p Z(G). (G : Z({x i })),

3. Wykład 3: p-grupy twerdzena Sylowa. Defncja 3.1. Nech (G, ) będze grupą. Grupę G nazywamy p-grupą, jeżel G = dla pewnej lczby perwszej p oraz k N. Twerdzene 3.1. Nech (G, ) będze p-grupą. Wówczas W szczególnośc Z(G) jest netrywalne. Dowód. Wobec Uwag 2.5: = Z(G) + p Z(G). l (G : Z({x })), gdze Orb(x 1 ),..., Orb(x l ) są wszystkm param rozłącznym orbtam dzałana G na zbór swoch elementów przez automorfzmy wewnętrzne o mocy wększej nż 1. Ponadto: = Z({x }) (G : Z({x })), dla {1,..., l}, a węc (G : Z({x })) = p l, {1,..., l} skoro (G : Z({x })) = Orb({x }) > 1, to l > 0, {1,..., l}. Ostateczne: l = Z(G) + p l, wobec czego Z(G) = p m, dla pewnego m>0. Wnosek 3.1. Nech (G, ) będze grupą rzędu p 2. Wówczas G jest abelowa. Dowód. Wobec poprzednego twerdzena p Z(G) skoro Z(G) <G, to Z(G) { p, p 2 }. Przypuśćmy, że Z(G) = p. Wówczas (G : Z(G) = G/Z(G) = p. Wobec tego G/Z(G) jest cyklczna, a zatem stneje element a G tak, że: gz(g) G/Z(G) k Z(gZ(G) =(az(g)) k = a k Z(G)), g G k Z(ga k Z(G)), g G k Z z Z(G)(ga k = z). Ustalmy g G nech k Z oraz z Z(G) będą take, że g = a k z. Wówczas ag = aa k z = a k az = a k za = ga, a zatem a Z(G), węc g = a k z Z(G), Z(G) =G, co jest sprzecznoścą. Defncja 3.2. Nech (G, ) będze grupą skończoną, nech H < G. Jeżel H jest p-grupą, to H nazywamy p-podgrupą grupy G. Jeżel G = m, gdze p m, k 1 oraz H =, to H nazywamy p-podgrupą Sylowa grupy G. Przykład: (1) Rozważmy G = Z 12 oraz H 1 = {0, 6} oraz H 2 = {0, 3, 6, 9}. Wówczas H 1 jest 2-podgrupą Z 12,a H 2 jest 2-podgrupą Sylowa Z 12. 13

14 Lemat 3.1. Nech p będze lczbą perwszą, m N, p m, k 1. Wówczas: ( ) m m mod p. Dowód. Mamy Wobec tego dla pewnego f(x) Z[X]. Zatem dla pewnego g(x) Z[X], a stąd (X + 1) p = ( ) p p, dla {1,..., p 1}. p =0 ( ) p X = X p +1+pf(X), (X + 1) pk = X pk +1+pg(X), (X + 1) pkm =(X pk + 1) m + ph(x) = m =0 ( ) m X pk (m ) + ph(x), dla pewnego h(x) Z[X]. Wobec tego współczynnk przy X pk (m 1) welomanu (X + 1) pkm daje przy dzelenu przez p resztę ( ) m 1 = m. Ponadto m ( ) p (X + 1) pkm k m = X. Wobec tego współczynnk przy X pk (m 1) welomanu (X + 1) pkm równy jest ( ) m ( m)! = (m 1) ( (m 1))!( m (m 1))! = ( m)! ( )!( m )! = =0 ( m Twerdzene 3.2. Nech (G, ) będze grupą skończoną, nech p G, gdze p jest lczbą perwszą. (1) (I twerdzene Sylowa 7 ). G zawera p-podgrupę Sylowa. Ponadto każda p-podgrupa grupy G zawarta jest w pewnej p-podgrupe Sylowa (to znaczy p-podgrupy Sylowa są maksymalne wśród p-podgrup grupy G). (2) (II twerdzene Sylowa). Każde dwe p-podgrupy Sylowa są sprzężone. (3) (III twerdzene Sylowa). Jeżel d p jest lczbą wszystkch p-podgrup Sylowa grupy G, to d p G oraz d p 1 mod p. Dowód. Ustalmy grupę skończoną (G, ) nech G = m, p m, k 1. Zdefnujmy rodznę Ω= {A G : A = }. Wobec tego Ω = ( m ). Dalej, zdefnujmy odwzorowane β : G Ω Ω wzorem β(g, A) =ga = {ga : a A}. Bez trudu sprawdzamy, że β jest dzałanem grupy G na zborze Ω. 7 L. Sylow (1832 1918) matematyk norwesk, twerdzene pochodz z 1872 roku ).

