Katedra/Zakªad: Analizy Matematycznej i Numerycznej Kierunek studiów: Matematyka Specjalno± : Matematyka nansowa Rodzaj studiów: stacjonarne Imi i nazwisko: Alicja Czerwi«ska Numer albumu: 120132 Projekt dyplomowy in»ynierski Temat pracy: Opcje ameryka«skie Zakres pracy: W pracy przedstawiono ogólne poj cia dotycz ce opcji ameryka«skich, opisano i wyprowadzono niektóre zale»no±ci pomi dzy cen akcji, a cen opcji oraz wyliczono ceny opcji ze wzoru Blacka-Scholesa i za pomoc mocnego prawa wielkich liczb. Zostaª równie» wygenerowany proces Wienera oraz geometryczny ruch Browna w R. Potwierdzenie przyj cia pracy: Opiekun pracy, Kierownik Katedry/Zakªadu... dr hab. Karol Dziedziul Gda«sk, 04.01.2012r.
Spis tre±ci 1 Wst p 3 2 Wprowadzenie do opcji 4 3 Podstawowe poj cia analizy stochastycznej 7 3.1 Filtracja, proces stochastyczny, martyngaª................ 7 3.2 Moment stopu................................ 9 3.3 Formuªa Itô................................. 12 4 Model Blacka - Scholesa 14 4.1 Proces Wienera............................... 14 4.2 Geometryczny ruch Browna........................ 15 4.3 Zamiana miary............................... 19 5 Ameryka«ska opcja sprzeda»y o nieograniczonym czasie trwania 21 5.1 Ogólne.................................... 21 5.2 Cena opcji.................................. 22 5.3 Optymalny moment stopu......................... 27 5.4 Analityczny opis ceny opcji sprzeda»y................... 29 5.5 Probabilistyczny opis ceny opcji sprzeda»y................ 31 6 Ameryka«ska opcja sprzeda»y o sko«czonym czasie trwania 34 6.1 Analityczna charakteryzacja ceny opcji sprzeda»y............ 34 7 Ameryka«ska opcja kupna 37 7.1 Wzór Blacka - Scholesa........................... 38 7.2 Probabilistyczny opis ceny opcji kupna.................. 39 8 Podsumowanie 41 9 Kody w R 42 9.1 Dwuwymiarowy proces Wienera...................... 42 1
9.2 Proces Wienera w zale»no±ci od czasu................... 43 9.3 Zastopowany proces Wienera....................... 43 9.4 Geometryczny ruch Browna........................ 44 9.5 Histogram i test Shapiro - Wilka...................... 45 9.6 Histogram dla zlogarytmowanych warto±ci................ 47 9.7 Wzór Blacka-Scholesa............................ 48 9.8 Porównanie cen opcji............................ 49 2
Rozdziaª 1 Wst p Wedªug sªownika wyrazów obcych Kopali«skiego, opcj nazywamy prawo do powzi cia decyzji lub dokonania wyboru w okre±lonym terminie. W ekonomii opcja jest jednym z wa»niejszych instrumentów nansowych i gwarantuje ona prawo do kupna lub sprzeda»y okre±lonego instrumentu bazowego (akcji, waluty, obligacji). Za prawo to trzeba oczywi±cie zapªaci i wªa±nie cena za opcj jest jednym z aspektów rozpatrywanych w tej pracy. Praca ta skupia si na szczególnym typie opcji, na ameryka«skiej opcji na akcje. Przymiotnik ameryka«ski oznacza w tym przypadku,»e dana opcja (kupna lub sprzeda»y) mo»e by wykonana w ka»dym momencie a» do jej wyga±ni cia, co nie jest mo»liwe w przypadku opcji typu europejskiego. W Stanach Zjednoczonych opcje na akcje byªy dost pne ju» przed otwarciem gieªdy kontraktów opcyjnych (Chicago Board Options Exchange). Premia, czyli cena za opcj, byªa wpierw negocjowana indywidualnie. Nie gwarantowaªo to jednak pªynno±ci rynku. Dzisiaj ceny opcji ksztaªtuj si na zasadzie prawa popytu i poda»y. Na polskim rynku nie ma mo»liwo±ci kupna opcji typu ameryka«skiego. Celem pracy jest pokazanie oraz wyprowadzenie niektórych zale»no±ci, które zachodz pomi dzy cen akcji, a cen opcji w modelu Blacka-Scholesa. Jest to model opisuj cy zachowanie si cen instrumentów nansowych w czasie. Proces cenowy jest procesem stochastycznym, którego nazwa to geometryczny ruch Browna. Wygenerowanie tego procesu oraz samego ruchu Browna, czyli procesu Wienera jest wa»nym zadaniem w tej pracy in»ynierskiej. Zostaª u»yty do tego j zyk programowania R. Jest to darmowe ±rodowisko, w którym mo»liwe s obliczenia statystyczne, przeprowadzanie testów statystycznych oraz wizualizacja wyników. Poszczególne kody zostaªy zamieszczone na ko«cu pracy. 3
