Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie
|
|
|
- Lidia Filipiak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Roboty Manipulacyjne i Mobilne dr inż. Janusz Jakubiak Katedra Cybernetyki i Robotyki Wydział Elektroniki, Politechnika Wrocławska Wrocław,
2 Dlaczego potrzebna jest fuzja sygnałów? Rodzaje informacji: rozłączne, komplementarne, substytucyjne. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
3 Dlaczego potrzebna jest fuzja sygnałów? Rodzaje informacji: rozłączne, komplementarne, substytucyjne. Problem: czujnik 1 z x _ 1 =a x z 2 czujnik 2 x _ =b x _ =??? J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
4 Dlaczego potrzebna jest fuzja sygnałów? Fuzja sygnałów Przetworzenie sygnałów pochodzących z różnych czujników w taki sposób, że wynikowa informacja jest lepsza od informacji możliwych do uzyskania z każdego z czujników oddzielnie. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
5 Dlaczego potrzebna jest fuzja sygnałów? Fuzja sygnałów Przetworzenie sygnałów pochodzących z różnych czujników w taki sposób, że wynikowa informacja jest lepsza od informacji możliwych do uzyskania z każdego z czujników oddzielnie. Rozróżnia się fuzje bezpośrednią, nazywaną także fuzją sensorów, w której przetwarzane są wyłącznie dane z czujników oraz pośrednią (fuzja informacji), w której wykorzystywane są także informacje z innych źródeł (np. wiedza a priori, informacje od użytkownika). J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
6 Notacja x stan rzeczywisty układu (R n ), x estymata stanu, z obserwacja (R m ), J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
7 Notacja x stan rzeczywisty układu (R n ), x estymata stanu, z obserwacja (R m ), p(a B) prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem B, N (µ, Σ) wielowymiarowy rozkład normalny ze średnią µ i macierzą kowariancji Σ (parametrami: momenty) N (µ, Σ) p(x ) = { 1 (2π) n det Σ exp 1 } 2 (x µ)t Σ 1 (x µ) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
8 Notacja x stan rzeczywisty układu (R n ), x estymata stanu, z obserwacja (R m ), p(a B) prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem B, N (µ, Σ) wielowymiarowy rozkład normalny ze średnią µ i macierzą kowariancji Σ (parametrami: momenty) N (µ, Σ) p(x ) = { 1 (2π) n det Σ exp 1 } 2 (x µ)t Σ 1 (x µ) Twierdzenie Bayesa p(x Z) = p(z X )p(x ) p(z) = ηp(z X )p(x ), gdzie η jest współczynnikiem normalizującym. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
9 Notacja (2) Zmiany momentów dystrybucji gaussowskich przy przekształceniach liniowym (Y = AX + B) p(x ) = N (µ, Σ) p(y ) = N (Aµ + B, AΣA T ) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
10 Notacja (2) Zmiany momentów dystrybucji gaussowskich przy przekształceniach liniowym (Y = AX + B) p(x ) = N (µ, Σ) p(y ) = N (Aµ + B, AΣA T ) sumie (Y = X 1 + X 2 ) p(x 1 ) = N (µ 1, Σ 1 ), p(x 2 ) = N (µ 2, Σ 2 ), p(y ) = N (µ 1 + µ 2, Σ 1 + Σ 2 ) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
11 Notacja (2) Zmiany momentów dystrybucji gaussowskich przy przekształceniach liniowym (Y = AX + B) p(x ) = N (µ, Σ) p(y ) = N (Aµ + B, AΣA T ) sumie (Y = X 1 + X 2 ) p(x 1 ) = N (µ 1, Σ 1 ), p(x 2 ) = N (µ 2, Σ 2 ), iloczyn p(y ) = N (µ 1 + µ 2, Σ 1 + Σ 2 ) p(x 1 )p(x 2 ) = N (µ 1, Σ 1 )N (µ 2, Σ 2 ) N (µ Y, Σ Y ), Σ Y = ( ) Σ Σ µ Y = Σ Y Σ 1 1 µ 1 + Σ Y Σ 1 2 µ 2 J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
12 Niezależne pomiary czujnik 1 z 1 x x _ z 2 czujnik 2 J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
13 Niezależne pomiary p(x z 1 z 2 ) = p(x z 1 )p(x z 2 ) = ηp(z 1 x)p(z 2 x) czujnik 1 z 1 x x _ z 2 czujnik 2 J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
