1 Lista 6 1. LISTA Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%.

Transkrypt

1 1. LISTA Lista Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%. 1.2 Obliczy JSN dla nast puj cej renty dla (30)-latka: je±li»yje on pod koniec pierwszego roku wypªata wynosi 1000, je±li»yje pod koniec drugiego roku wypªata wynosi 3000, je±li»yje on pod koniec trzeciego roku wypªata wynosi Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%. Porówna z wynikiem zadania Poda wzór na aktuarialn obecn warto± dla (30)-latka dla nast puj cego ubezpieczenia rentowego: (i) 1000 na koniec ka»dego miesi ca w wieku 30 do 40 lat, (ii) 2000 na koniec ka»dego miesi ca w wieku 40 do 50 lat, (iii) 5000 na koniec ka»dego miesi ca w wieku 50 do 60 lat, Poda dokªadny wynik dla TT -PL97m oraz i = 4%. 1.4 Zakªadaj c HU, obliczy Ā45, wiedz c,»e ä 45 = oraz A 45 = Pokaza,»e ā x:n obliczone dla staªego nat»enie ±miertelno±ci µ i sile stopy procentowej δ jest równe ā n obliczone przy sile stopy procentowej δ + µ. 1.6 Zaªó»my,»e Y jest obecn warto±ci renty na caªe»ycie wypªacaj c 1 na rok dla (x)-latka. Dane jest ä x = 10 przy i = 1/24 = e δ 1, ä x = 6 przy i = e 2δ 1. Oblicz wariancj Y. 1.7 Udowodni nast puj ce zwi zki dotycz ce jednorazowej skªadki netto terminowej renty z doªu a x:n = ä x:n 1 + A 1 x:n, ä x:n = 1 + a x:n 1, a x:n = vä x:n A1 x:n,

2 2 1.8 [EdA ] Czterdziestoletnia osoba zaci gn ªa kredyt na 10 lat, z roczn rat w wysoko±ci r spªacan w formie renty ci gªej z oprocentowaniem δ. Dla pokrycia dªugu wystawiono polis daj c w momencie ±mierci dªu»nika wypªat równ pozostaªej kwocie dªugu. Przyjmuj c t sam stop procentow δ wska» formuª wyznaczaj c jednorazow skªadk netto za t polis. [Odp. (A) (r/δ)(ā1 40:10 + v p 40 ), (B) (r/δ)(ā1 40:10 v p 40 ), (C) (r/δ)(ā1 40:10 v q 40 ), (D) (r/δ)(a 1 v q 40 ), 40:10 (E) (r/δ)(a 1 + v q 40 ).] 40: Niech Y b dzie obecn warto±ci renty do»ywotniej dla 70-latka, gwarantuj cej mu wypªat 100 na pocz tku ka»dego roku. Obliczy Var(Y ) je±li wiadomo,»e A 69 = , 2 A 69 = , p 69 = 0.97, v = x-latek kupuje ubezpieczenia na»ycie pªatne na koniec roku ±mierci na 2-lata. Przy zawarciu umowy pªaci Π, a jesli prze»yje pierwszy ro pªaci Π/2. Zakªadaj c,»e skªadka jest netto, oblicz Π, wiedz c,»e: przyszªy czas»ycia ma rozkªad de Moivre'a z ω = 100, i = Oblicz P x, je±li T 0 ma rozkªad wykªadniczy z g sto±ci (1/100)e x/100, x 0 oraz x = Udowodni P (Āx) = δāx. 1 Āx 1.13 W przypadku jednostkowej polisy na caªe»ycie opªacanej skªadk o staªej intenysno±ci (powiedzmy Π, caªkowita strata ubezpieczyciela gdy ubezpieczony umrze w chwili t wynosi l(t) = v t Πā t. Wykaza,»e l(0) = 1, jest funkcja malej c i lim t l(t) = Π/δ. Wywnioskowa st d,»e istniej dokªadnie jeden moment t 0, taki,»e caªkowita strata uezpieczyciela wynosi 0, przed tym momentem jest dostatnia a po nim ujemna.