Rozdziaª 2 Wprowadzenie do opcji Denicja 2.0.1. Opcj nazywamy instrument nansowy, daj cy kupcy prawo, ale nie obowi zek do zakupu lub sprzeda»y okre±lonego instrumentu bazowego (underlying asset), w tym przypadku akcji, po ustalonej cenie wykonania opcji K (strike price) i w ustalonym terminie wyga±ni cia opcji T (expiry date). Opcj kupna nazywamy opcj Call, natomiast opcj sprzeda»y nazywamy opcj Put. Opcje mo»na podzieli na europejskie i ameryka«skie. Podziaª ten nie jest jednak zwi zany z poªo»eniem geogracznym. Gdy wykonanie opcji jest mo»liwe tylko w momencie wyga±ni cia T, to opcj t nazywamy opcj europejsk. Gdy wykonanie jest mo»liwe w dowolnym momencie do czasu wyga±ni cia, to mamy do czynienia z opcj ameryka«sk. Mówi si,»e osoba kupuj ca opcj zajmuje pozycj dªug (long position), natomiast sprzedaj cy opcj znajduje si w pozycji krótkiej (short position). W zwi zku z tym wyró»niamy cztery ró»ne pozycje: short put - sprzedaj cy opcj sprzeda»y long put - kupuj cy opcj sprzeda»y short call - sprzedaj cy opcj kupna long call - kupuj cy opcj kupna. Wypªata, czyli pay-o opcji wynosi odpowiednio: (S T K) + = max{s T K, 0} = max{s T, K} K dla opcji kupna (call option), (K S T ) + = max{k S T, 0} = max{k, S T } S T dla opcji sprzeda»y (put option). 4
S T oznacza tutaj cen akcji w czasie T. wypłata K S wypªata posiadacza opcji kupna wypłata K S wypªata posiadacza opcji sprzeda»y Rysunek 2.1: Pay-o opcji call i put Niech t T. Mówimy,»e opcja kupna jest: nie w cenie (out of the money), gdy S(t) < K, po cenie (at the money), gdy S(t) = K, w cenie (in the money), gdy S(t) > K. W takim razie dla opcji sprzeda»y mówimy,»e jest ona: nie w cenie, gdy S(t) > K, po cenie, gdy S(t) = K, 5
w cenie, gdy S(t) < K. Z de nicji opcji wynika,»e jest ona prawem, za które si pªaci. Oznacza to,»e osoba nabywaj ca dan opcj pªaci za ni jej wystawcy. Zapªata ta nazywana jest premi. Dochód posiadacza opcji musi wi c by ni»szy ni» wypªata, natomiast dochód sprzedaj cego opcj musi by wy»szy od wypªaty. Wypªata pªacona jest w dniu wykonania opcji, natomiast za sam opcj pªaci si w momencie jej zawarcia. Mo»na jednak powiedzie,»e ró»nica mi dzy wypªat, a dochodem jest cen opcji. Oznaczaj c przez C cen za opcj mo»na zilustrowa dochody dªugiej i krótkiej pozycji obu opcji. dochód dochód C K+C K K+C S K S C Dochód posiadacza opcji kupna Dochód wystawcy opcji kupna dochód dochód C K K-C K-C S K -C Dochód posiadacza opcji sprzeda»y Dochód wystawcy opcji sprzeda»y Rysunek 2.2: Dochody poszczególnych opcji 6 S
Rozdziaª 3 Podstawowe poj cia analizy stochastycznej 3.1 Filtracja, proces stochastyczny, martyngaª Niech trójka (Ω, F, P) oznacza przestrze«probabilistyczn, przy czym: Ω - zbiór zdarze«elementarnych F - σ-ciaªo zdarze«, czyli σ - ciaªo podzbiorów Ω P - miara probabilistyczna. Niech X : Ω R b dzie zmienn losow, wtedy jej rozkªad oznaczamy przez: P(X B). Denicja 3.1.1. Filtracj nazywamy niemalej c rodzin σ - ciaª F = (F t ) t T, tzn. F s F t F dla s < t, s, t T. Ponadto dla czasu ci gªego wszystkie ltracje speªniaj tak zwane warunki zwykªe: F 0 = {, Ω}. Dodatkowo F 0, jak równie» F t zawieraj zdarzenia o prawdopodobie«- stwie równym 0, F jest prawostronnie ci gªa: t F t = F t+, gdzie F t+ = t<s F s, 7
