pozosta la do dowodu ostatia w lasość. Niech + =. Za lóżm ajpierw, że 0. Wted cos π = = cos 0. Niech t = sup{s [0, π]: cos s }. Mam trz możliwości = cos t, < cos t, > cos t. W trzecim przpadku z ierówości cos s cos t s t < t wika, że t ie jest ajmiejszm ograiczeiem górm zbioru {s [0, π]: cos s } ; w drugim z tej samej ierówości wioskujem, że liczba t w ogóle ie jest ograiczeiem górm tego zbioru. Pozostaje pierwsza możliwość, czli = cos t. Poieważ a przedziale [0, π] kosius jest fukcja ściśle maleja ca, wie c w tm przedziale liczba t jest tlko jeda. Oczwiście = si t, bo za lożliśm, że 0 i zachodzi rówość = = cos t = si t. Jeśli < 0, to defiiujem liczbe t tak, że = cos t, 0 < t < π i zaste pujem ja liczba t = t + π. W te sposób udowodiliśm w lasość dwuasta. Mam teraz epπi = cos π + i si π =, zatem e πi + = 0 Otrzmaliśm zatem wzór, w którm wste puja pie ć ajważiejszch liczb w matematce. 0