3 2. LISTA Lista Deniujemy nast puj ce modele. [1] Rozkªad»ycia osoby nowourodzonej ma dystrybuant : F 1 (x) = 0.01x, 0 x < 100, 1, x 100. [2] Kwota odszkodowania pªacona w dolarach za szkod automobilow ma dystrybuant : { F 2 (x) = 1 ( x+2000) 3, x 0. [3] Liczba szkód na polis w jednym roku ma dystrybuant : 0.5, 0 x < 1, 0.75, 1 x < 2, F 3 (x) = 0.87, 2 x < 3, 0.95, 3 x < 4, 1, x 4. [4] Wielko± odszkodowania za bª dy lekarskie ma rozkªad { F 4 (x) = 1 0.3e x, x 0. [5] Alternatywny model przyszªego czasu»ycia z [1]. Funkcja prze-»ycia jest dana wzorem { , 0 x < 50, S 5 (x) = x, 50 x < 75 Podada funkcje g sto±ci dla rozkªadów z modeli [1] do [5]. Obliczy ±redni, odchylenie standardowe, sko±no± i kurtoz dla rozkªadu z modelu [1].

4 4 Rozkªad szkody w ubezpieczeniu samochodowym jest dany (wielko± szkody i w nawiasie prawdopodobie«stwo): 100 (0.4), 500 (0.2), 1000 (0.2), 2500 (0.1), (0.1). Obliczy funkcj prawdopodobie«stwa oraz warto± oczekiwan nadwy»ki straty (excess of loss) i wielko±ci Y L stop loss (lub cenzorowana z lewej po przesuni ciu) je±li d = 750. Wsk. e(d) = E (X d X > d) oraz E Y L = E (X d) +. Oblicz e(x) i E Y L dla modelu [1]. Próba prosta rozmiaru 10 ma dwie szkody w wysoko±ci 400, siedem szkód 800, jedna Oszacowa empiryczn sko±no± pojedynczej szkody. Wielko±ci szkód s 100, 200, 300, 400, 500 odpowiednio z prawdopodobie«stwami: 0.05, 0.20, 0.50, 0.20 i Obliczy sko±no± i kurtoz. Dla modelu [2] obliczy Q 0.5 and Q 0.8. x 1 obliczy wielko± mo- Dla dystrybuanty F (x) = 1 x 2, daln, ±redni i median. Policzy VaR α (X) oraz TVaR α (X) dla rozkªadu wykªadniczego. Pokaza,»e rozkªady: Poissona, dwumianowy i ujemny dwumianowy nale» do klasy (a, b, 0). Dla ka»dego z nich pokaza p 0, a, b. Napisa funkcje charakterystyczn rozkªadu normalnego N (µ, σ 2 ). Pokaza,»e VaR α (X) ma nast puj ce wªasno±ci: monotoniczno± X Y implikuje VaR α (X) VaR α (Y ). dodatnia jednorodno± VaR α (cx)= c VaR α (X). niezmienniczo± na przesuni cia VaR α (X + c)= VaR α (X) + c. Je±li X N (µ, σ 2 ), to VaR α (X) = µ + σφ 1 (α). Wielko± szkody po»arowej zale»y od czasu T = t trwania po-»aru, i wyra»a si wzorem a(e bt 1). Pokaza,»e jesli T ma rozkªad wykªadniczy, to wielko± szkody ma rozkªad Pareto. Poda wspóªczynniki rozkªadu. Z próby 1000 polis zdrowotnych oszacowano,»e 1300 jest ±redni rocznych korzy±ci wypªaconych z polisy, z odchyleniem standardowym 400. Na nast pny rok spodziewane jest,»e zostanie podpisanych 2500 kontraktów. Przy u»yciu centralnego twierdzenia

5 2. LISTA 7 5 granicznego oszacowa prawdopodobie«stwo,»e wypªacone korzy- ±ci b d wi ksze ni» 101% oszacowanej ±redniej.