F jest zupeªna: ka»de σ - ciaªo F t jest zupeªne. Denicja 3.1.2. Rodzin zmiennych losowych {X t (ω), t T, ω Ω}, zale»nych od parametru t i okre±lonych na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy procesem stochastycznym (X t ) t T. Proces jest adaptowany do ltracji F = (F t ) t T t T zmienna losowa X t jest F t - mierzalna. lub F - adaptowalny dla ka»dego Denicja 3.1.3. Proces stochastyczny {X t (ω), t T, ω Ω} nazywa si procesem nieantycypuj cym je»eli jest on adaptowany do ltracji (F t ) t T oraz jest mierzalny. Denicja 3.1.4. Je±li zaszªo ustalone zdarzenie elementarne ω, to funkcja t X t (ω) nazywa si trajektori procesu i opisuje zale»no± obserwacji od czasu. Gdy rozwa»amy czas ci gªy, to proces ma ci gªe trajektorie. Denicja 3.1.5. Warunkow warto±ci oczekiwan caªkowalnej zmiennej losowej X pod warunkiem ltracji F nazywamy zmienn losow E(X F), speªniaj c warunki: 1. E(X F) jest F - mierzalna 2. Dla ka»dego A F A XdP = A E(X F)dP. Denicja 3.1.6. Ci g (X n ) n N caªkowalnych zmiennych losowych o warto±ciach rzeczywistych, adaptowany do F t nazywa si : martyngaªem wzgl dem F, gdy dla s, t T, s t: E(X t F s ) = X s prawie na pewno, nadmartyngaªem wzgl dem F, gdy dla s, t T, s t: E(X t F s ) X s, podmartyngaªem wzgl dem F, je±li ( X t, F t ) t T jest nadmartyngaªem. 8
3.2 Moment stopu Wiedz c czym jest ltracja, mo»liwy jest do zdeniowania moment stopu: Denicja 3.2.1. Momentem stopu (czasem stopu, czasem zatrzymania) τ nazywamy uogólnion zmienn losow, która przyjmuje warto±ci w przedziale [0, ] i dla której zachodzi {τ t} F(t) t 0. Denicja 3.2.2. Niech X b dzie procesem adaptowanym do ltracji F t oraz X ma ci gªe trajektorie. Deniujemy zmienn losow τ m = inf{t 0; X(t) = m}, okre±laj c moment, w którym proces X osi ga pierwszy raz poziom m. Dodatkowo inf{ } =. Twierdzenie 3.2.3. Zaªó»my,»e X jest procesem adaptowanym do ltracji F t. Wtedy uogólniona zmienna losowa τ m : Ω [0, ], taka»e τ m = inf{t 0; X(t) = m} dla m R jest momentem stopu. Twierdzenie 3.2.4. Zatrzymuj c ci g X = (X t ) w czasie stopu τ otrzymujemy: X τ := (X τ t ) = (X t τ ). Zastopowany ci g posiada nast puj ce wªasno±ci: je»eli (X t ) jest adaptowany do ltracji, a τ jest momentem stopu, to tak»e zastopowany ci g (X t τ ) jest adaptowany do ltracji je»eli (X t ) jest (nad-)martyngaªem i τ momentem stopu, to zastopowany ci g (X t τ ) te» jest (nad-)martngaªem. Ostatnia wªasno± nazywa si twierdzeniem opcjonalnego zatrzymania (Optional Stopping Theorem). Poni»sza ilustracja przedstawia przykªad zastopowanego procesu. Proces ten jest przedstawionym w nast pnym rozdziale procesem Wienera. Zakªadamy,»e stopujemy, gdy proces osi gnie poziom 1. Jak wida dla przedziaªu czasowego [0,1] i trzech niezale»nych 9
Rysunek 3.1: Zastopowany proces Wienera, kod: 9.3 trajektorii procesu, osi gn ª on raz poziom 1. Aby obliczy prawdopodobie«stwo dotarcia procesu Wienera do ustalonego poziomu m, nale»y zastosowa prawo odbicia dla tego procesu. Brzmi ono nast puj co: Twierdzenie 3.2.5. Niech M t := sup s<t W s. Dla m 0, x m zachodzi: P(W t x, M t m) = P(W t 2m x) Niech τ m b dzie takim czasem stopu,»e τ m = inf{t 0; W t = m} = inf{t 0; W t m}. Jest to moment, w którym proces osi ga po raz pierwszy poziom m, czyli W τm = m. Oznacza to,»e W s, gdzie s < t osi ga poziom m, je»eli τ m t, a wi c szukane prawdopodobie«stwo P(M t m) jest równe P(τ m t). Przeksztaªcaj c prawo odbicia, mo»na zapisa,»e P(W t m x, M t m) = P(W t m + x). Dla x = 0 równanie to przyjmuje posta P(W t m, M t m) = P(W t m). Poniewa» M t zdeniowane jest jako supremum po wszystkich W s dla s < t, to P(W t > m, M t m) = P(W t > m) = P(W t m). Sumuj c oba prawdopodobie«stwa otrzymujemy,»e dla ustalonego m P(M t m) = P(W t m, M t m) + P(W t > m, M t m) = 2P(W t m) = P(τ m t). 10
