PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) i zależnych od parametru t przyjmującego wartości z pewnego zbioru T. Oznaczamy: {X(t), t T }. Jeśli T = N, to proces stochastyczny jest zwykłym ciągiem zmiennych losowych: {X(1),..., X(n),...}. Zazwyczaj zbiór T interpretujemy jako czas. Wyróżniamy procesy stochastyczne z czasem dyskretnym (gdy T jest zbiorem skończonym lub nieskończonym, ale przeliczalnym) i procesy stochastyczne z czasem ciągłym (gdy T jest zbiorem nieskończonym i nieprzeliczalnym). Jako proces stochastyczny można rozpatrywać np. ruch cząstki gazu, poziom wody w zbiorniku, wahania skrzydła samolotu itp. Podkreślmy jeszcze raz, że proces stochastyczny jest funkcją dwóch zmiennych: t T, ω Ω. Jeśli t T jest ustalone, to mamy zmienną losową X(t, ) określoną na Ω. Jeśli ω Ω jest ustalone, to mamy zwykłą funkcję X(, ω) określoną na T, która nazywa się realizacją procesu stochastycznego lub trajektorią procesu stochastycznego. 1
Przykłady. 1. Niech ξ i η będą dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi. Określmy proces stochastyczny {X(t), t R} jako X(t, ω) = 0, gdy t < ξ(ω), oraz X(t, ω) = η(ω), gdy t ξ(ω). Czym jest trajektoria tego procesu stochastycznego? Zbiór wszystkich trajektorii? 2. Niech ϕ będzie zmienną losową przyjmująca wartości z przedzialu [0, 2π]. Określmy proces stochastyczny {X(t), t R} jako X(t, ω) = sin(at + ϕ(ω)), gdzie a R jest ustalone. Czym jest trajektoria tego procesu stochastycznego? Zbiór wszystkich trajektorii? Jeśli proces stochastyczny {X(t), t T } jest zadany, to dla ustalonych wartości t 1,..., t n T można policzyć rozkład wektora losowego (X(t 1, ω),..., X(t n, ω)). Taki rozkład nazywa się skończenie wymiarowym rozkładem procesu stochastycznego. Okazuje się (jest to treść tzw. Twierdzenia Kołmogorowa), że podanie wszystkich rozkładów skończenie wymiarowych, zgodnych między sobą, jednoznacznie określa proces stochastyczny. Definicja. Proces stochastyczny {X(t), t T } nazywamy procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych, jeśli dla każdego n N i każdego naboru t 0 < t 1 <... < t n, t i T, zmienne losowe X(t 0 ), X(t 1 ) X(t 0 ),..., X(t n ) X(t n 1 ) są niezależne. 2
Jeśli T = [0, a] lub T = [0, + ), to zazwyczaj t 0 = 0. Zmienna losowa X(0) nazywa się początkową wartością procesu stochastycznego, a jej rozkład - rozkładem początkowym. Dalej dla uproszczenia będziemy zakładać, że X(0) = 0 z prawdopodobieństwem 1. Przykład. Niech X 1,..., X n,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Określmy: T = N, X(n) = X 1 +... + X n. Wówczas {X(t), t T } jest procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych (nazywanym błądzeniem losowym). Dla takich procesów stochastycznych rodzina rozkładów zmiennych losowych X(t) X(s) (przyrostów w przedziale [s, t]), s < t, s T, t T, określa każdy rozkład skończenie wymiarowy procesu, co oznacza, ze jednoznacznie określa proces stochastyczny. Własność braku pamięci. Jeśli {X(t), t [0, + )} jest procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych, to dla każdego n N, każdego naboru 0 t 1 <... < t n i każdego x R zachodzi P (X(t n ) x X(t 1 ) = x 1,..., X(t n 1 ) = x n 1 ) = P (X(t n ) x X(t n 1 ) = x n 1 ). 3
Definicja. Proces stochastyczny o przyrostach niezależnych {X(t), t T } nazywamy procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych i stacjonarnych (jednorodnych), jeśli zmienne losowe X(t) X(s) i X(t + h) X(s + h) mają takie same rozkłady dla wszystkich s, t T, s < t, i h T takich, że s + h, t + h T. Jeśli w przykładzie z poprzedniej strony zmienne losowe X 1,..., X n,... mają takie same rozkłady, to określony proces stochastyczny jest procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych i stacjonarnych. Dla takich procesów rozkład każdego przyrostu określa się tylko długością przedziału. Własność nieskończonej podzielności. Jeśli {X(t), t [0, + )} jest procesem stochastycznym o przyrostach niezależnych i stacjonarnych, to dla każdego n N zmienną losową X(t) przy ustalonym t > 0 można przedstawić w postaci sumy n niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie. Proces Wienera. Ruch Browna. Definicja. Proces stochastyczny o przyrostach niezależnych i stacjonarnych {W (t), t [0, + )} nazywamy procesem Wienera, jeśli W (0) = 0 i każdy przy- 4
rost W (t) W (s), t > s, ma rozkład normalny N (θ(t s), σ 2 (t s)) dla pewnych θ R, σ 2 > 0. Na dodatek zakładamy, że wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe. Proces Wienera nazywamy ruchem Browna, gdy θ = 0, σ 2 = 1. Prawie wszystkie trajektorie ruchu Browna są nigdzie nie różniczkowalne. Dla ruchu Browna zachodzi EW (t) = 0, EW (t)w (s) = min{t, s}. Wektor losowy (W (t 1 ),..., W (t n )), gdzie 0 < t 1 <... < t n, ma gęstość f(x 1,..., x n ) = (2π) n/2 [t 1 (t 2 t 1 )... (t n t n 1 )] 1/2 exp{ 1 n (x k x k 1 ) 2 }. 2 t k t k 1 Proces Poissona. k=1 Definicja. Proces stochastyczny o przyrostach niezależnych i stacjonarnych {Y (t), t [0, + )} o wartościach nieujemnych całkowitych nazywamy procesem Poissona, jeśli Y (0) = 0 i każdy przyrost Y (t) Y (s), t > s, ma rozkład Poissona P(µ(t s)) z pewnym parametrem µ > 0. 5
Wszystkie trajektorie rozkładu Poissona są nieciągłe. Dla procesu Poissona zachodzi EY (t)=µt, E(Y (t) EY (t))(y (s) EY (s))=µ min{t, s}. Rozkład wektora losowego (Y (t 1 ),..., Y (t n )), gdzie 0 < t 1 <... < t n, określa się wzorem P (Y (t 1 ) = j 1, P (Y (t 2 ) = j 2,..., Y (t n ) = j n ) = µ j n t j 1 1 (t 2 t 1 ) j 2 j 1... (t n t n 1 ) j n j n 1. j 1!(j 2 j 1 )!... (j n j n 1 )!e µt n Proces Poissona jest procesem skokowym, prawie wszystkie skoki którego wynoszą 1. Czyli, wartość Y (t) jest liczbą skoków procesu w przedziale [0, t]. Punkty {ξ k }, w których proces Poissona ma skoki, są zmiennymi losowymi, przy czym zmienne losowe ξ 1, ξ 2 ξ 1,..., ξ n ξ n 1,... są niezależne o tym samym rozkładzie wykładniczym E(µ). 6