Pokażemy najperw, że stneje A Ω take, że p Orb(A). Wobec wzoru klas ( ) m s = Orb(A ), gdze Orb(A 1 ),..., Orb(A s ) są wszystkm param rozłącznym orbtam dzałana β. Wobec lematu: ( ) m m mod p. Zatem s Orb(A ) ne jest podzelne przez p, węc stneje A Ω tak, że p Orb(A ). Ustalmy wobec powyższego zbór A Ω tak, że p Orb(A). Pokażemy, że Orb(A) zawera dokładne jedną p-podgrupę Sylowa. Wobec Twerdzene 2.2: p Orb(A) =(G : Stab(A)) = G Stab(A) = pk m Stab(A). Zatem Stab(A) w szczególnośc Stab(A). Ponadto z defncj stablzatora g Stab(A)(gA = A), g Stab(A) a A(ga A), a A(Stab(A)a A). Wobec tego Stab(A) = Stab(A)a A =, dla a A. Zatem Stab(A) =. Ponadto a A(Stab(A)a = A), a A(a 1 Stab(A)a = a 1 A). Ustalmy a A zdefnujmy H = a 1(Stab(A)) = a 1 Stab(A)a. Wówczas H < G H = Stab(A) =, węc H jest p-podgrupą Sylowa. Ponadto H = a 1 A Orb(A), węc Orb(H) =Orb(A). Wobec tego Orb(A) ={gh : g G} poneważ jedyną warstwą będącą grupą jest grupa H, węc Orb(A) zawera dokładne jedną podgrupę rzędu. Pokazalśmy zatem, że G zawera p-podgrupę Sylowa. Zauważmy, że Orb(A) = m. Istotone, mamy: Orb(A) = Orb(H) = {gh : g G} = (G : H) = G H = pk m = m, gdze H jest jedyną p-podgrupą Sylowa zawartą w Orb(A). 15

16 Nech Orb(A 1 ),..., Orb(A t ) będą wszystkm param różnym orbtam takm, że p Orb(A ), {1,..., t}. Pokażemy, że d p = t. Istotne, nerówność ( ) jest trywalna, jako że każda z orbt Orb(A ), {1,..., t}, zawera dokładne jedną p-podgrupę Sylowa. Dla dowodu nerównośc ( ) ustalmy p- podgrupę Sylowa K < G. Mamy: p m = pk m = G =(G : K) K = {gk : g G} = Orb(K). Wobec tego stneje {1,..., t} take, że Orb(K) =Orb(A ). W szczególnośc K Orb(A ) poneważ w Orb(A ) jest dokładne jedna p-podgrupa Sylowa, węc d p t. Dalej, pokażemy, że d p 1 mod p. Nech Orb(A 1 ),..., Orb(A t ), Orb(A t+1 ),..., Orb(A s ) będą wszystkm param różnym orbtam, przy czym Wobec wzoru klas: ( ) m = dla pewnego q N. Wobec lematu: p Orb(A ), p Orb(A ), s Orb(A ) = = tm + pq, dla {1,..., t}, dla {t +1,..., s}. t Orb(A ) + ( ) m m mod p, s =t+1 Orb(A ) a zatem tm + pq m mod p, tm m mod p. Wobec tego p tm m = m(t 1) skoro p m p jest perwsza, to p t 1, a węc d p = t 1 mod p. Pokażemy teraz, że każda p-podgrupa zawarta jest w pewnej p-podgrupe Sylowa że każde dwe p- podgrupy Sylowa są sprzężone. Istotone, ustalmy p-podgrupę F nech F = p l, 1 l k. Ustalmy p-podgrupę Sylowa H, H =. Zdefnujmy rodznę Wobec tego X =(G : H) = G H = pk m X = {ah a G}. = m. Zdefnujmy odwzorowane α : F X X wzorem α(f, ah) =(fa)h. Łatwo sprawdzamy, że α jest dzałanem grupy F na zborze X. Nech Orb(a 1 H),..., Orb(a r H) będą wszystkm param różnym orbtam dzałana α. Wobec Wnosku 2.2: Wobec wzoru klas: Orb(a H) = p ɛ, dla pewnych ɛ 0, {1,..., r}. m = r Orb(a H) = skoro p m, to r pɛ ne jest podzelne przez p, a węc stneje 0 {1,..., r} take, że p ɛ 0 =1, Orb(a 0 H) =1. r p ɛ