Przeksztaªcaj c powy»sze równanie otrzymujemy dystrybuant zmiennej losowej τ m dla t > 0 F τm (t) = P(τ m t) = 2P(W t m) (3.1) = 2(1 P(W t m)) = 2 2P(W t m) = 2 2 m 1 e x2 2t dx. 2πt Ponadto wiadomo,»e je»eli zmienna losowa X ma rozkªad normalny z warto±ci oczekiwan równ µ oraz wariancj równ σ 2, to zmienna losowa Y = X µ σ rozkªad normalny N (0, 1). Wynika z tego,»e Podstawiaj c do 3.1 otrzymujemy P(W t m) = P( W t 0 t m 0 t ) = Φ( m t ). F τm (t) = 2 2Φ( m t ) ma standardowy Wynika z tego, ze prawdopodobie«stwo dotarcia do bariery m wynosi P(M t m) = P(τ m t) = 2 2Φ( m t ) t 2 2Φ(0) = 2 2 1 2 = 1. Wiadomo wi c,»e proces pr dzej, czy pó¹niej dotrze do bariery m, nie wiadomo jednak kiedy. Nale»y wi c policzy warto± oczekiwan zmiennej losowej τ m. Potrzebna jest w tym celu funkcja g sto±ci rozkªadu zmiennej losowej τ m, która jest pochodn dystrybuanty po t i wynosi f τm (t) = m f( m ), t 3 2 t gdzie f jest funkcj g sto±ci standardowego rozkªadu normalnego. Dla t > 0 prawdziwe jest,»e f( m t ) t f(0) = 1 2π. Mo»liwe jest teraz policzenie warto±ci oczekiwanej zmiennej losowej τ m. E(τ m ) = t m f( m )dt t 3 2 t = 0 m 1 dt 2π t 0 m 2π 2 t 0. Interpretacja jest taka,»e czas dotarcia do bariery jest bardzo dªugi. 11
3.3 Formuªa Itô Kiyoshi Itô (1915-2008) - japo«ski matematyk, którego praca zostaªa nazwana jego nazwiskiem: rachunek Itô, caªka Itô, formuªa Itô. Zajmowaª si opisywaniem i zrozumieniem zdarze«losowych. Jego teoria jest stosowana w wielu dziedzinach matematyki, w du»ej cz ±ci w matematyce nansowej. Niech W = (W t ) t 0 jest procesem Wienera z denicji 4.1.1. Denicja 3.3.1. Mówimy,»e X jest procesem Itô, je±li X ma ci gªe trajektorie i istniej procesy nieantycypuj ce a, b takie,»e prawie na pewno dla ka»dego t T zachodzi równo± t t X t = X 0 + a s ds + b s dw s (3.2) 0 0 oraz dla procesów a, b obie caªki istniej, czyli T P( T a s ds < ) = 1, P( b 2 sds < ) = 1. 0 0 Równo± (3.3.1) zapisujemy w skrócie dx t = a t dt + b t dw t (3.3) i mówimy,»e X ma ró»niczk stochastyczn (3.3). Lemat 3.3.2. Niech X t jest procesem Itô takim,»e t t X t = a s ds + b s dw s. (3.4) 0 0 Wtedy dla dowolnej funkcji F takiej,»e F C 1,2 (R + R) zachodzi formuªa Itô F (t, X t ) = F (0, X 0 ) + + t prawie na pewno dla wszystkich t. 0 t 0 F x (s, X s)a s ds + 1 2 F t s (s, X s)ds + t 0 0 F x (s, X s)b s dw s (3.5) 2 F x 2 (s, X s)b 2 sds 12
Powy»szy lemat nazywa si lematem Itô. ró»niczkowej Wzór Itô mo»na przedstawi w postaci df (t, X t ) = F t (t, X t)dt + F x (t, X t)b t dw t + F x (t, X t)a t dt + 1 2 F 2 x (t, X t)b 2 2 t dt. (3.6) W przypadku, gdy funkcja F nie zale»y od czasu, wzór (3.6) przyjmuje jeszcze prostsz posta df (X t ) = F x (X t)b t dw t + F = F x (X t)dx t + 1 2 2 F x 2 (X t)b 2 t dt (3.7) x (X t)a t dt + 1 2 2 F x (X t)b 2 2 t dt. (3.8) 13
Rozdziaª 4 Model Blacka - Scholesa 4.1 Proces Wienera Denicja 4.1.1. Proces stochastyczny W = (W t ) t 0 okre±lony na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) nazywa si standardowym, jednowymiarowym ruchem Browna lub procesem Wienera, gdy: W 0 = 0 P -(p.n.), W posiada niezale»ne wzgl dem ltracji przyrosty, tzn: s<t u 0 W t+u W t jest niezale»ne od W s, W posiada przyrosty o rozkªadzie normalnym, tzn: t,u 0 W t+u W t N (0, u). Uwaga: W t W s N (0, t s) oraz W t = W t W 0 N (0, t). Poni»sze rysunki przedstawiaj dwuwymiarowy proces Wienera (W 1t, W 2t ) oraz trzy niezale»ne trajektorie procesu Wienera. 14
Rysunek 4.1: Dwuwymiarowy proces Wienera, kod: 9.1 Rysunek 4.2: Realizacja procesu Wienera, kod: 9.2 4.2 Geometryczny ruch Browna Denicja 4.2.1. Równanie: S(t) = S 0 exp(σw t + (µ 1 2 σ2 )t) (4.1) nazywa si geometrycznym ruchem Browna, przy czym: S(t) - cena akcji w czasie t S 0 - pocz tkowa cena akcji 15
µ - dryf σ - zmienno± ceny akcji W (t) - proces Wienera. Dodatkowo S(t) S 0 ma rozkªad lognormalny, co znaczy,»e ln( S(t) S 0 ) N ((µ 1 2 σ2 )t, σ 2 t). Równanie (4.1) jest rozwi zaniem stochastycznego równania ró»niczkowego ds(t) = µs(t)dt + σs(t)dw (t). (4.2) Mo»na udowodni numerycznie,»e rozwi zaniem powy»szego równania ró»niczkowego jest zmienna losowa (4.1). Aby to pokaza, generujemy proces S(t). Warto±ci S(0), µ, σ s znane. Równanie mo»na zapisa w inny sposób: S(t i ) = µs(t i )dt + σs(t i )dw (t i ). Wiadomo,»e S(t i ) S(t i 1 ) = S(t i 1 ). Kolejne warto±ci S(t i ) otrzymujemy wi c dodaj c S(t i 1 ) do S(t i 1 ). Czynno± t wykonujmy T/dt razy. Dla S(0) = 1, σ = 0.8, µ = 0.2 niezale»ne trajektorie wygl daj nast puj co: Rysunek 4.3: Geometryczny ruch Browna, kod: 9.4 16