14 Niezależne pomiary przykład Załóżmy, że mamy dwa czujniki A i B, dające niezależne pomiary. Czujnik A ma dokładność ±0.8, czunik B: ±0.5. Rozkłady prawdopodobieństwa są jednorodne w podanym zakresie dokładności. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
15 Niezależne pomiary przykład Załóżmy, że mamy dwa czujniki A i B, dające niezależne pomiary. Czujnik A ma dokładność ±0.8, czunik B: ±0.5. Rozkłady prawdopodobieństwa są jednorodne w podanym zakresie dokładności. Przy pomiarze czujniki zwróciły A:2.0, a B: Jak wyglądają rozkłady prawdopodobieństwa pomiarów z obu czujników? J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
16 Niezależne pomiary przykład Załóżmy, że mamy dwa czujniki A i B, dające niezależne pomiary. Czujnik A ma dokładność ±0.8, czunik B: ±0.5. Rozkłady prawdopodobieństwa są jednorodne w podanym zakresie dokładności. Przy pomiarze czujniki zwróciły A:2.0, a B: Jak wyglądają rozkłady prawdopodobieństwa pomiarów z obu czujników? 2 Jak wygląda rozkład gęstości pomiaru łącznego, jaka jest jego dokładność? J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
17 Niezależne pomiary przykład Załóżmy, że mamy dwa czujniki A i B, dające niezależne pomiary. Czujnik A ma dokładność ±0.8, czunik B: ±0.5. Rozkłady prawdopodobieństwa są jednorodne w podanym zakresie dokładności. Przy pomiarze czujniki zwróciły A:2.0, a B: Jak wyglądają rozkłady prawdopodobieństwa pomiarów z obu czujników? 2 Jak wygląda rozkład gęstości pomiaru łącznego, jaka jest jego dokładność? 3 (*) Jak dokładność zależy od różnicy między odczytami z sensorów A i B? J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
18 Niezależne pomiary c.d. p(x z 1 z 2 ) = p(x z 1 )p(x z 2 ) = ηp(z 1 x)p(z 2 x) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
19 Niezależne pomiary c.d. p(x z 1 z 2 ) = p(x z 1 )p(x z 2 ) = ηp(z 1 x)p(z 2 x) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
20 Procesy Markowa Proces ma własność Markowa, jeśli warunkowe rozkłady przyszłych stanów procesu zależą tylko od stanu bieżącego, a nie od stanów przeszłych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
21 Procesy Markowa Proces ma własność Markowa, jeśli warunkowe rozkłady przyszłych stanów procesu zależą tylko od stanu bieżącego, a nie od stanów przeszłych Własność ta w robotyce mobilnej często nie jest spełniona np. z powodu następujących czynników: model nie uwzględnia dynamiki otoczenia (np. poruszający się ludzie i ich wpływ na pomiary czujników), niedokładności modeli probabilistycznych p(z t x t ), p(x t x t 1, u t ), błędy przybliżonych reprezentacji (np. rozkładu prawdopodobieństwa). Niektóre z nich mogą być uwzględnione w modelu, jednak kosztem jego znacznej komplikacji. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
22 Filtry gaussowskie Wszystkie wykorzystują ideę wielowymiarowej dystrybucji Gaussa, z parametryzacją za pomocą momentów, lub kanoniczną. Zakładają zatem unimodalność, z czego wynika: + dobrze sprawdzają się w zadaniach ze zmienną losową w pobliżu stanu rzeczywistego - działają gorzej lub wcale w zadaniach z wieloma równoprawnymi hipotezami J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
23 Filtr Kalmana (KF) (Swerling 1958, Kalman1960) Stosowany dla układów liniowych, ciągłych. W chwili t szacujemy rozkład prawdopodobieństwa X przez N (µ t, Σ t ). Zakładamy, że spełnione są założenia Markowa oraz: 1 prawdopodobieństwo dla funkcji przejścia jest f.liniową x t = A t x t 1 + B t u t + ɛ t, ɛ t N (0, R t ), 2 prawdopodobieństwo pomiarów f. liniowa 3 prawdopodobieństwo początkowe z t = C t x t + δ t, δ t N (0, Q t ), p(x 0 ) = N (µ 0, Σ 0 ). Wtedy także prawdopodobieństwo a posteriori jest gaussowskie. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
