Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z4, 1 3. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 04 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Punkt przebicia p laszczyzny prost a w aksonometrii Rys. 3A-01: Algorytm znajdowania punktu (punktów) wspólnego (wspólnych) prostej (okrȩgu) z p laszczyzn a. Dane s a: a(b)) p laszczyzna α oraz prosta (okr ag); a1(b1)) prowadzimy p laszczyznȩ β przez prost a (okr ag) Wiele konstrukcji dotycz acych przekrojów, przenikań bry l a wiȩc tworzenia czȩści wspólnych, różnic (także sum) obiektów geometrycznych (zbiorów) odbywa siȩ poprzez wyznaczanie elementów wspólnych prostych (okrȩgów) z p laszczyznami (powierzchniami). Aby wyznaczyć punkty wspólne prostej a (rys. 3A-01a) lub okrȩgu o z p laszczyzn a α postȩpujemy w sposób nastȩpuj acy: (1) przez prost a (okr ag) prowadzimy p laszczyznȩ β (rys. 3A-01a1 (rys. 3A- 01b1)), (2) znajdujemy krawȩdź wspóln a k p laszczyzn α, β (rys. 3A-01a1, 3A-01b1), (3) znajdujemy punkty przeciȩcia prostej (krawȩdzi) k z prost a a (okrȩgiem o). W przypadku prostej Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok
2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, zadania 04 Rys. 3A-01: Algorytm znajdowania punktu (punktów) wspólnego (wspólnych) prostej (okrȩgu) z p laszczyzn a: a2(b2)) znajdujemy krawȩdź k p laszczyzny β z p laszczyzn a α; a3(b3)) znajdujemy punkt wspólny A (punkty wspólne A 1, A 2 ) prostej a (okrȩgu o) z krawȩdzi a k wybór p laszczyzny jest dowolny. Ale wybieramy po lożenie najdogodniejsze. Najczȩściej jest to p laszczyzna rzutuj aca. W przypadku okrȩgu p laszczyzna β jest jednoznacznie określona i w rzutach prostok atnych (Monge a) dogodnym jest po lożenie równoleg le do rzutni, w dimetrii kawalerskiej - po lożenie równoleg le do p lszczyzny Oyz, w izometrii wojskowej - po lożenie równoleg le do p laszczyzny Oxy. Omówimy teraz znajdowanie punktów wspólnych prostej z p laszczyzn a w rzutach prostok atnych i w aksonometrii. 2. Cienie w aksonometrii Zadanie 1 Wykreślić cień rzucony domku i wzajemny komina na dach wed lug określonego wariantu. Aby przyj ać poprawnie za lożenia do rozwi azania niniejszego zadania prześledzimy konstrukcjȩ przedstawion a na rysunkach Z04-02, Z04-03, Z04-04. Algorytm rozpoczyna siȩ odwzorowaniem szkieletu bry ly domku w izometrii wojskowej (rys. Z04-02a1). Na rys. Z04-02a2 przedstawiono elementy dachu uproszczonego domu z dachem dwuspadowym. Za lożenia zadania zawieraj a wiele wariantów. Warianty wybieramy w wyniku jednoznacznego przyporz adkowania numerowi kolejnemu m studenta na liście zgodnie z regu l a: m = l n + k, l-liczba wariantów, k = 0, 1, 2,..., l 1, n = 0, 1, 2,... Tzn. liczbȩ m dzielimy przez l i w wyniku otrzymujemy liczbȩ n i resztȩ k. Liczba k generuje k + 1-szy wariant. Konstrukcja cienia komina na dach bry ly domu jest wielokrotnym powtórzeniem konstrukcji punktu przebicia p laszczyzny prost a (po laci dachowej promieniem świetlnym) w aksonometrii. Konstrukcja każdego punktu wymaga znalezienia przekroju po laci dachowej domu p laszczyzn a przechodz ac a przez promień świetlny, prostopad l a do p laszczyzny Oxy (rys. Z04-06a2). W praktyce wystarczy znaleźć fragment przekroju (rys. Z04-06a2. Konstruujemy promień świetlny jednego z punktów prowadz ac proste przez rzut aksonometryczny i rzut aksonometryczny rzutu prostok atnego. Prowadzimy wiȩc promień przez wierz-
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, zadania 04 3 Rys. Z04-01: Konstrukcja punktu wspólnego prostej l(l a,lxy) a i p laszczyzny czworok ata [ABCD]([A a B a C a D a ], [A a xybxyc a xyd a xy]) a w aksonometrii. P laszczyzna pomocnicza jest tak odwzorowana w aksonometrii, że zawiera proste l a,lxy a. W celu znalezienia krawȩdzi p laszczyzny pomocniczej z p laszczyzn a czworok ata, podobnie jak w przypadku rzutów Monge a (rys. A3-03) znajdujemy najpierw: a1) rzut aksonometryczny rzutu prostok atnego tej krawȩdzi; a2) krawȩdź (1 a 2 a, 1xy2 a xy). a Warto zwrócić a nawet podkreślić, że formalnie konstrukcja w aksonometrii nie różni siȩ od konstrukcji w rzutach Monge a. cho lek komina, tj. dwie proste: rzut aksonometryczny promienia oraz na p laszczyźnie podstawy Oxy rzut aksonometryczny rzutu prostok atnego (rys. Z04-06a1). Znajdujemy fragment przekroju domu p laszczyzn a pionow a przechodz ac a przez poprowadzony promień (rys. Z04-06a2) oraz punkt przebicia po laci dachowej (rys. Z04-06a3). W konstrukcji szczególn a uwagȩ należy zwrócić na konieczność wyznaczenia cienia punktu pośredniego (rys. Z04-07). Cień punktu poŕedniego na odcinku w szkieletowej reprezentacji bry ly wyznaczamy zawsze wtedy, gdy cień odcinka ulega za lamaniu (rys. Z04-07). Cień wierzcho lka i cień punktu pośredniego wyznaczaj a na danej p laszczyźnie prostoliniowy fragment za lamanego cienia odcinka (rys. Z04-08). Oświetlenie równoleg le może być zadane poprzez określenie (wskazanie) punktu i jego cienia. Sposób wyznaczenia kierunku oświetlenia w aksonometrii przy takich danych zosta l przedstawiony na rysunku Z04-11.