Czynno± t powtarzamy 500 razy i dla t = 1 tworzymy histogram. Nast pnie dla otrzymanych 500 warto±ci S(t) znajdujemy warto± oczekiwan i standardowe odchylenie rozkªadu logarytmicznie normalnego za pomoc funkcji tdistr() i nast pnie, dla otrzymanych warto±ci mo»na nanie± na histogram wykres g sto±ci rozkªadu logarytmicznie normalnego. Jak wida na poni»szym obrazku, wykresy pokrywaj si, co sugeruje,»e rozwi zaniem równania ró»niczkowego jest rzeczywi±cie zmienna losowa o rozkªadzie logarytmicznie normalnym. Rysunek 4.4: Histogram, kod: 9.5 Aby to potwierdzi, przeprowadzamy test normalno±ci Shapiro - Wilka. Test ten bada jednak, czy zmienne losowe maj rozkªad normalny. Nale»y wi c zlogarytmowa warto±ci S i na nich przeprowadzi test. Poni»y rysunek przedstawia histogram zlogarytmowanych warto±ci oraz funkcj g sto±ci rozkªadu normalnego dla tych zmiennych losowych. 17
Rysunek 4.5: Histogram, kod: 9.6 Wykonuj c test badamy hipotezy zerow oraz alternatywn : H 0 : dane s z rozkªadu normalnego (p > α) H 1 : dane nie s z rozkªadu normalnego (p α) Wykonuj c ten test w R otrzymujemy : W = 0.9959, p-value = 0.2245. Dla α = 0.05 < 0.2245, a wi c nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Równanie (4.2) mo»na równie» wyprowadzi przy u»yciu formuªy Itô dla funkcji niezale»nych od czasu. Podstawiamy: X t = σw t + (µ 1 2 σ2 )t F (x) = S 0 e x Korzystaj c z (3.3) mo»na zapisa dx t = (µ 1 2 σ2 )dt + σdw t. 18
Dalej, zgodnie z (3.8) df (X t ) = ds t = S 0 e Xt dx t + 1 2 S 0e Xt σ 2 dt = S t (µ 1 2 σ2 )dt + S t σdw t + 1 2 σ2 S t dt = S t µdt + S t σdw t, co nale»aªo pokaza. 4.3 Zamiana miary Twierdzenie 4.3.1 (Girsanowa). Niech W b dzie procesem Wienera wzgl dem P oraz W t = W t + γt dla t [0, T ] procesem Wienera z dryfem γ. Wtedy W jest procesem Wienera bez dryfu wzgl dem P, gdzie A FT P(A) := E(IA M T ) = M T dp. A Ponadto proces M t = exp(γw t 1 2 γ2 t) jest martyngaªem wzgl dem P. Poni»sze obliczenia sªu» do wyznaczenia warto±ci γ. Zdyskontowany proces cenowy ma posta : S t = e rt S 0 e σwt+(µ 1 2 σ2 )t = S 0 e σwt+(µ r 1 2 σ2 )t, gdzie r jest stop procentow woln od ryzyka. Przy pomocy równania Itô mo»na zapisa : d S t = S 0 σe σwt+(µ r)t dw t + (µ r 1 2 σ2 )S 0 e σwt+(µ r)t dt (4.3) + 1 2 σ2 S 0 e σwt+(µ r)t dt = σ S t dw t + (µ r) S t dt. Dla µ r proces ( S t ) nie jest martyngaªem wzgl dem P. Nale»y znale¹ równowa»n miar P tak,»e ( S t ) b dzie martyngaªem wzgl dem nowej miary. Miara taka nazywana jest miar martyngaªow. Dalej wiadomo,»e W t jest procesem Wienera bez dryfu wzgl dem miary P, a W t = γt+w t jest procesem Wienera z dryfem wzgl dem tej samej miary. Niech W t = γt+w t 19
b dzie procesem Wienera bez dryfu wzgl dem P. Wiadomo te»,»e ka»dy martyngaª jest procesem o drye równym 0. Podstawiaj c dw t = d W t γdt do równania (4.3) otrzymujemy d S t = σ S t (d W t γdt) + (µ r) S t dt = σ S t d W t σγ S t dt + (µ r) S t dt = σ S t d W t + (µ r σγ) S t dt. Dryf musi by równy 0, aby proces ( S t ) byª martyngaªem wzgl dem miary P, dlatego nale»y rozwi za równanie µ r σγ = 0 γ = µ r σ. Podstawiaj c do stochastycznego równania ró»niczkowego (4.2) otrzymujemy: ds(t) = µs(t)dt + σs(t)(d W (t) µ r dt) (4.4) σ = µs(t)dt + σs(t)d W (t) µs(t)dt + rs(t)dt = rs(t)dt + σs(t)d W (t). 20