24 Filtr Kalmana algorytm µ t = A t µ t 1 + B t u t Σ t = A t Σ t 1 A T t + R t K t = Σ t C T t (C t Σt C T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t C t µ t ) Σ t = (I K t C t ) Σ t Obliczenia przewidywanego rozkładu nowego stanu po zastosowaniu u t. Wyznaczenie tzw. wzmocnienia Kalmana. Wyznaczenie wypadkowego rozkładu nowego stanu. (jeśli wzmocnienie Kalmana wynosi 0 nowy rozkład wyliczany jest wyłącznie na podstawie wiedzy a priori, jeśli zaś K t = Ct 1 wyłącznie na podstawie pomiarów) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
25 Filtr Kalmana algorytm µ t = A t µ t 1 + B t u t Σ t = A t Σ t 1 A T t + R t K t = Σ t C T t (C t Σt C T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t C t µ t ) Σ t = (I K t C t ) Σ t Obliczenia przewidywanego rozkładu nowego stanu po zastosowaniu u t. Wyznaczenie tzw. wzmocnienia Kalmana. Wyznaczenie wypadkowego rozkładu nowego stanu. (jeśli wzmocnienie Kalmana wynosi 0 nowy rozkład wyliczany jest wyłącznie na podstawie wiedzy a priori, jeśli zaś K t = Ct 1 wyłącznie na podstawie pomiarów) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
26 Filtr Kalmana algorytm µ t = A t µ t 1 + B t u t Σ t = A t Σ t 1 A T t + R t K t = Σ t C T t (C t Σt C T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t C t µ t ) Σ t = (I K t C t ) Σ t Obliczenia przewidywanego rozkładu nowego stanu po zastosowaniu u t. Wyznaczenie tzw. wzmocnienia Kalmana. Wyznaczenie wypadkowego rozkładu nowego stanu. (jeśli wzmocnienie Kalmana wynosi 0 nowy rozkład wyliczany jest wyłącznie na podstawie wiedzy a priori, jeśli zaś K t = Ct 1 wyłącznie na podstawie pomiarów) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
27 Filtr Kalmana algorytm µ t = A t µ t 1 + B t u t Σ t = A t Σ t 1 A T t + R t K t = Σ t C T t (C t Σt C T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t C t µ t ) Σ t = (I K t C t ) Σ t Obliczenia przewidywanego rozkładu nowego stanu po zastosowaniu u t. Wyznaczenie tzw. wzmocnienia Kalmana. Wyznaczenie wypadkowego rozkładu nowego stanu. (jeśli wzmocnienie Kalmana wynosi 0 nowy rozkład wyliczany jest wyłącznie na podstawie wiedzy a priori, jeśli zaś K t = Ct 1 wyłącznie na podstawie pomiarów) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
28 KF przykład Rozpoczynamy od rozkładu w poprzedniej iteracji x t 1. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
29 KF przykład Wyznaczamy przewidywany rozkład x t po przemieszczeniu. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
30 KF przykład Jednocześnie dokonujemy pomiaru z t. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
31 KF przykład Wyliczamy rozkład bieżący z t. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
32 Rozszerzony filtr Kalmana (EKF) EKF Stosowany dla układów nieliniowych postaci x t = g(u t, x t 1 ) + ɛ t z t = h(x t ) + δ t J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
33 EKF algorytm µ t = g(u t, µ t 1 ) Σ t = G t Σ t 1 Gt T + R t K t = Σ t H T t (H t Σt H T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t h t ( µ t )) Σ t = (I K t H t ) Σ t Obliczane jakobiany: G t = g (u t, µ t 1 ), g (u t, x t 1 ) = g(u t, t 1 ) x t 1 H t = h (µ t ) h (x t ) = h(x t) x t J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
34 EKF algorytm µ t = g(u t, µ t 1 ) Σ t = G t Σ t 1 Gt T + R t K t = Σ t H T t (H t Σt H T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t h t ( µ t )) Σ t = (I K t H t ) Σ t Obliczane jakobiany: G t = g (u t, µ t 1 ), g (u t, x t 1 ) = g(u t, t 1 ) x t 1 H t = h (µ t ) h (x t ) = h(x t) x t J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
35 EKF algorytm µ t = g(u t, µ t 1 ) Σ t = G t Σ t 1 Gt T + R t K t = Σ t H T t (H t Σt H T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t h t ( µ t )) Σ t = (I K t H t ) Σ t Obliczane jakobiany: G t = g (u t, µ t 1 ), g (u t, x t 1 ) = g(u t, t 1 ) x t 1 H t = h (µ t ) h (x t ) = h(x t) x t J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
