KRTOWNIE efinicja: konstrukcja prętowa, składająca się z prętów prostych połączonych ze sobą przegubami słupki pas górny krzyżulce pas dolny Założenia: pręty są połączone w węzłach przegubami idealnymi (brak tarcia) rzykładowa konstrukcja węzła pasa dolnego blacha blachownica osie prętów przecinają się w węźle w jednym punkcie obciążenie zewnętrzne przyłożone jest tylko w węzłach kratownicy poprzecznice podłużnice dźwigary mostowe krokwie płatwie
KRTOWNIE odstawowe informacje nt. geometrycznej niezmienności ciał płaskich stopień swobody - niezależny parametr określający położenie ciała na płaszczyźnie pojedyncza tarcza - stopnie swobody: dwa przemieszczenia i jeden obrót. "T" niezależnych tarcz ma razem T stopni swobody dwie tarcze SS SS 6 st. swobody SS ' 5 st. swobody φ ołączenie prętem SS (obrót wokół - kąt φ, przemieszczenie po okręgu o promieniu - wsp. łukowa ' ) SS 4 st. swobody SS (obrót wokół ) ołączenie prętami ołączenie prętami SS 4 st. swobody SS SS st. swobody SS SS SS ołączenie 4 prętami st. swobody Wniosek : dodatkowy pręt łączący dwie tarcze nie zawsze musi odbierać jeden stopień swobody. Zawsze prawdziwy jest natomiast warunek, mówiący, że: jeżeli tarcze połączone są tak, że tworzą układ o stopniach swobody (geometrycznie niezmienny), to prawdziwy jest związek p p - liczba prętów W przypadku połączonych T tarcz tworzących układ o stopniach swobody T p Stopień geometrycznej niezmienności V V = T p
KRTOWNIE Warunek konieczny (ale nie wystarczający) geometrycznej niezmienności układu V = < > układ sztywny UKł GEOM. NIEZMIENNY układ przesztywniony układ geometrycznie zmienny środek chwilowego obrotu V = - - = V = - - = Twierdzenia o geometrycznie niezmiennym połączeniu i tarcz warunkiem koniecznym i wystarczającym połączenia tarcz w sposób geometrycznie niezmienny jest połączenie ich co najmniej trzema prętami (V ), które nie są równoległe, ani ich kierunki nie przecinają się w jednym punkcie (środek chwilowego obrotu) warunkiem koniecznym i wystarczającym połączenia tarcz w sposób geometrycznie niezmienny jest połączenie każdych dwóch co najmniej dwoma prętami (V ) w taki sposób, aby pręty te nie były równoległe, ani też punkty przecięcia się kierunków prętów łączących każde dwie tarcze nie leżały na jednej prostej, oraz aby nie schodziły się w jednym punkcie. Kratownice W kratownicach - tarcze (każdy pręt kratownicy stanowi jedną tarczę) połączone są przegubami, co odpowiada połączeniu prętami w - liczba węzłów (punktów, w których schodzą się co najmniej tarcze, tzn. pręty kratownicy T - liczba tarcz (prętów kratownicy) b - liczba biegunów prostych V = T p V = T b T = b = w = T = b = w = T = b = 5 w = b = T - w V = w T
KRTOWNIE 4 w = 4 T = 4 V = 4-4 - = ukł. geometrycznie zmienny w = T = ukł. geometrycznie niezmienny V = - - = + tw. o geom. niezmienności tarcz G ukł. geometrycznie niezmienny w = 6 T = 9 V = 6-9 - = + tw. o geom. niezmienności tarcz wewnętrzna geometryczna niezmienność kratownicy - niezmienność kratownicy bez uwzględniania sposobu jej połączenia z podłożem zewnętrzna geometryczna niezmienność kratownicy - geometryczna niezmienność połączenia kratownicy z podłożem Zredukowany układ sił wewnętrznych w przekroju poprzecznym pręta kratownicy L E x M Q N na długości pręta E q (x) = d M = M( x) = ax+ b dx M ( ) M( L ) = b = = a = M, Q WNIOSEK: układ sił wewnętrznych redukuje się w przekroju poprzecznym każdego pręta kratownicy do siły podłużnej N.
KRTOWNIE 5 Twierdzenia o prętach zerowych efinicja : pręt zerowy to pręt, w którym siła N= Twierdzenie : jeżeli kratownica obciążona dowolnym układem sił zewnętrznych pozostaje w równowadze, to w równowadze pozostaje również każdy węzeł obciążony siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi występującymi w przekrojach prętów schodzących się w tym węźle. twierdzenie Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się pręty i węzeł jest nieobciążony, to siły wewnętrzne w obu prętach są równe zeru y N N x X = N cos + N = Y = N sin = N, N = twierdzenie Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się pręty i węzeł jest obciążony siłą leżącą na kierunku jednego z nich, to siła wewnętrzne w drugim pręcie jest równa zeru y N N x Y = N sin = N = twierdzenie Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się pręty, z których dwa leżą na tej samej prostej i węzeł jest nieobciążony, to siła w trzecim pręcie jest równa zeru N N x N ilustracja zastosowania twierdzeń o prętach zerowych X = N sin = N = T T T T T
KRTOWNIE 6 Metody rozwiązywania kratownic metoda równoważenia prętów G E w = 7 T = r = ilość niewiadomych : T + r ilość równań : w V = 7 - -. Węzeł. Węzeł G. Węzeł N - N - N G- N G- N G- N -G N - N -G N - rów. równowagi węzła Y = N sin = X = N cos + N = G itd. wady metody:. kolejność rozwiązywania jest zdeterminowana układem prętów,. duża liczba "rachunków". kratownica bez węzła o prętach nie może być "ręcznie" rozwiązana w = T = 7 r = V = - 7 - metoda Rittera - przekrój kraty przez pręty nie schodzące się w jednym węźle h 4 a a β E N N N M = N h+ h = N =... M = N h+ a = N =... X = lub Y = ; Y = + N cos β = N =... metoda remony (graficzny odpowiednik metody równoważenia węzłów)