Rozdziaª 5 Ameryka«ska opcja sprzeda»y o nieograniczonym czasie trwania (ang. Perpetual American Put) Wiedz c jak wygl da miara martyngaªowa P, Ẽ(X) b dzie oznacza warto± oczekiwan zmiennej losowej X wzgl dem miary P. 5.1 Ogólne Jak sama nazwa wskazuje, jest to opcja, która nie posiada momentu wyga±ni cia. Z powodu braku przeszkód zwi zanych z wyga±ni ciem opcji, formuªa okre±laj ca jej cen mo»e by podana. W celu uzyskania tej formuªy musimy najpierw ustali optymalny moment zatrzymania. Do oblicze«wykorzystywany jest geometryczny ruch Browna, speªniaj cy równanie ds(t) = rs(t)dt + σs(t)d W (t). (5.1) Ponadto opcja ta nie jest opcj standardow, poniewa» nie ma zastosowania w ±wiecie rzeczywistym. Denicja 5.1.1. Niech T b dzie zbiorem wszystkich momentów stopu τ. Cena ameryka«skiej opcji sprzeda»y o nieograniczonym czasie trwania v zadana jest wzorem v (x) = sup Ẽ[e rτ (K S(τ)) + ], τ T 21
gdzie x = S(0) jest cen akcji w czasie t = 0. Warto zada sobie pytanie, kiedy nabywca opcji powinien j wykona. Powinien on wybra taki moment, w którym wykonanie opcji zmaksymalizuje zysk. Zysk mo»e by jednak nieograniczony, dlatego posiadacz powinien zdecydowa, jaki zysk go satysfakcjonuje i wedªug tego opracowa swoj strategi wykonania opcji. Jako posiadacz ameryka«skiej opcji sprzeda»y o nieograniczonym czasie trwania, mo»e on ponadto wykona j w ka»dym momencie. Nie istnieje moment wyga±ni cia opcji, po którym opcja nie mogªaby by wykonana cena nie zale»y od czasu, lecz od warto±ci S(t). Nasuwa si wniosek,»e wªa±ciciel powinien wykona opcj, gdy S(t) spadnie poni»ej K. 5.2 Cena opcji Twierdzenie 5.2.1 (Transformata Laplace'a). Niech W (t) b dzie procesem Wienera wzgl dem miary prawdopodobie«stwa P, a µ pozytywn i rzeczywist liczb. Deniujemy proces X(t) = µt + W (t) oraz czas stopu Wówczas τ m = inf{t 0; X(t) = m}. Ẽe λτm = e m( µ+ µ 2 +2λ) λ > 0. Dowód. Wiadomo,»e proces e σ W t 1 2 σ2t jest martyngaªem, poniewa» E[e σ W t 1 2 σ2t F s ] = e 1 2 σ2t E[e σ W t F s ] = e 1 2 σ2t E[e σ( W t W s)+σ W s F s ] = e 1 2 σ2 t+σ W s E[e σ( W t W s) F s ] = e 1 2 σ2 t+σ W s e σ2 (t s) 2 = e σ W s 1 2 σ2 s Deniujemy σ = µ + µ 2 + 2λ, z czego wynika,»e σ > 0. } {{ } >µ 22
Podnosz c do kwadratu poprzednie równanie otrzymujemy 1 2 σ2 = λ µσ. σ 2 = µ 2 2µ µ 2 + 2λ + µ 2 + 2λ σ 2 = 2µ 2 2µ µ 2 + 2λ + 2λ 1 2 σ2 = µ 2 + λ µ µ 2 + 2λ 1 2 σ2 = λ µ( µ 2 + 2λ µ) Poniewa» proces e σ W t 1 2 σ2t jest martyngaªem, to podstawiaj c te» jest martyngaªem. e σ W t 1 2 σ2t = e σ W t λ σµt = e σxt λt Zgodnie z twierdzeniem opcjonalnego stopowania zastopowany martyngaª M(t) = e σ W (t τ m) 1 2 σ2 (t τ m) te» jest martyngaªem. Wiadomo,»e dla ka»dej dodatniej liczby caªkowitej n 1 = M(0) = ẼM(n) = Ẽ[eσX(n τm) λ(n τm) ] = Ẽ[eσm λτm I τm n] + Ẽ[eσX(n) λn I τm>n]. Nieujemna zmienna losowa e σm λτm I τm n wzrasta wraz z n i ma granic w e σm λτm I τm. Innymi sªowy 0 e σm λτm I τm 1 e σm λτm I τm 2... prawie na pewno, czyli lim n e σm λτm I τm n = e σm λτm I τm prawie na pewno. Z twierdzenia o monotonicznej zbie»no±ci ci gu wynika,»e 23
lim n Ẽ[e σm λτm I τm n] = Ẽ[eσm λτm I τm ]. Z drugiej strony, poniewa» X(n) m dla n τ m oraz σ > 0, to zmienna losowa e σx(n) λn I τm>n speªnia nierówno± : Dla λ > 0 0 e σx(n) λn I τm>n e σm λn e σm prawie na pewno. lim n e σx(n) λn I τm>n lim n e σm λn = 0. Zgodnie z twierdzeniem Lebesgue'a o zbie»no±ci ograniczonej lim n Ẽ[e σx(n) λn I τm>n] = 0. Podstawiaj c granic do równania na pocz tku dowodu, otrzymujemy,»e: Ẽ[e σm λτm I τm< ] = 1 Ẽ[e λτm I τm< ] = e σm = e m( µ+ µ 2 +2λ) dla ka»dego λ > 0. Twierdzenie 5.2 b dzie potrzebne do udowodnienia wzoru na cen opcji. Denicja 5.2.2. Niech τ L b dzie momentem stopu dla procesu S(t) takim,»e τ L = inf{t 0; S(t) = L}. Cena opcji sprzeda»y v L przy zaªo»eniu,»e opcja zostanie wykonana w momencie, gdy cena akcji S(t) osi gnie poziom L < K, wynosi v L (x) = Ẽ[e rτ L (K L)] = (K L)Ẽ[e rτ L ]. (5.2) τ L mo»na wyznaczy za pomoc wykresu geometrycznego ruchu Browna. Generujemy proces dla µ = 0.2 i σ = 0.8. Nast pnie ustalamy poziom L, np. L = 1.5 i nanosimy go na wykres. τ L jest wspóªrz dn na osi czasu dla pierwszego punktu przeci cia poziomu L z procesem S. 24