36 EKF algorytm µ t = g(u t, µ t 1 ) Σ t = G t Σ t 1 Gt T + R t K t = Σ t H T t (H t Σt H T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t h t ( µ t )) Σ t = (I K t H t ) Σ t Obliczane jakobiany: G t = g (u t, µ t 1 ), g (u t, x t 1 ) = g(u t, t 1 ) x t 1 H t = h (µ t ) h (x t ) = h(x t) x t J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
37 Podsumowanie EKF Złożoność obliczeniowa jednej iteracji algorytmu O(k n 2 ). Założenie o unimodalności (jednak w wielu praktycznych przypadkach, mimo niespełnienia tego założenia, okazuje się skuteczny). Jakość estymacji zależy od nieliniowości funkcji w pobliżu punktu przybliżenia oraz od niepewności początkowej. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
38 Modyfikacje MHEKF (multi-hypothesis), ADF (assumed density) dopasowanie momentów a posteriori, UKF (unscented) analiza stochastyczna z użyciem tzw. punktów σ, IF/EIF ((extended) information filter) dualny do f. Kalmana, wykorzystujący reprezentację kanoniczną rozkładu, czyli macierz informacji Ω = Σ 1 oraz wektor informacji ξ = Σ 1 µ. (E)IF (E)KF + reprezentacja globalnej niepewności + mniejsza złożoność + lepsza stabilność numeryczna obliczeniowa + w środowiskach wielorobotowych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
39 Modyfikacje MHEKF (multi-hypothesis), ADF (assumed density) dopasowanie momentów a posteriori, UKF (unscented) analiza stochastyczna z użyciem tzw. punktów σ, IF/EIF ((extended) information filter) dualny do f. Kalmana, wykorzystujący reprezentację kanoniczną rozkładu, czyli macierz informacji Ω = Σ 1 oraz wektor informacji ξ = Σ 1 µ. (E)IF (E)KF + reprezentacja globalnej niepewności + mniejsza złożoność + lepsza stabilność numeryczna obliczeniowa + w środowiskach wielorobotowych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
40 Modyfikacje MHEKF (multi-hypothesis), ADF (assumed density) dopasowanie momentów a posteriori, UKF (unscented) analiza stochastyczna z użyciem tzw. punktów σ, IF/EIF ((extended) information filter) dualny do f. Kalmana, wykorzystujący reprezentację kanoniczną rozkładu, czyli macierz informacji Ω = Σ 1 oraz wektor informacji ξ = Σ 1 µ. (E)IF (E)KF + reprezentacja globalnej niepewności + mniejsza złożoność + lepsza stabilność numeryczna obliczeniowa + w środowiskach wielorobotowych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
41 Modyfikacje MHEKF (multi-hypothesis), ADF (assumed density) dopasowanie momentów a posteriori, UKF (unscented) analiza stochastyczna z użyciem tzw. punktów σ, IF/EIF ((extended) information filter) dualny do f. Kalmana, wykorzystujący reprezentację kanoniczną rozkładu, czyli macierz informacji Ω = Σ 1 oraz wektor informacji ξ = Σ 1 µ. (E)IF (E)KF + reprezentacja globalnej niepewności + mniejsza złożoność + lepsza stabilność numeryczna obliczeniowa + w środowiskach wielorobotowych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
42 Modyfikacje MHEKF (multi-hypothesis), ADF (assumed density) dopasowanie momentów a posteriori, UKF (unscented) analiza stochastyczna z użyciem tzw. punktów σ, IF/EIF ((extended) information filter) dualny do f. Kalmana, wykorzystujący reprezentację kanoniczną rozkładu, czyli macierz informacji Ω = Σ 1 oraz wektor informacji ξ = Σ 1 µ. (E)IF (E)KF + reprezentacja globalnej niepewności + mniejsza złożoność + lepsza stabilność numeryczna obliczeniowa + w środowiskach wielorobotowych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17
Algorytmy estymacji stanu (filtry)
Algorytmy estymacji stanu (filtry) Na podstawie: AIMA ch15, Udacity (S. Thrun) Wojciech Jaśkowski Instytut Informatyki, Politechnika Poznańska 21 kwietnia 2014 Problem lokalizacji Obserwowalność? Determinizm?