4 Rys. Z04-02: Konstruowanie aksonometrii (izometrii wojskowej) bry ly (domku): a1) odmierzamy trzy odcinki na osiach w stosunku 1:1 i rysujemy odpowiednie odcinki równoleg le, także odk ladamy odcinki-wysokości kalenicy domku; a2) rysujemy kalenicȩ i krawȩdzie-wiatrówki bry ly uproszczonej domku (por. rys. Z04-04b), potem rysujemy (przyjmujemy) rzut aksonometryczny rzutu prostok atnego komina; a3) przez dwie krawȩdzie komina prowadzimy rzuty aksonometryczne krawȩdzi p laszczyzn pomocniczych w celu skonstruowania komina i jego linii przenikania z po laciami dachu, jedn a z nich jest p laszczyzna α, przecina p laszczyznȩ po laci w prostej (która jest lat a na po laci dachowej) na której leży krawȩdź przenikania komina z dachem Rys. Z04-03: Konstruowanie aksonometrii (izometrii wojskowej) bry ly (domku): a4) znajdujewmy krawȩdzie p laszczyzny pomocniczej ze ścianami szczytowymi (do konstrukcji wystarczy z jedn), s a to linie równoleg le do osi Oz, wszak oś Oz jest równoleg la do p laszczyzny szczytowej i obu p laszczyzn i pomocniczych; a5) znajdujemy krawȩdzie p laszczyzny pomocniczej z po laciami ( laty na wiȩźbie dachowej), równoleg le do kalenicy; a6) w p laszczyznach pomocniczych zawarte s a krawȩdzie ścian komina, st ad latwo znajdziemy punkty przebicia p laszczyzn po laci krawȩdziami komina, jedn a z nich jest p laszczyzna β, przecina p laszczyznȩ α w prostej na której leży punkt krawȩdzi przenikania komina z dachem
5 Rys. Z04-04: Konstruowanie aksonometrii (izometrii wojskowej) bry ly (domku): a7) znajdujemy punkty przebicia p laszczyzn po laci dachu krawȩdziami komina, by znaleźć punkty wspólne p laszczyzn komina z kalenic a możemy pos lużyć siȩ jeszcze jedn a dodatkow a p laszczyzn a pomocnicz a, przechodz ac a przez kalenicȩ, równoleg l a do osi Oz, znajdujemy odpowiednie krawȩdzie ze ścianami komina i ostatecznie ich punkty wspólne z kalenic a; b) okapy i wiatrówki w rzeczywistym budynku nie pokrywaj a siȩ z krawȩdziami ścian, w przeciwnym wypadku woda sp lywa laby po ścianie Rys. Z04-05: Za lożenia do zadania: a) warianty za lożeń (i,...,vi) konstrukcji cienia przy danym kierunku oświetlenia (X a,xxy a ); b) kierunek oświetlenia określony przez punkt komina i jego cień na po laci (warianty cienia): vii) 1 1, viii) 1 1, ix) 2 2. Punkty 1, 1, 2 leż a na po laci dachowej
6 Rys. Z04-06: Cień komina na dach budynku: a) dana bry la budynku i kierunek oświetlenia K (K a,kxy a ); a1) promień świetlny jednego z punktów (rzut aksonometryczny i rzut aksonometryczny rzutu prostok atnego); a2) przekrój bry ly domku p laszczyzn a przechodz ac a przez promień i prostopad l a do p laszczyzny Oxy, w tym krawȩdź z po laci a dachu; a3) punkt przebicia po laci promieniem (cień pierwszego punktu); a4) rozpoczȩta konstrukcja cienia drugiego punktu (cdn) Rys. Z04-07: Cień komina na dach budynku (cd): a5) cień punktu drugiego; a6 a8) cień punktu pośredniego (cdn)
7 Rys. Z04-08: Cień komina na dach budynku (cd): a9 a10) cienie punktu pierwszego i pośredniego wyznaczaj a odcinek, który przed lużamy do kalenicy otrzymuj ac; a11) punkt za lamania cienia; a12) rozpoczynamy znajdowania cienia czwartego punktu (cdn) Rys. Z04-09: Cień komina na dach budynku (cd): a13 a14) cień punktu czwartego (cdn)
8 Rys. Z04-10: Cień komina na dach budynku (cd): istotne elementy w powiȩkszeniu Rys. Z04-11: Cień komina na dach budynku (cd): znajdowanie kierunku oświetlenia, gdy znany jest cień wybranego punktu.