Rysunek 5.1: Geometryczny ruch Browna przeci ty prost y = 1.5 Gdy S 0 jest wi ksze od K, to zgodnie z [2] mo»na zapisa,»e v (x) = sup L (K L)Ẽ[e rτ L ] = sup v L. L Rozwa»my teraz mo»liwo±ci wªa±ciciela opcji zaraz po jej kupieniu. Nabywca musi ustali poziom cenowy L tak,»eby L < K i postanawia wykona swoj opcj sprzeda»y, gdy cena akcji S spadnie po raz pierwszy do lub poni»ej poziomu L. Jest to uzasadnione, poniewa» wypªata opcji sprzeda»y wynosi (K S) + i przy tych zaªo»eniach gwarantujemy,»e b dzie ona dodatnia. W czasie t = 0 mog wyst pi dwie nast puj ce sytuacje: S(0) L nabywca wykonuje opcj natychmiast. Cena opcji wynosi wtedy v L (S(0)) = K S(0) i jest równa wypªacie. S(0) > L nabywca czeka i wykonuje opcj dopiero w momencie τ L = min{t 0; S(t) = L}. W tym przypadku wypªata wynosi 25
K S(τ L ) = K L. Cena opcji ró»na od wypªaty wynosi natomiast v L (S(0)) = (K L)Ẽe rτ L S(0) L i jest to zdyskontowana wypªata w czasie t = 0. Lemat 5.2.3. Funkcja v L (x) jest zadana wzorem: K x 0 x L v L (x) = (K L)( x 2r ) σ L 2 x L. Dowód. Przypadek, gdy 0 x L jest oczywisty. Dla x L rozwa»my dwie mo»liwo±ci: 1. x = L, wtedy τ L = 0 i dla v L (S(0)) = (K L)Ee rτ L warto± vl (x) wynosi K x = K L 2. x > L, rozwa»my przypadek gdy S(0) = x > L. Moment stopu τ L jest pierwszym momentem, w którym warto± akcji: S(t) = xexp{σ W (t) + (r 1 2 σ2 )t} osi gnie poziom L. Rozwi zuj c równo± S(t) = L, otrzymujemy: xexp{σ W (t) + (r 1 2 σ2 )t} = L exp{σ W (t) + (r 1 2 σ2 )t} = L x σ W (t) + (r 1 2 σ2 )t = ln( L x ) W (t) 1 σ (r 1 2 σ2 )t = 1 σ ln( x L ) Zgodnie z twierdzeniem 5.2 podstawiamy w nast puj cy sposób 26
µ { }} { W (t) 1 σ (r 1 2 σ2 )t = 1 } {{ } σ ln( x L ), a za λ podstawiamy r. } {{ } X(t) m (Mo»emy tak zrobi, poniewa» zarówno proces W (t) oraz W (t) s procesami Wienera wzgl dem miary prawdopodobie«stwa P.) Dzi ki podstawieniom otrzymujemy,»e τ m = τ L. Post puj c zgodnie z poprzednim twierdzeniem musimy policzy : µ 2 + 2λ = 1 σ 2 (r 1 2 σ2 ) 2 + 2r = 1 σ 2 (r2 rσ 2 + 1 4 σ4 ) + 2r = r2 σ 2 r + σ2 4 + 2r = 1 σ 2 (r2 rσ 2 + σ4 4 + 2rσ2 ) = 1 σ 2 (r2 + rσ 2 + σ4 4 ) = 1 σ 2 (r2 + 1 2 σ2 ) 2. Z tego wynika,»e: µ + µ 2 + 2λ = 1 σ (r 1 2 σ2 ) + 1 σ (r + 1 2 σ2 ) = 2r σ. Z poprzedniego twierdzenia Ee rτ L = exp{ 1 σ = ( x L ) 2r σ 2. 2r σ log x L } 5.3 Optymalny moment stopu Dokªadny wzór na cen opcji jest ju» znany, jednak nadal nie wiadomo ile powinien wynosi poziom L. Zakªadamy,»e opcja powinna zosta wykonana wtedy, gdy S(t) 27
osi gnie poziom L! Problemem jest znalezienie tego optymalnego poziomu L, dla którego wykonanie opcji nie przyniesie straty. Niech wi c L b dzie szukanym poziomem, a v L (x) cen za opcje sprzeda»y zale»n od pocz tkowej ceny akcji x. Wiadomo,»e dla x L: v L (x) = (K L)( x 2r ) σ L = (K L)x 2r σ 2 L 2r σ 2. x jest cen pocz tkow akcji, tak wi c dla ustalonego x, warto± L maksymalizuje wielko± v L. Dlatego przy ustalonym x szukamy maksimum funkcji zale» cej od L 0: f(l) = (K L)L 2r σ 2. Rysunek 5.2: Wykres funkcji f(l) Widzimy,»e f(0) = 0, poniewa» 2r > 0 oraz lim σ 2 L f(l) =. Aby znale¹ maksimum funkcji nale»y policzy jej pierwsz pochodn : 28
f (L) = L 2r σ 2 = L 2r σ 2 = L 2r σ 2 ( + (K L) 2r σ L 2r σ 2 2 σ 2 + 2r 2r σ 2 KL σ σ2 2 2r σ L 2r 2 σ 2 2r + σ2 ) + 2r 2r σ 2 KL σ 2 σ2 σ 2. Przyrównuj c do 0 otrzymujemy: L 2r σ 2 ( L 2r σ 2 ( L = 2r + σ2 σ 2 2r + σ2 σ 2 L 2r σ 2 ( ) + 2r 2r σ 2 KL σ σ2 = 0 ) + 2r 2r KL σ 2 L 1 = 0 σ 2r σ2 σ 2 + 2r σ 2 K 1 L ) } {{ } =0 σ2 2r 2r + σ 2 σ K = 2 = 0 2r + σ 2 σ 2 = 2r σ 2 K 1 L 2r 2r + σ 2 K. Podstawiaj c L do funkcji f otrzymujemy: f(l ) = (K 2r 2r + σ K)( 2r 2r K) 2 σ 2r + σ2 2 = ( 2r + σ2 2r 2r K)( 2r + σ 2 2r + σ ) 2r 2 σ 2 K 2r σ 2 σ 2 = 2r + σ ( 2r 2 2r + σ ) 2r 2 σ 2 K 2r+σ2 σ 2. 5.4 Analityczny opis ceny opcji sprzeda»y Od tego momentu cena opcji oznaczona b dzie przez v L. 29