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji ML Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym
Modele zapisane w przestrzeni stanów
Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 Metody estymacji. Estymator największej wiarygodności Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową y o rozkładzie zero-jedynkowym
Modele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11
Modele DSGE Jerzy Mycielski Maj 2008 Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj 2008 1 / 11 Modele DSGE DSGE - Dynamiczne, stochastyczne modele równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium Model)
Rozpoznawanie obrazów
Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 7 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Rozpoznawanie obrazów
Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 5 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie
Wstęp do Metod Systemowych i Decyzyjnych Opracowanie: Jakub Tomczak
Wstęp do Metod Systemowych i Decyzyjnych Opracowanie: Jakub Tomczak 1 Wprowadzenie. Zmienne losowe Podczas kursu interesować nas będzie wnioskowanie o rozpatrywanym zjawisku. Poprzez wnioskowanie rozumiemy
Rozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Procesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Podstawowe modele probabilistyczne
Wrocław University of Technology Podstawowe modele probabilistyczne Maciej Zięba maciej.zieba@pwr.edu.pl Rozpoznawanie Obrazów, Lato 2018/2019 Pojęcie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo reprezentuje
REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój
1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y
Procesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Stacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła
Stacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła autokorelacji Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl Instytut Podstaw Informatyki PAN autokorelacji p. 1/25 Zarys referatu Co to sa procesy
KADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
SPOTKANIE 6: Klasteryzacja: K-Means, Expectation Maximization
Wrocław University of Technology SPOTKANIE 6: Klasteryzacja: K-Means, Expectation Maximization Jakub M. Tomczak Studenckie Koło Naukowe Estymator jakub.tomczak@pwr.wroc.pl 4.1.213 Klasteryzacja Zmienne
SMOP - wykład. Rozkład normalny zasady przenoszenia błędów. Ewa Pawelec
SMOP - wykład Rozkład normalny zasady przenoszenia błędów Ewa Pawelec 1 iepewność dla rozkładu norm. Zamiast dodawania całych zakresów uwzględniamy prawdopodobieństwo trafienia dwóch wartości: P x 1, x
WYKŁAD 4. Podejmowanie decyzji dla modeli probabilistycznych Modelowanie Gaussowskie. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska
Wrocław University of Technology WYKŁAD 4 Podejmowanie decyzji dla modeli probabilistycznych Modelowanie Gaussowskie autor: Maciej Zięba Politechnika Wrocławska Klasyfikacja Klasyfikacja (ang. Classification):
Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład III
Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład III Naiwny klasyfikator bayesowski jest prostym probabilistycznym klasyfikatorem. Zakłada się wzajemną niezależność zmiennych niezależnych (tu naiwność) Bardziej opisowe
Układy stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium JAVA Zadanie nr 2 Rozpoznawanie liter autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z problemem klasyfikacji
Eksploracja Danych. wykład 4. Sebastian Zając. 10 maja 2017 WMP.SNŚ UKSW. Sebastian Zając (WMP.SNŚ UKSW) Eksploracja Danych 10 maja / 18
Eksploracja Danych wykład 4 Sebastian Zając WMP.SNŚ UKSW 10 maja 2017 Sebastian Zając (WMP.SNŚ UKSW) Eksploracja Danych 10 maja 2017 1 / 18 Klasyfikacja danych Klasyfikacja Najczęściej stosowana (najstarsza)
Obliczenia naukowe Wykład nr 2
Obliczenia naukowe Wykład nr 2 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Wnioskowanie bayesowskie
Wnioskowanie bayesowskie W podejściu klasycznym wnioskowanie statystyczne oparte jest wyłącznie na podstawie pobranej próby losowej. Możemy np. estymować punktowo lub przedziałowo nieznane parametry rozkładów,
Roboty Manipulacyjne i Mobilne Budowanie mapy, lokalizacja, SLAM