Wobec tego Orb(a 0 H)={a 0 H}, z defncj orbty f F (fa 0 H = a 0 H), f F (a 1 0 fa 0 H = H), f F (a 1 0 fa 0 H), f F (f a 0 Ha 1 0 ), F a 0 Ha 1 0 = a0 (H). Ponadto, skoro H jest p-podgrupą Sylowa oraz a0 jest zomorfzmem, węc a0 (H) jest p-podgrupą Sylowa. W szczególnośc, jeżel G jest p-podgrupą Sylowa, to F a0 (H) skoro F = H = a0 (H), to F = a0 (H). Na konec, pokażemy, że d p G. Zdefnujmy rodznę Y = {H : H jest p-podgrupą Sylowa}. W szczególnośc Y = d p. Zdefnujmy odwzorowane γ : InnG Y Y wzorem γ( a,h)= a (H). γ, jak łatwo sę przekonać, jest dzałanem grupy InnG na zborze Y. Ponadto, poneważ każde dwe p-podgrupy Sylowa są sprzężone, dzałane to jest przechodne, a węc Ustalmy H Y. Wobec wzoru klas Dalej, wobec Wnosku 2.2: wobec Uwag 1.4: Zatem, w szczególnośc, d p G. H Y (Orb(H) =Y ). d p = Orb(H). d p = Orb(H) InnG, d p InnG = G/Z(G) = G Z(G). Przykłady: (2) Rozważmy grupę G rzędu 15. Wówczas d 3 mod 3 oraz d 3 15, a węc d 3 =1, d 5 mod 5 oraz d 5 15, a węc d 5 =1. Zatem w G stneją dokładne jedna 3-podgrupa Sylowa (rzędu 3) dokładne jedna 5-podgrupa Sylowa (rzędu 5). (3) Rozważmy grupę G rzędu 12. Wówczas d 2 mod 2 oraz d 2 12, a węc d 2 {1, 3}, d 3 mod 3 oraz d 3 12, a węc d 3 {1, 4}. Zatem w G stneje dokładne jedna 2-podgrupa Sylowa (rzędu 4) lub stneją 3 2-podgrupy Sylowa (rzędu 4). Podobne, w G stneje dokładne jedna 3-podgrupa Sylowa rzędu 3, lub 4 3-podgrupy Sylowa rzędu 3. 17

18 Wnosek 3.2 (twerdzene Cauchy ego). Nech (G, ) będze grupą skończoną, nech p G, gdze p jest lczbą perwszą. Wówczas G zawera element rzędu p. Dowód. Ustalmy grupę skończoną (G, ) nech G = m, p m, k 1. Wobec twerdzena Sylowa stneje H < G taka, że H =. Ustalmy a H. Wówczas r(a). Jeżel r(a) =p, to a jest szukanym elementem. Jeżel r(a) =p l, 1 <l k, to r(a pl 1 )=p a pl 1 jest szukanym elementem. Wnosek 3.3. Nech (G, ) będze grupą skończoną, nech p G, gdze p jest lczbą perwszą. Nech H < G będze p-podgrupą Sylowa. Wówczas H G wtedy tylko wtedy, gdy d p =1. Dowód. ( ): Ustalmy p-podgrupę Sylowa F. Wobec twerdzena Sylowa a G(F = a (H)). Poneważ H G, węc a (H) =H dla a G, węc H = F d p =1. ( ): Implkacja ta jest oczywsta. Przykłady: (4) Roważmy ponowne grupę G rzędu 15. Wówczas, poneważ d 3 =1 d 5 =1: jeśl H < G H =5, to H G, jeśl F < G F =3, to F G. Ponadto a G(r(a) {1, 3, 5, 15}), a węc jeśl r(a) = 3 to <a> =3, a węc <a>= H, jeśl r(a) =5to < a > =5, a węc < a >= F. Dalej: H F = 2 + 4 + 1 = 7, węc w G jest 8 elementów rzędu 15. Wnosek 3.4. Nech (G, ) będze grupą skończoną, nech G = pq, gdze p q są lczbam perwszym, p>q. Wówczas stneje H G H = p. Dowód. Wobec twerdzena Sylowa stneje p-podgrupa Sylowa H rzędu p. Ponadto Zatem d p =1 H jest normalna. d p 1 mod p oraz d p pq.