Ci gªo± funkcji v L oraz jej pochodnych: K x 0 x L v L (x) = (K L )( x L ) 2r σ 2 x L, 1 0 x L v L (x) = (K L ) 2r ( x σ 2 x L ) 2r σ 2 x L. Pierwsza pochodna jest ci gªa w punkcie x = L. Mo»na to ªatwo pokaza. Po podstawieniu L prawostronna granica wynosi: v L (L +) = 2r (K L σ 2 ) = 2rK + 2r L σ 2 L σ = 2rK 2r + σ 2 2 σ 2 2rK + 2r σ = 1. 2 Jak wida, pierwsza pochodna funkcji v L (x) jest ci gªa oraz sama funkcja te» jest ci gªa. Druga pochodna po x funkcji podaj cej cen opcji wynosi: 0 0 x < L v L (x) = (K L ) 2r(2r+σ2 ) ( x L ) 2r σ 2 x > L. σ 4 x 2 W tym przypadku pochodna nie jest ci gªa. Jak wida, lewostronna granica wynosi 0, a prawostronna po podstawieniu L jest wi ksza od 0. Zauwa»my,»e dla x > L rv L (x) rxv L (x) 1 2 σ2 x 2 v L (x) (5.3) = (K L )(r + 2r2 σ r(2r + σ2 ) )( x ) 2r 2 σ 2 σ L 2 = (K L )( rσ2 σ 2 + 2r2 σ 2 2r2 σ 2 30 rσ2 σ )( x ) 2r 2 σ L 2 = 0,
natomiast dla 0 x L rv L (x) rxv L (x) 1 2 σ2 x 2 v L (x) = r(k x) + rx = rk. (5.4) Podsumowuj c, v L (x) speªnia tak zwany liniowy problem komplementarno±ci (linear complementarity conditions): 1. v L (x) (K x) + x 0, 2. rv L (x) rxv L (x) 1 2 σ2 x 2 v L (x) 0 x 0 3. dla ka»dego x 0, zachodzi równo± w 1) lub 2). 5.5 Probabilistyczny opis ceny opcji sprzeda»y Twierdzenie 5.5.1. Niech S(t) b dzie cen akcji tak,»e ds(t) = rs(t)dt+σs(t)d W (t) oraz niech τ L = min{t 0; S(t) = L } b dzie czasem stopu. Wtedy proces e rt v L (S(t)) jest nadmartyngaªem wzgl dem P, a zastopowany proces e r(t τ L ) v L (S(t τ L )) jest martyngaªem. Dowód. U»ywaj c formuªy (3.6) da si rozpisa wyra»enie d[e rt v L (S(t))]. W rozwini ciu wyst puje druga pochodna po v L, która nie jest ci gªa w L. Formuªa ta pozostaje jednak poprawna dla funkcji, której druga pochodna ma skoki. Formuªa ta zwana jest inaczej formuª Itô dla funkcji zale»nych od czasu. Dla funkcji F (S t, t) skrócony jej zapis wygl da nast puj co: df = F t dt + F s b t dw t + F s a t dt + 1F 2 ssb 2 t dt = F t dt + F s ds t + 1F 2 ssb 2 t dt. 31
Stosuj c powy»sz formuª do funkcji F (S t, t) = e rt v L (S(t)) otrzymujemy d[e rt v L (S(t))] = re rt v L (S(t))dt + e rt v L (S(t))dS(t) + 1 2 e rt v L (S(t))S 2 (t)σ 2 dt = re rt v L (S(t))dt + e rt v L (S(t))(rS(t)dt + σs(t)d W (t)) + 1 2 e rt v L (S(t))S 2 (t)σ 2 dt = e rt ( rv L (S(t))dt + v L rs(t)dt + v L σs(t)d W (t) + 1 2 v L (S(t))S 2 (t)σ 2 dt) = e rt ( rv L (S(t)) + v L rs(t) + 1 2 v L (S(t))S 2 (t)σ 2 )dt + e rt v L σs(t)d W (t) Wiadomo z (5.3) oraz z (5.4),»e cz ± dt wyra»enia przyjmuje warto± 0 w przypadku, gdy S(t) > L lub wynosi rk dla S(t) < L. Dla S(t) = L druga pochodna v L jest niezdeniowana, jednak prawdopodobie«stwo,»e cena akcji osi gnie dokªadnie poziom L jest równe 0 prawie na pewno. Przeksztaªcaj c dalej równanie otrzymujemy: d[e rt v L (S(t))] = e rt rki {S(t)<L }dt + e rt σs(t)v L (S(t))d W (t) Jak ju» wiadomo, pierwsza cz ± wyra»enia jest równa 0 lub jest ujemna. Dodatkowo, dla S(t) < L pierwsza pochodna v L wynosi 1, wi c dla S(t) < L wyra»enie ma tendencj spadkow. Je»eli pocz tkowa cena akcji jest wy»sza od poziomu L, to a» do czasu τ L, czyli a» do momentu, w którym cena akcji po raz pierwszy osi ga L, wyra»enie e rt rki {S(t)<L } jest równe 0, a wyra»enie e rt σs(t)v L (S(t)) mo»e by zapisane jako zastopowany proces e r(t τ L ) v L (S(t τ L )). Po rozpisaniu otrzymujemy: e r(t τ L ) v L (S(t τ L )) = v L (0) + t τ L e ru σs(u)v L (S(u))d W (u). 0 Jest to martyngaª, poniewa» caªki Itô s martyngaªami, a zastopowane martyngaªy s martyngaªami. Wniosek: Mo»na zauwa»y,»e zdyskontowane ceny opcji europejskich s martyngaªami wzgl dem wolnej od ryzyka miary prawdopodobie«stwa oraz zdyskontowane ceny opcji ameryka«- skich s martyngaªami do czasu, w którym opcje te powinny zosta wykonane. Je»eli 32