Roboty Manipulacyjne i Mobilne Budowanie mapy, lokalizacja, SLAM Janusz Jakubiak Zakład Podstaw Cybernetyki i Robotyki Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska 4.05.2012 Budowanie
Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 14 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Rozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Proces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
SPOTKANIE 3: Regresja: Regresja liniowa
Wrocław University of Technology SPOTKANIE 3: Regresja: Regresja liniowa Adam Gonczarek Studenckie Koło Naukowe Estymator adam.gonczarek@pwr.wroc.pl 22.11.2013 Rozkład normalny Rozkład normalny (ang. normal
Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład III
Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład III Naiwny klasyfikator bayesowski jest prostym probabilistycznym klasyfikatorem. Zakłada się wzajemną niezależność zmiennych niezależnych (tu naiwność) Bardziej opisowe
Filtracja pomiarów z głowic laserowych
dr inż. st. of. Paweł Zalewsi Filtracja pomiarów z głowic laserowych słowa luczowe: filtracja pomiaru odległości, PNDS Założenia filtracji pomiaru odległości. Problem wyznaczenia odległości i parametrów
Klasyfikacja metodą Bayesa
Klasyfikacja metodą Bayesa Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski warunkowe i bezwarunkowe 1. Klasyfikacja Bayesowska jest klasyfikacją statystyczną. Pozwala przewidzieć prawdopodobieństwo
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
1 Klasyfikator bayesowski
Klasyfikator bayesowski Załóżmy, że dane są prawdopodobieństwa przynależności do klasp( ),P( 2 ),...,P( L ) przykładów z pewnego zadania klasyfikacji, jak również gęstości rozkładów prawdopodobieństw wystąpienia
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Klasyfikatory: k-nn oraz naiwny Bayesa. Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład IV
Klasyfikatory: k-nn oraz naiwny Bayesa Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład IV Naiwny klasyfikator Bayesa Naiwny klasyfikator bayesowski jest prostym probabilistycznym klasyfikatorem. Zakłada się wzajemną
Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU
Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów
Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Algorytmy metaheurystyczne Wykład 11. Piotr Syga
Algorytmy metaheurystyczne Wykład 11 Piotr Syga 22.05.2017 Drzewa decyzyjne Idea Cel Na podstawie przesłanek (typowo zbiory rozmyte) oraz zbioru wartości w danych testowych, w oparciu o wybrane miary,
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Wykład 4 Wybór najlepszej procedury. Estymacja parametrów re
Wykład 4 Wybór najlepszej procedury. Estymacja parametrów regresji z wykorzystaniem metody bootstrap. Wrocław, 22.03.2017r Wybór najlepszej procedury - podsumowanie Co nas interesuje przed przeprowadzeniem
2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Rozkład Gaussa i test χ2
Rozkład Gaussa jest scharakteryzowany dwoma parametramiwartością oczekiwaną rozkładu μ oraz dyspersją σ: METODA 2 (dokładna) polega na zmianie zmiennych i na obliczeniu pk jako różnicy całek ze standaryzowanego
WYKŁAD 3. Klasyfikacja: modele probabilistyczne
Wrocław University of Technology WYKŁAD 3 Klasyfikacja: modele probabilistyczne Maciej Zięba Politechnika Wrocławska Klasyfikacja Klasyfikacja (ang. Classification): Dysponujemy obserwacjami z etykietami
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VIII: Przestrzenie statystyczne. Estymatory 1 grudnia 2014 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji r(x, Z) = 0, 986 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej
Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej mgr Anna Sulima Instytut Matematyki UJ 8 maja 2012 mgr Anna Sulima (Instytut Matematyki UJ) Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej 8 maja 2012
Metoda największej wiarogodności
Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm
Zawansowane modele wyborów dyskretnych
Zawansowane modele wyborów dyskretnych Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Zawansowane modele wyborów dyskretnych grudzien 2013 1 / 16 Model efektów
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka tankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i efektów
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ
Geometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa
Geometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa Iwona Żerda Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Jagielloński 6 grudnia 2013 6 grudnia 2013 1 / 19 Plan prezentacji 1 Algorytm Gibbsa 2 Tempo zbieżności
1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie
Wykaz tabel Wykaz rysunków Przedmowa 1. Wprowadzenie 1.1. Wprowadzenie do eksploracji danych 1.2. Natura zbiorów danych 1.3. Rodzaje struktur: modele i wzorce 1.4. Zadania eksploracji danych 1.5. Komponenty
LABORATORIUM PODSTAW TELEKOMUNIKACJI
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego w Warszawie Wydział Elektroniki LABORATORIUM PODSTAW TELEKOMUNIKACJI Grupa Podgrupa Data wykonania ćwiczenia Ćwiczenie prowadził... Skład podgrupy:
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura
WYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności
Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Obliczanie niepewności rozszerzonej metodą analityczną opartą na splocie rozkładów wielkości wejściowych
Obliczanie niepewności rozszerzonej metodą analityczną opartą na splocie rozkładów wejściowych Paweł Fotowicz * Przedstawiono ścisłą metodę obliczania niepewności rozszerzonej, polegającą na wyznaczeniu
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 9 27.04.2018 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 2017/2018 Metoda największej wiarygodności ierównosć informacyjna
2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Testowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
WYKŁAD 2. Problem regresji - modele liniowe
Wrocław University of Technology WYKŁAD 2 Problem regresji - modele liniowe Maciej Zięba Politechnika Wrocławska Regresja Regresja (ang. Regression): Dysponujemy obserwacjami z odpowiadającymi im wartościami
ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd.
# # Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd. Michał Daszykowski, Ivana Stanimirova Instytut Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach Ul. Szkolna 9 40-006 Katowice E-mail: www: mdaszyk@us.edu.pl istanimi@us.edu.pl
Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:
Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Ćw. 2: Analiza błędów i niepewności pomiarowych
Wydział: EAIiE Kierunek: Imię i nazwisko (e mail): Rok:. (200/20) Grupa: Zespół: Data wykonania: Zaliczenie: Podpis prowadzącego: Uwagi: LABORATORIUM METROLOGII Ćw. 2: Analiza błędów i niepewności pomiarowych
Algorytmy, które estymują wprost rozkłady czy też mapowania z nazywamy algorytmami dyskryminacyjnymi.
Spis treści 1 Wstęp: generatywne algorytmy uczące 2 Gaussowska analiza dyskryminacyjna 2.1 Gaussowska analiza dyskryminacyjna a regresja logistyczna 3 Naiwny Klasyfikator Bayesa 3.1 Wygładzanie Laplace'a
Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński
Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa
Filtr Kalmana. Zaawansowane Techniki Sterowania. Wydział Mechatroniki Politechniki Warszawskiej. Anna Sztyber
Filtr Kalmana Zaawansowane Techniki Sterowania Wydział Mechatroniki Politechniki Warszawskiej Anna Sztyber ZTS (IAiR PW) Filtr Kalmana Anna Sztyber 1 / 32 Plan wykładu 1 Sformułowanie problemu 2 Niestacjonarny
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R
Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R Metody numeryczne i symulacje stochastyczne Mateusz Topolewski woland@mat.umk.pl Wydział Matematyki i Informatyki UMK Plan działania 1 Całkowanie
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Cyfrowe przetwarzanie sygnałów pomiarowych_e2s
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
+ r arcsin. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka π r x
Prawdopodobieństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźnie i wypełnia wnętrze kwadratu [0 x 1; 0 y 1]. Znajdź p-stwo, że dowolny
ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Sterowanie napędów maszyn i robotów
Wykład 5 - Identyfikacja Instytut Automatyki i Robotyki (IAiR), Politechnika Warszawska Warszawa, 2015 Koncepcje estymacji modelu Standardowe drogi poszukiwania modeli parametrycznych M1: Analityczne określenie